2.2立方根（题型专练）数学苏科版2024八年级上册

2.2立方根 题型一、求一个数的立方根 1．（24-25·山西大同·期中）的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根的定义，掌握立方根的定义是解题关键． 根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：， 的立方根是． 故选：A． 2．（24-25·广西贺州·期中）一个数的立方等于，则这个数是（   ） A． B． C． D．64 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根的概念是解本题的关键． 利用立方根的定义计算，即可确定出这个数． 【详解】解：一个数的立方等于， ∴这个数是， 故选：B． 3．（23-24九年级下·广东惠州·开学考试）8的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：， 8的立方根是2． 故答案为：2． 4．（24-25·湖南怀化·阶段练习）的立方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根、立方根的计算． 根据平方根、立方根的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是； ∵ ∴的平方根是． 故答案为． 5．（24-25·全国·课后作业）求下列各数的立方根： (1)； (2)0.008； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握该定义是本题解题的关键．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根． 利用立方根的定义即可得到结果． 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以； （3）因为， 所以； 6．（24-25·全国·课后作业）求下列各数的立方根： (1)； (2)343； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)7 (3) (4) 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握该定义是本题解题的关键．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根． 利用立方根的定义即可得到结果． 【详解】（1）解：， （2）因为， 所以； （3）因为， 所以； （4）因为， 所以 题型二、开立方的化简 7．（24-25·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了立方根的求解，注意计算的准确性即可． （1）利用立方根的定义即可求解； （2）利用立方根的定义即可求解； （3）根据即可求解； 【详解】（1）解： 因为 ，所以 . （2）因为 ，所以 . （3）因为 ， 所以 . 8．（24-25·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了立方根的求解，注意计算的准确性即可． （1）利用立方根的定义即可求解； （2）根据即可求解； （3）利用立方根的定义即可求解； 【详解】（1）解： 因为 ，所以 . （2） （3）因为 ， 所以 . 题型三、立方根的理解 9．（24-25·广西防城港·期中）下列说法不正确的是（    ） A．1的立方根是1 B．的立方根是 C．的立方根是 D．125的立方根是 【答案】D 【分析】本题考查立方根的概念及求一个数的立方根，需根据各选项逐一判断正误． 【详解】解：A. 1的立方根是1，故正确； B. 的立方根是；故正确； C. 的立方根是；故正确； D. 125的立方根是；故错误； 故选：D． 10．（24-25·广东江门·期中）若，则（   ） A．0.6 B．0.06 C．0.006 D．0.0006 【答案】A 【分析】本题考查立方根，理解一个数缩小1000倍，则它的立方根缩小10倍是得出正确答案的关键． 根据立方根的定义，一个数缩小1000倍，则它的立方根就缩小10倍，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选A 11．（24-25·湖北武汉·期中）一个数的平方根与这个数的立方根相等，这个数是（    ） A．1 B． C．0 D．1或0 【答案】C 【分析】本题考查了平方根，立方根的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据平方根与立方根的定义，可知0的平方根等于0的立方根，解答即可． 【详解】解：根据平方根与立方根的定义，可知0的平方根等于0的立方根， 故选：C． 12．（2025·广东江门·一模）下列语句正确的是（　　） A．负数没有立方根 B．的立方根是 C．立方根等于本身的数只有 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了立方根的概念和求一个数的立方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此逐一求解判断即可． 【详解】解：∵正数、0和负数都有立方根， ∴选项A不符合题意； ∵64的立方根是4， ∴选项B不符合题意； ∵立方根等于本身的数有和0， ∴选项C不符合题意； ∴， ∴选项D符合题意， 故选：D． 题型四、已知立方根求这个数 13．（2025·贵州贵阳·二模）实数x的立方根等于3，16的算术平方根等于，则（    ） A． B．7 C．23 D．48 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根、算术平方根、代数式求值等知识，理解并掌握立方根和算术平方根的定义是解题关键．根据立方根和算术平方根的定义确定的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵实数x的立方根等于3，16的算术平方根等于， ∴， ∴． 故选：C． 14．（24-25·广西贵港·期中）若是数的立方根，是数的一个平方根，则的值为（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查立方根、平方根，先根据立方根、平方根的定义求出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵是数的立方根，是数的一个平方根， ∴， 则， 故选：C． 15．（24-25八年级上·四川成都·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的性质，准确分析计算是解题的关键．根据立方根的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 题型五、解方程 16．（24-25·湖北孝感·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题考查利用立方根和平方根求方程； （1）利用立方根的概念解方程即可； （2）根据平方根的概念解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， 或． 17．（24-25·黑龙江绥化·期中）求下列各式中的x的值： (1)． (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握立方根和平方根的定义是解此题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可得解； （2）利用立方根的定义解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 18．（24-25·辽宁大连·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了运用平方根、立方根的性质解方程的方法，解题关键在于掌握平方根与立方根的概念． （1）先移项，再利用直接开平方法，求解即可； （2）直接用开立方方法求解即可． 【详解】（1）解：， 方程整理得：， 开方得：， ∴或； （2）解：， 方程整理得：， 开方得：， ∴． 题型一、立方根与算术平方根、平方根的综合 19．（24-25·广东江门·阶段练习）已知的立方根是4，是9的算术平方根． (1)求a，b的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根定义和算术平方根定义，理解立方根和算术平方根定义是解题的关键． （1）根据立方根定义和算术平方根定义列方程求解即可； （2）将值代入，再求平方根即可． 【详解】（1）解： 的立方根是4，是9的算术平方根， ， 解得，； （2）将代入得，， ． 20．（24-25·福建福州·期中）已知实数的立方根是2，的平方根是，求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查立方根和平方根的定义，需注意平方根的结果有正负但平方后均为非负数．解题关键在于正确建立方程并代入求解，最后通过算术平方根的定义得出结果．首先根据立方根的定义解出x的值，再利用平方根的定义建立方程解出y的值．最后代入求出的算术平方根． 【详解】解：实数的立方根是，根据立方根定义可得： ，解得：， 又的平方根是，根据平方根定义可得： ，将代入上式： ，化简得：， 解得：， 将和代入表达式： ， 的算术平方根为． 21．（24-25·安徽六安·期中）已知一个正数x的两个平方根分别为和，的立方根是，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了平方根的意义，立方根的意义，解一元一次方程，解题关键是正确求出相关字母的值． （1）根据一个正数有两个平方，它们互相反数，列出关于的方程求解求出，再根据立方根的意义求得，然后求出的范围，从而可求得c的值； （2）先求出的值，再求出它的平方根． 【详解】（1）解：∵一个正数x的两个平方根分别为和， ∴， ∴； ∵的立方根是， ∴， ∴； ∵，c是的整数部分， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 22．（23-24·广东云浮·期末）已知的立方根是，的算术平方根是2，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查平方根和立方根的综合问题，求无理数的整数部分等知识，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）先用的立方根是，求出a，结合的算术平方根是2求出b，由c是的整数部分求出c即可； （2）将（1）中的结论代入中求值，继而求出它的平方根． 【详解】（1）解： 的立方根是， ， ． 的算术平方根是2， ， ， ．， ∵， ∴， 又∵c是的整数部分， ． 综上所述：，，； （2），，， ， ， 的平方根是． 题型二、立方根与实际问题 23．（24-25·全国·课后作业）如图是一种形状为正方体的魔方，它的体积为，它的棱长是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用．根据立方根的性质解答即可求解． 【详解】解：∵它的体积为， ∴它的棱长是． 24．（24-25·陕西西安·期中）某甜品店的李师傅制作的长方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体月饼礼盒的体积是李师傅制作的1.5倍，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了立方根，根据正方体的体积公式列等式，求体积的立方根即可． 【详解】解：设康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为， 由题意得：， 解得：， ∴康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为． 故答案为：6． 25．（24-25·陕西安康·期中）师傅打算把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，则锻造成的立方体铁块的棱长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的实际应用，先求出长方体铁块的体积，即得正方体铁块的体积，再根据立方根的定义即可求出立方体铁块的棱长，理解题意是解题的关键． 【详解】解：长方体铁块的体积为， ∵长方体铁块锻造成一个立方体铁块， ∴正方体铁块的体积为， ∴立方体铁块的棱长是， 故答案为：． 26．（24-25·全国·课后作业）将这两个正方体按如图所示的方式叠放在一起．已知大正方体的体积为，小正方体的体积为，则小正方体的最高点A到大正方体底面的距离为 ． 【答案】7 【分析】此题主要考查了利用立方根的性质解决实际问题，利用正方体的体积公式，由立方根的定义分别求出大正方体和小正方体的棱长，再相加即可求解． 【详解】解：由题图可知，小正方体的最高点A到大正方体底面的距离为大正方体的棱长和小正方体棱长的和，大正方体的棱长为，小正方体的棱长为， 所以小正方体的最高点A到大正方体底面的距离为． 故答案为：7． 题型三、立方根的性质的综合应用 27．（23-24·天津·期中）已知的算术平方根是2，的立方根是2，是的整数部分． (1)求的值； (2)若是的小数部分，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根概念， （1）根据平方根，立方根的定义，估算求出的，，的值，代入计算即可得出答案； （2）先得出的值，即可得出结果； 【详解】（1）∵的算术平方根是2， ∴，解得： ∵的立方根是2 ∴，解得： ∵是的整数部分，而， ∴， ∴； （2）由（1）可知，的整数部分是， ∵是的小数部分， ∴， ∴， ∴的平方根是． 28．（23-24·安徽合肥·期中）已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】不同考查了立方根的定义，算术平方根的定义，求一个数的平方根，解二元一次方程组等知识． （1）根据立方根、算术平方根的定义得到关于a、b的方程组，解方程组即可求解； （2）先求出，即可求出的平方根为． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）解：， ∵4的平方根为， ∴的平方根为． 29．（24-25·江西南昌·期中）若，则的值为 ． 【答案】2或或 【分析】本题考查立方根的性质，解题的关键是根据立方根等于它本身的数的特点来建立方程求解． 利用立方根等于它本身的数有这一性质，分别令等于，然后求解的值． 【详解】因为立方根等于它本身的数只有，已知， 所以分以下三种情况讨论： 情况一：当时，解得； 情况二：当时，解得； 情况三：当时，解得； 综上，的值为2或或． 故答案为：2或或． 30．（24-25·河南商丘·阶段练习）已知x为有理数，且，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、平方根，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合立方根的性质得，解出，再代入，得，再求出的平方根，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为． 故答案为： 31．（24-25·河南驻马店·阶段练习）已知与互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根定义，立方根定义，根据与互为相反数，得出，求出，代入，求出结果即可． 【详解】解：由题可得． 解得． ． 的平方根是， 的平方根是． 题型四、立方根的小数点移动规律 32．（24-25·福建南平·期中）（1）已知，则 ； （2）已知，，则 ． 【答案】 0.2646 6.69 【分析】本题考查算术平方根，立方根，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）根据算术平方根的性质即可求得答案； （2）根据立方根的性质即可求得答案． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：； （2）， ， 故答案为：6.69． 33．（24-25·青海海东·期中）观察．推测：若，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了算术平方根与立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位；立方根的规律为，根号内的小数点移动3位，其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴ 故答案为：． 34．（24-25·广东汕头·期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义填表即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 （2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位； （3）①， ， 介于整数12和13之间； ②， ； ③设正方体的棱长为a米，则， 由②知， ； ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 题型五、立方根的材料探究问题 35．（24-25·河南焦作·阶段练习）先阅读材料，再解答问题． __________，__________， ____________________． __________． (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ； (2)计算的值． 【答案】(1)；；； ；互为相反数 (2) 【分析】本题考查立方根的性质，熟练掌握立方根的性质，是解题的关键： （1）根据给出的等式，结合立方根的定义，进行求解即可； （2）先求出立方根再进行加法计算即可． 【详解】（1）解： ，， ． ． 故互为相反数的两个数的立方根的关系为互为相反数； 故答案为：；；； ；互为相反数． （2） ． 36．（22-23·四川南充·阶段练习）阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的应用，解一元一次方程，观察并总结规律是解题的关键． （1）用含、的式子表达规律即可得答案； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程求出的值即可,进而求得算术平方根，即可． 【详解】（1）解：由规律可得：对于任意两个有理数、，若，则， 故答案为：． （2）解：若与的值互为相反数，则， 解得：． ∴ 37．（24-25·河南洛阳·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】(1) (2)3 (3)，或， 【分析】本题考查求一个负数的立方根，算术平方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据算术平方根的性质，立方根的性质，算术平方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 【详解】（1）解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； （2）解：∵， ∴和 互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：∵，即， ∴或1 解得：或 ∵与互为相反数，即， ∴，即， ∴当时，； 当，． 38．（23-24·福建厦门·期末）小兵喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换． A变换：首先对一个数取立方根，然后取不小于该立方根的最小整数； B变换：首先对一个非负数取算术平方根，然后减去1． 例如：6经过一次A变换得到2，7经过一次B变换得到． (1)11经过一次A变换得到的数是______； (2)m经过一次B变换得到b，若，求m的值； (3)x经过一次A变换得到a，再经过一次B变换得到1，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查立方根、算术平方根、不等式的相关知识，读懂题目中得变换是解题的关键． （1）根据A变换的方式进行，要理解不小于三个字的意思； （2）先求出m经过一次B变换得到，再得到等式求解即可； （3）根据x经过一次A变换得到a，得到不等式组，再根据经过一次B变换得到1，算出即可求解， 【详解】（1）解：11经过一次A变换， ， 得到的数是， 故答案为：； （2）解：m经过一次B变换得到b， ， ， 即， 解得：， ； （3）解：x经过一次A变换得到a， ， 再经过一次B变换得到1， ， 解得：， 题型六、立方根的新定义问题 39．（24-25·山东德州·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 【答案】(1) (2)为任意实数 (3)或 【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． （1）进行开方运算即可； （2）根据定义，进行计算即可； （3）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵是一个数的四次方， ， ， ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的三次方， ∴为任意实数． 故答案为：为任意实数； （3）解：， ， ， ， 或， 或． 40．（24-25·山东临沂·期中）下列判断：①的平方根是；②与互为相反数；③，则；④0.1的算术平方根是0.01，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查平方根、立方根、算术平方根及非负性，根据平方根和算术平方根的定义逐项判断解答即可． 【详解】解：①的平方根是，故①错误； ②与相反数，故②正确； ③，则且，解得，，即，故③正确； 0.1的算术平方根是，故④错误； 综上分析可知，正确的是②③，有个， 故选：B． 41．（24-25·湖北武汉·期中）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，看懂运算程序是解题的关键． 【详解】解：当时，算术平方根为，是有理数，再取立方根，是有理数，倒回再取的算术平方根为，是无理数， ∴输出的值为， 故选：． 42．（2025·山东潍坊·一模）已知为实数，规定运算：，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查数式规律问题，根据规定列式计算后总结规律，然后计算的值即可． 【详解】解：当时， ， ， ， ， ， …… ,     ， ， ， 故选: C． 43．（24-25·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ． 【答案】68 【分析】本题考查立方根，根据题意所给方法确定314432的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答． 【详解】解：， 又， ， ∴能确定314432的立方根是个两位数． 314432的个位数是2， 又， ∴能确定314432的立方根的个位数是8． 划去314432后面的三位432得到数314，而，则， 可得，由此能确定314432的立方根的十位数是6， 因此314432的立方根是68， 故答案为68． 44．（24-25·内蒙古呼和浩特·期中）已知，都是有理数，观察表中的运算，则 ． ，的运算 运算的结果 10 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、立方根，熟练掌握立方根的性质是解题关键．先建立二元一次方程组，利用加减消元法可得的值，再代入计算立方根即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 则， 故答案为：3． 45．（24-25·山东德州·期中）综合与实践． (1)【初步操作】如图1，把两个面积为的小正方形沿对角线剪开，拼成一个面积为的大正方形，可得小正方形的对角线长（大正方形的边长）为________； (2)【类比操作】把长为2、宽为1的两个小长方形沿对角线剪开，拼成如图2所示的一个大正方形（内部空白是一个小正方形），仿照上面的探究方法求小长方形的对角线长； (3)【计算拓展】若3是的一个平方根，的立方根是2，为图2中小正方形边长的小数部分，请计算的平方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，求一个数的平方根，根据立方根和平方根求原数，实数的运算，无理数的估算等等， 熟知相关知识是解题的关键． （1）根据正方形面积计算公式求解即可； （2）大正方形面积等于四个小长方形面积加上中间的小正方形面积，则，解方程即可得到答案； （3）根据平方根和立方根的定义求出a、b的值，再根据（2）所求求出c的值，进而求出的值，最后根据平方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为，即小正方形的对角线的长为； （2）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴小长方形的对角线长为； （3）解：∵3是的一个平方根，的立方根是2， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为图2中小正方形边长的小数部分， ∴， ∴， ∴的平方根为． 46．（24-25·北京·期中）小兵喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换： A变换：首先对实数取算术平方根，减去1； B变换：首先对实数取立方根，然后取不超过该立方根的最大整数；例如：实数7经过一次变换得到，实数10经过一次变换得到2． (1)①实数25经过一次变换所得的数是_______； ②实数25经过一次B变换所得的数是_______； (2)整数m经过两次B变换得到的数是1，则m的最小值是_______；最大值是_______； (3)实数经过一次变换得到的数是，实数经过一次变换得到的数是，是否存在使得成立？若存在请直接写出的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1)①4；②2 (2)1，511 (3)存在，x的值为4或9 【分析】本题考查了实数的运算，涉及算术平方根，立方根，无理数的估算． （1）①根据题意，列式进行计算即可；②根据题意，列式进行计算即可； （2）根据立方根的定义列式求解即可； （3）根据题意，列出x的方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解：①根据题意得：， 故答案为：4； ②， ， 不超过的最大整数为2， 故答案为：2； （2）解：根据题意得：， ，且m是整数， m的最小值是1；最大值是； 故答案为：1，511； （3）解：存在，x的值为4或9， ，， 当时，即， ， 当时，， ， ∴当时，， 当时，， ， 所以当时，， 当时，的最小值为，的最小值为3， ， 不存在x值使得， x的值为4或9时，成立． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2立方根 题型一、求一个数的立方根 1．（24-25·山西大同·期中）的立方根是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25·广西贺州·期中）一个数的立方等于，则这个数是（   ） A． B． C． D．64 3．（23-24九年级下·广东惠州·开学考试）8的立方根是 ． 4．（24-25·湖南怀化·阶段练习）的立方根是 ；的平方根是 ． 5．（24-25·全国·课后作业）求下列各数的立方根： (1)； (2)0.008； (3)． 6．（24-25·全国·课后作业）求下列各数的立方根： (1)； (2)343； (3)； (4)． 题型二、开立方的化简 7．（24-25·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 8．（24-25·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 题型三、立方根的理解 9．（24-25·广西防城港·期中）下列说法不正确的是（    ） A．1的立方根是1 B．的立方根是 C．的立方根是 D．125的立方根是 10．（24-25·广东江门·期中）若，则（   ） A．0.6 B．0.06 C．0.006 D．0.0006 11．（24-25·湖北武汉·期中）一个数的平方根与这个数的立方根相等，这个数是（    ） A．1 B． C．0 D．1或0 12．（2025·广东江门·一模）下列语句正确的是（　　） A．负数没有立方根 B．的立方根是 C．立方根等于本身的数只有 D． 题型四、已知立方根求这个数 13．（2025·贵州贵阳·二模）实数x的立方根等于3，16的算术平方根等于，则（    ） A． B．7 C．23 D．48 14．（24-25·广西贵港·期中）若是数的立方根，是数的一个平方根，则的值为（　　） A．2 B． C．1 D． 15．（24-25八年级上·四川成都·期中）若，则 ． 题型五、解方程 16．（24-25·湖北孝感·期中）解方程： (1)； (2)． 17．（24-25·黑龙江绥化·期中）求下列各式中的x的值： (1)． (2)． 18．（24-25·辽宁大连·期中）解方程： (1) (2) 题型一、立方根与算术平方根、平方根的综合 19．（24-25·广东江门·阶段练习）已知的立方根是4，是9的算术平方根． (1)求a，b的值． (2)求的平方根． 20．（24-25·福建福州·期中）已知实数的立方根是2，的平方根是，求的算术平方根． 21．（24-25·安徽六安·期中）已知一个正数x的两个平方根分别为和，的立方根是，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 22．（23-24·广东云浮·期末）已知的立方根是，的算术平方根是2，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 题型二、立方根与实际问题 23．（24-25·全国·课后作业）如图是一种形状为正方体的魔方，它的体积为，它的棱长是多少？ 24．（24-25·陕西西安·期中）某甜品店的李师傅制作的长方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体月饼礼盒的体积是李师傅制作的1.5倍，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为 ． 25．（24-25·陕西安康·期中）师傅打算把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，则锻造成的立方体铁块的棱长是 ． 26．（24-25·全国·课后作业）将这两个正方体按如图所示的方式叠放在一起．已知大正方体的体积为，小正方体的体积为，则小正方体的最高点A到大正方体底面的距离为 ． 题型三、立方根的性质的综合应用 27．（23-24·天津·期中）已知的算术平方根是2，的立方根是2，是的整数部分． (1)求的值； (2)若是的小数部分，求的平方根． 28．（23-24·安徽合肥·期中）已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 29．（24-25·江西南昌·期中）若，则的值为 ． 30．（24-25·河南商丘·阶段练习）已知x为有理数，且，则的平方根为 ． 31．（24-25·河南驻马店·阶段练习）已知与互为相反数，求的平方根． 题型四、立方根的小数点移动规律 32．（24-25·福建南平·期中）（1）已知，则 ； （2）已知，，则 ． 33．（24-25·青海海东·期中）观察．推测：若，则 ． 34．（24-25·广东汕头·期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______ ； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 题型五、立方根的材料探究问题 35．（24-25·河南焦作·阶段练习）先阅读材料，再解答问题． __________，__________， ____________________． __________． (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ； (2)计算的值． 36．（22-23·四川南充·阶段练习）阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 37．（24-25·河南洛阳·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 38．（23-24·福建厦门·期末）小兵喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换． A变换：首先对一个数取立方根，然后取不小于该立方根的最小整数； B变换：首先对一个非负数取算术平方根，然后减去1． 例如：6经过一次A变换得到2，7经过一次B变换得到． (1)11经过一次A变换得到的数是______； (2)m经过一次B变换得到b，若，求m的值； (3)x经过一次A变换得到a，再经过一次B变换得到1，求x的取值范围． 题型六、立方根的新定义问题 39．（24-25·山东德州·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 40．（24-25·山东临沂·期中）下列判断：①的平方根是；②与互为相反数；③，则；④0.1的算术平方根是0.01，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 41．（24-25·湖北武汉·期中）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 42．（2025·山东潍坊·一模）已知为实数，规定运算：，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 43．（24-25·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ． 44．（24-25·内蒙古呼和浩特·期中）已知，都是有理数，观察表中的运算，则 ． ，的运算 运算的结果 10 45．（24-25·山东德州·期中）综合与实践． (1)【初步操作】如图1，把两个面积为的小正方形沿对角线剪开，拼成一个面积为的大正方形，可得小正方形的对角线长（大正方形的边长）为________； (2)【类比操作】把长为2、宽为1的两个小长方形沿对角线剪开，拼成如图2所示的一个大正方形（内部空白是一个小正方形），仿照上面的探究方法求小长方形的对角线长； (3)【计算拓展】若3是的一个平方根，的立方根是2，为图2中小正方形边长的小数部分，请计算的平方根． 46．（24-25·北京·期中）小兵喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换： A变换：首先对实数取算术平方根，减去1； B变换：首先对实数取立方根，然后取不超过该立方根的最大整数；例如：实数7经过一次变换得到，实数10经过一次变换得到2． (1)①实数25经过一次变换所得的数是_______； ②实数25经过一次B变换所得的数是_______； (2)整数m经过两次B变换得到的数是1，则m的最小值是_______；最大值是_______； (3)实数经过一次变换得到的数是，实数经过一次变换得到的数是，是否存在使得成立？若存在请直接写出的值，若不存在请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$