1.5等腰三角形（4）直角三角形的性质（题型专练）数学苏科版2024八年级上册

1.5等腰三角形（4）直角三角形的性质 题型一、含30°角的直角三角形 1．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道长200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ） A．50米 B．100米 C．150米 D．200米 【答案】B 【分析】本题考查的是角的直角三角形的性质，根据含角的直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：在中，米， 则米， 故选：B． 2．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，等腰中，在底边上取点，使得，若，则等于（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，由垂直的定义得到，则，，所以有，由此即可求解． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得，， 故选：A ． 3．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，点D是的中点，点E是的中点，，若，则的长为（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定，三线合一，含30度角的直角三角形的性质，先证明是等边三角形，再根据三线合一得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而可得出答案． 【详解】解：∵中，， ∴， ∴是等边三角形， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的另一部分倒地后与地面成角，那么这棵树折断之前的高度是 米． 【答案】9 【分析】此题考查了30度直角三角形的应用，由题意得，在直角三角形中，知道了短直角边和一锐角为30度，运用直角三角形30度角的性质，从而得出这棵树折断之前的高度． 【详解】解：∵一棵大树在离地面3米处折断，树的另一部分倒地后与地面成角， 如图，可知：，米，， ∴米， ∴折断前高度为（米）． 故答案为：9． 5．（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在等边中，于点D，于点E，若，那么的长是 ． 【答案】2 【分析】此题考查了等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由在等边三角形中，，可求得，则可求得，又由，由三线合一的知识，得出，即可求得答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：2． 题型二、利用含30°角的直角三角形的性质进行计算 6．（22-23八年级上·山西大同·阶段练习）如图，在中，，，P是上一点，且，．求的长．    【答案】 【分析】先根据等腰三角形的性质及等角对等边求得，再利用含30度直角三角形的性质求得的长即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】考查了含30度直角三角形的性质，解题关键是根据已知条件求得，再根据含30度直角三角形的性质求得的长． 7．（21-22八年级上·广东广州·期中）如图，中，，，平分，若，求的长．    【答案】 【分析】根据角平分线的定义求得，可得的直角边是斜边长度的一半；然后由三角形的外角定理知，可得，根据等角对等边可知，根据可得结论． 【详解】解：∵中，，，平分， ∴，， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的长为．    【点睛】本题考查角平分线的定义，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质．解题的关键是掌握：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 8．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，． (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，再由三角形外角的性质可得答案； （2）由含30度角的直角三角形的性质可得，再证明，则． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：在中，， ∴， ∵， ∴． 9．（24-25八年级上·河南焦作·期末）如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点E，分别延长和，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)11 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定以及余角的性质和含角的直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质以及含角的直角三角形的性质是解决本题的关键． （1）根据得到，结合垂直以及等角的余角相等即可证明； （2）结合方程思想以及含角的直角三角形的性质，然后根据已知条件计算即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， ∵， ∴， ，即是等腰三角形； （2）在中，， ， 设，则， ， ， ，即． 题型三、利用含30°角的直角三角形的实际应用 10．（23-24八年级上·全国·课后作业）“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知，，，这种草皮每平方米的售价是元，求购买这种草皮需要多少元．    【答案】元 【分析】如图，过点作交的延长线于点，则，可求出，根据含角的直角三角形的性质可求出的值，可求出，由此即可求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，则，    ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵这种草皮每平方米售价是元， ∴购买这种草皮需要元． 【点睛】本题主要考查含角的直角三角形的性质，几何图形面积的计算方法，掌握构造辅助线，运用含角的直角三角形的性质是解题的关键． 11．（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，李明同学想测量泸州白塔的高度，他在A处测得，再往前行进到达B处，此时测得，点A，B，D在同一条直线上，请根据测得的数据，求泸州白塔的高度． 【答案】30m 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，等角对等边，含直角三角形的性质， 先根据三角形外角的性质得出，进而得出，再根据直角三角形的性质得，即可得出答案． 【详解】解：∵是的外角，， ∴， 即， ∴． 在中，． 所以泸州白塔的高度是． 12．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图1是某市地铁入口的双闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度． 【答案】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用含30度的直角直角三角形的性质，本题属于基础题型．过点A作于点E，过点B作于点F，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出与的长度，然后求出的长度即可得出答案． 【详解】解：过点A作于点E，过点B作于点F，如图所示： ∵，， ∴， 由对称性可知：， ∴通过闸机的物体最大宽度为． 题型四、利用含30°角的直角三角形的性质进行证明 13．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，，，点D在上，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形．求出，从而，再证明，进而可求出的值． 【详解】解：，， ， 又， ， ， ， ． 在中，，， ，即， ． 14．（21-22八年级下·陕西西安·期中）如图，在等边中，M是的中点，，垂足为N，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】利用等边三角形的性质及“三线合一”的性质得到，再利用含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】证明：∵是等边三角形，M是的中点， ∴，平分， ∴．   ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，利用等腰三角形“三线合一”的性质求的度数是解此题的关键． 15．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，D是边的中点，点E在的延长线上，的延长线交于点F，且，若与互补，． (1)求证：是等边三角形． (2)请判断线段与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质求出，再求出，根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得解； （2）根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出，根据等腰三角形的判定定理即可得解． 【详解】（1）证明：， ， ． ， ． ，， ， ， 是等边三角形． （2）解：． 理由：由（1）得是等边三角形， ． ． ， ， ， ． D是边的中点， ． ． 题型五、直角三角形斜边的中线 16．（24-25九年级上·河南南阳·期末）如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（ ） A． B． C． D．距离不确定 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．由直角三角形斜边中线的性质得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵是斜边的中线，， ∴， ∴M，C两点间的距离为， 故选：B． 17．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，为的中点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线定理，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握直角三角形的斜边中线定理．根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：在中，，为的中点， ， ， 故选：B． 18．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，梯子滑动时，点沿滑向墙角点，点水平远离墙角点，点和点的距离（   ） A．始终不变 B．不断变小 C．不断变大 D．先变小后变大 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟知“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可解决问题． 【详解】解：∵，且点P为的中点， ∴为斜边上的中线， ∴， ∵梯子的长度不变， ∴P点和C点的距离始终不变． 故选：A． 19．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先根据垂直定义可得：，再利用直角三角形的两个锐角互余可得：，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】 解：∵，， ， ， ∵，E是斜边的中点， ， ， ， 故答案为： 20．（23-24八年级上·贵州安顺·期末）如图，是的高，是的中线，是的角平分线．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的中线、角平分线、高的概念、三角形的外角性质．根据三角形的高的概念得到，根据直角三角形、等腰三角形的性质得到，，再根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：是的高， ， ，是的中线， ，， ， ， 是的角平分线， ， ， 故答案为：． 21．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，为的中点，， (1)求的长． (2)请直接写出线段与线段之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，直角三角形斜边上的中线． （1）根据含30度的直角三角形的性质，得到，斜边上的中线，得到，即可得出结果； （2）根据30度的角所对的直角边为斜边的一半，即可． 掌握30度的角所对的直角边为斜边的一半，斜边上的中线为斜边的一半，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴． 题型六、直角三角形与作图问题 22．（20-21八年级上·上海浦东新·期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°． （1）在BC边上求作一点N，使得AN＝BN；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：CN＝2BN． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【详解】（1）作线段AB的垂直平分线交于点，点即为所求； （2）根据等腰三角形的性质计算出∠C的度数，再计算出∠CAN的度数，然后根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得CN＝2AN，进而得到CN＝2BN． 【解答】（1）解：如图，点即为所求； （2）证明：连接AN． ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝30°． ∴∠BAC＝180°﹣2∠B＝120°． ∵AN＝BN， ∴∠BAN=∠B＝30° ∴∠NAC＝∠BAC﹣∠NAB＝120°﹣30°＝90°． ∵∠C＝30°， ∴CN＝2AN． ∴CN＝2BN． 【点睛】此题主要考查了作图，等腰三角形的性质以及含30度角的直角三角形，关键是正确画出图形，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 23．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：作的角平分线交边于点M； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，直角三角形的性质，掌握作角平分线的方法以及角平分线的性质定理是解题的关键． （）首先以为圆心，适当长度为半径作圆弧，分别交边和于两点，再以这两点为圆心，大于这两点之间距离的一半为半径作圆弧，在内部交于一点，连接点与该点的射线，交边于点M，射段即为所作； （）过点M作于点D，根据角平分线的性质得出，根据直角三角形的性质得出，即可求出结果． 【详解】（1）解：如图，射段即为所求； （2）解：如图，过点M作于点D， 平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 24．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，中，． (1)用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）：在边上求作点Q，使得； (2)在（1）的条件下，连接，若，，求长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形，熟练掌握线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质是解答本题的关键． （1）结合线段垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线，交于点Q，则点Q即为所求； （2）由题意得为等边三角形，则．再根据，可得． 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点Q， 则点Q即为所求． （2）解：∵，， ∴为等边三角形， ∴． ∵，， ∴， ∴． 题型七、利用直角三角形斜边的中线进行证明 25．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）已知：如图，线段是和的公共斜边，点，分别是和的中点． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质． （1）根据斜边上的中线等于斜边上的一半，即可得证； （2）根据等腰三角形三线合一，即可得证． 掌握斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 【详解】（1）线段是和的公共斜边，点是的中点， ，， ； （2），点是的中点， ． 26．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，分别是的中点，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，进而即可求解； （）根据三线合一即可求证； 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，是的中点， ∴，， ∴； （2）证明：由（）可知， ∵是的中点， ∴． 27．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）如图，在中，为边上的高，且，在上截取一点使，延长交于点，为边上的中点，连接．    (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明过程见详解； (2)证明过程见详解． 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质等，熟练运用这些知识点是正确解答此题的关键． （1）由为边上的高，证明，都是直角三角形，用证明即可得结论； （2）由得，进而得出是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得，进而得，根据，得，等量代换得，即可证明． 【详解】（1）证明：为边上的高， ，都是直角三角形， 在和中， ， ， ； （2）证明：，， ， ， 即是直角三角形， 为边上的中点， ， ， ， ， ， ． 题型一、直角三角形的有关证明问题 28．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，点B在线段上，点E在线段上，，，，M，N分别是的中点． (1)求证：； (2)试探索和的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1)详见解析 (2)且，详见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，，得到，根据等边对等角和全等三角形的性质进行等量代换即可证明． 本题考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【详解】（1）证明：在和中， ， （2），， 理由如下： 由（1）可知 ，， M，N分别是的中点， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即， ． 29．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，点是的中点，点为边上一点，连接，，以为边在的左侧作等边三角形，连接． (1)求证：为等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决问题的关键． （1）先求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得，由此可得出结论； （2）根据等边三角形性质得，，，由此得，进而可依据“”判定，然后根据全等三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）证明：在中，，， ， ∵点是的中点， ， 为等边三角形； （2）证明：∵和均为等边三角形， ，，， ， ， 在和中，, ， ． 题型二、直角三角形与动点问题 30．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，，，点从点出发以每秒的速度向点运动，点从点同时出发以每秒的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒，当为直角三角形时，求的值． 【答案】当t的值为3秒或秒时，为直角三角形 【分析】本题考查了角直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 先表示出，，，然后分类讨论，利用角直角三角形的性质建立方程求解． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， 为直角三角形，， 当时，则， ∴， ， 解得：， 当时，则， ∴， ， 解得：， 综上，当t的值为3秒或秒时，为直角三角形． 31．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，是边长是的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿，方向匀速移动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点P到达点B时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题： (1)在点P与点Q的运动过程中，当t为何值时，是等边三角形？ (2)在点P与点Q的运动过程中，当t为何值时，是直角？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握含的直角三角形的性质是解题关键． （1）由等边三角形的性质列方程即可求解； （2）结合是直角，由直角三角形的性质列方程即可求解． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， 根据题意得，， ， ． 时，为等边三角形， ， 解得； （2）解：根据题意得，， ， ∵，， ， ， 即， 解得； 当时，是直角． 32．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，点D在上，，延长至点E，使，过点E作于点F，交于点G，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得，，由线段的数量关系可求解，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ，，， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：D． 33．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在等边三角形中，，点D是的中点，过点D作于点F，过点F作于点E，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形，由等边三角形性质得到，，根据含角的直角三角形求出，求出，再根据含角的直角三角形求出，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 34．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，已知，点M在边上，且，点N和点P分别是和上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，垂线段最短及直角三角形角所对直角边等于斜边一半，作M关于的对称点，过作交于一点即为最小距离和点P，结合直角三角形角所对直角边等于斜边一半求解即可得到答案． 【详解】解：作M关于的对称点，过作交于一点P，如图所示， ∵是M关于的对称点，，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴． ∴， 故答案为：． 35．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，E在上，，D在上，且，若，，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，含有的直角三角形的性质，熟练掌握含有的直角三角形的性质是解题的关键．在线段上截取，使，先证得，即可得出，进而得到，再根据含有的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：在线段上截取，使， 在和中， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 故答案为：1． 36．（24-25八年级上·上海·阶段练习）等腰中，过作的垂线，垂足为，且，则底角的度数为 ． 【答案】或或． 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，关键在于分类讨论思想的应用．分点A是顶角顶点、点A是底角顶点、在外部和在内部三种情况，根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质计算． 【详解】解：①如图1，当点A是顶角顶点时， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴ ②如图2，当点A是底角顶点，且在内部时， 设， ∵， ∴， 取的中点F，连接， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， ∴ ∴， 故底角为， ③如图3，当点A是底角顶点，且在外部时， 设， ∵， ∴， 取的中点，连接， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴ 综上：底角的度数为或或． 故答案为：或或． 37．（23-24八年级上·四川南充·期中）如图，在中是边长为的等边三角形，有一动点M自A向B以的速度运动，动点N自B向C以的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发，当M到达B点时，M，N两点停止运动． (1)经过多少秒，为等边三角形； (2)经过多少秒，为直角三角形． 【答案】(1)经过秒为等边三角形 (2)经过4秒或秒，是直角三角形 【分析】本题主要考查等边三角形的判定、直角三角形的性质及一元一次方程的应用，根据题意分类讨论且掌握直角三角形的性质是解题的关键． （1）设时间为，表示出、，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得； （2）分①时，即可知，依据列方程求解可得；②时，知，依据列方程求解可得． 【详解】（1）解：设经过秒，为等边三角形， 则， ， ∵是等边三角形， ∴， 当为等边三角形时，， 根据题意得：， 解得：， 答：经过秒为等边三角形； （2）解：设经过秒，是直角三角形， ①当时， ， ， ∴，即， 解得：； ②当时， ， ， ，即， 解得：， 答：经过4秒或秒，是直角三角形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5等腰三角形（4）直角三角形的性质 题型一、含30°角的直角三角形 1．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道长200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ） A．50米 B．100米 C．150米 D．200米 2．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，等腰中，在底边上取点，使得，若，则等于（   ） A．2 B．3 C． D． 3．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，点D是的中点，点E是的中点，，若，则的长为（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的另一部分倒地后与地面成角，那么这棵树折断之前的高度是 米． 5．（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在等边中，于点D，于点E，若，那么的长是 ． 题型二、利用含30°角的直角三角形的性质进行计算 6．（22-23八年级上·山西大同·阶段练习）如图，在中，，，P是上一点，且，．求的长．    7．（21-22八年级上·广东广州·期中）如图，中，，，平分，若，求的长．    8．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在中，． (1)求的度数； (2)求的长． 9．（24-25八年级上·河南焦作·期末）如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点E，分别延长和，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 题型三、利用含30°角的直角三角形的实际应用 10．（23-24八年级上·全国·课后作业）“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知，，，这种草皮每平方米的售价是元，求购买这种草皮需要多少元．    11．（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，李明同学想测量泸州白塔的高度，他在A处测得，再往前行进到达B处，此时测得，点A，B，D在同一条直线上，请根据测得的数据，求泸州白塔的高度． 12．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图1是某市地铁入口的双闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度． 题型四、利用含30°角的直角三角形的性质进行证明 13．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，，，点D在上，，求的值． 14．（21-22八年级下·陕西西安·期中）如图，在等边中，M是的中点，，垂足为N，连接，求证：． 15．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，D是边的中点，点E在的延长线上，的延长线交于点F，且，若与互补，． (1)求证：是等边三角形． (2)请判断线段与的大小关系，并说明理由． 题型五、直角三角形斜边的中线 16．（24-25九年级上·河南南阳·期末）如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（ ） A． B． C． D．距离不确定 17．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，，为的中点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 18．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，梯子滑动时，点沿滑向墙角点，点水平远离墙角点，点和点的距离（   ） A．始终不变 B．不断变小 C．不断变大 D．先变小后变大 19．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，则的度数为 ． 20．（23-24八年级上·贵州安顺·期末）如图，是的高，是的中线，是的角平分线．若，则的度数为 ． 21．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，为的中点，， (1)求的长． (2)请直接写出线段与线段之间的数量关系． 题型六、直角三角形与作图问题 22．（20-21八年级上·上海浦东新·期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°． （1）在BC边上求作一点N，使得AN＝BN；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：CN＝2BN． 23．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：作的角平分线交边于点M； (2)若，求线段的长． 24．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，中，． (1)用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）：在边上求作点Q，使得； (2)在（1）的条件下，连接，若，，求长． 题型七、利用直角三角形斜边的中线进行证明 25．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）已知：如图，线段是和的公共斜边，点，分别是和的中点． 求证： (1)； (2)． 26．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，分别是的中点，证明： (1)； (2)． 27．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）如图，在中，为边上的高，且，在上截取一点使，延长交于点，为边上的中点，连接．    (1)求证：； (2)若，求证：． 题型一、直角三角形的有关证明问题 28．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，点B在线段上，点E在线段上，，，，M，N分别是的中点． (1)求证：； (2)试探索和的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 29．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，点是的中点，点为边上一点，连接，，以为边在的左侧作等边三角形，连接． (1)求证：为等边三角形； (2)求证：． 题型二、直角三角形与动点问题 30．（24-25七年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，，，点从点出发以每秒的速度向点运动，点从点同时出发以每秒的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒，当为直角三角形时，求的值． 31．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，是边长是的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿，方向匀速移动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点P到达点B时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题： (1)在点P与点Q的运动过程中，当t为何值时，是等边三角形？ (2)在点P与点Q的运动过程中，当t为何值时，是直角？ 32．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，点D在上，，延长至点E，使，过点E作于点F，交于点G，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 33．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在等边三角形中，，点D是的中点，过点D作于点F，过点F作于点E，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 34．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，已知，点M在边上，且，点N和点P分别是和上的一个动点，则的最小值为 ． 35．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，E在上，，D在上，且，若，，则的长为 ． 36．（24-25八年级上·上海·阶段练习）等腰中，过作的垂线，垂足为，且，则底角的度数为 ． 37．（23-24八年级上·四川南充·期中）如图，在中是边长为的等边三角形，有一动点M自A向B以的速度运动，动点N自B向C以的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发，当M到达B点时，M，N两点停止运动． (1)经过多少秒，为等边三角形； (2)经过多少秒，为直角三角形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$