2.3实数（2）（题型专练）数学苏科版2024八年级上册

2.3实数（2） 题型一、实数的理解 1．（22-23八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意； B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意； C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意； D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意； 故选：D． 2．（22-23八年级上·山东青岛·期中）已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查实数．熟练掌握实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质。是解决问题的关键． 根据实数与数轴的关系，实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质，逐一判断，即得． 【详解】解：数轴上除了还能表示有理数与其它无理数，故①项错误； 任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②项正确； 实数与数轴上的点一一对应，故③项正确； 整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数， ∴无理数也有无限个，故④项错误． ∴正确的是②③． 故选：B． 3．（24-25·湖南永州·期中）下列说法正确的是（    ） A．无理数都是带有根号的数． B．数轴上的点与有理数一一对应． C．实数分为有理数、零、无理数 D．，都是无理数． 【答案】D 【分析】本题考查实数的分类，无理数，实数与数轴，根据无理数的定义，实数和数轴以及实数的分类逐一进行判断即可． 【详解】解：A、无理数不一定都是带有根号的数，比如；原说法错误，不符合题意； B、数轴上的点与实数一一对应，原说法错误，不符合题意； C、实数分为有理数和无理数，原说法错误，不符合题意； D、，都是无理数，原说法正确，符合题意； 故选D． 4．（24-25·安徽蚌埠·期中）下列关于的描述正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．27的平方根 C．体积为27的正方体的棱长 D．面积为27的正方形的边长 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的应用，根据算术平方根的定义和勾股定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A. 它是一个无理数，故该选项不正确，不符合题意；     B. 27的算术平方根，故该选项不正确，不符合题意； C. 不能表示为体积为27的正方体的棱长，故该选项不正确，不符合题意；     D. 面积为27的正方形的边长，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 5．（2025·河南安阳·模拟预测）下列命题属于假命题的是（   ） A．实数包括正实数，0，负实数 B．实数与数轴上的点是一一对应的 C．实数a的相反数是 D．，，，都属于无理数 【答案】D 【分析】本题考查命题的真假，根据实数的分类，实数与数轴，实数的性质以及无理数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、实数包括正实数，0，负实数，是真命题，不符合题意； B、实数与数轴上的点是一一对应的，是真命题，不符合题意； C、实数a的相反数是，是真命题，不符合题意； D、不是无理数，故该选项是假命题，符合题意； 故选D． 题型二、实数的分类 6．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）将下列各数填入相应的集合内．在，，0，，，，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）． 有理数集合：{                               …}； 无理数集合：{                               …}； 负实数集合：{                               …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查了实数的分类，零指数幂，开平方，开立方，解题的关键是掌握实数的范围以及分类方法．先利用零指数幂、开平方、开立方运算法则化简各项，再根据实数的分类，进行解答即可． 【详解】解：，，， 有理数集合：{，，0，，，}； 无理数集合：{ ，， ，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）…}； 负实数集合：{ ，…}． 7．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）把下列各数填入相应的集合内； ，3.1041004… 有理数数集合：｛___________________________｝ 无理数数集合：｛___________________________｝ 【答案】有理数数集合：｛、、0、、…｝无理数数集合：｛、，3.1041004…｝ 【分析】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的各个分类依据是解题的关键．无理数是无限不循环小数，常见的无理数有：开不尽方的数、含的数，有规律但不循环的数．根据有理数、无理数的定义进行解答即可． 【详解】解： 有理数数集合：｛、、0、、…｝ 无理数数集合：｛、，3.1041004…｝． 8．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）把下列各数填入相应的集合内（填序号）： ①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨…（每相邻两个1之间0的个数逐次加） (1)无理数集合{ …}； (2)分数集合{ …}； (3)负实数集合{ …}． 【答案】(1)②，③，⑦，⑨ (2)①，④，⑧ (3)①，②，⑦，⑧ 【分析】首先计算立方根，然后根据无理数、分数及负实数的定义，对所给各数进行分类即可． 本题主要考查了立方根，实数，熟知无理数、分数及负实数的定义是解题的关键． 【详解】（1）由题知，， ∴无理数集合{②，③，⑦，⑨…}； （2）分数集合{①，④，⑧…}； （3）负实数集合{①，②，⑦，⑧…}． 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）把下列各数的序号填在相应的横线上 ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧0，⑨（每两个1之间多一个0）． 整数： ； 负分数： ； 无理数： ． 【答案】①⑤⑧；③⑥；②⑦⑨ 【分析】本题考查了实数的概念与分类，熟练掌握整数，负分数和无理数的定义是解题的关键．根据整数，负分数和无理数的定义判断即可． 【详解】解： 整数：①⑤⑧； 负分数：③⑥； 无理数：②⑦⑨． 故答案为：①⑤⑧；③⑥；②⑦⑨． 10．（2024八年级上·全国·专题练习）将下列各数填在相应的横线上：，，，，，，，，，，，，． (1)整数：___________； (2)分数：___________； (3)正数：___________； (4)负数：___________； (5)有理数：___________； (6)无理数：___________； 【答案】(1)，， (2)，，，， (3)，，，，，，， (4)，，， (5)，，，，，，， (6)，，，， 【分析】本题考查了实数的分类，掌握实数的分类，求一个数的立方根，是解题的关键． 首先计算立方根，算术平方根和绝对值，然后根据实数的分类求解即可． 【详解】（1）解：，，， ∴整数：，，； （2）解：分数：，，，，； （3）解：正数：，，，，，，，； （4）解：负数：，，，； （5）解：有理数：，，，，，，，； （6）解：无理数：，，，，． 题型三、实数的性质 11．（22-23八年级上·贵州毕节·期中）的相反数是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，理解定义：“只有符号不同的两个数互为相反数”是解题的关键．据此求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 12．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（   ） A． B．0的倒数是0 C．4的平方根是2 D．的相反数是 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的意义，实数的性质，根据平方根的意义，实数的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．，故不正确，不符合题意； B．0没有倒数，故不正确，不符合题意； C．4的平方根是，故不正确，不符合题意；     D．的相反数是，故正确，符合题意； 故选D． 13．（24-25八年级上·福建漳州·期中）化简： 【答案】/ 【分析】本题主要查了绝对值的性质．根据绝对值的性质解答即可． 【详解】解：． 故答案为： 14．（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）的平方根是 ，的绝对值是 ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、平方根、绝对值，解本题的关键在熟练掌握相关的定义、意义． 根据立方根、算术平方根、平方根的定义和绝对值的意义求解即可． 【详解】解：的平方根是； 的绝对值是； ． 故答案为：；； 15．（2025·全国·专题练习）若没有平方根，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平方根的意义，实数的性质，根据负数没有平方根得出，即可求出m的取值范围，再判断的取值范围，最后根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：∵没有平方根， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·河南商丘·期末）的绝对值是 ， ， ． 【答案】 / 2 【分析】本题主要考查了实数的运算，实数的性质，负数的绝对值等于它的相反数，据此可得第一空答案；对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此可得第二空答案；先计算算术平方根和立方根，再计算减法即可得到第三空答案． 【详解】解：的绝对值是； ； 故答案为：；；． 题型四、实数与数轴 17．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，设点表示的数为，根据点在数轴上的位置，判断出的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可． 【详解】解：设点表示的数为，由图可知：， ∵，即：，故选项A不符合题意； ∵，即：，故选项B不符合题意； ∵，即：，故选项C符合题意； ∵，即：，故选项D不符合题意； 故选C． 18．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，将实数表示在数轴上为（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，先观察数轴，判断各点表示数的大小，然后再估算的大小，最后进行判断即可．解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小． 【详解】解：观察数轴可知：点表示的数大于且小于，点表示的数是大于且小于，点表示的数是大于且小于，点表示的数是大于且小于， ∵， ∴，即， ∴实数表示在数轴上，对应的点可能是点， ∴A，B，C选项不符合题意，D选项符合题意． 故选：D． 19．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在数轴上，两点对应的实数分别是和，点、点到点的距离相等，则点对应的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查实数和数轴，两点之间线段的长度就是用右边点表示的数减去左边点表示的数．先求得的长度，根据点、点到点的距离相等，即可得出的长，再用的长度加上即可得出点C所对应的实数． 【详解】解：∵A、B两点对应的实数是和， ∴， ∵点、点到点的距离相等，， ∴， ∴点C所对应的实数是， 故答案为：． 20．（21-22八年级上·江西九江·期中）实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的性质、二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．直接利用绝对值的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案． 【详解】解：由数轴可得，，则， ∴ ． 故答案为：． 题型五、在数轴上表示实数 21．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）下列各数在数轴上表示出来：，，，．并用“”连接起来． 【答案】作图见解析， 【分析】本题考查实数的大小比较，先把含有括号的数化简，然后把各数表示在数轴上，然后按照从左到右的顺序排列，并用小于号连接即可．解题关键是熟练掌握把实数在数轴上表示出来． 【详解】解：，， 各数这种数轴上表示为： ∴． 22．（24-25·陕西西安·期中）把下列实数表示在如图所示的数轴上、并比较它们的大小（用“”连接）． 【答案】见解析， 【分析】本题考查了实数的大小比较、立方根、算术平方根、实数与数轴，准确熟练地在数轴上找到各数对应的点是解题的关键．先在数轴上找到各数对应的点，观察数轴即可比较它们的大小． 【详解】解：，， 实数表示在如图所示的数轴上： ∴由数轴可得，． 23．（24-25·陕西延安·期中）在如图所示的数轴上表示下列各数：，并用“”号把它们连接起来． 【答案】见解析， 【分析】本题考查了数轴上的有理数，利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值，求一个数的立方根，求一个数的算术平方根． 将各数化简后在数轴上表示出来，再将各数用连接起来即可，掌握数轴上的数右边的大于左边的是解答本题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴各数在数轴上表示如下： 由数轴可知，． 24．（24-25·全国·课后作业）（1）求出下列各数：①的立方根；②3的平方根；③的算术平方根． （2）将（1）中求出的每一个数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“<”连接）． 【答案】（1）①；②；③3；（2）数轴上表示见解析；． 【分析】本题主要考查了立方根、平方根、实数与数轴、实数大小比较等知识点，正确在数轴上表示各数是解题的关键． （1）根据立方根、平方根、算术平方根的定义求解即可； （2）先根据（1）的结论在数轴上表示，然后从左到右排列并用“<”连接即可． 【详解】解：（1）①的立方根为；②3的平方根为；③的算术平方根为． 故答案为：①；②；③3． （2）根据（1）的结论在数轴上表示如下： ， 所以用“＜”连接为：． 题型六、用计算器进行计算 25．（24-25·全国·课后作业）用计算器求下列各式的值（结果保留小数点后两位）： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了计算器与算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）按照题干要求，运用计算器进行计算，结果保留小数点后两位，即可作答． （2）按照题干要求，运用计算器进行计算，结果保留小数点后两位，即可作答． （3）按照题干要求，运用计算器进行计算，结果保留小数点后两位，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，； （2）解：依题意，； （3）解：依题意，． 26．（24-25·全国·课后作业）计算（结果保留小数点后两位）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算以及根式、圆周率的近似值计算，解题的关键是记住，，再进行相应运算． 先确定、、、的近似值，再代入式子进行减法运算，最后按要求保留小数点后两位． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 27．（24-25·全国·课后作业）用计算器求下列各式的值： (1)； (2)； (3)（结果保留小数，点后三位）． 【答案】(1)31 (2) (3) 【分析】此题考查的是用计算器计算一个数的算术平方根，掌握求算术平方根的按键顺序是解决此题的关键． （1）根据求算术平方根的按键顺序，计算即可． （2）根据求算术平方根的按键顺序，计算即可． （3）根据求算术平方根的按键顺序，计算即可． 【详解】（1）解：依次按键，显示31． ． （2）依次按键，显示：． ． （3）依次按键，显示：……． ． 28．（24-25·全国·课后作业）计算（结果保留小数点后两位）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数加减运算： （1）利用计算器进行近似计算，保留小数点后两位，即可； （2）分别利用计算器进行近似计算，保留小数点后两位，即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 题型一、实数性质的综合问题 29．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）已知与互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查的是立方根的含义，求解一个数的平方根，相反数的含义，先由相反数的定义可得，求解，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意可知，， 解得， ∴． ∵4的平方根是， ∴的平方根是． 30．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）人们在长期的数学实践中总结了许多光辉的数学思想方法，其中转化思想是最活跃实用的数学思想方法．请你解决下列有关实数的相关问题： 已知，． (1)填空：x的绝对值是__________，y的相反数是__________． (2)填空：___________，___________． (3)计算：求的值． 【答案】(1)， (2)， (3)11 【分析】本题考查实数的性质，二次根式的运算： （1）根据绝对值的意义和相反数的定义进行求解即可； （2）根据二次根式的运算法则，进行计算即可； （3）利用完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴x的绝对值是， ∵， ∴y的相反数是； （2）∵，， ∴，； （3）由（2）知：，， ∴ ． 31．（24-25八年级上·山西·阶段练习）已知a，b均为实数，且与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，解二元一次方程组，相反数的定义，根据互为相反数的两个数的和为0得到，再由非负数的性质得到，解方程组得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴． 32．（24-25八年级上·福建泉州·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数，那么，且，运用上述知识可解决下列问题：若，其中、为有理数，那么，且． (1)如果，其中、为有理数，那么 ， ； (2)如果，其中、为有理数，求的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，平方根，本题是阅读型题目，正确理解题干中的信息并熟练运用是解题的关键． （1）利用材料中的规定列出，的方程，解方程即可得出结论； （2）利用材料中的规定列出，的方程，解方程求得，的值，再利用平方根的意义解答即可． 【详解】（1）解：， ， ，， 解得：，， 故答案为：，； （2）， ， 即， ， ， 的算术平方根为． 题型二、实数与数轴上的动点问题 33．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求m的值： (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数与数轴、零指数幂、实数的混合运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意可知，点A表示的数加上2可得到点B所表示的数，据此即可求解； （2）由（1）得，再代入式子求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由（1）得，， ． 34．（24-25·贵州黔南·期中）如图，将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点A表示的数为_______；点B表示的数为_______． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ， ， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点B所表示的数的整数部分为_______，小数部分为_______． (3)小星想用面积为10的正方形纸片裁出一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为，他能裁出来吗？请帮他判断并说明理由．（参考数据：，．） 【答案】(1)， (2)2， (3)他不能裁出来，理由见详解 【分析】本题考查了无理数的估算，实数与数轴，算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据面积分别为10和5的正方形纸片，得边长为，再运用数形结合思想，即可作答． （2）模仿题干过程，则，即的整数部分为2，小数部分为，即可作答． （3）先列式，则，则长方形纸片的长为，根据，，故，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． 则面积分别为10和5的正方形纸片的边长为． ∴ ∴点A表示的数为；点B表示的数为， 故答案为：，； （2）解：由（1）得点B表示的数为， 依题意，， ， 的整数部分为2，小数部分为． ∴点B所表示的数的整数部分为2，小数部分为； 故答案为：2，； （3）解：他不能裁出来，理由如下： 依题意，设长方形纸片的长为， ∵一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为， ∴宽为，， 则， ∴（负值已舍去） 则长方形纸片的长为， ∵， ∴， 依题意，面积为10的正方形纸片的边长为，且 ∵ 即， ∴他不能裁出来． 35．（24-25·北京海淀·期中）如图，数轴上点所表示的数为3，老鼠在点处发现猫在其左侧距离个单位长度的点，设点所表示的数为． (1)_____． (2)发现沿数轴向右运动来抓自己，它立刻沿数轴往老鼠洞的方向逃跑，点所表示的数为5，则______，若的速度是1个单位长度/秒，的速度为个单位长度/秒，则从到达时，运动的路程是_______，______（填“能”或“不能”）逃脱的魔爪． 【答案】(1) (2)；；能 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数比较大小，无理数的估算，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）用点A表示的数减去点A和点B之间的距离即可得到答案； （2）用电C表示的数减去点B表示的数即可得到的长；求出运动的时间即可求出运动的路程；比较出运动的路程与的长的大小关系即可得到最后的答案． 【详解】（1）解：∵数轴上点所表示的数为3，老鼠在点处发现猫在其左侧距离个单位长度的点， ∴； （2）解：由（1）可得，点B表示的数为， ∵点所表示的数为5， ∴； ∵的速度是1个单位长度/秒， ∴从到达时的运动时间为秒， ∴运动的路程是， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴能逃脱的魔爪 题型三、实数与程序框图问题 36．（24-25·北京·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的x为时，输出的y值是______； (2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______； (3)若输出的y是，求x的负整数值． 【答案】(1)； (2)1，2，3； (3)或． 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）∵ 0和1的算术平方根是它本身， ∴， 解得， ， 解得或， ∴ 所有满足要求的的值为1，2，3； 故答案为：1，2，3； （3）若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵ 为负整数， ∴ 输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵ 为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值均为或． 37．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下图是一个数值转换机    (1)当输入的x为16时，输出的y值是______． (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出满足要求的x的值______． (3)若输入的值，且输出的y是，请写出满足要求的x的值______． 【答案】(1)； (2)和1； (3)5和25． 【分析】（1）根据算术平方根，即可解答； （2）根据0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，所以始终输不出值； （3）根据625的算术平方根是25，25的算术平方根是5，5的算术平方根是，进行回答即可． 【详解】（1）的算术平方根是4，4是有理数，4不能输出， 的算术平方根是2，2是有理数，2不能输出， 的算术平方根是，是无理数，输出， 故答案为： （2）和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数， 当和1时，始终输不出的值， 故答案为：和1； （3）625的算术平方根是25，25的算术平方根是5，5的算术平方根是， 当和5时，输出的y是， 故答案为：5和25． 【点睛】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义． 题型四、实数与实际应用 38．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)， (2)圆的周长较小 【分析】本题考查扇形面积的计算，实数的运算，掌握圆周长，面积的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可； （2）求出两种形状的扇子的周长即可． 【详解】（1）解：设圆形扇的半径为，正方形的边长为， 由题意得，，， ，， 故答案为：，； （2）解：圆形扇的周长为：， 正方形扇的周长为：，， ∴圆的周长较小． 39．（15-16·广西玉林·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了． 【答案】肇事汽车当时的速度超出了规定的速度． 【分析】先把d=32米，f=2分别代入v=16，求出当时汽车的速度再和100千米/时比较即可解答． 【详解】解：把d=32，f=2代入v=16， v=16=128（km/h）， ∵128＞100， ∴肇事汽车当时的速度超出了规定的速度． 【点睛】本题考查了实数运算的应用，读懂题意是解题的关键，另外要熟悉实数的相关运算． 题型五、与实数有关的材料阅读问题 40．（21-22·北京·期中）“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图． 由面积公式，可得______． 因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____． (2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程． 现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形． 请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程． 【答案】(1)，，，； (2)见解析 【分析】（1）根据图形中大正方形的面积列方程即可； （2）在网格中分别找到1×1和1×2的长方形，依次连接顶点即可． 【详解】（1）由面积公式，可得 ∵值很小，所以更小，略去，得方程，解得（保留到0.001），即． 故答案为：，，，； （2）小敏同学的做法，如图： 排列形式如图（3），如图： 画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，考查数形结合的思想，根据正方形的面积求出带根号的边长是解题的关键． 题型六、实数与新定义问题 41．（24-25八年级下·青海海东·期中）定义新运算：对于任意实数，都有，例如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义实数运算，涉及二次根式混合运算法则等知识，读懂题意，理解新定义运算公式，代值后由二次根式混合运算求解是解决问题的关键． （1）根据新定义的实数运算，代值求解即可得到答案； （2）先计算，再根据新定义的实数运算，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ． 42．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）【阅读材料】对任意一个实数，定义：表示不超过的最大整数，表示的非负纯小数部分，即．则．例：，其中，；，其中，． 【解答问题】 (1)________； (2)若，求整数的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1)6 (2)10，11 (3)12 【分析】本题考查了实数的新定义运算，无理数的估算，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据实数的新定义直接解答即可； （2）由数的新定义可得，求出不等式的解集进而即可求解； （3）根据实数的新定义分别求出和的值，进而代入计算即可求解； 【详解】（1）解：∵， ， ， 故答案为：6； （2）解：∵， ， 解得：， ∴整数的值为 10，11 ； （3）解：， ， ， 原式 ． 43．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）规定取的整数部分，例如：，，，则的值等于（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，有理数的加减混合运算，正确理解题意是解题的关键．根据的定义，分别求出的值，再代入计算即可． 【详解】， ， ， ， ， ，， 至的值均为1，至的值均为2，至的值均为3，至的值均为4，至的值均为5，至的值均为6， ． 故选：A． 44．（23-24·广西南宁·阶段练习）对于实数a，如果定义[]是一种取整运算新符号，即表示不超过a的最大整数．例如：，，对于后面结论：①当时，则的值为1或2；②因为，所以；③若方程有解，则其解有无数多个；④若，则a的取值范围是．正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查新定义，一元一次不等式．解题的关键在理解新定义，根据新定义转化为一元一次方程和不等式问题去解决． 分情况讨论，验证的所有取值即可判定①；取特殊值验证，当时，即可判定②；在0到1的范围内，找到一个特殊值，进而可以找到无数个解可判定③；把方程问题转化为不等式问题，由，得，即，可判定④． 【详解】解：①当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 故当时，则的值为或0或1或，故①错误； ②当时，，故②错误； ③当，2.1，3.1，时，方程均成立，故正③确； ④由，得，即，故④正确； ∴正确的有③④，共2个． 故选：B． 45．（22-23·安徽安庆·阶段练习）有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若a和b是有理数，，则．已知m和n是有理数． （1）若，则的算术平方根为 ； （2）若，其中是x的平方根，则x的值为 ． 【答案】 3 4 【分析】本题考查了实数的运算，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据题意可得，，从而可得，，然后代入式子中，再根据算术平方根的定义求解即可； （2）根据已知易得，从而可得，进而可得：，然后利用平方根的意义，即可解答． 【详解】解：（1）∵，m和n是有理数， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的算术平方根为3， 故答案为：3； （2）∵， ∴， ∴， ∵m和n是有理数， ∴， 解得：， ∵m，n是x的平方根， ∴， 故答案为：4． 46．（22-23八年级下·江苏南京·期末）已知，都是实数，为整数，若，则称与是关于的一组“两倍数”． (1)与_______是关于1的一组“两倍数”； (2)与_______是关于3的一组“两倍数”； (3)若，，判断与是否为关于某整数的一组“两倍数”，说明理由． 【答案】(1)4 (2) (3)3 【分析】本题考查了新概念——“两倍数”，实数的混合运算．理解新概念，熟练掌握实数的运算顺序和法则，是解题的关键． （1）根据“两倍数”的意义列式，即可求解； （2）根据“两倍数”的意义列式，即可求解； （3）根据“两倍数”的意义判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴当，时， ． 故答案为：4． （2）解：∵， ∴． ∴当，时， ． 故答案为：． （3）解：与是关于整数3的一组“两倍数”． 理由如下： ∵，， ∴ ． ∴与是关于整数3的一组“两倍数”． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3实数（2） 题型一、实数的理解 1．（22-23八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 2．（22-23八年级上·山东青岛·期中）已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 3．（24-25·湖南永州·期中）下列说法正确的是（    ） A．无理数都是带有根号的数． B．数轴上的点与有理数一一对应． C．实数分为有理数、零、无理数 D．，都是无理数． 4．（24-25·安徽蚌埠·期中）下列关于的描述正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．27的平方根 C．体积为27的正方体的棱长 D．面积为27的正方形的边长 5．（2025·河南安阳·模拟预测）下列命题属于假命题的是（   ） A．实数包括正实数，0，负实数 B．实数与数轴上的点是一一对应的 C．实数a的相反数是 D．，，，都属于无理数 题型二、实数的分类 6．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）将下列各数填入相应的集合内．在，，0，，，，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）． 有理数集合：{                                …}； 无理数集合：{                                …}； 负实数集合：{                               …}． 7．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）把下列各数填入相应的集合内； ，3.1041004… 有理数数集合：｛___________________________｝ 无理数数集合：｛___________________________｝ 8．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）把下列各数填入相应的集合内（填序号）： ①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧， ⑨…（每相邻两个1之间0的个数逐次加） (1)无理数集合{ …}； (2)分数集合{ …}； (3)负实数集合{ …}． 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）把下列各数的序号填在相应的横线上 ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧0，⑨（每两个1之间多一个0）． 整数： ； 负分数： ； 无理数： ． 10．（2024八年级上·全国·专题练习）将下列各数填在相应的横线上：，，，，，，，，，，，，． (1)整数：___________； (2)分数：___________； (3)正数：___________； (4)负数：___________； (5)有理数：___________； (6)无理数：___________； 题型三、实数的性质 11．（22-23八年级上·贵州毕节·期中）的相反数是（   ） A．3 B． C． D． 12．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（   ） A． B．0的倒数是0 C．4的平方根是2 D．的相反数是 13．（24-25八年级上·福建漳州·期中）化简： 14．（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）的平方根是 ，的绝对值是 ， ． 15．（2025·全国·专题练习）若没有平方根，则 ． 16．（24-25八年级上·河南商丘·期末）的绝对值是 ， ， ． 题型四、实数与数轴 17．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，将实数表示在数轴上为（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 19．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在数轴上，两点对应的实数分别是和，点、点到点的距离相等，则点对应的实数是 ． 20．（21-22八年级上·江西九江·期中）实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简的结果是 ． 题型五、在数轴上表示实数 21．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）下列各数在数轴上表示出来：，，，．并用“”连接起来． 22．（24-25·陕西西安·期中）把下列实数表示在如图所示的数轴上、并比较它们的大小（用“”连接）． 23．（24-25·陕西延安·期中）在如图所示的数轴上表示下列各数：，并用“”号把它们连接起来． 24．（24-25·全国·课后作业）（1）求出下列各数：①的立方根；②3的平方根；③的算术平方根． （2）将（1）中求出的每一个数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“<”连接）． 题型六、用计算器进行计算 25．（24-25·全国·课后作业）用计算器求下列各式的值（结果保留小数点后两位）： (1)； (2)； (3)． 26．（24-25·全国·课后作业）计算（结果保留小数点后两位）： (1)； (2)． 27．（24-25·全国·课后作业）用计算器求下列各式的值： (1)； (2)； (3)（结果保留小数，点后三位）． 28．（24-25·全国·课后作业）计算（结果保留小数点后两位）： (1)； (2)． 题型一、实数性质的综合问题 29．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）已知与互为相反数，求的平方根． 30．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）人们在长期的数学实践中总结了许多光辉的数学思想方法，其中转化思想是最活跃实用的数学思想方法．请你解决下列有关实数的相关问题： 已知，． (1)填空：x的绝对值是__________，y的相反数是__________． (2)填空：___________，___________． (3)计算：求的值． 31．（24-25八年级上·山西·阶段练习）已知a，b均为实数，且与互为相反数，求的值． 32．（24-25八年级上·福建泉州·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数，那么，且，运用上述知识可解决下列问题：若，其中、为有理数，那么，且． (1)如果，其中、为有理数，那么 ， ； (2)如果，其中、为有理数，求的算术平方根． 题型二、实数与数轴上的动点问题 33．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求m的值： (2)求的值． 34．（24-25·贵州黔南·期中）如图，将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点A表示的数为_______；点B表示的数为_______． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ，， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点B所表示的数的整数部分为_______，小数部分为_______． (3)小星想用面积为10的正方形纸片裁出一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为，他能裁出来吗？请帮他判断并说明理由．（参考数据：，．） 35．（24-25·北京海淀·期中）如图，数轴上点所表示的数为3，老鼠在点处发现猫在其左侧距离个单位长度的点，设点所表示的数为． (1)_____． (2)发现沿数轴向右运动来抓自己，它立刻沿数轴往老鼠洞的方向逃跑，点所表示的数为5，则______，若的速度是1个单位长度/秒，的速度为个单位长度/秒，则从到达时，运动的路程是_______，______（填“能”或“不能”）逃脱的魔爪． 题型三、实数与程序框图问题 36．（24-25·北京·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的x为时，输出的y值是______； (2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______； (3)若输出的y是，求x的负整数值． 37．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下图是一个数值转换机    (1)当输入的x为16时，输出的y值是______． (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出满足要求的x的值______． (3)若输入的值，且输出的y是，请写出满足要求的x的值______． 题型四、实数与实际应用 38．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 39．（15-16·广西玉林·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了． 题型五、与实数有关的材料阅读问题 40．（21-22·北京·期中）“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图． 由面积公式，可得______． 因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____． (2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程． 现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形． 请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程． 题型六、实数与新定义问题 41．（24-25八年级下·青海海东·期中）定义新运算：对于任意实数，都有，例如． (1)求的值； (2)求的值． 42．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）【阅读材料】对任意一个实数，定义：表示不超过的最大整数，表示的非负纯小数部分，即．则．例：，其中，；，其中，． 【解答问题】 (1)________； (2)若，求整数的值； (3)若，，求的值． 43．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）规定取的整数部分，例如：，，，则的值等于（   ） A．4 B． C．5 D． 44．（23-24·广西南宁·阶段练习）对于实数a，如果定义[]是一种取整运算新符号，即表示不超过a的最大整数．例如：，，对于后面结论：①当时，则的值为1或2；②因为，所以；③若方程有解，则其解有无数多个；④若，则a的取值范围是．正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 45．（22-23·安徽安庆·阶段练习）有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若a和b是有理数，，则．已知m和n是有理数． （1）若，则的算术平方根为 ； （2）若，其中是x的平方根，则x的值为 ． 46．（22-23八年级下·江苏南京·期末）已知，都是实数，为整数，若，则称与是关于的一组“两倍数”． (1)与_______是关于1的一组“两倍数”； (2)与_______是关于3的一组“两倍数”； (3)若，，判断与是否为关于某整数的一组“两倍数”，说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$