2.1平方根（2）平方根（题型专练）数学苏科版2024八年级上册

2.1平方根（2）平方根 题型一、求一个数的平方根 1．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）的平方根是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·四川成都·期中）的平方根是（   ）． A． B． C． D．4 3．（22-23八年级上·陕西西安·期中）16的平方根是 ． 4．（24-25八年级上·广西桂林·期末） ． 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）求下列各数的平方根： (1)； (2)； (3)； (4) ； (5)； (6)． 题型二、开平方的化简 6．（23-24·海南省直辖县级单位·阶段练习）求下列各式的值 (1) (2) (3) (4) 7．（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三、平方根的理解 8．（24-25八年级上·江西吉安·期末）下列各数中，没有平方根的是（   ） A．4 B．－4 C．0 D．2 9．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）在0，，，，中，有平方根的数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 10．（24-25八年级上·河南南阳·期中）一个数的平方根与它本身相等，这个数是（    ） A． B．0 C．1 D．4 11．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）平方根是的数是 ． 题型四、求代数式的平方根 12．（23-24八年级上·全国·单元测试）若正数 的一个平方根是 ，则它的另一个平方根是 ，这两个平方根的和是 ． 13．（2025·全国·专题练习）一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 14．（23-24·山东滨州·期末）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 15．（22-23八年级上·四川巴中·阶段练习）若，求的平方根是 ． 16．（24-25·浙江杭州·期中）已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 题型五、利用平方根解方程 17．（24-25·云南昆明·期中）已知，则x的值为（   ） A．4 B．2或 C．或4 D． 18．（24-25·四川广元·期中）若，则 ． 19．（24-25·甘肃平凉·期中）解下列方程． (1) (2) 20．（24-25·甘肃陇南·期中）求下列各式中的值． (1)； (2)． 题型六、平方根的实际应用 21．（24-25·天津和平·阶段练习）有一块面积为的长方形土地，若它的长与宽的比为，则宽在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 22．（24-25·江苏连云港·期中）如图，已知正方形中阴影面积为8，则正方形的边长为 ． 23．（24-25八年级下·山东临沂·期中）（日常生活情境：体重指数）青少年体重指数（）是评价青少年营养状况，肥胖的一种衡量方式，其公式为体重（）/［身高（）］．已知小红的体重为，她的值为20，则她的身高是 ． 24．（24-25·河南商丘·期中）如图，计划建一个面积为50米的长方形苗圃，一边靠墙，另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为． (1)求的长； (2)求出苗圃所用篱笆总长． 25．（24-25·福建福州·期中）哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 题型一、已知一个数的两个平方根求这个数 26．（江西省宜春市2024-2025学年学期期末考试数学试题）若一个正数的两个平方根是和，则的值为（    ） A．3 B．7 C． D．49 27．（24-25·山东济宁·期中）若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（   ） A．9 B． C．3 D． 28．（24-25·湖北孝感·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，则 29．（24-25·广西南宁·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根分别是与． (1)求的值及这个正数； (2)若，求的值． 30．（24-25·广东湛江·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 题型二、平方根与算术平方根的综合问题 31．（23-24·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 32．（22-23·福建莆田·期中）已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 33．（21-22·广东广州·期中）阅读材料，解答问题：材料：∵，即∵， ∴的整数部分为2，小数部分为． 问题：已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．求： (1)的小数部分为_______； (2)求的平方根． 34．（23-24八年级上·全国·课后作业）（1）求的小数部分； （2）已知的小数部分是，的小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 题型三、材料阅读问题 35．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中，为有理数，为无理数，那么必然有且．据此，解决下列问题： (1)如果，其中，为有理数，那么__________，__________； (2)如果，其中，有理数，求的平方根． 36．（23-24·吉林延边·期中）下面是小强同学的例题及自主练习笔记，请认真阅读并补充完整． 例题：已知，是有理数，并且满足等式，求，的值． 解：，是有理数，是无理数，，，解得，． 【练习】 (1)已知，是有理数，并且满足等式，求，的值． 解：根据题意，得． ，是有理数，，也是有理数． 是无理数， __________，__________． 解得__________，__________． (2)已知，是有理数，并且满足等式，求，的值． (3)已知，是有理数，且，满足等式时，直接写出的平方根． 题型四、新定义问题 37．（22-23·安徽淮北·阶段练习）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； (2)81的四次方根为______；的五次方根为______； (3)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______； (4)求的值：． 38．（2025·全国·专题练习）在数轴上有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，则的平方根为（   ） A． B． C．7 D． 39．（24-25·北京·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． 下面有四个推断： ①的平方根是 ②的算术平方根位于和这两个连续的整数之间； ③对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于 ④一定有个整数的算术平方根在之间 其中正确的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 40．（24-25·重庆巫山·期中）一个正数a的平方根分别是m和，则这个m为 ． 41．（21-22·安徽六安·阶段练习）由无理数的定义可知无理数与有理数不可能相等，若m，n为有理数，为无理数，且，则，． (1)如果，其中a，b为有理数，求的平方根； (2)如果，其中a，b为有理数且是p的平方根，求p的值． 42．（23-24八年级上·广东河源·阶段练习）根据下表回答下列问题： 17 18 (1)的算术平方根是 ，的平方根是 ； (2) ；（保留一位小数） (3) ， ； (4)若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个； (5)若这个数的整数部分为m，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1平方根（2）平方根 题型一、求一个数的平方根 1．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求一个数的平方根，根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：的平方根是； 故选C． 2．（23-24八年级上·四川成都·期中）的平方根是（   ）． A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根、平方根，先求得，再求4的平方根即可，注意（易错点）． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：C． 3．（22-23八年级上·陕西西安·期中）16的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平方根的含义，根据，从而可得答案． 【详解】解：16的平方根为． 故答案为： 4．（24-25八年级上·广西桂林·期末） ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，根据平方根的定义，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）求下列各数的平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查的是求解一个数的平方根，根据平方根的含义逐一求解即可． （1）由，可得答案； （2）由，可得答案； （3）由，可得答案； （4））由，可得答案； （5）由，，可得答案； （6）由，可得答案； 【详解】（1）解：的平方根是； （2）解：的平方根是； （3）解：的平方根是； （4）解：的平方根是； （5）解：∵， ∴的平方根是； （6）解：的平方根是． 题型二、开平方的化简 6．（23-24·海南省直辖县级单位·阶段练习）求下列各式的值 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是求解算术平方根，平方根，直接利用算术平方根与平方根的含义求解即可； （1）由，可得答案； （2）由，结合相反数的含义可得答案； （3）由，可得答案； （4）由，可得答案． 【详解】（1）解：； （2）， （3）； （4）． 7．（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握这几个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义计算即可； （2）根据算术平方根的定义计算即可； （3）根据立方根的定义计算即可； （4）根据立方根的定义计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型三、平方根的理解 8．（24-25八年级上·江西吉安·期末）下列各数中，没有平方根的是（   ） A．4 B．－4 C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的定义的理解和应用，根据平方根的定义可知只有非负数才有平方根，由此进行判断即可． 【详解】解：∵正数有两个平方根，0有一个平方根，负数没有平方根， ∴没有平方根． 故选：B 9．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）在0，，，，中，有平方根的数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的化简，乘方，平方根的意义．熟练掌握平方根的意义是解题的关键．根据非负数有平方根，判定非负数的个数即可． 【详解】解：，，， 非负数有平方根，而0，，，，中，非负数有0，，共3个， 故选C． 10．（24-25八年级上·河南南阳·期中）一个数的平方根与它本身相等，这个数是（    ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】B 【分析】本题考查平方根定义，熟记的平方根是是解决问题的关键． 【详解】解：的平方根只有， 一个数的平方根与它本身相等，这个数是， 故选：B． 11．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）平方根是的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根，根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是，即平方根是的是． 故答案为： 题型四、求代数式的平方根 12．（23-24八年级上·全国·单元测试）若正数 的一个平方根是 ，则它的另一个平方根是 ，这两个平方根的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是正数的平方根的含义，利用正数的两个平方根互为相反数可得答案； 【详解】解：正数 的一个平方根是 ，则它的另一个平方根是，这两个平方根的和是． 故答案为：， 13．（2025·全国·专题练习）一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，以及已知一个数的平方根，求这个数，先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的下一个自然数，进而得到其平方根． 【详解】解：由题意可知：该自然数为， 该自然数相邻的下一个自然数为， 的平方根为． 故选：D． 14．（23-24·山东滨州·期末）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义．直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， 则， 故的平方根为：． 故答案为：． 15．（22-23八年级上·四川巴中·阶段练习）若，求的平方根是 ． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：，， ， 的平方根是． 故答案为： 【点睛】本题考查了非负数的性质与求代数式的平方根，即几个非负数的和为0，则每个非负数都是0．现阶段学习的非负数的形式主要有三种：，，（为正整数）． 16．（24-25·浙江杭州·期中）已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 【答案】(1) (2)的平方根为 【分析】本题主要考查偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性、平方根，熟练掌握偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键； （1）根据题意易得，然后进行求解即可； （2）根据（1）可得的值，然后根据平方根可进行求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， 解得：； （2）解：由（1）得：， ∴， ∴4的平方根为， 即的平方根为． 题型五、利用平方根解方程 17．（24-25·云南昆明·期中）已知，则x的值为（   ） A．4 B．2或 C．或4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根，根据平方根定义进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或． 故选：C． 18．（24-25·四川广元·期中）若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键．根据平方根的性质解方程即可得． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， 故答案为：或． 19．（24-25·甘肃平凉·期中）解下列方程． (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了平方根与立方根的定义，根据平方根与立方根的定义，解方程，即可求解． （1）先将的系数化为，再用平方根的定义解方程即可； （2）先移项，然后根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴或； （2）解： ∴ ∴ 解得：． 20．（24-25·甘肃陇南·期中）求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，熟知求平方根的方法是解题的关键． （1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据求平方根的方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， 解得：，； （2）解： 或， 解得，； 题型六、平方根的实际应用 21．（24-25·天津和平·阶段练习）有一块面积为的长方形土地，若它的长与宽的比为，则宽在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】D 【分析】本题考查了估算无理数的大小，准确熟练地进行计算是解题的关键． 设长为，则宽为，根据题意可得：，从而可得，进而可得宽为米，然后再估算出的值的范围，即可解答． 【详解】解：设长为，则宽为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， ∴宽为米， ， 而， ， ∴宽约为之间， 故选：D． 22．（24-25·江苏连云港·期中）如图，已知正方形中阴影面积为8，则正方形的边长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平方根以及图形的割补思想，熟练掌握平方根运算和通过割补转化图形面积关系是解题的关键．利用平方根和三角形的面积关系，通过图形的割补，得出阴影部分面积与正方形面积的联系，进而求解边长． 【详解】解：通过观察图形，将阴影部分进行割补，可发现阴影部分的面积恰好是正方形面积的一半． 设正方形的边长为，则正方形的面积为． 阴影面积为，且阴影面积是正方形面积的一半 解得（边长不能为负，舍去 ） 故答案为： ． 23．（24-25八年级下·山东临沂·期中）（日常生活情境：体重指数）青少年体重指数（）是评价青少年营养状况，肥胖的一种衡量方式，其公式为体重（）/［身高（）］．已知小红的体重为，她的值为20，则她的身高是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查日常生活情境：体重指数，读懂题意，理解体重（）/［身高（）］，将题中信息代入，利用直接开平方法求解即可得到答案． 【详解】解：体重（）/［身高（）］， 设小红身高为， 当体重为，她的值为20时，可得， 则， 解得（身高不能为负，负值舍去）， 故答案为：． 24．（24-25·河南商丘·期中）如图，计划建一个面积为50米的长方形苗圃，一边靠墙，另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为． (1)求的长； (2)求出苗圃所用篱笆总长． 【答案】(1)米 (2)米或米 【分析】本题考查了平方根的应用，理解题意，理清各量间的关系是解题的关键； （1）设长方形苗圃的长米，宽米，已知面积为50平方米，根据长方形面积公式，可得，解方程即可； （2）分两种情况：当平行于墙时，当平行于墙时，分别求出篱笆的总长即可． 【详解】（1）解：设长方形苗圃的长米，宽米，根据题意得： ， 即， ， 解得：（因为长度不能为负，舍去）． 所以米． （2）解：因为，一边靠墙，分两种情况： 当平行于墙时，篱笆总长为： ， 把代入得篱笆的总长为米； 当平行于墙时，篱笆总长为： ， 把代入得篱笆的总长为米； 综上：篱笆的总长为米或米． 25．（24-25·福建福州·期中）哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)能；理由见解析 【分析】本题考查了平方根的应用，无理数的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平方根的意义即可求解； （2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案． 【详解】（1）解： “混天绫”围成一个面积为 的正方形， 正方形的边长为， “混天绫”的总长度． 答：“混天绫”的总长度． （2）解：能，理由如下： 设长方形的长为米，宽为米， 依题意得 ， 解得或， ， ， 长方形的长为米，宽为米， 长方形的周长为， ， ， 能够完成新阵法． 题型一、已知一个数的两个平方根求这个数 26．（江西省宜春市2024-2025学年学期期末考试数学试题）若一个正数的两个平方根是和，则的值为（    ） A．3 B．7 C． D．49 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的性质，解题的关键是利用正数的两个平方根互为相反数这一性质来求解 。 根据正数的两个平方根互为相反数，列出关于a的方程，求解a后再计算x的值。 【详解】解：因为一个正数的两个平方根分别是和， 所以， 解得：， 则， 所以； 27．（24-25·山东济宁·期中）若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（   ） A．9 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方根的定义，根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求解． 【详解】∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴ 解得： 将代入，得： 因此，这个正数为． 故选A． 28．（24-25·湖北孝感·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，则 【答案】3 【分析】本题考查了平方根，一元一次方程的应用；根据一个正数的两个平方根互为相反数列式计算即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， 故答案为：3． 29．（24-25·广西南宁·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根分别是与． (1)求的值及这个正数； (2)若，求的值． 【答案】(1)的值为0，正数的值为4 (2)的值为1 【分析】本题考查平方根的意义及求平方根、一元一次方程的应用等知识点，掌握一个正数有两个平方根且互为相反数是解题的关键． （1）由一个正数的两个平方根互为相反数求y值即可，求出x的值即可； （2）将代入得到关于k的方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：，解得：； ∴． 答：求的值为0，正数的值为4 （2）∵， ∴，即，解得：． 答：求的值为1． 30．（24-25·广东湛江·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查平方根的意义及利用平方根解方程，关键是要掌握一个正数有两个平方根，互为相反数． （1）由一个正数的两个平方根互为相反数求a值即可； （2）将a代入，利用平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不相等的平方根分别是与， ∴， 解得； （2）解：把代入，得， ∴， ∴． ∴方程的解是，； 题型二、平方根与算术平方根的综合问题 31．（23-24·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根及平方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 【详解】解：的算术平方根是5， ， 解得：． ∵的平方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 【点睛】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键． 32．（22-23·福建莆田·期中）已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】先依据算术平方根和平方根的定义列出关于、的方程组求得、的值，然后估算出的大小，可求得的值，接下来，求得的值，最后求它的平方根即可． 【详解】解：由题意得：， ，． ， ． ． ． 的平方根是． 【点睛】本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义、估算算术平方根的整数部分，熟练掌握相关定义和方法是解题的关键． 33．（21-22·广东广州·期中）阅读材料，解答问题：材料：∵，即∵， ∴的整数部分为2，小数部分为． 问题：已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．求： (1)的小数部分为_______； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据，求出的整数部分为3，进而得到小数部分为； (2)根据的立方根是3得到求出；根据的算术平方根是4求出，最后代入中求出平方根即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分为3，即c=3， ∴的小数部分为． 故答案是：； （2）解：∵的立方根是3， ∴， 解得， ∵的算术平方根是4， ∴，代入， 解得， ∴， ∴的平方根为． 【点睛】本题考查了无理数的估值及平方根、立方根的概念等，属于基础题，熟练掌握平方根、立方根的概念是解题的关键． 34．（23-24八年级上·全国·课后作业）（1）求的小数部分； （2）已知的小数部分是，的小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查估算无理数的大小，平方根，解题的关键是能够正确得到、的值． （1）根据，可得，即可得出整数部分，从而得出其小数部分． （2）根据，可得，，即可得出两者的整数部分和小数部分，结合题意可得，，最后代入中，直接开平方即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； （2）∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是，的整数部分是，小数部分是． ∵的小数部分是，的小数部分是， ∴， ． ∵， ∴， 解得，． 故满足条件的的值为或． 题型三、材料阅读问题 35．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中，为有理数，为无理数，那么必然有且．据此，解决下列问题： (1)如果，其中，为有理数，那么__________，__________； (2)如果，其中，有理数，求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据，为有理数，由已知等式求出与 的值即可; （2）已知等式右边化为0，根据，为有理数，求出与 的值，即可确定出的值． 【详解】（1），其中，为有理数， ∴， ∴ 故答案为：3,2 （2）整理，得 ． 因为，为有理数，为无理数， 所以，应有 解之，得． 则． 所以，的平方根是． 【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 36．（23-24·吉林延边·期中）下面是小强同学的例题及自主练习笔记，请认真阅读并补充完整． 例题：已知，是有理数，并且满足等式，求，的值． 解：，是有理数，是无理数，，，解得，． 【练习】 (1)已知，是有理数，并且满足等式，求，的值． 解：根据题意，得． ，是有理数，，也是有理数． 是无理数， __________，__________． 解得__________，__________． (2)已知，是有理数，并且满足等式，求，的值． (3)已知，是有理数，且，满足等式时，直接写出的平方根． 【答案】(1)0，0，， (2) (3) 【分析】本题考查了实数的运算，解二元一次方程组，平方根等知识．熟练掌握实数的运算，解二元一次方程组，平方根是解题的关键． （1）按照步骤作答即可； （2）由，可得，则，，计算求解即可； （3）由，可得，则，，可求，，根据的平方根为，计算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得． ，是有理数， ，也是有理数． 是无理数， ，． 解得，， 故答案为：0，0，，； （2）解：∵， ∴， ∴，， 解得，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴，， 解得，，， ∴的平方根为， ∴的平方根为． 题型四、新定义问题 37．（22-23·安徽淮北·阶段练习）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； (2)81的四次方根为______；的五次方根为______； (3)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是______； (4)求的值：． 【答案】(1)若，则叫的五次方根 (2) (3)，为任意实数 (4)或 【分析】（1）根据题意，进行作答即可； （2）进行开方运算即可； （3）根据定义，进行计算即可； （4）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：五次方根的定义：若，则叫的五次方根； （2）解：； 故答案为：； （3）解：∵是一个数的四次方， ∴， ∴； ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的五次方， ∴为任意实数． 故答案为：，为任意实数； （4）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 【点睛】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． 38．（2025·全国·专题练习）在数轴上有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，则的平方根为（   ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根的定义，绝对值和算术平方根的非负性，先根据非负数的性质和相反数的定义求出，，得出，最后根据平方根定义求出结果即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， ∴， ∵14的平方根为， ∴的平方根为． 故选：A 39．（24-25·北京·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． 下面有四个推断： ①的平方根是 ②的算术平方根位于和这两个连续的整数之间； ③对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于 ④一定有个整数的算术平方根在之间 其中正确的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根，平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键； 根据算术平方根，平方根的定义和性质进行判定即可求解； 【详解】解：的平方根是，故①正确； 的算术平方根位于和这两个连续的整数之间；故②正确； 对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于，故③正确； ，， 之间有，， 一定有个整数的算术平方根在之间；故④正确； 综上所述：正确的序号是①②③④； 故选：D 40．（24-25·重庆巫山·期中）一个正数a的平方根分别是m和，则这个m为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出m的值． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 故答案为：2． 41．（21-22·安徽六安·阶段练习）由无理数的定义可知无理数与有理数不可能相等，若m，n为有理数，为无理数，且，则，． (1)如果，其中a，b为有理数，求的平方根； (2)如果，其中a，b为有理数且是p的平方根，求p的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知可得，，从而可得，，然后代入式子中进行计算即可解答； （2）根据已知易得，从而可得，进而可得，然后利用平方根的意义，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：，其中，为有理数， ，， ，， ， 的平方根是； （2）， ， ， ，为有理数， ， 解得：， ，为有理数且是的平方根， ， 的值为． 【点睛】本题考查了实数的运算，平方根，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 42．（23-24八年级上·广东河源·阶段练习）根据下表回答下列问题： 17 18 (1)的算术平方根是 ，的平方根是 ； (2) ；（保留一位小数） (3) ， ； (4)若介于17．6与17．7之间，则满足条件的整数n有 个； (5)若这个数的整数部分为m，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)， (4) (5) 【分析】（1）可得，，由算术平方根和平方根的定义即可求解； （2）可得，由，，即可求解； （3）开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；据此即可求解； （4）可得，从而可求，即可求解； （5）由可求，代值计算即可求解． 【详解】（1）解：由表格得 ， ， 的算术平方根是， ， 的平方根为， 故答案：，． （2）解：， ，， ， 故答案：． （3）解：开二次方时，被开方数的小数点每向右或左移动两位时，结果小数点每向右或左移动一位；， ， ， ； 故答案：，． （4）解：介于17．6与17．7之间， ， ， 可取、、、， 整数n有个， 故答案：． （5）解：，， 的整数部分是， ， ． 【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义，逐步逼近法，无理数的估算，理解定义，掌握解法是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$