第06讲 对数与对数函数（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第06讲 对数与对数函数 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 对数与对数运算 4 知识点2 对数函数及其性质 5 题型破译 6 题型1 指数与对数的互化及对数运算 6 题型2 利用对数恒等式化简求值及换底公式的运用 8 题型3 求对数函数的表达式 10 题型4 对数型函数过定点问题 12 题型5 对数函数的值域与最值 15 题型6 对数函数的单调性及其应用 18 题型7 比较指对幂的大小 20 题型8 解对数型不等式 22 题型9 判断对数函数的奇偶性 24 04真题溯源·考向感知 27 05课本典例·高考素材 30 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2022年 （1）判断对数函数的单调性 （2）对数的运算性质的应用 （3）比较对数式的大小 单选题 多选题 填空题 解答题 / 第5题，5分 第5题,5分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的常考内容，设题灵活，难度综合，分值为5分 复习目标： 1.理解、掌握对数的图象与特征，能够灵活运用对数函数的性质 2.能利用对数函数的性质解决定义域与值域最值问题 3.具备数形结合的思想意识，会借助函数解决奇偶性与对称性问题 4.能结合图像与性质解决综合型问题 知识点1 对数与对数运算 1．对数的概念 （1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. （2）对数式与指数式的互化：. （3）两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN. 2．对数的性质 （1）1的对数等于0，即； （2）底数的对数等于1，即； （3）对数恒等式. 3．对数的运算性质 如果，那么：（1）； （2）； （3）. 4．对数的换底公式 对数的换底公式：. 换底公式的变形及推广： （1）；（2）； 自主检测夏季天气炎热，某教室上课关门窗开空调，造成二氧化碳含量增加，按照《中小学校教室换气卫生要求》（GB/T177226-2017）规定，中小学校教室内二氧化碳日均最高容许浓度不得超过0.10%，经检测，该教室某日刚下课时，空气中二氧化碳浓度为0.14%，记下课开窗通风分钟后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，%是二氧化碳初始浓度，，则该教室内的二氧化碳浓度不超过需要的时间的最小整数值为（    ） （参考数据：） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先根据条件得出，再利用对数的运算法则解不等式即可. 【详解】由题意可知，， 解，即， 得 ， 该教室内的二氧化碳浓度不超过需要的时间的最小整数值为. 故选：C 知识点2 对数函数的图象及其性质 1．对数函数的概念 一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是. 2．对数函数的图象和性质 一般地，对数函数的图象与性质如下表所示： 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 在上是减函数 在上是增函数 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴； 当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”． 3．对数函数与指数函数的关系 指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称. 自主检测已知函数且，若存在，使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，即 ，故且所以在上有解，又，故，解得或，又，故． 题型1 指数与对数的互化及对数运算 例1-1（2025·天津红桥·二模）若 则 （   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据指数对数转化，再应用对数运算律计算求解. 【详解】因为 所以 则 . 故选：A. 例1-2已知，，则下列结论正确的是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】D 【分析】根据对数式与指数式的转换，由对数函数的单调性，可得答案. 【详解】法一：由，则，由，则，即. 因为，所以， 因为，所以，故； 法二：由，，， ∵，∴，故 . 故选：D. 方法技巧 对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段. 【变式训练1-1·变考法】酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家规定，100mL血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过（    ）个小时才能驾驶？（参考数据：，） A．10 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】由题设列不等式，解该不等式即可求解. 【详解】由题可得经过t个小时后驾驶员血液中酒精含量为， 则令得， 所以，所以， 所以该驾驶员至少经过16个小时才能驾驶. 故选：D. 【变式训练1-2】已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将化为，然后利用换底公式和对数的运算性质对化简变形即可得答案. 【详解】由，得，且， 所以， 故选：C 【变式训练1-3】已知（），且，则m等于（   ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】由可得，由可得，进而可得答案. 【详解】因为， 所以 则 又 所以，则解得， 因为，所以， 故选：C. 题型2 利用对数恒等式化简求值及换底公式的运用 例2-1（2025·天津·模拟预测），，试用a，b表示（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用对数换底公式，结合对数运算法则算计即得. 【详解】由，，则. 故选：B 例2-2下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数的公式和分数指数幂的运算逐项求解即可. 【详解】对于A，由换底公式可得：，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D 方法技巧 对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数. （1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质． （2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式． （3）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用． 【变式训练2-1·变考法】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数的换底公式及对数的运算性质即可求出结果. 【详解】由换底公式得，，， 所以. 故选：D. 【变式训练2-2】（2025·天津·调研）下列代数式的值为1的有（    ） ①    ②   ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用分数指数幂的运算法则求解可求得① ；利用对数换底公式并逆用对数的运算性质可求得② ；利用诱导公式化简求值得③ ；利用诱导公式和同角的基本关系式可得④ . 【详解】对于① ，，故① 式值不为1； 对于② ，，故② 式值为1； 对于③ ，，故③ 式值不为1； 对于④ ，，故④ 式值为1. 故选：B. 【变式训练2-3】化简的值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据换底公式结合运算性质运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：B. 题型3 求对数函数的表达式 例3-1（2025·天津·联考）已知函数的图象经过点．则的值是 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法求得的解析式，再代入数值求解即可. 【详解】因为函数的图像过点和， 所以，则，解得， 则， 所以， ， 则. 故答案为：. 例3-2已知，则 ， ． 【答案】 【分析】令，求得后，由计算，由计算． 【详解】∵，令，则 ， ∴，． 故答案为：；． 方法技巧 待定系数法 【变式训练3-1·变载体】把函数的图象按向量平移，得到的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的概念确定函数图象平移方向，进而写出的解析式. 【详解】由题意. 故选：A 【变式训练3-2】已知定义在上的奇函数满足：，且当时，（为常数），则的值为（   ） A． B．3 C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据在上的奇函数，求得其解析式，再根据，由的周期为6及对数运算求解. 【详解】因为在上的奇函数，所以，解得， 所以， 因为，所以的周期为6， 所以， 又， 其中，则， ，所以. 故选：D 【变式训练3-3】已知函数，，且，则函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可先得到和，再代入得到，由选项解析式代入化简，得到结论. 【详解】由题意得：， ∵，∴， ∴， 若，则，舍去； 若，则，舍去； 若，则，成立； 若，则，舍去. 故选：C. 题型4 对数型函数过定点问题 例4-1函数有且只有一个零点的充要条件是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由题意得函数的图象过点，把问题转化为：函数没有零点函数的图象与直线无交点，数形结合可得解． 【详解】因为时，，可知函数的图象过点， 所以函数有且只有一个零点 函数没有零点 函数的图象与直线无交点． 当时，， 由图可知，函数 的图象与直线无交点或． 即函数有且只有一个零点的充要条件是或． 故选：D． 例4-2（2025·天津河东·调研）函数 的图象恒过定点A，则A点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数图象与性质求出点的坐标. 【详解】依题意，当，即时，恒有， 所以A点的坐标为. 故选：C 方法技巧 令真数为1求解. 【变式训练4-1】已知函数且的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得函数所过的定点，将定点坐标代入，可求得，将化简，再代入，结合对数的运算即可求解. 【详解】由于对数函数的图像恒过定点，故有，解得，从而的坐标为. 由于也在上，得，解得，所以. 因为, 故. 故选：A. 【变式训练4-2】任意实数且，函数的图象恒过P，则点P的坐标（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数函数图象恒过点，即可求解. 【详解】因为对数函数图象恒过点，所以令，解得， 所以任意实数且，函数的图象恒过点. 故选：A. 【变式训练4-3】函数（且）的图象恒过定点，若对任意正数、都有，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出定点的坐标，可得出，然后将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】对于函数（且）， 令，可得，且，所以，，即，， 对任意的正数、都有，即，则， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值是. 故选：D. 题型5 对数函数的值域与最值 例5-1已知函数，，对于任意，存在，有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知，求出这两个函数的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由题意可知，， 因为内层函数在上为增函数，外层函数为增函数， 所以，函数在上为增函数， 当时，， 当时，，则。 当且仅当时，即当时，等号成立，故， 所以，，解得，因此，实数的取值范围是. 故选：A. 例5-2（2025·天津河东·调研）已知函数 在区间的最大值与最小值的和，则的取值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】令，转化为求在上的最大值、最小值可得答案. 【详解】当时，令， 则，为开口向上、对称轴为的抛物线， 在上单调递增， 所以当时有最小值，为， 当时有最大值，为， 可得，解得. 故选：B. 方法技巧 数形结合 【变式训练5-1·变考法】已知，若存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数型复合函数的单调性分析得的单调性，从而得到在上的最值，由条件得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】函数的定义域为， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，又， 所以在区间上单调递减，其最大值与最小值分别为，， 则， 即，则， 得，整理得， 令，则其图象开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增， 因为存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1， 所以存在，使得成立，即， 则，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 【变式训练5-2·变考法】（2024·天津和平·模拟预测）已知函数，，，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数在上的最小值，在上的最小值，再结合已知及恒成立问题求解即得. 【详解】当时，函数，则当时，， 函数在上单调递增，， 由，，使得成立，得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 【变式训练5-3】设且，若对恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设知在恒成立，结合正弦函数、对数函数性质可得，再根据正弦、对数函数的区间单调性及恒成立求参数范围. 【详解】由题设，即在恒成立， 当时，上，不满足题设， 所以，此时在上递减，递增， 要使不等式恒成立，则，即， 综上. 故选：D 题型6 对数函数的单调性及其应用 例6-1（2025·天津静海·三模）设，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】结合根式的意义和对数函数性质依次分析充分性和必要性即可求解. 【详解】若“”则， 所以当时，“”不成立，故充分性不成立； 若“”，因为是增函数， 所以，所以“”，故必要性成立， “”是“”的必要不充分条件. 故选：B 例6-2（2025·天津·模拟预测）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两类讨论，结合换底公式及对数函数的单调性、对数的运算性质可得关于的不等式即可求解. 【详解】当时，根据对数函数的性质可知：函数在上单调递增，符合题意； 当时，由换底公式可得， 因为函数在上单调递增，且函数在上单调递增，所以. 又，所以，，所以，所以，即，解得. 综上，a的取值范围为. 故选：A. 方法技巧 研究型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”． 研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则． 【变式训练6-1·变考法】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据对数函数性质结合充分、必要条件分析判断即可求解． 【详解】因为，所以， 又因为不一定大于0，即不一定成立， 所以“”是“的不充分条件， 因为在上单调递增， 所以，即，所以“”是“的必要条件， 所以“”是“的必要不充分条件， 故选：B． 【变式训练6-2】（2025·天津南开·一模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，得到为单调递增函数，根据对数函数的性质，以及复合函数的单调性的判定方法，列出不等式，求得的取值范围，即可得到答案. 【详解】令，因为且，所以函数为单调递增函数， 要使得函数在上单调递减， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. 故选：A. 【变式训练6-3】若，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据指、对数函数单调性解不等式，再根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】对于，则，解得； 对于，则，解得； 因为是的真子集， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 题型7 比较指对幂的大小 例7-1（2025·天津·二模）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数的运算性质结合对数函数的单调性可得. 【详解】因为，， 所以，即； 又，所以， 故选：D． 例7-2（2025·天津滨海新·三模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数、对数函数单调性即可求解. 【详解】由题意. 故选：A. 方法技巧 比较两个对数值的大小的基本方法是： （1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性． （2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小． （3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小． 【变式训练7-1】（2025·天津·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指、对、幂的单调性比较大小即可. 【详解】是增函数，， 在是增函数，，故， 在是增函数，， 即， 故选：D. 【变式训练7-2】（2025·天津河西·模拟预测）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，结合指数函数单调性得到，又，得到结论. 【详解】，， ，，故，所以， ，所以. 故选：D 【变式训练7-3】（2025·天津·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简式子，然后借用中间值0和1来进行比较即可. 【详解】， ， ， 所以， 故选：A 题型8 解对数型不等式 例8-1已知集合，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】先解分式不等式、对数不等式，求出集合，，再利用集合的基本运算求解. 【详解】由可得，， 解得， 所以，所以或， 由可得，， 解得， 所以， 所以或. 故选：A. 例8-2已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数的性质得到，再利用交集的定义求解即可. 【详解】令，解得，则， 因为，所以，故D正确. 故选：D. 方法技巧 利用对数函数的单调性求解 【变式训练8-1】设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据特殊值判断充分性，根据对数函数的性质及指数函数的性质判断必要性. 【详解】当时，，但无意义，故不满足充分性； 当时，则，所以， 则，即，满足必要性， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 【变式训练8-2】（2025·天津南开·联考）已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递增，满足，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知在上是增函数，根据函数奇偶性以及单调性解对数不等式计算可得结果. 【详解】因为函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递增， 可知在内单调递增，所以在上是增函数， 又因为， 可得，即， 则，解得， 所以实数a的取值范围为. 故选：D. 【变式训练8-3】已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解对数不等式求出集合，再求. 【详解】， 由，得，解得， 所以. 故选：B． 题型9 判断对数函数的奇偶性 例9-1（2025·天津南开·开学考）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增，且曲线存在对称轴 B．在上单调递增，且曲线存在对称中心 C．在上单调递减，且曲线存在对称轴 D．在上单调递减，且曲线存在对称中心 【答案】B 【分析】根据复合函数的单调性、函数的奇偶性等知识确定正确答案. 【详解】令，得，解得，可知的定义域是， 因为， 且在上单调递增，在上单调递增， 根据复合函数单调性同增异减可知在上是增函数， 又因为，即， 所以是奇函数，曲线存在对称中心，即B选项正确. 故选：B. 例9-2（2025·天津·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇偶性定义，结合指对数函数的性质及复合函数的单调性判断各项对应函数是否满足题设，即可得答案. 【详解】A：，定义域为R，是偶函数，不符； B：，定义域为，是奇函数， 根据复合函数的单调性，易知在上单调递减，不符； C：，定义域为R，是偶函数，不符； D：，定义域为R，是奇函数， 根据复合函数的单调性，易知在R上单调递增，符合. 故选：D 方法技巧 1.奇偶性：判断与的关系，注意定义域需关于原点对称． 若，则非奇非偶（定义域不关于原点对称）． 复合函数如，需先求定义域，再验证（奇函数）． 2.对称性： 若，则图象关于直线对称； 若，则图象关于点对称． 【变式训练9-1】已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据是偶函数和是奇函数，分别得到，，联立求得即可. 【详解】解：因为函数的定义域为是偶函数， 所以， 又因为是奇函数， 所以， 两式联立，解得， 所以， 故选：C 【变式训练9-2】是的偶函数，且在上单调递增，设 则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性、单调性，结合指数函数和对数函数的性质，判断出三者的大小关系. 【详解】由于为偶函数，则， 又，， 所以，因为是的偶函数，且在上单调递增， 所以在上单调递减，则. 故选：A 【变式训练9-3】（2025·天津河西·模拟预测）已知函数是上的偶函数，对任意，且都有成立．若，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由偶函数的性质可得的图象关于直线对称，结合函数的单调性分析可得在上为增函数，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，函数是上的偶函数，则函数的图象关于直线对称， 又由对任意，且，都有成立，则函数在上为增函数， 又，，， 又，所以，由函数的图象关于直线对称，知， 又，所以，故， 故选：A． 1．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：D 2．（2022·天津·高考真题）化简（         ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据对数的性质可求代数式的值. 【详解】原式 ， 故选：C 3．（2006·天津·高考真题）已知函数的图象与函数且的图象关于直线对称，记.若在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反函数的性质求出函数的解析式，代入的见解析将函数表示出来，对进行分类讨论，利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】函数的图象与函数且的图象关于直线对称， 与互为反函数， ， 令，函数可化为，对称轴为直线. 当时，为增函数，若在区间上单调递增， 则在上单调递增，，解得，不合题意，舍去. 当时，为减函数，若在区间上单调递增， 则在上单调递减，，解得. 综上得，的取值范围是. 故选：D. 4．（2010·天津·高考真题）设函数，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和分类求解． 【详解】若，则由得，即．∴． 若，则由得， 即∴，    ∴，即． 综上可知，或． 故选：C． 5．（2007·天津·高考真题）函数的反函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指对数的关系写出原函数的反函数，并求出原函数的值域，即可得反函数的解析式和定义域. 【详解】由题设，则， 所以原函数的反函数为且. 故选：C 6．（2004·天津·高考真题）函数的反函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反函数的求解方法，结合已知函数解析式，求解即可. 【详解】因为，故可得，则， 由可得，，又， 故，则的反函数为. 故选：D. 1.比较下列各题中两个值的大小： (1)，； (2)，； (3)，. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）（2）利用对数函数的单调性可得出题中两个对数的大小关系； （3）分、两种情况讨论，结合对数函数的单调性可得出题中两个对数的大小关系. 【详解】（1）解：因为函数在上为增函数，且，所以，. （2）解：因为函数在上为减函数，且，所以，. （3）解：当时，函数在上为减函数， 因为，所以，； 当时，函数在上为增函数， 因为，所以，. 综上所述，当时，；当时，. 2.已知与互为相反数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相反数的概念以及对数运算法则得出结果. 【详解】由已知得，即，所以. 故选：C. 3.设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据复数的几何意义得到，再根据对数函数的性质解不等式即可. 【详解】因为复数在复平面内的对应点在第三象限， 所以，即，所以，解得， 即实数的取值范围为. 4.已知放射性物质镭经过年后，其剩余的质量为原来的，求经过多少年后其剩余的质量为原来的．（参考数据，） 【答案】约经过年后其剩余的质量为原来的 【分析】可设这种放射性物质最初的质量是，经过百年后，剩余量是，利用指数函数列方程求出即可． 【详解】设这种放射性物质最初的质量是，经过百年后，剩余量是， 依题意()，令，两边取对数，得， 解得， 所以约经过年后其剩余的质量为原来的． 5.已知x，y为非零实数，其中，且，试判定下列各式哪些一定成立，哪些不一定成立，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不一定成立 (2)一定成立 (3)不一定成立 (4)不一定成立 【分析】根据对数的运算公式，结合特殊值反例逐个判断即可. 【详解】（1）为非零实数，则当时，无意义，故不一定成立 （2），故一定成立. （3），当时，成立； 但，故不一定成立. （4）因为为非零实数，故当时，成立，当时，，故不一定成立. 6.对数函数，，（，，，且a，b，c均不为1）的图象如图，试比较a，b，c的大小．    【答案】 【分析】令时，分布求对应的实数根，根据图象确定的大小. 【详解】当时，，， 如图①，②，③，    由图可知 7.已知下列不等式成立，比较正数m，n的大小： (1)； (2)； (3)（，且）． 【答案】(1); (2); (3)答案见解析 【分析】（1）利用对数函数的单调性即可; （2）利用对数函数的单调性即可; （3）根据对数函数的单调性分类讨论即可. 【详解】（1）因为在上是增函数，且，则. （2）因为在上是减函数，且，则. （3）当时，函数在定义域上是增函数，且，则； 当时，函数在定义域上是减函数，且，则. 综上所述，当时，； 当时，. 8.比较下列各题中两个数的大小： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，（，且，）． 【答案】(1) (2) (3) (4)当时， ；当时，. 【分析】根据对数函数的额单调性，比较每组中的函数值，即可求解. 【详解】（1）解：由对数函数在定义域上为单调递增函数，所以. （2）解：由对数函数在定义域上为单调递减函数，所以. （3）解：由对数函数在定义域上为单调递增函数，所以. （4）解：当时，函数是增函数，且，可得； 当时，函数是减函数，且，可得. 9.求下列函数的定义域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据对数函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由函数有意义，则满足，解得， 所以函数的定义域为. （2）解：由函数有意义，则满足，即，解得， 所以函数的定义域为. 2 / 31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 对数与对数函数 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 对数与对数运算 4 知识点2 对数函数及其性质 5 题型破译 6 题型1 指数与对数的互化及对数运算 6 题型2 利用对数恒等式化简求值及换底公式的运用 6 题型3 求对数函数的表达式 7 题型4 对数型函数过定点问题 8 题型5 对数函数的值域与最值 8 题型6 对数函数的单调性及其应用 9 题型7 比较指对幂的大小 10 题型8 解对数型不等式 11 题型9 判断对数函数的奇偶性 12 04真题溯源·考向感知 13 05课本典例·高考素材 14 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2022年 （1）判断对数函数的单调性 （2）对数的运算性质的应用 （3）比较对数式的大小 单选题 多选题 填空题 解答题 / 第5题，5分 第5题,5分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的常考内容，设题灵活，难度综合，分值为5分 复习目标： 1.理解、掌握对数的图象与特征，能够灵活运用对数函数的性质 2.能利用对数函数的性质解决定义域与值域最值问题 3.具备数形结合的思想意识，会借助函数解决奇偶性与对称性问题 4.能结合图像与性质解决综合型问题 知识点1 对数与对数运算 1．对数的概念 （1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的 ，N叫做 . （2）对数式与指数式的互化：. （3）两个重要对数：常用对数，以10为底的对数 ；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数 . 2．对数的性质 （1）1的对数等于0，即； （2）底数的对数等于1，即； （3）对数恒等式. 3．对数的运算性质 如果，那么：（1）； （2）； （3）. 4．对数的换底公式 对数的换底公式：. 换底公式的变形及推广： （1）；（2）； 自主检测夏季天气炎热，某教室上课关门窗开空调，造成二氧化碳含量增加，按照《中小学校教室换气卫生要求》（GB/T177226-2017）规定，中小学校教室内二氧化碳日均最高容许浓度不得超过0.10%，经检测，该教室某日刚下课时，空气中二氧化碳浓度为0.14%，记下课开窗通风分钟后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，%是二氧化碳初始浓度，，则该教室内的二氧化碳浓度不超过需要的时间的最小整数值为（    ） （参考数据：） A．3 B．4 C．5 D．6 知识点2 对数函数的图象及其性质 1．对数函数的概念 一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是. 2．对数函数的图象和性质 一般地，对数函数的图象与性质如下表所示： 图象 定义域 值域 性质 过定点 ，即时， 在上是 . 在上是 . 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴； 当时，底数越小，图象越 轴，即“底大图低”． 3．对数函数与指数函数的关系 指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称. 自主检测已知函数且，若存在，使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型1 指数与对数的互化及对数运算 例1-1（2025·天津红桥·二模）若 则 （   ） A．1 B． C． D．2 例1-2已知，，则下列结论正确的是（    ） A．且 B．且 C． D． 方法技巧 对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段. 【变式训练1-1·变考法】酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家规定，100mL血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过（    ）个小时才能驾驶？（参考数据：，） A．10 B．14 C．15 D．16 【变式训练1-2】已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】已知（），且，则m等于（   ） A． B． C． D．6 题型2 利用对数恒等式化简求值及换底公式的运用 例2-1（2025·天津·模拟预测），，试用a，b表示（    ） A． B． C． D． 例2-2下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数. （1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质． （2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式． （3）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用． 【变式训练2-1·变考法】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】（2025·天津·调研）下列代数式的值为1的有（    ） ①    ②   ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练2-3】化简的值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．8 题型3 求对数函数的表达式 例3-1（2025·天津·联考）已知函数的图象经过点．则的值是 ． 例3-2已知，则 ， ． 方法技巧 待定系数法 【变式训练3-1·变载体】把函数的图象按向量平移，得到的图象，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】已知定义在上的奇函数满足：，且当时，（为常数），则的值为（   ） A． B．3 C．2 D．4 【变式训练3-3】已知函数，，且，则函数可能是（   ） A． B． C． D． 题型4 对数型函数过定点问题 例4-1函数有且只有一个零点的充要条件是（   ） A． B． C． D．或 例4-2（2025·天津河东·调研）函数 的图象恒过定点A，则A点的坐标为（   ） A． B． C． D． 方法技巧 令真数为1求解. 【变式训练4-1】已知函数且的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】任意实数且，函数的图象恒过P，则点P的坐标（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】函数（且）的图象恒过定点，若对任意正数、都有，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型5 对数函数的值域与最值 例5-1已知函数，，对于任意，存在，有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例5-2（2025·天津河东·调研）已知函数 在区间的最大值与最小值的和，则的取值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 方法技巧 数形结合 【变式训练5-1·变考法】已知，若存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2·变考法】（2024·天津和平·模拟预测）已知函数，，，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】设且，若对恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型6 对数函数的单调性及其应用 例6-1（2025·天津静海·三模）设，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例6-2（2025·天津·模拟预测）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 方法技巧 研究型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可．复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”． 研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则． 【变式训练6-1·变考法】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式训练6-2】（2025·天津南开·一模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】若，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要 题型7 比较指对幂的大小 例7-1（2025·天津·二模）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 例7-2（2025·天津滨海新·三模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 方法技巧 比较两个对数值的大小的基本方法是： （1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性． （2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小． （3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小． 【变式训练7-1】（2025·天津·二模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】（2025·天津河西·模拟预测）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】（2025·天津·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型8 解对数型不等式 例8-1已知集合，则（    ） A．或 B．或 C． D． 例8-2已知集合，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 利用对数函数的单调性求解 【变式训练8-1】设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练8-2】（2025·天津南开·联考）已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递增，满足，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-3】已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 题型9 判断对数函数的奇偶性 例9-1（2025·天津南开·开学考）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增，且曲线存在对称轴 B．在上单调递增，且曲线存在对称中心 C．在上单调递减，且曲线存在对称轴 D．在上单调递减，且曲线存在对称中心 例9-2（2025·天津·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的增函数的是（   ） A． B． C． D． 方法技巧 1.奇偶性：判断与的关系，注意定义域需关于原点对称． 若，则非奇非偶（定义域不关于原点对称）． 复合函数如，需先求定义域，再验证（奇函数）． 2.对称性： 若，则图象关于直线对称； 若，则图象关于点对称． 【变式训练9-1】已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式训练9-2】是的偶函数，且在上单调递增，设 则（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-3】（2025·天津河西·模拟预测）已知函数是上的偶函数，对任意，且都有成立．若，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（2022·天津·高考真题）化简（         ） A．1 B． C．2 D． 3．（2006·天津·高考真题）已知函数的图象与函数且的图象关于直线对称，记.若在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2010·天津·高考真题）设函数，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2007·天津·高考真题）函数的反函数是（    ） A． B． C． D． 6．（2004·天津·高考真题）函数的反函数是（    ） A． B． C． D． 1.比较下列各题中两个值的大小： (1)，； (2)，； (3)，. 2.已知与互为相反数，则（    ） A． B． C． D． 3.设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，求的取值范围． 4.已知放射性物质镭经过年后，其剩余的质量为原来的，求经过多少年后其剩余的质量为原来的．（参考数据，） 5.已知x，y为非零实数，其中，且，试判定下列各式哪些一定成立，哪些不一定成立，并说明理由： (1)； (2)； (3)； (4)． 6.对数函数，，（，，，且a，b，c均不为1）的图象如图，试比较a，b，c的大小．    7.已知下列不等式成立，比较正数m，n的大小： (1)； (2)； (3)（，且）． 8.比较下列各题中两个数的大小： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，（，且，）． 9.求下列函数的定义域： (1)； (2)． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$