专题2.15 有理数的混合运算（知识梳理与题型分类讲解）基础知识专项突破讲与练-2025-2026学年七年级数学上册（苏科版）

专题2.15 有理数的混合运算（知识梳理与题型分类讲解） 一、【学习目标】 1.掌握规则与方法：熟练运用有理数加、减、乘、除、乘方运算法则，牢记混合运算顺序，灵活使用运算律简化计算。 2.提升运算能力：准确、快速完成有理数混合运算，减少计算错误，能根据算式特点选择最优解法，处理含括号、绝对值等复杂题型。 3.培养数学思维：通过运算训练逻辑推理能力，学会将实际问题转化为数学模型，养成规范审题、验算的学习习惯。 二、【题型目录】 【题型一】基本混合运算（不含括号）............................................................................................................1 【题型二】 含多层括号的运算...........................................................................................................................1 【题型三】 运用运算律简化计算.......................................................................................................................2 【题型四】 含绝对值的混合运算.......................................................................................................................3 【题型五】 有理数混合运算的应用——程序流程图与有理数的运算............................................................3 【题型六】 有理数混合运算的应用——算“24”点........................................................................................3 三、【题型展示与方法点拨】 【题型一】基本混合运算（不含括号） 【解题步骤】（1）有乘方算乘方；（2）乘除运算（从左到右）；（3）算加减. 【易错点】（1）乘方符号问题：比如误将：，（2）运算顺序出错，比如：规避办法：明确乘方优先级，先算数值平方，再添符号. 【题型1】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算： （1）； （2）； 【变式1】（24-25七年级上·吉林长春·期中）计算： （1） （2） 【变式2】（24-25七年级上·山东德州·期中）计算． （1）； （2）． 【题型二】 含多层括号的运算 【解题步骤】（1）去小括号；（2）再算中括号内的乘加；（3）最后算乘除加减. 【题型2】（24-25七年级上·四川泸州·期末）计算： 【变式1】（24-25七年级上·四川成都·期中）计算下列各题 （1）； （2）． 【变式2】（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：； 【题型三】 运用运算律简化计算 【解题策略】用乘法分配律展开 【易错点】错误使用乘法分配律：比如误将：. 【题型3】（24-25七年级上·河南周口·期中）阅读下列材料． 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数． 所以原式． （1）上述解法，你认为解法是_________错误的； （2）请你选择合适的解法计算：． （3）直接写出的结果． 【变式1】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）阅读下列解题过程： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解：因为， 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：． 【题型四】 含绝对值的混合运算 【解题策略】先算绝对值，有括号先算括号里面的，再算乘除，最后算加减. 【易错点】绝对值符号化简粗心，误将绝对值符号当成了括号，比如. 【题型4】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）计算： 【变式1】（24-25六年级上·山东东营·期中）计算 （1）． （2）； 【变式2】（24-25六年级上·山东东营·期末）计算： （1）； （2）． 【题型五】 有理数混合运算的应用——程序流程图与有理数的运算 【题型5】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）根据流程图中的程序，若输入x的值为，则输出y的值为 ． 【变式1】（24-25七年级上·河南商丘·期中）仔细观察下图的操作步骤，然后回答问题．（写出计算过程） 求当输入的数分别是和4时，输出的数分别是多少？ 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）按下列程序进行运算（如图所示），规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算．若，则运算最多进行多少次才停止（   ） A．3次 B．4次 C．5次 D．6次 【题型六】 有理数混合运算的应用——算“24”点 【题型6】（24-25七年级上·广东佛山·期中）24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，分别代表1，11，12，13． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______； （2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______． 【变式1】（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出一个符合规则的算式： ． 【变式2】（24-25七年级上·浙江温州·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.15 有理数的混合运算（知识梳理与题型分类讲解） 一、【学习目标】 1.掌握规则与方法：熟练运用有理数加、减、乘、除、乘方运算法则，牢记混合运算顺序，灵活使用运算律简化计算。 2.提升运算能力：准确、快速完成有理数混合运算，减少计算错误，能根据算式特点选择最优解法，处理含括号、绝对值等复杂题型。 3.培养数学思维：通过运算训练逻辑推理能力，学会将实际问题转化为数学模型，养成规范审题、验算的学习习惯。 二、【题型目录】 【题型一】基本混合运算（不含括号）............................................................................................................1 【题型二】 含多层括号的运算...........................................................................................................................3 【题型三】 运用运算律简化计算.......................................................................................................................5 【题型四】 含绝对值的混合运算.......................................................................................................................7 【题型五】 有理数混合运算的应用——程序流程图与有理数的运算...........................................................8 【题型六】 有理数混合运算的应用——算“24”点.....................................................................................10 三、【题型展示与方法点拨】 【题型一】基本混合运算（不含括号） 【解题步骤】（1）有乘方算乘方；（2）乘除运算（从左到右）；（3）算加减. 【易错点】（1）乘方符号问题：比如误将：，（2）运算顺序出错，比如：规避办法：明确乘方优先级，先算数值平方，再添符号. 【题型1】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算： （1）； （2）； 【答案】（1）；（2）7 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）（2）先算乘方，再算乘除，后算加减； 解：（1） （2） 【变式1】（24-25七年级上·吉林长春·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算减法即可得到答案； （2）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 解：（1）解； ； （2）解： ． 【变式2】（24-25七年级上·山东德州·期中）计算． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了含乘方运算的有理数的混合运算，熟练掌握和运用有理数混合运算的方法和顺序是解决本题的关键． （1）首先进行乘方运算，再进行乘除运算，最后进行加减计算； （2）首先进行乘方运算和括号内运算，再计算乘法，最后进行加减计算． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【题型二】 含多层括号的运算 【解题步骤】（1）去小括号；（2）再算中括号内的乘加；（3）最后算乘除加减. 【题型2】（24-25七年级上·四川泸州·期末）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．原式先计算乘方运算，再进行乘除运算，最后进行加法计算即可． 解： ． 【变式1】（24-25七年级上·四川成都·期中）计算下列各题 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，掌握含有乘方的有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，再算乘除，有括号的先算括号里面的数，最后根据有理数加减运算法则计算即可； （2）运用乘法分配律先计算，同时把除法变乘法，再运用乘法分配律计算即可． 解： （1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 解： ． 【题型三】 运用运算律简化计算 【解题策略】用乘法分配律展开 【易错点】错误使用乘法分配律：比如误将：. 【题型3】（24-25七年级上·河南周口·期中）阅读下列材料． 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数． 所以原式． （1）上述解法，你认为解法是_________错误的； （2）请你选择合适的解法计算：． （3）直接写出的结果． 【答案】（1）一；（2），过程见分析；（3）． 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）根据题目中的三种解法，可以发现方法一是错误的； （2）根据题目中的解答方法，可以计算出所求式子的值； （3）利用（2）的计算结果计算即可． 解：（1）解：根据题目中的解答方法，可知解法一是错误的， 故答案为：一； （2）解：原式的倒数 ， 故． （3）解：由（2）知，，， ∴ ． 【变式1】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）阅读下列解题过程： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解：因为， 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：． 【答案】 【分析】此题考查有理数的混合运算，乘法分配律，仿照例题计算原式的倒数，即可得到答案． 解： ， ∴． 【题型四】 含绝对值的混合运算 【解题策略】先算绝对值，有括号先算括号里面的，再算乘除，最后算加减. 【易错点】绝对值符号化简粗心，误将绝对值符号当成了括号，比如. 【题型4】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）计算： 【答案】3 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，原式先分别计算乘方，括号内的绝对值，然后计算乘除法，再计算加减法即可． 解： ． 【变式1】（24-25六年级上·山东东营·期中）计算 （1）． （2）； 【答案】（2）；（3） 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算乘方和括号内减法，再计算乘法和绝对值，最后计算加减法即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可； （1）解： ； （2）解： ； 【变式2】（24-25六年级上·山东东营·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据有理数的运算法则进行计算即可． 首先把括号里面的分数通分相加，把除法转化为乘法，可得：原式，然后再根据有理数的乘法法则进行运算即可； 首先根据乘方的定义把算式中的乘方计算出来，可得：原式，然后再根据有理数的运算法则进行计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： 【题型五】 有理数混合运算的应用——程序流程图与有理数的运算 【题型5】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）根据流程图中的程序，若输入x的值为，则输出y的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了有理数的混合运算，代数式求值，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 先根据流程图的程序列出算式，再计算出结果，根据输出的条件得出结论即可． 解：把代入，得， 再把代入，得， ∴输出y的值为7． 故答案为：7． 【变式1】（24-25七年级上·河南商丘·期中）仔细观察下图的操作步骤，然后回答问题．（写出计算过程） 求当输入的数分别是和4时，输出的数分别是多少？ 【答案】； 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据题意列出相应的算式，计算即可． 解：当输入的数是时，，相反数是， ； 当输入的数是时， ， ． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）按下列程序进行运算（如图所示），规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算．若，则运算最多进行多少次才停止（   ） A．3次 B．4次 C．5次 D．6次 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算；把代入代数式求值，与 244 比较，若大于 244 ，就停止计算，若结果没有大于 244 ，重新计算直至大于 244 为止． 解：若， 第一次：； 第二次：； 第三次：； 第四次：，则停止； 故选：B． 【题型六】 有理数混合运算的应用——算“24”点 【题型6】（24-25七年级上·广东佛山·期中）24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，分别代表1，11，12，13． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______； （2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______． 【答案】（1），（答案不唯一）（2）（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据题意可得图1中的4张牌分别代表，再根据和列出算式即可得； （2）先根据题意可得图2中的4张牌分别代表，再根据列出算式即可得． 解：（1）由题意得：图1中的4张牌分别代表， 则运算结果为24的算式：，， 故答案为：，（答案不唯一）． （2）由题意得：图2中的4张牌分别代表， 则运算结果为24的算式：， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出一个符合规则的算式： ． 【答案】或或（答案不唯一，任选一个） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则列式即可，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 解：符合规则的算式为或或， 故答案为：或或． 【变式2】（24-25七年级上·浙江温州·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则逐项计算可得答案． 解：A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意；     D．，故不符合题意； 故选A． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$