1.5等腰三角形（1）等腰三角形的性质（题型专练）数学苏科版2024八年级上册

1.5等腰三角形（1）等腰三角形的性质（题型专练） 题型一、等腰三角形的边与角 1．（上海市虹口区2024-2025学年七年级下学期数学期末试卷）等腰三角形的两边分别是8、17，则它的周长是（   ） A．25 B．33 C．42 D．33或42 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形的定义．分①腰长为8和②腰长为17两种情况，再结合三角形的三边关系，利用三角形的周长公式即可得． 【详解】解：由题意，分以下两种情况： ①当腰长为8时，则这个等腰三角形的三边长分别为8、8、17， 此时，不满足三角形的三边关系，舍去； ②当腰长为17时，则这个等腰三角形的三边长分别为8、17、17， 此时，满足三角形的三边关系， 所以它的周长为； 综上，这个等腰三角形的周长为42， 故选：C． 2．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果是等腰三角形，，那么的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题考查了三角形内角和定理，等边对等角．根据等腰三角形的性质，分情况讨论为顶角或底角，结合三角形内角和定理，排除不可能的情况． 【详解】解：当为顶角时： 和相等，由内角和定理得：； 当为底角时：另一底角也为， 当为顶角：； 当也为底角：； 综上，的度数不可能是， 故选：C． 3．（24-25七年级下·上海松江·期末）已知中，，是边上的高，，那么的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，分情况讨论：当为锐角三角形时，当钝角三角形时，结合等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图①，当为锐角三角形时，； 如图②，当钝角三角形时，， 所以． 综上，的度数为或． 故答案为：或． 4．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）一个等腰三角形的周长是． (1)若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长． (2)若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长． 【答案】(1) (2)与，或与 【分析】本题考查一元一次方程的应用，等腰三角形的定义等知识，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）设等腰三角形的底边长为，则腰长为，根据“周长是”列方程求解即可； （2）根据等腰三角形的定义，分腰为与底为两种情况分别求出其他两边即可； 【详解】（1）解：设等腰三角形的底边长为，则腰长为， 由题意得：， 解得： ∴，这个等腰三角形的底边长为，腰长分别为，， 即各边长分别是； （2）当腰为时，底边长为： ， ∴其余两边分别为，此时能构成三角形； 当底为时，腰长为：， ∴其余两边分别为，此时能构成三角形； 综上所述：其余两边分别为与，或与． 题型二、等边对等角 5．（2025·安徽淮南·二模）如图，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识．由平行线的性质可得，由可得，最后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 6．（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）随着钓鱼成为一种潮流，如图1所示的便携式折叠凳成为热销产品，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图，已知，凳腿与地面所成的角，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等边对等角是解题的关键．由等腰三角形的性质得，再利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 7．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，垂直的定义，先根据作图得出是的垂直平分线，得出，推出，再根据垂直的定义得出，求出，最后可得出答案． 【详解】解：根据作图可知，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．（24-25八年级上·广东韶关·期末）如图，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质，先证明是等边三角形，得到，再由等边对等角得到，则由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为；． 题型三、等边对等角与角的计算和证明 9．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，点D在边上，．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查等边对等角，三角形的外角的性质，先根据等边对等角得出，，再根据三角形的外角得出，进而可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 是的外角， ， ． 10．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，点在上，且，，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，外角定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据等边对等角结合三角形的内角和定理，以及外角定理即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 11．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，，，连接交于点O，．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用等边对等角求得，再利用等角的余角相等即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 12．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，延长至，使得，连接，再延长至，使得，连接．求证：．    【答案】见详解 【分析】先证明再根据判定证明即可． 【详解】解：∵在中，， ， ，， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 13．（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，平分，，，垂足分别为，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，等边对等角，先由角平分线的性质得到，再证明得到，则可证明． 【详解】证明：∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，已知，在中，，D是上一点，且，E为上的一点，交于F，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定． （1）首先证明，然后证明出，进而得到结论； （2）由全等三角形性质可得，进而证明即可得出结论. 【详解】（1）证明：，， ， ． 又是上一点， ． 在与中 ， ； （2）证明：， ． 又中， ， ， ； 题型四、三线合一 15．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，是边上的中线，平分分别交、于点、，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据等腰三角形的三线合一得，从而得，再根据角平分线定义可得，据此计算即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， 故选：D． 16．（上海市闵行区2024-2025学年下学期七年级期末数学试题　）如果一个等腰三角形一腰的垂直平分线恰好经过底边的中点，那么这个等腰三角形的顶角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质， 先画出图形，可知垂直平分，点D是边的中点，根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质得，，则答案可得． 【详解】解：如图所示， 根据题意可知垂直平分，点D是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 17．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，，D为的中点，连接，延长至点E，使，连接，，则的大小为 ． 【答案】110 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，根据三线合一得到，利用等边对对角得到，再根据求解，即可解题． 【详解】解：在中，，D为的中点， ，即， ，， ， ； 故答案为：． 题型五、与三线合一有关的计算与证明 18．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，在中，，D是边上的中点，，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，直角三角形的特征；由等腰三角形的性质，，由三角形内角和及直角三角形的特征，即可求解；能熟练利用等腰三角形的性质，三角形内角和，直角三角形的特征进行求解是解题的关键． 【详解】解：，D是边上的中点， ，， ， ； 故：，． 19．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，为的中线，点E在上，，连接若，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的三线合一的性质解答．根据等腰三角形的三线合一的性质得出平分，，进而解答即可． 【详解】解：，为的中线， 平分，， 平分， ， ， ， ． 20．（19-20八年级上·湖北孝感·期末）如图，点在线段上，，，，平分，交于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行线性质得出∠A＝∠B，根据SAS证△ACD≌△BEC，推出DC＝CE，根据等腰三角形的三线合一定理推出即可． 【详解】证明：∵AD∥BE ∴∠A=∠B 在△ACD和△BEC中 ∴△ACD≌△BEC（SAS） ∴DC＝CE 又∵CF平分∠DCE ∴EF=DF（三线合一） 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点，关键是求出DC＝CE，主要考查了学生运用定理进行推理的能力． 21．（19-20八年级上·四川巴中·期末）如图，AB∥CD，AE＝DC，AB＝DE，EF⊥BC于点F． 求证：（1）△AEB≌△DCE； （2）EF平分∠BEC． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）由SAS即可得出△AEB≌△DCE； （2）由全等三角形的性质得出BE=CE，由等腰三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：（1）∵AB∥CD， ∴∠A=∠D， 在△AEB和△DCE中， ， ∴△AEB≌△DCE（SAS）； （2）∵△AEB≌△DCE， ∴BE=CE，△EBC是等腰三角形， ∵EF⊥BC， ∴EF平分∠BEC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的判定证全等． 22．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，D是的中点，E是上任意一点，连接，，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，由三线合一得垂直平分，然后由线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：因为，D是的中点， 所以，即垂直平分． 因为点E在上， 所以． 23．（19-20八年级上·湖北十堰·期中）如图，在中，，为的中点，于，于．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，三线合一定理，根据三线合一定理得到，再证明，得到，则垂直平分，即可证明． 【详解】证明：∵，为的中点， ∴， ∵于，于， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴． 题型一、等腰三角形与基本作图问题 24．（24-25八年级上·青海西宁·期中）如图，已知，点在边上，且． (1)尺规作图：作出点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图复杂作图，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． （1）作线段的垂直平分线，交于点即可； （2）由，且，，可得，再由垂直平分，可得，从而得出，再求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：∵，且，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 25．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）已知：如图，在中，，． (1)求作边的垂直平分线，交于点、交于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求的角度 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于两点，过这两点的直线即为的垂直平分线； （2）由等边对等角并结合题意可得，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】（1）解：如图所示，直线就是所要求作的， （2）解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ． 题型二、等腰三角形与辅助线问题 26．（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图，已知：，，．求度数． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．延长到点E，使得，证明，得到，推出，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：延长到点E，使得， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即点C为的中点， ， ， 是等腰三角形， 是底边上的中线， ， ． 27．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，，，求证：平分； 【答案】见详解 【分析】延长至点，使得，先证明和全等，利用全等的性质得，再结合等边对等角以及角的等量代换得到，即可作答．本题考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的定义，熟练三角形全等的判定，合理的添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长至点，使得，连接， ∵，， ， 在和中， ， ， ∴ ∴， 平分． 题型三、等腰三角形与分类讨论思想 28．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在中，，，在射线上找一点D，使为等腰三角形，求的度数． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理等知识，先画出图形，分三种情形分别求解即可． 【详解】解：， ， 点D在射线上，分以下三种情况讨论：如图， ①当时，则， ； ②当时，则； ③当时，则， ， ． 综上所述，的度数为或或． 29．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图是等腰直角三角形，，O是内部的一个动点，是等腰直角三角形，． (1)求证：； (2)若是等腰三角形，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答． （1）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可； （2）设的度数为x，分三种情况进行解答即可． 【详解】（1）∵和是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （2）解：∵是等腰直角三角形， ∴， 设的度数为x，则， ∵， ∴， ∵是等腰三角形， ①当时，，解得：， ②当时，，解得：， ③当时，，解得：， 故的度数为或或． 题型四、等腰三角形与新定义问题 30．（24-25八年级上·福建厦门·期中）若等腰三角形的顶角为，则这个三角形称为黄金三角形．如图，在中，，点在边上，且． (1)如图，求的度数，并直接写出图中所有的黄金三角形； (2)若为线段上的点，过作直线于，分别交直线，于点，，如图，猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，黄金三角形有和 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由等腰三角形的性质和黄金三角形的定义即可得出结论； （2）证明得，借助已知利用线段的和差可得． 【详解】（1）解：和都是黄金三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 和都是黄金三角形； （2）解：，理由如下： 由（1）知，，，即， ， ， 在和中， ， ， ， 即， 又，， ， ， ， 即． 题型五、等腰三角形与动点问题 31．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒1个单位长度，点从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2个单位长度，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)______________；当点在边上运动时，_____________；（用含的式子表示） (2)当点在边上运动时，某时刻是等腰三角形，请计算运动时间; (3)当点在边上运动时，出发_____________秒后，是以或为底的等腰三角形． 【答案】(1)， (2) (3)11或12 【分析】（1）可求得和，则可求得； （2）用t可分别表示出和，根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于t的方程，可求得t； （3）用t分别表示出和，利用等腰三角形的性质和题目要求可分和两种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值． 【详解】（1）解：由题意得，, ∴, 故答案为：，； （2）由题意可知，, 当为等腰三角形时，则有，即, 解得， ∴出发秒钟，能形成等腰三角形； （3）当点Q在上时，， ∴， ∵是以或为底的等腰三角形 ∴有和两种情况， 当时，则， 解得； 当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得； 综上可知，当点Q在边上运动时，出发12秒或11秒后，是以或为底的等腰三角形． 故答案为：11或12． 【点睛】本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、等积法、方程思想及分类讨论思想等知识，解答本题的关键是用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”同时注意方程思想的应用． 题型六、等腰三角形与几何变式探究问题 32．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）在中，，点在射线（点不与点，重合）上运动，连接，作，交射线于点．    (1)如图1，点在线段上运动，当时． ①求证：； ②若，求边的长． (2)如图2，点在线段的延长线上运动，当时，（1）中①的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． (3)如图3，若，在线段的延长线上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①证明见解析；②； (2)（1）中①的结论仍然成立，证明见解析 (3)或 【分析】（1）①根据等边对等角得，结合三角形外角的性质得，再利用“”即可得证； ②由已知可得，，再根据全等三角形的对应边相等得，可得结论； （2）（1）中①的结论仍然成立，根据等边对等角得，由等角的补角相等得，继而得到，最后利用“”即可得证； （3）分两种情况：当时；当时，分别求解即可． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ②解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴边的长为； （2）解：（1）中①的结论仍然成立． 证明：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：①当时，如图，    ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图，    ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了等边对等角，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用等知识点．掌握全等三角形的判定和性质、等边对等角是解题的关键． 33．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是（  ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．延长交于，根据已知条件证得，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出． 【详解】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 故选：． 34．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论：①，②∥，③，④，正确的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小．根据旋转的性质可得，，，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可． 【详解】解：①绕点逆时针旋转得到， ，故①正确； ②绕点逆时针旋转， ． ， ． ， ． ，故②正确； ③在中， ， ． ． 与不垂直，故③不正确； ④在中， ， ． ，故④正确． ①②④这三个结论正确． 故选：B 35．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在中，，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若在某一时刻能使与全等．则点的运动速度为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边对等角，全等三角形的性质，设点P、Q的运动时间为，分别表示出，再根据全等三角形对应边相等，分和两种情况讨论求解即可． 【详解】解：，点D为的中点， ，， 设点P、Q的运动时间为， ， ， 当时．则有：，， ， 解得：， ， 故点Q的运动速度为：； 当时，则，， ， ， ． 故点Q的运动速度为． 所以，点的运动速度为或， 故选：D． 36．（24-25八年级上·重庆渝北·期中）如图，，直线于点A，点C是直线上的一点，且，分别以，为直角边按如图所示作等腰直角三角形，得到和，连接，交直线于点M，则的面积是 ． 【答案】3 【分析】此题考查了等腰三角形，全等三角形的判定及性质，直角三角形的两锐角互余，掌握用证两个三角形全等是解决此题的关键．过点作于，先利用证出，从而得出，，然后利用证出，从而求出的长．进而利用面积公式求解即可． 【详解】解：过点作于，如图所示 ∵，和为等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴， 在和中 ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 37．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）已知中，，．点从点出发沿射线移动，同时点从点出发沿线段的延长线移动，点、移动的速度相同，与直线相交于点． (1)如图①，过点作交于点，求证：； (2)如图②，当点为的中点时，求的长； (3)如图③，过点作于点，在点从点向点移动的过程中，线段的长度是否保持不变？若保持不变，请求出的长度，若改变，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)线段的长度保持不变， 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意得出，根据等边对等角得出，根据平行线的性质得出，推得，根据等角对等边得出，推得，根据全等三角形的判定定理即可证明； （2）过点作交于，先推得，再根据全等三角形的性质得出，即可求解； （3）过点点作交于，根据等腰三角形三线合一的性质得出，根据全等三角形的性质得出，即可推得． 【详解】（1）证明：∵点、移动的速度相同， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 在与中， ， ∴． （2）解：如图，过点作交于， ∵点为的中点，， ∴为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：线段的长度保持不变． 如图，过点点作交于， 由（1）知， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5等腰三角形（1）等腰三角形的性质（题型专练） 题型一、等腰三角形的边与角 1．（上海市虹口区2024-2025学年七年级下学期数学期末试卷）等腰三角形的两边分别是8、17，则它的周长是（   ） A．25 B．33 C．42 D．33或42 2．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果是等腰三角形，，那么的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·上海松江·期末）已知中，，是边上的高，，那么的度数是 ． 4．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）一个等腰三角形的周长是． (1)若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长． (2)若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长． 题型二、等边对等角 5．（2025·安徽淮南·二模）如图，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）随着钓鱼成为一种潮流，如图1所示的便携式折叠凳成为热销产品，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图，已知，凳腿与地面所成的角，则为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·广东韶关·期末）如图，若，则的度数为 ． 题型三、等边对等角与角的计算和证明 9．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，点D在边上，．若，求的度数． 10．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，点在上，且，，求的度数． 11．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，，，连接交于点O，．求证：． 12．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，延长至，使得，连接，再延长至，使得，连接．求证：．    13．（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，平分，，，垂足分别为，．求证：． 14．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，已知，在中，，D是上一点，且，E为上的一点，交于F，． (1)求证：； (2)求证：． 题型四、三线合一的性质 15．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，是边上的中线，平分分别交、于点、，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 16．（上海市闵行区2024-2025学年下学期七年级期末数学试题　）如果一个等腰三角形一腰的垂直平分线恰好经过底边的中点，那么这个等腰三角形的顶角的度数是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，，D为的中点，连接，延长至点E，使，连接，，则的大小为 ． 题型五、与三线合一有关的计算与证明 18．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，在中，，D是边上的中点，，求和的度数． 19．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，为的中线，点E在上，，连接若，求的度数． 20．（八年级上·湖北孝感·期末）如图，点在线段上，，，，平分，交于点，求证：． 21．（19-20八年级上·四川巴中·期末）如图，AB∥CD，AE＝DC，AB＝DE，EF⊥BC于点F． 求证：（1）△AEB≌△DCE； （2）EF平分∠BEC． 22．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，D是的中点，E是上任意一点，连接，，试说明：． 23．（19-20八年级上·湖北十堰·期中）如图，在中，，为的中点，于，于．求证：．    题型一、等腰三角形与基本作图问题 24．（24-25八年级上·青海西宁·期中）如图，已知，点在边上，且． (1)尺规作图：作出点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，且，求的度数． 25．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）已知：如图，在中，，． (1)求作边的垂直平分线，交于点、交于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求的角度 题型二、等腰三角形与辅助线问题 26．（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图，已知：，，．求度数． 27．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，，，求证：平分； 题型三、等腰三角形与分类讨论思想 28．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在中，，，在射线上找一点D，使为等腰三角形，求的度数． 29．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图是等腰直角三角形，，O是内部的一个动点，是等腰直角三角形，． (1)求证：； (2)若是等腰三角形，，求的度数． 题型四、等腰三角形与新定义问题 30．（24-25八年级上·福建厦门·期中）若等腰三角形的顶角为，则这个三角形称为黄金三角形．如图，在中，，点在边上，且． (1)如图，求的度数，并直接写出图中所有的黄金三角形； (2)若为线段上的点，过作直线于，分别交直线，于点，，如图，猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由． 题型五、等腰三角形与动点问题 31．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒1个单位长度，点从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2个单位长度，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)______________；当点在边上运动时，_____________；（用含的式子表示） (2)当点在边上运动时，某时刻是等腰三角形，请计算运动时间; (3)当点在边上运动时，出发_____________秒后，是以或为底的等腰三角形． 题型六、等腰三角形与几何变式探究问题 32．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）在中，，点在射线（点不与点，重合）上运动，连接，作，交射线于点．    (1)如图1，点在线段上运动，当时． ①求证：； ②若，求边的长． (2)如图2，点在线段的延长线上运动，当时，（1）中①的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． (3)如图3，若，在线段的延长线上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出的度数；若不存在，请说明理由． 33．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是（  ） A．10 B．8 C．6 D．4 34．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论：①，②∥，③，④，正确的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 35．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在中，，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若在某一时刻能使与全等．则点的运动速度为（ ） A． B． C．或 D．或 36．（24-25八年级上·重庆渝北·期中）如图，，直线于点A，点C是直线上的一点，且，分别以，为直角边按如图所示作等腰直角三角形，得到和，连接，交直线于点M，则的面积是 ． 37．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）已知中，，．点从点出发沿射线移动，同时点从点出发沿线段的延长线移动，点、移动的速度相同，与直线相交于点． (1)如图①，过点作交于点，求证：； (2)如图②，当点为的中点时，求的长； (3)如图③，过点作于点，在点从点向点移动的过程中，线段的长度是否保持不变？若保持不变，请求出的长度，若改变，请说明理由． 1 / 10 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