专题01 二次函数的图像与性质（压轴题专项训练）数学沪科版九年级上册

专题01 二次函数的图像与性质 目录 1 类型一、待定系数法求二次函数解析式 1 类型二、画二次函数图像 2 类型三、的图像与性质 4 类型四、二次函数图像与各项系数之间的关系 5 类型五、函数图像的综合判断 7 类型六、二次函数的最值问题-定轴定区间 8 类型七、二次函数的最值问题-动轴定区间/定轴动区间 9 类型八、二次函数平移问题 9 类型九、根据二次函数的对称性求解 10 类型十、二次函数与坐标轴交点问题 11 类型十一、二次函数与直线交点问题 12 类型十二、二次函数与x轴截线长问题 14 类型十三、与二次函数有关的新定义问题 14 类型十四、与二次函数有关的阅读理解问题 16 17 类型一、待定系数法求二次函数解析式 根据已知条件确定二次函数的解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点选择适当的形式，这样才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况: 1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式，然后列出关于a，b，c的三元一次方程组求解； 2）已知抛物线的顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式，然后将另一点的坐标代入，解关于a的一元一次方程； 3）当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式，将第三点的坐标或其它已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化成一般式； 4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式或交点式. 1．已知二次函数的图象过点，且顶点坐标为．求此二次函数的表达式； 2．如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，且，，求抛物线的解析式及顶点D的坐标． 3．二次函数的自变量x与函数值y的对应值如表，根据下表回答问题．求出该二次函数的表达式． x … 0 … y … 0 4 … 类型二、画二次函数图像 画二次函数图像的三个步骤：列表、描点、连线. 【注意】 1）列表时，要注意自变量的取值范围，要取一些具有代表性的点，不要使得自变量所对的函数值过大或过小，以便于描点和全面反映图像情况. 2）由于抛物线是轴对称图形，所以作图选点时，自变量向对称轴两侧对称取值. 3)一般至少要描出五个点（顶点及对称轴两侧相对应的两组坐标点）方可画出草图，连线时要用平滑的曲线顺次连接所描出的各点，即可得到二次函数的图像. 1．已知二次函数的图象经过点，． (1)求的值； (2)在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． 2．二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 0 5 … (1)求这个二次函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当x取什么值时，y随x的增大而减小？ 3．已知函数 (1)用描点法画出此函数的图象； (2)根据图象，直接写出当x为何值时，y随着x的增大而减小? (3)当时，对应的自变量x的值有2个，直接写出k的取值范围． 4．已知二次函数和一次函数． (1)在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (2)若这两个函数的图象的交点为，（点在点左侧）． 结合图象，直接写出点和点的坐标； 求的面积． 类型三、的图像与性质 1．在二次函数中． (1)若该函数图象的顶点在x轴上，求t的值； (2)若点在该函数图象上，令，求证：． 2．已知抛物线． (1)求这条拋物线的对称轴； (2)若抛物线的顶点在x轴上，求其表达式； (3)设点，在抛物线上，若，求m的取值范围． 3．已知抛物线的对称轴为直线． (1)求的值； (2)将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，求得到的新抛物线是否经过点． 4．已知二次函数，，，都在二次函数的图象上． (1)若，求n、p、q的值； (2)若，求n的取值范围． 类型四、二次函数图像与各项系数之间的关系 1．如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，拋物线与轴的一个交点在和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于x的方程无实数根．其中正确结论的是（   ） A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①④ 3．已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点坐标为，与y轴的交点在x轴的上方，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，若二次函数图象的对称轴为，与轴交于点，与轴交于点，，则：①二次函数的最大值为；②；③；④当时，．其中错误的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知二次函数的图象如图所示，下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数）．其中正确的结论有 ．（填写序号） 类型五、函数图像的综合判断 1．函数，（是常数，，在同一平面直角坐标系的图象可能是 ． ①②③ ④⑤⑥ 2．一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象不可能是（   ） A．B．C．D． 3．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A．B．C．D． 4．已知反比例函数与一次函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 类型六、二次函数的最值问题-定轴定区间 1．已知二次函数，当时，则y的范围是 ． 2．已知二次函数（m为常数，且），当时，该二次函数有最小值2，则m的值是（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 3．已知二次函数 （1）若则函数的最大值为 ． （2）若当时，的最大值为5，则的值为 ． 4．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若当时，的最小值是，求当时，的最大值； 类型七、二次函数的最值问题-动轴定区间/定轴动区间 1．已知二次函数(为常数)，当时，函数值y的最小值为，则m的值是（    ） A． B． C．或 D．或 2．若二次函数在时的最大值为3，那么的值是 ． 3．已知二次函数，当时，二次函数的最大值为6，则的值为 ． 4．当，函数的最小值为2，则m的值为 ． 类型八、二次函数平移问题 1．若将抛物线的对称轴向右平移一个单位，则与抛物线（为常数）的对称轴重合 (1)求的值； (2)当时，若点在抛物线上，点在抛物线上，求的范围． 2．定义：将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．应用：现将抛物线向右平移个单位长度，向下平移3个单位长度，得到新的抛物线，若为“平衡点”，求抛物线的表达式． 3．如图，点在轴的正半轴上，且，点在轴的正半轴上，且，直线与抛物线在第一象限内相交于点，连接，已知． (1)求的值； (2)若将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，恰好经过点，试确定的值． 类型九、根据二次函数的对称性求解 解题方法：抛物线是以直线x=为对称轴的轴对称图形，它的顶点在对称轴上.由此可以进一步得到如下结论: 1)抛物线上纵坐标相同的两点是对称点，抛物线上对称的两点纵坐标相同，且这两点到对称轴的距离相等，即两点的横坐标与x=的差的绝对值相等； 2)若抛物线上有两点，则抛物线的对称轴方程为x= 3）若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称. 【提示】解决有关抛物线的问题时，若能利用抛物线的对称性，常可以另辟解题思路，使解题过程简化. 1．二次函数的图象经过点，，点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数的图象经过A，C两点．    (1)求二次函数图象的对称轴与一次函数的表达式； (2)根据图象，写出满足不等式的x的取值范围． 2．如图，二次函数的图象与轴相交于点A、B，与轴相交于点．过点作轴，交该图象于点．若、．    (1)求该抛物线的对称轴； (2)求的面积． 3．在平面直角坐标系中，已知和是抛物线上任意两点． (1)若时，满足，则抛物线的对称轴为直线______； (2)若对于，都有，求的取值范围． 类型十、二次函数与坐标轴交点问题 一元二次方程的解是二次函数的图像与x轴交点的横坐标. 抛物线与x轴的交点个数 方程根的情况 △＞0 两个 两个不相等的实数根 △＝0 一个 两个相等的实数根 △＜0 没有交点 没有实数根 1．已知关于x的二次函数． (1)当时，求该二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)求证：对于任意实数k，二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点． 2．已知抛物线与轴交于点和点表示点与点之间的距离，解答下列问题： (1)填表： 函数 点坐标 点坐标 1 (2)若是一元二次方程的两个根，则，请根据这个结论解答问题：已知抛物线与轴交于点，且，求的值． 3．已知二次函数（是常数）． (1)求证：该二次函数的图象与轴一定有两个交点； (2)若点在该二次函数的图象上，且点在第四象限，该二次函数的图象与轴交于点，求点与点之间的距离． 类型十一、二次函数与直线交点问题 联立方程组，可能出现以下三种情况：① 当方程组有两组不同的解时两函数图像有两个交点； ② 当方程组有两组相同的解时两函数图像只有一个交点； ③ 当方程组无解时两函数图像没有交点． 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A，B两点（点A在点B的左侧）．    (1)求A，B两点的坐标． (2)将直线向上平移个单位长度后，平移后的直线与抛物线仅有1个公共点，求m的值． (3)将直线绕点B顺时针旋转90°，得到直线，C为旋转后的直线与抛物线的交点，求点C的坐标．   2．已知，如图，抛物线与x轴的交点分别为A，B（A在B的左侧），顶点为C，与y轴的交点为D．顺次连接A、B、C三点，构成等腰直角三角形． (1)求m的值； (2)如图，连接、，判断的形状，并求出其面积； (3)将抛物线在x轴下方部分图象向上翻折，在x轴上方部分图象保持不变，若直线与图象恰有3个交点时，求出k的值． 类型十二、二次函数与x轴截线长问题 如果抛物线与x轴交于M(x1，0)，N(x2，0)，则MN= . 1．已知二次函数． (1)若抛物线与y轴交于，求m的值及抛物线在x轴上截得的线段长； (2)对于任意实数m，请判断该二次函数图像与x轴有没有交点，并说明理由． 2．如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作与x轴平行的直线，交抛物线相交于点B、C（点B在点C的左面），若，求m的值． 3．先将二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移8个单位，所得图象与x轴相交于点A和点B． (1)求线段的长； (2)设直线与的图象交于Q点，当的面积为18时，试确定Q点的坐标． 类型十三、与二次函数有关的新定义问题 1．定义：我们把经过原点，且顶点落在第一象限内同一条正比例函数上的一组抛物线，称为关于这个正比例成“串顶抛物线”．例如的顶点、的顶点、的顶点都在正比例函数上，我们把、、称为关于正比例成“串顶抛物线”． (1)直接写出两支关于正比例函数成“串顶抛物线”的函数解析式及顶点坐标； (2)若关于直线成“串顶抛物线”，观察以上函数的一次项系数b和正比例函数系数k，试猜想b和k之间的数量关系，并对自己的猜想进行证明． (3)若和关于某条正比例函数成“串顶抛物线”，当经过时，求a的值 2．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．已知二次函数（为常数）． (1)若该函数经过点，求该函数图象上的“三倍点”坐标； (2)在（1）的条件下，当时，求该函数的最小值（用含的代数式表示）； (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，求的取值范围． 3．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界是2． (1)函数①和②中是有上界函数的为______（只填序号即可），其上确界为______； (2)若反比例函数的上确界是，且该函数的最小值为2，求a、b的值． 4．定义：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”． (1)若点是“完美点”，求a的值． (2)已知某“完美函数”的顶点在直线上，且与y轴的交点到原点的距离为4，求该“完美函数”的解析式． 5．定义：在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 （1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为 ． 【深入探究】 （2）经过点和的抛物线与y轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标． 【拓展运用】 （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点．，求点的坐标． 类型十四、与二次函数有关的阅读理解问题 1．下面是九（1）班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． “黄金n点”的研究总结【一般概念】 若抛物线C上存在一点P，P的纵坐标与横坐标之差为n，则称点P为抛物线C上的“黄金n点” 例如：点就叫做抛物线的“黄金1点” 【求抛物线C上的“黄金n点”的方法】 例如：求抛物线上的“黄金8点”的点P．设点P的坐标为 ∵，∴，∴，整理得， 解得， ∴点P的坐标为▲或． 任务：(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：____________； (2)按照材料中的方法，求抛物线上的“黄金1点”的点； (3)若抛物线上存在“黄金5点”的点，直接写出的取值范围． 2．阅读材料：设二次函数的图象的顶点坐标分别为，，若，，且开口方向相反，则称是的“致真二次函数”． (1)请写出二次函数的一个“致真二次函数”； (2)已知关于的二次函数和二次函数，若函数恰是的“致真二次函数”，求的值． 3．请阅读下面材料： 若，是抛物线（a ≠ 0）上不同的两点，证明直线为此抛物线的对称轴. 有一种方法证明如下： 证明：∵，是抛物线（a ≠ 0）上不同的两点， ∴且≠. ①-②得. ∴. ∴. 又∵ 抛物线（a ≠ 0）的对称轴为， ∴ 直线为此抛物线的对称轴. （1）反之，如果，是抛物线（a ≠ 0）上不同的两点，直线为该抛物线的对称轴，那么自变量取，时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程； （2）利用以上结论解答下面问题： 已知二次函数当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等，求x = 2012时的函数值. 4．阅读下面材料： 小明在解方程时，发现括号内的代数式是完全相同的，于是采用了如下方法：令①，则原方程为，解得，，分别代入①后算出了x的值． 解决以下问题： (1)直接写出方程的根为______； (2)利用材料中的方法求抛物线与x轴的交点坐标； (3)直接写出方程有______个实根． 1．二次函数（，，是常数，）的图象如图所示，对称轴为直线，则下列判断中，错误的是（   ） A． B．若点，在该抛物线上，且在轴的下方，则 C．一定有两个不相等的实数根 D．（为实数） 2．已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，将二次函数的图象向右平移个单位，图象经过点，在平移后的图象上，当时，函数的最小值为，则n的值是（   ） A．或 B．或 C．1 D． 3．已知抛物线（m为常数）与x轴的一个交点在3和4之间（不包含3和4），则下列结论错误的是（   ） A．关于x的方程（m为常数）有两个不相等的实数根 B． C．若点，，在该函数图象上，则 D．将该抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为 4．如图，抛物线交x轴于A，B两点（点A 在x轴的负半轴上），交y轴的负半轴于点C．下列选项中，不正确的是（   ） A．无论a，c取何值，抛物线一定经过一个确定的点 B．无论a，c取何值，对称轴不一定在 y轴的左侧 C．当时， D．当时， 5．抛物线经过点． （1）若，则该抛物线的对称轴是直线 ． （2）若对于，都有，则的取值范围是 ． 6．在平面直角坐标系xOy中，存在抛物线，点，在抛物线上，抛物线的对称轴为直线． （1）若，则 ； （2）若，当时，都有，t的取值范围是 ． 7．把函数的图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，x轴上方部分的图象不变，得到函数的图象． （1）函数的顶点为 ． （2）若函数与函数有3个交点，则b的值为 ． 8．抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4． (1)求的值； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线上一点． （i）若仅存在一个正数，使得，求的最大值； （ii）若，且当时，总有，求的取值范围． 9．在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A，B(点A在点B 左边)，与y轴交于点C． (1)求点A，B的坐标； (2)若线段的端点为，，当抛物线与线段有交点时，求a 的取值范围； (3)若，当时，y的最大值与最小值的差为4，求t的值． 10．已知点，是抛物线上任意两点． (1)若抛物线经过点，求此时该抛物线的顶点坐标； (2)设该抛物线的对称轴为直线． ①若对于，，都有，求的取值范围； ②若对于，，存在，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次函数的图像与性质 目录 1 类型一、待定系数法求二次函数解析式 1 类型二、画二次函数图像 3 类型三、的图像与性质 9 类型四、二次函数图像与各项系数之间的关系 13 类型五、函数图像的综合判断 19 类型六、二次函数的最值问题-定轴定区间 23 类型七、二次函数的最值问题-动轴定区间/定轴动区间 27 类型八、二次函数平移问题 30 类型九、根据二次函数的对称性求解 34 类型十、二次函数与坐标轴交点问题 37 类型十一、二次函数与直线交点问题 37 类型十二、二次函数与x轴截线长问题 47 类型十三、与二次函数有关的新定义问题 49 类型十四、与二次函数有关的阅读理解问题 57 62 类型一、待定系数法求二次函数解析式 根据已知条件确定二次函数的解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点选择适当的形式，这样才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况: 1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式，然后列出关于a，b，c的三元一次方程组求解； 2）已知抛物线的顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式，然后将另一点的坐标代入，解关于a的一元一次方程； 3）当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式，将第三点的坐标或其它已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化成一般式； 4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式或交点式. 1．已知二次函数的图象过点，且顶点坐标为．求此二次函数的表达式； 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．根据顶点坐标设出抛物线的顶点形式，将代入计算即可确定出抛物线解析式． 【详解】解：∵顶点坐标为，设二次函数解析式为， 把点代入得， 解得：， ∴这个二次函数解析式为． 2．如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，且，，求抛物线的解析式及顶点D的坐标． 【答案】， 【分析】根据题意，得，，，设抛物线的解析式为,则把代入解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，求顶点坐标，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴，， 设抛物线的解析式为,则把代入得： ， 解得：, ∴-8, ∴． 3．二次函数的自变量x与函数值y的对应值如表，根据下表回答问题．求出该二次函数的表达式． x … 0 … y … 0 4 … 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．利用待定系数法解答，即可求解． 【详解】解：将和代入得： ， 解得：， ∴ 该二次函数的表达式为：． 类型二、画二次函数图像 画二次函数图像的三个步骤：列表、描点、连线. 【注意】 1）列表时，要注意自变量的取值范围，要取一些具有代表性的点，不要使得自变量所对的函数值过大或过小，以便于描点和全面反映图像情况. 2）由于抛物线是轴对称图形，所以作图选点时，自变量向对称轴两侧对称取值. 3)一般至少要描出五个点（顶点及对称轴两侧相对应的两组坐标点）方可画出草图，连线时要用平滑的曲线顺次连接所描出的各点，即可得到二次函数的图像. 1．已知二次函数的图象经过点，． (1)求的值； (2)在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、画二次函数的图象，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． （1）将和代入得，解方程组即可得到答案； （2）先列表，再描点、连线即可得到答案． 【详解】（1）解：将和代入得， 解得  ； （2）解：列表得： x 0 1 2 3 4 y 3 0 0 3 画出函数图象，如图所示，   ． 2．二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 0 5 … (1)求这个二次函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当x取什么值时，y随x的增大而减小？ 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据表格数据，设二次函数的表达式为，把点代入即可求出二次函数表达式； （2）描点、连线，画出函数图象； （3）根据图象即可求解． 【详解】（1）由题意，设二次函数的表达式为， ∵二次函数经过点， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为，即． （2）描点、连线，画出图形如图所示． （3）观察函数图象可知：当时，y随x的增大而减小． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，画二次函数的图象以及二次函数的性质．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 3．已知函数    (1)用描点法画出此函数的图象； (2)根据图象，直接写出当x为何值时，y随着x的增大而减小? (3)当时，对应的自变量x的值有2个，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)或 【分析】（1）根据函数关系式描点连线即可； （2）结合图象即可得出x的取值范围； （3）结合图象即可得出k的取值范围． 【详解】（1）函数经过的点有，，，， 函数图象如下： （2）函数的对称轴为， 由图象可得，当或时，y随着x的增大而减小， （3）当时，对应的自变量x的值有2个，此时或． 【点睛】本题考查二次函数的图象以及一次函数，利用数形结合的思想解是解题的关键． 4．已知二次函数和一次函数． (1)在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (2)若这两个函数的图象的交点为，（点在点左侧）． 结合图象，直接写出点和点的坐标； 求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)点，点；． 【分析】（）根据画函数图象的方法和步骤即可求解； （）根据函数图象即可求解； 先求出一次函数与轴交点坐标，根据即可求解； 本题考查了求一次函数图象与坐标轴的交点，画一次函数和二次函数的图象，求与坐标轴围成的三角形的面积，正确掌握一次函数和二次函数的知识是解题的关键． 【详解】（1）列表： 描点； 连线； ∴如图所示，即为所求； （2）根据图象可知：点，点； 如图， 当时，，即， ∴． 类型三、的图像与性质 1．在二次函数中． (1)若该函数图象的顶点在x轴上，求t的值； (2)若点在该函数图象上，令，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）根据顶点在轴上，顶点的纵坐标是0，求出即可； （2）把点代入解析式得到，由得到，根据二次函数的性质即可证得结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得或， ， 的值为； （2）证明：点在抛物线上， ， ， ， ， 有最大值， ． 2．已知抛物线． (1)求这条拋物线的对称轴； (2)若抛物线的顶点在x轴上，求其表达式； (3)设点，在抛物线上，若，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)；或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把解析式化成顶点式，根据顶点式求得对称轴； （2）根据顶点式可得顶点坐标，根据顶点在x轴上得到关于a的方程，解方程求得a的值，即可得出结论； （3）根据二次函数的性质，分两种情况即可求出m的范围． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线． （2）解：∵， ∴抛物线顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在x轴上， ∴， ∴或， ①当时，； ②当时，． （3）解：Q关于对称轴的对称点为， ①当时，∵，∴； ②当时，∵，∴或． 3．已知抛物线的对称轴为直线． (1)求的值； (2)将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，求得到的新抛物线是否经过点． 【答案】(1) (2)经过点 【分析】本题考查二次函数的图象和性质及二次函数图象的平移： （1）抛物线的对称轴为直线，由此可解； （2）先根据抛物线的平移方式确定新抛物线的解析式，进而判断是否经过点． 【详解】（1）解：对称轴为直线， 解得， 的值为； （2）解：由（1）可知，， 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位， 可得， 将代入， 解得， 得到的新抛物线经过点． 4．已知二次函数，，，都在二次函数的图象上． (1)若，求n、p、q的值； (2)若，求n的取值范围． 【答案】(1)，， (2)或． 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由A、C纵坐标相同可得，对称轴是直线，再结合，得出，再把和分别代入进行计算，即可作答． （2）依题意，抛物线的图象开口向下，则抛物线上的点离对称轴越远就越小，反之越大，又因为，则，化简即可作答． 【详解】（1）解：由题意，由A、C纵坐标相同可得，对称轴是直线． ∵， ∴对称轴是直线， ∴， ∴， 则把代入可得，， 则把代入可得，， （2）解：由题意，抛物线的图象开口向下， 抛物线上的点离对称轴越远就越小，反之越大． 则对称轴是直线， ，且当时，， ． ， 或． 类型四、二次函数图像与各项系数之间的关系 1．如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，拋物线与轴的一个交点在和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，图象开口方向判断出，由对称轴得出，抛物线与轴的交点判断，抛物线与轴交点的个数确定． 根据已知条件得到当时，，即，故①正确；根据抛物线的对称轴为直线，即，得到，故②正确；根据已知条件得到方程有两个相等的实数根，得到，故③正确；根据抛物线的开口向下，得到，于是得到直线与抛物线没交点，即可得到一元二次方程没实数根，故④正确． 【详解】∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵与轴的一个交点在点和之间， ∴当时，，即，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，即， 时，， 即，故②正确； ∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线与直线有唯一一个交点， 即方程有两个相等的实数根， ∴，故③正确； ∵抛物线的开口向下， ， ∴直线与抛物线没交点， ∴一元二次方程没实数根，故④正确； 综上，①②③④正确． 故选：D． 2．抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于x的方程无实数根．其中正确结论的是（   ） A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①④ 【答案】B 【分析】①由图象开口方向，对称轴位置，与轴交点位置判断，，符号．②把分别代入函数解析式，结合图象可得的结果符号为负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点值越大．④由抛物线顶点纵坐标为可得，从而进行判断无实数根． 【详解】解：①抛物线图象开口向上， ， 对称轴在直线轴左侧， ，同号，， 抛物线与轴交点在轴下方， ， ，故①正确． ②， 当时，由图象可得当时，，即， 当时，，由图象可得时，，即， ，即，故②正确． ③，， ∵， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ，故③错误． ④抛物线的顶点坐标为， ， ， 无实数根．故④正确， 综上所述，①②④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数中，，与函数图象的关系． 3．已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点坐标为，与y轴的交点在x轴的上方，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质；由顶点坐标可得，，即可判断，进而得到，，由抛物线与y轴的交点在x轴的上方可得，即可判断，进而可得，，即可判断． 【详解】解：顶点坐标为， ，， ，， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ， ，即， ， 综上所述，结论错误，结论正确， 故选：． 4．如图，若二次函数图象的对称轴为，与轴交于点，与轴交于点，，则：①二次函数的最大值为；②；③；④当时，．其中错误的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象与x轴的交点等知识点，分别利用二次函数图象的开口方向以及图象与x轴的交点以及对称轴，函数最值，进而得出答案． 【详解】解：①∵二次函数图象的对称轴为，且抛物线的开口向下， ∴当时，y的最大值为，故①正确，不符合题意； ②∵与轴交于点，，对称轴为， ∴，当时，，故②正确，不符合题意； ③由图象可知：抛物线与x轴有两个交点， 即，故③错误，符合题意； ④∵关于对称点为， ∴当时，，故④正确，不符合题意； ∴错误的是③，只有1个； 故选：A． 5．已知二次函数的图象如图所示，下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数）．其中正确的结论有 ．（填写序号） 【答案】②④⑤ 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图象可知：a＜0，c＞0， ∵＞0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①错误； ②由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a＋2b＋c＞0，故②正确； ③当x＝−1时，y＝a−b＋c＜0；当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0， ∴（a−b＋c）（a＋b＋c）＜0，即（a＋c）2−b2＜0， ∴（a＋c）2＜b2，故③错误； ④当x＝3时函数值小于0，y＝9a＋3b＋c＜0，且x＝＝1， 即a＝，代入得9×（）＋3b＋c＜0，得2c＜3b，故④正确； ⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a＋b＋c， 而当x＝m时，y＝am2＋bm＋c， 所以a＋b＋c＞am2＋bm＋c， 故a＋b＞am2＋bm，即a＋b＞m（am＋b），故⑤正确； 综上：正确的有②④⑤， 故答案为：②④⑤． 【点睛】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2＋bx＋c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定． 类型五、函数图像的综合判断 1．函数，（是常数，，在同一平面直角坐标系的图象可能是 ． ①②③ ④⑤⑥ 【答案】①③④⑤ 【分析】本题考查二次函数图像与系数之间的关系，一次函数图象与系数之间的关系，能够熟练数形结合思想是解决本题的关键． 【详解】解：由函数解析式可知一次函数图象必过，二次函数图象必过，所有图象均满足此要求，故不再单独判断， ①中由一次函数图象可得系数，且交纵轴于正半轴点，二次函数图象开口向上，故，a的取值范围相同，且二次函数图象满足二次函数对称轴同左异右的特点，且函数图象与坐标轴只有一个交点，故①正确； ②中由一次函数图象可得系数，且交纵轴于负半轴，二次函数图象开口向下，故，a的取值范围相同，但二次函数图象不满足二次函数对称轴同左异右的特点，故②错误； ③中由一次函数图象可得系数，且交纵轴于正半轴，但交点纵坐标小于1，二次函数图象开口向上，故，a的取值范围相同，且二次函数图象满足二次函数对称轴同左异右的特点，且函数图象与坐标轴有两个交点，故③正确； ④中由一次函数图象可得系数，且交纵轴于负半轴，二次函数图象开口向下，故，a的取值范围相同，且二次函数图象满足二次函数对称轴同左异右的特点，且函数与坐标轴有两个交点，故④正确； ⑤中由一次函数图象可得系数，图象交纵轴于正半轴，且交点纵坐标大于1，二次函数图象开口向上，故，a的取值范围相同，且二次函数图象满足二次函数对称轴同左异右的特点，且函数与坐标轴没有交点，故⑤正确； ⑥中由一次函数图象可得系数，图象交纵轴于正半轴，且交点纵坐标小于1，二次函数图象开口向上，故，a的取值范围相同，且二次函数图象满足二次函数对称轴同左异右的特点，但，但⑥中函数图象与坐标轴没有交点，故⑥错误； 故答案为：①③④⑤． 2．一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象：二次函数的图象为抛物线，可能利用列表、描点、连线画二次函数的图象．也考查了二次函数图象与系数的关系．对于每个选项，先根据二次函数的图象确定和的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在． 【详解】解：联立方程组得， 解得或， 一次函数与二次函数的交点为， A、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第一、二、三象限，且它们的一个交点在轴上，另一个交点横坐标为1，所以A选项正确，不符合题意； B、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第一、三、四象限，且它们的一个交点在轴上，另一个交点横坐标为1，所以B选项正确，不符合题意； C、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第一、二、四象限，且它们的一个交点在轴上，另一个交点横坐标为1，所以C选项正确，不符合题意； D、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第二、三、四象限，且它们的一个交点横坐标为1，但另一个交点不在轴上，所以D选项错误，符合题意． 故选：D． 3．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一次函数，反比例函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据题意可得，再根据反比例函数图象，一次函数图象的性质即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下，于轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴直线为， ∴， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：B ． 4．已知反比例函数与一次函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据一次函数、反比例函数的图象得到、的符号，从交点个数可以判断时有两个不相同的实数根，进而由判断出抛物线与坐标轴的交点位置、对称轴位置，开口方向，即可求解． 【详解】解：由反比例函数的图象可得 由一次函数图象与轴的交点在轴的正半轴上可得 反比例函数与一次函数的图象的交点有2个 有两个不相同的实数根 即有两个不相同的实数根 的图象与轴有两个交点 的图象与轴的交点为， 二次函数与轴的交点在轴的正半轴上 抛物线的对称轴 抛物线的对称轴位于轴的右侧 又 抛物线开口向上 故选：B． 类型六、二次函数的最值问题-定轴定区间 1．已知二次函数，当时，则y的范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的增减性，关键是要牢记抛物线的对称轴的公式，理解抛物线的增减性．先求出二次函数的对称轴，再分别求解，，时的函数值，即可得出结论． 【详解】解：， 该抛物线的对称轴为直线， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，的取值范围为：， 故答案为：． 2．已知二次函数（m为常数，且），当时，该二次函数有最小值2，则m的值是（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，由题意可得二次函数的对称轴为直线，再分两种情况：当时，当时，分别利用二次函数的性质求解即可，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵当时，该二次函数有最小值2， ∴当时，当时，， ∴， 解得：； 当时，对称轴为直线， 故当时，取得最小值为， ∴， 解得：； 综上所述，的值为1或， 故选：C． 3．已知二次函数 （1）若则函数的最大值为 ． （2）若当时，的最大值为5，则的值为 ． 【答案】 4 1或 【分析】本题考查二次函数的最值问题．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）由题意可知此时二次函数为，再将其变为顶点式即得出答案； （2）将该抛物线一般式改为顶点式，即得出该抛物线对称轴为直线，再分类讨论当时和当时，结合二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】解：（1）当时，该二次函数为， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为． 故答案为：； （2）∵， ∴该二次函数的对称轴为直线． 当时，抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． ∵x轴上到的距离比到的距离大， ∴当时，y有最大值， ∴， 解得：； 当时，抛物线开口向下， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴， 解得：． 综上可知a的值为或． 故答案为：1或． 4．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若当时，的最小值是，求当时，的最大值； 【答案】(1)直线 (2)11 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）根据对称轴为直线代入求解即可． （2）根据二次函数的图像和性质可得出当时，，进而求出a的值，再得出当时，取的最大值，代入计算即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线： ． （2）解：∵， ∴抛物线开口向上， ∵对称轴为直线， ∴当时，y有最小值， ∵当时，的最小值是， ∴当时，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵当比当离对称轴近， ∴当时，取的最大值， 此时． 类型七、二次函数的最值问题-动轴定区间/定轴动区间 1．已知二次函数(为常数)，当时，函数值y的最小值为，则m的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的最值．将二次函数配方成顶点式，分、和三种情况，根据y的最小值为，结合二次函数的性质求解可得． 【详解】解：， 故该抛物线的对称轴为直线，且开口向上， ①若，当时，， 解得：； ②若，当时，， 解得(舍)； ③若，当时，， 解得：或(舍)， ∴m的值为或， 故选：D． 2．若二次函数在时的最大值为3，那么的值是 ． 【答案】或 【分析】求出二次函数的对称轴是，由于对称轴是变化的，我们分：①时；②当上时；③当时，三种情况结合增减性讨论即可． 【详解】解：二次函数的对称轴是， ，二次函数开口向下， ①当对称轴，即，即， ∴当时，图象位于对称轴右侧，随的增大而减小， 即当时，二次函数有最大值为， 解得； ②当时，即， ∴当时，二次函数有最大值为， 解得或， 由于，故； ③当时，，即， 当时，图象位于对称轴左侧，随的增大而增大， 即当时，二次函数有最大值为， 解得； ∵，故此种情况无解； 综上①②③所述，得，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查根据二次函数最值求参数值，属于典型题型“动轴定范围最值问题”，根据自变量范围分三种情况讨论是解决问题的关键． 3．已知二次函数，当时，二次函数的最大值为6，则的值为 ． 【答案】的值为8或 【分析】本题考查了二次函数的最值，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标，当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．先求得抛物线的对称轴，再分情况讨论：①当时，②当时，当时，根据二次函数的性质，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ①当时，即时， ，在对称轴右侧，随的增大而减小， 当时，有最大值为6， ， 解得：； ②当时，即时， 当时，有最大值为6， ， 解得：， ， （不合题意，舍去）， ③当时，即时， ，在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，有最大值为6， ， 解得：， 综上所述，的值为8或． 4．当，函数的最小值为2，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数图象上的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数解析式得到二次函数开口向上，在时取得最小值，再结合二次函数最值情况进行求解，即可解题． 【详解】解：， ， 二次函数开口向上，在时取得最小值， 当，函数的最小值为2， 当时，，解得或（不合题意，舍去）， 当时，，解得或（不合题意，舍去）， 综上所述，m的值为或． 类型八、二次函数平移问题 1．若将抛物线的对称轴向右平移一个单位，则与抛物线（为常数）的对称轴重合 (1)求的值； (2)当时，若点在抛物线上，点在抛物线上，求的范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由抛物线，得抛物线的对称轴向右平移一个单位得对称轴为，从而得，求解即可； （2）由点在抛物线上，得，由点在抛物线上，，得，从而根据二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴， ∴抛物线的对称轴向右平移一个单位得对称轴为， ∵抛物线的对称轴向右平移一个单位，则与抛物线（为常数）的对称轴重合， ∴， 解得； （2）解：∵点在抛物线上， ∴， ∵点在抛物线上，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为 当时，有最小值为． ∴的范围为． 2．定义：将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．应用：现将抛物线向右平移个单位长度，向下平移3个单位长度，得到新的抛物线，若为“平衡点”，求抛物线的表达式． 【答案】抛物线的表达式为 【分析】本题考查二次函数图象的平移和二次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握平移性质是解决问题的关键． 根据平移方式可得出抛物线的解析式．再根据点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，即将点代入两个解析式求值即可． 【详解】解：为“平衡点”在平移前的抛物线上， ． 将抛物线向右平移个单位长度，向下平移3个单位长度，得到新的抛物线，则的表达式为． 又“平衡点”在平移后的抛物线上， ．解得，（舍）． 即抛物线的表达式为． 3．如图，点在轴的正半轴上，且，点在轴的正半轴上，且，直线与抛物线在第一象限内相交于点，连接，已知． (1)求的值； (2)若将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，恰好经过点，试确定的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数，一次函数解析式，二次函数与几何图形的综合，二次函数图象的平移， （1）根据的值确定，运用待定系数法可求出直线的解析式，根据题意，设，再根据，可求出，点，再运用待定系数法即可求解； （2）根据二次函数图象平移规律“左加右减（横轴），上加下减（纵轴）”确定二次函数解析式，再把点代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵二次函数与直线在第一象限交于点， ∴设，则点到轴的距离为， ∵，即， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 解得，； （2）解：由（1）可得二次函数的解析式为， ∴经过平移后的解析式为， ∵平移后的图象经过点， ∴， 解得，． 类型九、根据二次函数的对称性求解 解题方法：抛物线是以直线x=为对称轴的轴对称图形，它的顶点在对称轴上.由此可以进一步得到如下结论: 1)抛物线上纵坐标相同的两点是对称点，抛物线上对称的两点纵坐标相同，且这两点到对称轴的距离相等，即两点的横坐标与x=的差的绝对值相等； 2)若抛物线上有两点，则抛物线的对称轴方程为x= 3）若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称. 【提示】解决有关抛物线的问题时，若能利用抛物线的对称性，常可以另辟解题思路，使解题过程简化. 1．二次函数的图象经过点，，点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数的图象经过A，C两点．    (1)求二次函数图象的对称轴与一次函数的表达式； (2)根据图象，写出满足不等式的x的取值范围． 【答案】(1)直线， (2)或 【分析】（1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，进而求出对称轴，再求出点C坐标，最后将A，C两点代入，即可求出一次函数的解析式； （2）二次函数图象在一次函数图象上方部分对应的x的范围即为所求． 【详解】（1）解：将，代入，得： ， 解得， 二次函数解析式为， 二次函数图象的对称轴为直线； 点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，， 点C的坐标为，即， 将，代入，得： ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：由图可知，当x在点A左侧或在点C右侧时，二次函数图象在一次函数图象的上方， ，， 当或时，， 即x的取值范围为或． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，解题的关键是能够利用待定系数法求函数解析式，熟练运用数形结合思想． 2．如图，二次函数的图象与轴相交于点A、B，与轴相交于点．过点作轴，交该图象于点．若、．    (1)求该抛物线的对称轴； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)的面积 【分析】（1）先求解C的坐标，再结合D的坐标求解对称轴方程即可； （2）利用抛物线的对称性求解，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵轴， ∴，两点关于抛物线对称轴对称， ∴， ∴此抛物线的对称轴为直线：，即 （2）解：连接， ∵，关于对称轴对称，， 抛物线的对称轴为直线：， ∴， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查的是抛物线的性质，由对称的两点求解抛物线的对称轴，再根据对称轴求解抛物线上点的坐标，理解对称轴的含义是解本题的关键． 3．在平面直角坐标系中，已知和是抛物线上任意两点． (1)若时，满足，则抛物线的对称轴为直线______； (2)若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数的性质等等： （1）根据题意可得点M和点N关于抛物线对称轴对称，据此根据对称性求出对称轴即可； （2）先求出对称轴为直线，进而得到当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，设抛物线上的点关于直线的对称点为再分当时，当时，当时，三种情况结合利用增减性求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，满足， ∴点M和点N关于抛物线对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线， 故答案为：． （2）解：∵抛物线的对称轴为直线，， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． ①当时，设抛物线上的点关于直线的对称点为 ，对于，都有， ， ； ②当时，若对于，都有， ， ； ③当时，， 当．不符合题意，舍去， 综上所述：或． 类型十、二次函数与坐标轴交点问题 一元二次方程的解是二次函数的图像与x轴交点的横坐标. 抛物线与x轴的交点个数 方程根的情况 △＞0 两个 两个不相等的实数根 △＝0 一个 两个相等的实数根 △＜0 没有交点 没有实数根 1．已知关于x的二次函数． (1)当时，求该二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)求证：对于任意实数k，二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点为 (2)见解析 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系： （1）将代入函数解析式，然后配方成顶点式进行求解即可； （2）根据根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：当时，，   对称轴为直线，顶点为， （2）证明：， 故对于任意实数k，二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点． 2．已知抛物线与轴交于点和点表示点与点之间的距离，解答下列问题： (1)填表： 函数 点坐标 点坐标 1 (2)若是一元二次方程的两个根，则，请根据这个结论解答问题：已知抛物线与轴交于点，且，求的值． 【答案】(1)第2行：；第3行：；第4行：（；第6行： (2)或 【分析】此题考查了二次函数图象与的交点问题、解无理方程、一元二次方程根与系数关系、解一元二次方程等知识． （1）把代入二次函数解析式，求出交点坐标，再求出即可； （2）根据题意得到，由，得到，解方程并检验即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，，解得，， ∴点坐标为， ， 当时，，解得，， ∴点坐标为， ， 当时，，解得，， ∴点坐标为， ， 与轴交于点和点 ， 故答案为：第2行：；第3行：；第4行：；第6行： （2）当时，的两根为，， 则， ∵， ∴ 整理得， 解得， 经检验是方程的根且符合题意， 即或. 3．已知二次函数（是常数）． (1)求证：该二次函数的图象与轴一定有两个交点； (2)若点在该二次函数的图象上，且点在第四象限，该二次函数的图象与轴交于点，求点与点之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了二次函数和一元二次方程的关系、二次函数的图象和性质等知识． （1）根据一元二次方程的根和二次函数图象和x轴交点个数的关系进行解答即可； （2）求出点坐标为和点坐标为根据两点间距离公式进行解答即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴无论为何值， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 二次函数（是常数）的图象与轴有两个交点； （2）点在二次函数的图象上， ，整理得， 解得或 ∵点在第四象限， ， 点坐标为，二次函数表达式为， 当时， ∴点坐标为 ∴点与点之间的距离为． 类型十一、二次函数与直线交点问题 联立方程组，可能出现以下三种情况：① 当方程组有两组不同的解时两函数图像有两个交点； ② 当方程组有两组相同的解时两函数图像只有一个交点； ③ 当方程组无解时两函数图像没有交点． 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A，B两点（点A在点B的左侧）．    (1)求A，B两点的坐标． (2)将直线向上平移个单位长度后，平移后的直线与抛物线仅有1个公共点，求m的值． (3)将直线绕点B顺时针旋转90°，得到直线，C为旋转后的直线与抛物线的交点，求点C的坐标． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，函数图象的平移变换，直线的旋转以及一元二次方程根的判别式等知识点，解题的关键是熟练掌握函数交点坐标的求解方法，灵活运用平移和旋转的性质，结合一元二次方程的相关知识进行计算． （1）联立直线与抛物线的方程，得到一个一元二次方程．通过求解该方程的根，再将根代入直线方程，从而得到A，B两点的坐标．这是利用函数交点坐标满足两个函数方程的性质来求解． （2）先写出直线向上平移个单位长度后的直线方程，因为平移后的直线与抛物线仅有1个公共点，所以联立它们的方程得到的一元二次方程的根的判别式为0．通过求解这个关于的方程，得出的值． （2）先求出直线与坐标轴的交点D，E的坐标，进而得到一些线段长度和角度关系．利用直线是由直线绕点顺时针旋转得到的这—条件，求出直线与坐标轴的交点F，G的坐标，从而确定直线的解析式，最后联立直线与抛物线的方程，求解得到点的坐标． 【详解】（1）联立， 得， 整理，得，解得，． ∵当时，， 当时，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． （2）直线向上平移个单位长度后为直线， 当直线与抛物线仅有1个公共点时， 即关于x的方程的根的判别式为0． 将方程化为一般式得， 即， 解得． （3）如图，设直线：与x轴、y轴分别交于点D，E，直线与x轴、y轴分别交于点F，G． 易求得点D，E的坐标分别为，    ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 设点G的坐标为，，则点F的坐标为， 设直线的解析式为，将，代入 得， 解得或（舍去）， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理，得， 解得，． 当时，， ∴点C的坐标为． 2．已知，如图，抛物线与x轴的交点分别为A，B（A在B的左侧），顶点为C，与y轴的交点为D．顺次连接A、B、C三点，构成等腰直角三角形． (1)求m的值； (2)如图，连接、，判断的形状，并求出其面积； (3)将抛物线在x轴下方部分图象向上翻折，在x轴上方部分图象保持不变，若直线与图象恰有3个交点时，求出k的值． 【答案】(1) (2)为直角三角形， (3)或 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的综合，函数图象翻折变换等知识； （1）先求出顶点坐标和点A、B坐标（用m表示），再根据等腰直角三角形性质列方程即可； （2）由（1）可得抛物线解析式为，求出，，三点坐标，再由两点距离公式和勾股定理判定为直角三角形即可求解； （3）由题意作出函数图象，分当直线与新图形抛物线相切时和直线经过点B时两种情况分别求出的b值即可； 【详解】（1）解:∵抛物线对称轴为直线，顶点为点C， ∴顶点 ∵为等腰直角三角形．过点C作， ∴， ∴ 当时， 解得：；， ∴； ∴，解得：； （2）由（1）得：抛物线 ∴当时，，解得：， ∵已知抛物线与x轴的交点分别为A，B（A在B的左侧） ∴， ∵时，， ∴ ∵，， ∴ ∴为直角三角形；， ∴ （3）∵抛物线在x轴下方部分图象向上翻折， ∴得到新函数关系式为 ∵直线与新的函数图象恰有3个交点 分类讨论： ①当直线与抛物线相切时，故联立得 整理得： ∵直线与抛物线相切 ∴方程有两个相等实数根 即： 解得：，（舍）， ②当当直线经过点时，，解得，故联立得 整理得：，解得，．满足题意． 综上所述：或． 类型十二、二次函数与x轴截线长问题 如果抛物线与x轴交于M(x1，0)，N(x2，0)，则MN= . 1．已知二次函数． (1)若抛物线与y轴交于，求m的值及抛物线在x轴上截得的线段长； (2)对于任意实数m，请判断该二次函数图像与x轴有没有交点，并说明理由． 【答案】(1)，在x轴上截得的线段长是 (2)有交点，见解析 【分析】（1）将点代入解析式求出m的值并得到抛物线的解析式，再求出抛物线与x轴交点即可得到抛物线在x轴上截得的线段长； （2）求出判别式即可判断． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于， ∴， ∴ ∴抛物线为， 当时，， 解得或， ∴抛物线在x轴上截得的线段长为； （2）， ∵， ∴ ∴该二次函数图像与x轴有交点． 【点睛】此题考查了二次函数与坐标轴的交点，判断二次函数与x轴交点个数，正确掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 2．如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作与x轴平行的直线，交抛物线相交于点B、C（点B在点C的左面），若，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系；根据解析式求得点，令，设，，进而根据根与系数的关系得出，，根据，即可求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴，， ∴ 设，， 则， ∴， ∴ 3．先将二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移8个单位，所得图象与x轴相交于点A和点B． (1)求线段的长； (2)设直线与的图象交于Q点，当的面积为18时，试确定Q点的坐标． 【答案】(1)4 (2)或 【分析】（1）根据二次函数平移的规律“上加下减，左加右减”可得出的解析式为，从而可求出与x轴交点的横坐标，即得出线段的长； （2）由题意可求出Q点纵坐标为m，再根据三角形面积公式可求出，结合二次函数的最值，可求出，即Q点纵坐标为，代入的解析式，求出其横坐标即可． 【详解】（1）由题意可得的解析式为， 对于：，令，则， 解得：， ∴； （2）∵直线与的图象交于Q点， ∴． ∵，， ∴， 解得：． ∵的解析式为， ∴， ∴． 将，代入，即 解得：， ∴Q点坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数图象的平移，二次函数与几何的综合．掌握二次函数图象的平移规律和二次函数的性质是解题关键． 类型十三、与二次函数有关的新定义问题 1．定义：我们把经过原点，且顶点落在第一象限内同一条正比例函数上的一组抛物线，称为关于这个正比例成“串顶抛物线”．例如的顶点、的顶点、的顶点都在正比例函数上，我们把、、称为关于正比例成“串顶抛物线”． (1)直接写出两支关于正比例函数成“串顶抛物线”的函数解析式及顶点坐标； (2)若关于直线成“串顶抛物线”，观察以上函数的一次项系数b和正比例函数系数k，试猜想b和k之间的数量关系，并对自己的猜想进行证明． (3)若和关于某条正比例函数成“串顶抛物线”，当经过时，求a的值 【答案】(1)，顶点为；，顶点为（答案不唯一） (2)，证明见详解 (3) 【分析】本题主要考查二次函数和正比例函数的综合，涉及二次函数的性质和正比例函数的性质， 根据题意可知所求函数的顶点，利用顶点式求的函数即可； 将二次函数的一般式化为顶点式，并将顶点代入正比例函数求得对应关系式即可； 首先求得顶点坐标和正比例函数解析式，利用（2）中的结论即可知b的值，再结合待定系数法即可求得a． 【详解】（1）解：根据题意知，所写函数的顶点必须在第一象限，且在直线上，则 ，顶点为；，顶点为； （2）解：猜想，证明如下： ，顶点坐标为， ∵顶点在直线上， ∴，化简得， （3）解：，则其顶点为， ∵的顶点在正比例函数上，设， ∴，解得， ∴， 由（2）知，中的，则， ∵经过， ∴，解得． 2．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．已知二次函数（为常数）． (1)若该函数经过点，求该函数图象上的“三倍点”坐标； (2)在（1）的条件下，当时，求该函数的最小值（用含的代数式表示）； (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，求的取值范围． 【答案】(1)“三倍点”坐标为； (2)当时，；当时，； (3)的取值范围为． 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，理解“三倍点”是的定义是解题的关键． （1）把代入即可求得抛物线解析式，设该函数图象上的“三倍点”坐标为，把代入抛物线解析式，即可确定“三倍点”坐标； （2）由（1）可知，分为①当即时，②当即时，分别求解即可． （3）由题意得，三倍点所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，转化为在的范围内，二次函数和至少有一个交点，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， 抛物线的解析式为． 设该函数图象上的“三倍点”坐标为， 把代入，得， 整理，得，解得， “三倍点”坐标为． （2）解：由（1）可知，则抛物线的对称轴为直线． 当，即时，此时左侧端点离对称轴越远，则； 当，即时，此时右侧端点离对称轴越远，则． 综上，当时，；当时，． （3）由题意，得“三倍点”所在的直线为． 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在的范围内，二次函数和的图象至少有一个交点， 令，整理得， 则，解得； 把代入，得，代入，得， 则，解得； 把代入，得，代入，得， 则，解得． 综上，的取值范围为． 3．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界是2． (1)函数①和②中是有上界函数的为______（只填序号即可），其上确界为______； (2)若反比例函数的上确界是，且该函数的最小值为2，求a、b的值． 【答案】(1)②，7； (2) 【分析】本题考查新定义下的函数探究，一次函数、二次函数的性质，反比例函数的性质； （1）分别求出两个函数的函数值范围即可得解； （2）先求出函数值的范围，再由已知得到关于a，b的等式，即可得到解答． 【详解】（1）解：∵， ∴有上界函数为②，其上确界为7， 故答案为②，7； （2）解：由已知可得， ∴， ∴ ∴ 4．定义：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”． (1)若点是“完美点”，求a的值． (2)已知某“完美函数”的顶点在直线上，且与y轴的交点到原点的距离为4，求该“完美函数”的解析式． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，正确理解“完美函数”的定义是解题关键． （1）根据“完美点”的定义解答即可； （2）先根据顶点的位置设点的坐标，再根据“完美点”的定义求出顶点，可设顶点式，再令得出关于a的方程，求出解即可． 【详解】（1）解：∵点是“完美点”， ∴，即， 解得 ； （2）∵某“完美函数”的顶点在直线上， ∴设函数的顶点为． ∵该函数为“完美函数”， ∴， 解得， ∴， ∴该函数的顶点为． 设二次函数的解析式为， 令，则． ∵该函数图象与y轴的交点到原点的距离为4， ∴， 解得或， ∴或， ∴该“完美函数”的解析式为或． 5．定义：在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 （1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为 ． 【深入探究】 （2）经过点和的抛物线与y轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标． 【拓展运用】 （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点．，求点的坐标． 【答案】（1）和；（2）；（3）或； 【分析】本题主要考查了抛物线的图象性质，抛物线与坐标轴的交点坐标和直线与抛物线的交点问题．熟练掌握抛物线与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）由抛物线与y轴的交点可知其极限分割线，求得抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性可得极限分割线与这条抛物线的另一个交点坐标； （2）由抛物线经过点，代入抛物线的解析式，可用m表示出n，将函数解析式中的n用m表示，再对解析式配方，则可得抛物线的对称轴，然后由抛物线的对称性可得点D的坐标； （3）①设与对称轴交于点G，若，则，由此可得关于m的绝对值方程，解得m的值，再求得相应的y值即可得出答案． 【详解】解：（1）∵抛物线的极限分割线为， ∴， ∴，， ∴极限分割线与这条抛物线的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为， 故答案为：和； （2）∵抛物线经过点， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， 又∵抛物线的极限分割线与该抛物线另一个交点为， ∴点D的纵坐标为， ∵ ， ∴， ∴，， ∴点D的坐标为； （3）①由（2）知：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点P坐标为，点， 设与对称轴交于点G，如图， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线的极限分割线与该抛物线另一个交点为， ∴ ∴ ∵直线垂直平分， ∴， ∴， 解得：或． ∴当时， ，点P的坐标为； 当时， ，点P的坐标为， ∴点P的坐标为或． 类型十四、与二次函数有关的阅读理解问题 1．下面是九（1）班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． “黄金n点”的研究总结【一般概念】 若抛物线C上存在一点P，P的纵坐标与横坐标之差为n，则称点P为抛物线C上的“黄金n点” 例如：点就叫做抛物线的“黄金1点” 【求抛物线C上的“黄金n点”的方法】 例如：求抛物线上的“黄金8点”的点P．设点P的坐标为 ∵，∴，∴，整理得， 解得， ∴点P的坐标为▲或． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：____________； (2)按照材料中的方法，求抛物线上的“黄金1点”的点； (3)若抛物线上存在“黄金5点”的点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）将代入，求得值，即可求解； （2）设点的坐标为，根据题意建立方程求解即可； （3）设点的坐标为，根据题意建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入，， “▲”处空缺的内容为； （2）解：， 设点的坐标为， ， ， ， 解得：或， 则或， 即或； （3）解：抛物线上存在“黄金5点”的点， 设点的坐标为， ， ， ∴， 即， ， 解得：． 2．阅读材料：设二次函数的图象的顶点坐标分别为，，若，，且开口方向相反，则称是的“致真二次函数”． (1)请写出二次函数的一个“致真二次函数”； (2)已知关于的二次函数和二次函数，若函数恰是的“致真二次函数”，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)． 【分析】本题考查二次函数的性质．解题关键是读懂“问真二次函数”的定义，将函数化为顶点式求解． （1）先将配方求出顶点坐标，然后根据题干中“问真二次函数”定义求解． （2）由二次函数可得顶点坐标为，二次函数的顶点坐标为，根据题干中“问真二次函数”定义求解即可． 【详解】（1）解：设二次函数的一个“问真二次函数”为，顶点坐标为， ，顶点坐标为， ，， ，， 两个函数图象开口方向相反， 的值可以是， 二次函数的一个“问真二次函数”可以是， 即（答案不唯一）； （2）解：∵图象的顶点为． 的顶点坐标为． ∵，且， ∴． 3．请阅读下面材料： 若，是抛物线（a ≠ 0）上不同的两点，证明直线为此抛物线的对称轴. 有一种方法证明如下： 证明：∵，是抛物线（a ≠ 0）上不同的两点， ∴且≠. ①-②得. ∴. ∴. 又∵ 抛物线（a ≠ 0）的对称轴为， ∴ 直线为此抛物线的对称轴. （1）反之，如果，是抛物线（a ≠ 0）上不同的两点，直线为该抛物线的对称轴，那么自变量取，时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程； （2）利用以上结论解答下面问题： 已知二次函数当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等，求x = 2012时的函数值. 【答案】（1）见解析;（2）2011 【详解】解：（1）结论：自变量取，时函数值相等． 证明：∵，为抛物线上不同的两点， 由题意得且≠．得. ∵ 直线是抛物线 （a ≠ 0）的对称轴， ∴. ∴. ∴，即 （2）∵ 二次函数当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等， ∴ 由阅读材料可知二次函数的对称轴为直线. ∴，. ∴ 二次函数的解析式为. ∵， 由（1）知，当x = 2012的函数值与时的函数值相等. ∵ 当x =时的函数值为， ∴ 当x = 2012 时的函数值为2011 4．阅读下面材料： 小明在解方程时，发现括号内的代数式是完全相同的，于是采用了如下方法：令①，则原方程为，解得，，分别代入①后算出了x的值． 解决以下问题： (1)直接写出方程的根为______； (2)利用材料中的方法求抛物线与x轴的交点坐标； (3)直接写出方程有______个实根． 【答案】(1)或 (2)， (3) 【分析】（1）根据材料方法直接求解即可； （2）根据抛物线与一元二次方程的关系，求出方程的解即为抛物线与轴的交点； （3）根据材料中的方法求解即可． 【详解】（1）解：令，则原方程为， 解得：，， 把，分别代入中得：或， 解得或； 故答案是：或． （2）解：令，则， 令，则原方程为， 解得：，， 把，分别代入得：或， 解得：或， ∴抛物线与x轴的交点坐标，； （3）解：令，则原方程为， 解方程得：，， 把，代入得：（不成立）或， 解得：， ∴方程有两个实数根， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点坐标和换元法解一元二次方程，关键是掌握换元法解一元二次方程． 1．二次函数（，，是常数，）的图象如图所示，对称轴为直线，则下列判断中，错误的是（   ） A． B．若点，在该抛物线上，且在轴的下方，则 C．一定有两个不相等的实数根 D．（为实数） 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键；根据二次函数图象来判断各项系数的正负，可判断选项A；根据可知点和都在对称轴左侧，且点A离对称轴距离远，即，故B正确；将一元二次方程的解转为二次函数与直线的交点问题，即可判断Ｃ；由抛物线开口向下，顶点坐标为，即得出，即有，即，故D错误． 【详解】解：由图象知，时，， ． 对称轴为直线， ∴， ∴， ，即，故A正确； ∵图象开口向下，与y轴交点位于x轴上方， ∴，， ∴， ∴点和都在对称轴左侧，且点A离对称轴距离远． 该抛物线上的点在对称轴的左边离对称轴距离越远，点的纵坐标越小， ，故B正确； 根据图象可知，当时，抛物线与的图象有两个交点， 有两个不相等的实数根，故C正确； 抛物线开口向下，顶点坐标为， ， ，即，故D错误． 故选：D． 2．已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，将二次函数的图象向右平移个单位，图象经过点，在平移后的图象上，当时，函数的最小值为，则n的值是（   ） A．或 B．或 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数的平移及最值问题．首先确定平移后的函数解析式，再根据二次函数的性质得到最小值的位置，进而求解n的值即可． 【详解】解：原二次函数顶点为，设解析式为， 代入点得，即， 向右平移个单位后，解析式为， 代入点得方程， 解得， ∴平移后函数为，对称轴为直线，顶点坐标为， 解方程，得或， ∵当时，函数的最小值为， ∴必须包含或，且不跨越对称轴（否则最小值在顶点处为）， ∴或， 解得或， 故选：A． 3．已知抛物线（m为常数）与x轴的一个交点在3和4之间（不包含3和4），则下列结论错误的是（   ） A．关于x的方程（m为常数）有两个不相等的实数根 B． C．若点，，在该函数图象上，则 D．将该抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点、二次函数函数图象与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，由对称性可得抛物线与x轴的另一个交点在和之间（不包含和），据此可判断A；根据题意可得时，，时，，据此建立不等式组求解即可判断B；开口向下，离对称轴越远，函数值越小，比较出三个点到对称轴的距离的大小关系即可判断C；根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可判断D． 【详解】解， 抛物线开口向下，对称轴为直线． 抛物线与x轴的一个交点在3和4之间（不包含3和4）， 抛物线与x轴的另一个交点在和之间（不包含和）， 关于x的方程有两个不相等的实数根，故选项A正确； 抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在3和4之间（不包含3和4）， 解得，故选项B确； 抛物线开口向下，对称轴为直线， 点到对称轴的距离最大，点至到对称轴的距离最小， ，故选项C正确； 将该抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，抛物线的解析式为，即，故选项D错误． 故选：D． 4．如图，抛物线交x轴于A，B两点（点A 在x轴的负半轴上），交y轴的负半轴于点C．下列选项中，不正确的是（   ） A．无论a，c取何值，抛物线一定经过一个确定的点 B．无论a，c取何值，对称轴不一定在 y轴的左侧 C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将二次函数解析式变形为即可得出该抛物线恒过点，即点，即可判断A；由抛物线的对称轴公式即可判断B；当时，，即点，再根据抛物线对称轴公式计算即可判断C；当时，此时，代入抛物线解析式计算即可判断D；熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴该抛物线恒过点，即点，故A正确，不符合题意； 根据题意可知，对称轴为， 若，则对称轴为轴；若，则对称轴在轴右侧，故B正确，不符合题意； 当时，，故抛物线与轴的交点为， ∴， 当时，，即点， 又∵该抛物线恒过点， ∴对称轴为， 根据对称轴公式得， ∴， 解得，故C正确，不符合题意； 当时，此时， 将点代入抛物线的解析式中得， 解得，故D不正确，符合题意； 故选：D． 5．抛物线经过点． （1）若，则该抛物线的对称轴是直线 ． （2）若对于，都有，则的取值范围是 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由题意可知抛物线过点，，利用抛物线的对称性即可求解； （2）先求出抛物线的对称轴是直线，再分两种情况：当时；当时；分别结合二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）当时，， 若，则抛物线过点，， 该抛物线的对称轴是直线， 故答案为：1； （2）抛物线经过点，，，， ， ， ， 抛物线的对称轴为直线， ①当时，此时抛物线开口向上， 当时，随着的增大而增大， 对于，，都有， ， ，不合题意，舍去； ②当时，抛物线开口向下，对称轴为直线， 关于对称轴的对称点为， 对于，，都有， ， 解得， 综上，当时，都有． 故答案为：． 6．在平面直角坐标系xOy中，存在抛物线，点，在抛物线上，抛物线的对称轴为直线． （1）若，则 ； （2）若，当时，都有，t的取值范围是 ． 【答案】 ； 或． 【分析】（1）把代入抛物线中，得，再根据对称轴方程化简即可得答案； （2）如图1、图2所示：当时，都有，则有或，解不等式即可得答案． 本题考查了二次函数的图象和性质，增减性，对称轴，熟练掌握以上知识点并利用数形结合的思想分析是解题的关键． 【详解】解：（1）把代入抛物线中，得， 即， 故对称轴为直线， 故答案为：； （2）如图1、图2所示： 当时，都有， 则有或， 解得或 故答案为：或 7．把函数的图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，x轴上方部分的图象不变，得到函数的图象． （1）函数的顶点为 ． （2）若函数与函数有3个交点，则b的值为 ． 【答案】 5或 【分析】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，翻折的性质，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式确定翻折后抛物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的难点． （1）把解析式化成顶点式即可求解； （2）先根据原抛物线的解析式得出翻折后得出新图象的解析式，进而画出图象，结合图形确定出直线的位置即可求出b的值． 【详解】解：（1）函数， 函数的顶点为； 故答案为：； （2）当时，，解得，， 则抛物线与x轴的交点为，， 把抛物线图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标， 如图， 当直线过点B时，直线与该新图象恰好有三个公共点， ，解得， 当直线与抛物线相切时，直线与该新图象恰好有三个公共点， 即有相等的实数解，整理得， 则， 解得， 所以b的值为5或； 故答案为：5或． 8．抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4． (1)求的值； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线上一点． （i）若仅存在一个正数，使得，求的最大值； （ii）若，且当时，总有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）分别求出抛物线与抛物线的顶点坐标，建立关于n的方程求解即可； （2）（i）由（1）得，根据题意得到，即，由仅存在一个正数，使得，则关于的一元二次方程，有两个相等的正数根，求出，，得到，即可解答；（ii）根据题意求出， ，由，得到，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴抛物线顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点纵坐标与抛物线的顶点纵坐标之和为4， ∴，即； （2）解：（i）由（1）知， ∴抛物线， ∵为抛物线上一点， ∴， ∵，即， ∴，即， ∵仅存在一个正数，使得， ∴关于的一元二次方程，有两个相等的正数根， ∴，即， 解得：， 当时，，解得：（舍去，不符合题意）； 当时，，解得：（符合题意）； ∴， ∴， ∵为抛物线上一点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值； （ii）∵，，且为抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 9．在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A，B(点A在点B 左边)，与y轴交于点C． (1)求点A，B的坐标； (2)若线段的端点为，，当抛物线与线段有交点时，求a 的取值范围； (3)若，当时，y的最大值与最小值的差为4，求t的值． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴交点问题． （1）根据题意分别求得的坐标即可； （2）将分别代入解析式，得出的值，结合函数图象，即可求解； （3）根据题意得出当时，，当时，，当时，，分，，，三种情况建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，， ∴，； （2）解：∵ 对称轴为直线， ∵线段的端点为，， 当抛物线经过时，， 解得：， 当抛物线经过时，， 解得：， ∴当抛物线与线段有交点时，则； （3）解：若，则抛物线解析式为， 顶点为，抛物线图象关于对称， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∵时，的最大值与最小值的差为， 当时，则， 解得：或（舍去）， 当时，y的最大值为，最小值为，则（舍去） 当时，y的最小值为， 则，即， 解得：（舍去）或（舍去） 综上，t的值为． 10．已知点，是抛物线上任意两点． (1)若抛物线经过点，求此时该抛物线的顶点坐标； (2)设该抛物线的对称轴为直线． ①若对于，，都有，求的取值范围； ②若对于，，存在，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①或；②且 【分析】本题考查了二次函数的图象性质、增减性，熟练掌握二次函数的对称性，增减性，待定系数法求二次函数解析式，是解决问题的关键． （1）把代入求出b，然后转为顶点式解析式，即可作答． （2）因为是拋物线，所以把，，分别代入，得出对应的，再根据联立式子化简，计算即可作答． （3）先求出，再分三类，当时，当时，当且时，即可作答． 【详解】（1）解：由题意，将点代入抛物线中，得 ， 解得， 此时该抛物线的函数表达式为， 此时该抛物线的顶点坐标为． （2）①抛物线的对称轴为直线， ，即， 抛物线的函数表达式为． ，是抛物线上任意两点，，， ，． 对于，，都有， ， 解得或，即的取值范围为或． ②由①知抛物线的函数表达式为， ，． 当时，；当时，； 当时，；当时，． ，抛物线开口向下，对称轴为直线， ． 当时，一定存在大于的值； 当时，， ， 解得， ； 当且时，， ， 解得， 且， 综上所述，的取值范围为且． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$