2.3实数（1）无理数（题型专练）数学苏科版2024八年级上册

2.3实数（1）无理数 题型一、无理数的识别 1．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）在实数，0，，中，属于无理数的是（   ） A． B．0 C． D． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列实数中：0.2020020002…（每两个2之间多1个0），，，，，无理数个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）在数字，，，，（相邻两个之间的个数逐次多），，中，无理数的个数是（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 4．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）在实数，，，0，，0.101001000100001中，无理数有（　　）个 A．2 B．3 C．4 D．5 5．（22-23八年级上·贵州毕节·期中）下列数：3.1234，，0，，（每两个4中间有一个1），，7.12345678…（小数部分为连续的自然数）．其中无理数是 ． 题型二、大小比较问题 6．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）下列实数中，比小的数是（   ） A． B． C． D． 7．（2023·宁夏银川·三模）下列实数：①，②，③，④，⑤，其中无理数有 个． 8．（24-25·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列各数：①，②，③0，④，⑤，⑥，⑦，其中无理数有 个． 9．（24-25八年级上·全国·期末）下列实数：，，，，最小的是（  ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）比较大小关系： 3（填“>”或“<”或“=”）． 11．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）比较大小： ． 12．（2025·全国·专题练习）（1）比较与的大小； （2）比较与的大小 题型三、无理数的估算 13．（24-25八年级上·福建泉州·期末）与最接近的整数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 14．（24-25八年级上·陕西西安·期末）估算的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 15．（24-25·湖北黄石·期中）写出一个在2与4之间的无理数 16．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知n为整数，且，则n等于 ． 17．（24-25·全国·课后作业）下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？ (1)； (2)； (3)． 18．（24-25·全国·课后作业）写出所有符合下列条件的数： (1)小于的所有正整数； (2)大于且小于的所有整数； (3)绝对值小于的所有整数． 题型一、灵活比较无理数的大小 19．（24-25八年级下·全国·假期作业）比较下列各对数的大小： (1)和 (2)和 20．（24-25·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)与2； (2)与2.5； (3)与． 题型二、无理数的整数部分和小数部分 21．（24-25·广东肇庆·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分，又例如：∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： (1)求的整数部分和小数部分； (2)m，n是两个相邻整数，且，求的算术平方根； 22．（24-25·重庆铜梁·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： (1)求的整数部分和小数部分； (2)m，n是两个相邻整数，且，求的算术平方根； (3)若的整数部分为x，小数部分为y，求． 题型三、材料阅读探究问题 23．（24-25·广西河池·期中）理解与应用 【阅读材料】设a，b是有理数，且满足，求a，b的值． 解：由得． 因为a，b都是有理数， 所以，也是有理数． 因为是无理数， 所以，，解得：，， 【方法应用】设x，y是有理数，满足，求的值． 题型四、与无理数有关的程序框图设计问题 24．（2025七年级·全国·专题练习）有一个数值转换器，其工作原理如下图所示． (1)若输入x的值是256，则输出y的值是_______； (2)若输入有效的x的值后，始终输不出y的值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由． 25．（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示． (1)若输入有意义的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (2)若输出的值是，求的负整数值． 26．（24-25·北京朝阳·期中）一个数值转换器如图所示： (1)当输入的x值为16时，输出的y值是 ． (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为 ． (3)若输出的y值是，请直接写出两个满足要求的x的值 ． 27．（23-24·浙江·期末）有一个数值转换器，运算流程如下： (1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值． (2)若输出的值为，求输入的值． 28．（24-25·河南漯河·期中）【阅读理解】阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为2，将减去其整数部分2，差就是小数部分为． 【问题解决】 请解答： (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)已知：小数部分是m，小数部分是n，且，请求出满足条件的x的值． 29．（24-25·湖北武汉·期中）人教版册数学课本第58页的“阅读与思考”：为什么说不是有理数． (1)【阅读与思考】 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得， 两边平方得， 即_______．① 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 设（s是正整数），代入①得，_______． 所以q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质．这与假设p和q互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． (2)【运用并解决】 类比上述的阅读与思考，推理说明不是有理数． (3)【迁移与应用】 长方形画纸的面积为，长与宽的比为，曹同学想从中裁出半径为的圆形画纸，她的想法可行吗？请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3实数（1）无理数 题型一、无理数的识别 1．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）在实数，0，，中，属于无理数的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的定义，掌握带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数是解答本题的关键．根据无理数、有理数的定义进行判断即可得解． 【详解】解：实数，，，中，属于无理数的是， 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列实数中：0.2020020002…（每两个2之间多1个0），，，，，无理数个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数，算术平方根以及立方根，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．根据无理数的定义即可判断选择项． 【详解】解：在实数：0.2020020002…（每两个2之间多1个0），，，，中，无理数有0.2020020002…（每两个2之间多1个0），，，，共4个． 故选：C． 3．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）在数字，，，，（相邻两个之间的个数逐次多），，中，无理数的个数是（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的有些数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 【详解】解：是有理数，不符合题意； 是有限小数，属于有理数，不符合题意； 是无理数，符合题意； 是整数，属于有理数，不符合题意； （相邻两个之间的个数逐次多）是无理数，符合题意； 是无理数，符合题意； 是有理数，不符合题意； 综上可知：共有无理数个， 故选：． 4．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）在实数，，，0，，0.101001000100001中，无理数有（　　）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了无理数，算术平方根以及立方根，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键． 实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数，无限不循环小数为无理数，分为正无理数和负无理数．根据无理数的意义即可解答． 【详解】解：， 在实数，，，0，，0.101001000100001中，无理数有，，共2个． 故选：A． 5．（22-23八年级上·贵州毕节·期中）下列数：3.1234，，0，，（每两个4中间有一个1），，7.12345678…（小数部分为连续的自然数）．其中无理数是 ． 【答案】，，7.12345678…（小数部分为连续的自然数） 【分析】此题主要考查无理数的定义，算术平方根，解题的关键是熟知无限不循环小数为无理数． 首先计算算术平方根，然后根据无理数的定义求解即可． 【详解】 ∴无理数有：，，7.12345678…（小数部分为连续的自然数）． 故答案为：，，7.12345678…（小数部分为连续的自然数）． 题型二、大小比较问题 6．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）下列实数中，比小的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较，“正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数”，“两个正数比较大小，绝对值大的数大”，“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”，掌握以上知识点是解题的关键．根据以上知识点，分别判断各选项即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，，，，故本选项符合题意； 故选：D． 7．（2023·宁夏银川·三模）下列实数：①，②，③，④，⑤，其中无理数有 个． 【答案】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，解题的关键是熟练掌握无理数的定义，并熟悉初中范围内常见无理数如：，等；开方开不尽的数；等有规律的无限不循环小数．根据无理数的定义即可判断． 【详解】解：①是分数，是有理数； ②是无理数； ③开方开不尽，是无理数； ④是整数，是有理数； ⑤是无限不循环小数，是无理数； 综上，无理数有个， 故答案为：． 8．（24-25·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列各数：①，②，③0，④，⑤，⑥，⑦，其中无理数有 个． 【答案】3 【分析】本题考查无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断即可． 【详解】解：是无理数； 是分数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是无理数； 是无理数； 是整数，属于有理数； 则无理数有个． 故答案为：3． 9．（24-25八年级上·全国·期末）下列实数：，，，，最小的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．根据正数大于0大于负数，绝对值越大的负数反而越小，即可作答．也考查了立方根． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴实数，，，都大于 ∴最小的是， 故选：B． 10．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）比较大小关系： 3（填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的大小的比较，根据，即可比较大小． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，利用比差法计算是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 12．（2025·全国·专题练习）（1）比较与的大小； （2）比较与的大小 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的大小比较． （1）先确定的范围，再确定的范围，即可比较； （2）先确定和的范围，即可比较． 【详解】解：（1）因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以； （2）因为，， 所以． 题型三、无理数的估算 13．（24-25八年级上·福建泉州·期末）与最接近的整数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的方法是解本题的关键． 直接根据无理数的估算方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即最接近是4． 故选B． 14．（24-25八年级上·陕西西安·期末）估算的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】此题考查了估算无理数的大小，先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．先判断38在哪2个相邻的平方数之间，然后可得在哪2个相邻的整数之间，进而可得出的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选C． 15．（24-25·湖北黄石·期中）写出一个在2与4之间的无理数 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的估算.设这个无理数为，则，则且，然后选择一个开方开不尽的数即可． 【详解】解，设这个无理数为， 则根据题意得， ∴， ∴且满足题意， 可取， 故答案为：（答案不唯一）． 16．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知n为整数，且，则n等于 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了无理数的估算．先找出介于，之间的整数，然后求出答案即可． 【详解】解：∵，，5是整数， ∴， 故答案为：5． 17．（24-25·全国·课后作业）下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)在，之间； (2)在，之间； (3)在，之间； 【分析】本题考查的是无理数的估算； （1）由可得，即可得到答案； （2）由可得，即可得到答案； （3）由可得，即可得到答案； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴在，之间； （2）解：∵， ∴， ∴在，之间； （3）解：∵， ∴， 即， ∴， ∴在，之间 18．（24-25·全国·课后作业）写出所有符合下列条件的数： (1)小于的所有正整数； (2)大于且小于的所有整数； (3)绝对值小于的所有整数． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵，即， 正整数是大于0的整数 ∴小于的所有正整数：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴大于且小于的所有整数； （3）解：∵绝对值小于的整数满足， 而， ∴， ∴绝对值小于的所有整数有：． 题型一、灵活比较无理数的大小 19．（24-25八年级下·全国·假期作业）比较下列各对数的大小： (1)和 (2)和 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的大小比较， （1）利用乘方的方法，使它们指数相同再比较 （2）对于一正一负的根式比较，直接利用正数大于负数的性质比较即可． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴ （2）解：根据正数大于负数的原则，是负数，是正数，所以 20．（24-25·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)与2； (2)与2.5； (3)与． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数的大小比较，能灵活运用立方根的定义进行变形是解此题的关键． （1）先求出，再比较即可； （2）先求出，再比较即可； （3）先求出，再比较即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴． 题型二、无理数的整数部分和小数部分 21．（24-25·广东肇庆·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分，又例如：∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： (1)求的整数部分和小数部分； (2)m，n是两个相邻整数，且，求的算术平方根； 【答案】(1)的整数部分是4，小数部分是4 (2)11 【分析】本题考查了无理数的估算，算术平方根，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． （1）根据无理数的估算求解即可； （2）首先根据无理数的估算求出m和n的值，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是4； （2））∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵121 的算术平方根是11， ∴的算术平方根是11； 22．（24-25·重庆铜梁·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： (1)求的整数部分和小数部分； (2)m，n是两个相邻整数，且，求的算术平方根； (3)若的整数部分为x，小数部分为y，求． 【答案】(1) (2)11 (3)64 【分析】本题考查的是估算无理数的大小、算术平方根，正确运用无理数的估算方法是解题的关键． （1）根据解答； （2）估算的大小，确定、的值，再根据算术平方根的概念计算； （3）估算的大小，确定其整数部分、小数部分，计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴的整数部分是 4 ，小数部分是； （2）解：∵， ，即， 则， ， ∵的算术平方根是 11 ， 的算术平方根是 11． （3）解：∵， ， ， ． 题型三、材料阅读探究问题 23．（24-25·广西河池·期中）理解与应用 【阅读材料】设a，b是有理数，且满足，求a，b的值． 解：由得． 因为a，b都是有理数， 所以，也是有理数． 因为是无理数， 所以，，解得：，， 【方法应用】设x，y是有理数，满足，求的值． 【答案】的值为64或 【分析】本题考查的是利用平方根的含义解方程，无理数的应用，由，可得：，再进一步求解即可. 【详解】解：由， 得：． 因为x，y都是有理数， 所以，也是有理数． 因为是无理数，所以，， 解得，， 当，时， 当，时， 综上所述，的值为64或． 题型四、与无理数有关的程序框图设计问题 24．（2025七年级·全国·专题练习）有一个数值转换器，其工作原理如下图所示． (1)若输入x的值是256，则输出y的值是_______； (2)若输入有效的x的值后，始终输不出y的值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由． 【答案】(1) (2)1或0，见解析 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键． （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根，是无理数，所以输出的值为； （2）解：满足要求的x的值是1或0． 理由如下： 一个有理数，若算术平方根等于其本身，则求算术平方根的结果总是有理数，始终输不出y的值，而算术平方根等于本身的数是1和0， 所以满足要求的x的值是1或0． 25．（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示． (1)若输入有意义的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由； (2)若输出的值是，求的负整数值． 【答案】(1)1或2或3，理由见解析 (2)或． 【分析】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案； （2）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案． 【详解】（1）解：1或2或3，理由如下： ∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1， ∴当或0时， 解得或2或3， ∴当或2或3时，无论进行多少次运算都不可能是无理数； （2）解：若1次运算就是， ∴， ∴， ∴解得或， ∵x为负整数， 则输入的数为； 若2次运算输出的数是， ∴， ∴， ∴解得或， ∵， ∴不符合题意， 综上所述，或． 26．（24-25·北京朝阳·期中）一个数值转换器如图所示： (1)当输入的x值为16时，输出的y值是 ． (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为 ． (3)若输出的y值是，请直接写出两个满足要求的x的值 ． 【答案】(1) (2)0和1 (3)5和25（答案不唯一） 【分析】本题考查了算术平方根，正确理解转换器的运算法则、熟知算术平方根的定义是解题的关键； （1）根据转换器的运算程序求解即可； （2）0或1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，即可解答； （3）根据25的算术平方根是5，5的算术平方根是即可得到答案. 【详解】（1）解：当输入的x值为16时，取算术平方根，即，4是有理数， 第二次输入，取算术平方根，即，2是有理数， 第三次输入，取算术平方根，即，是无理数， 所以输出的y值是； 故答案为：； （2）解：∵0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数， ∴当和1时，始终输不出y的值； 故答案为：0和1； （3）解：25的算术平方根是5，5的算术平方根是， ∴满足要求的x的值可以是5和25； 故答案为：5和25（答案不唯一）. 27．（23-24·浙江·期末）有一个数值转换器，运算流程如下： (1)在，2，4，16中选择3个合适的数分别输入，求对应输出的值． (2)若输出的值为，求输入的值． 【答案】(1)当时，；当时，；当时， (2)3或9 【分析】（1）将，4，分别代入，计算求解即可； （2）由题意知，分当是无理数的相反数时，当是有理数的负平方根时，两种情况求解作答即可． 【详解】（1）解：当时，其算术平方根为，是无理数，故； 当时，其算术平方根为2，是有理数，故； 当时，其算术平方根为4，是有理数，故； （2）解：当是无理数的相反数时，则的算术平方根是， ∴， 当是有理数的负平方根时，则的算术平方根的负平方根是， ∴， 综上所述，的值为3或9． 【点睛】本题考查了相反数，算术平方根，平方根．熟练掌握相反数，算术平方根，平方根的概念是解题的关键． 28．（24-25·河南漯河·期中）【阅读理解】阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为2，将减去其整数部分2，差就是小数部分为． 【问题解决】 请解答： (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)已知：小数部分是m，小数部分是n，且，请求出满足条件的x的值． 【答案】(1)3； (2)0或2 【分析】本题主要考查无理数的估算，掌握算术平方根的定义是关键． （1）根据即可求解； （2）根据，得出，，求出，，得出，然后根据，开平方得出答案即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是； （2）解：∵， ∴，， ∵小数部分是m，小数部分是n， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得：或． 29．（24-25·湖北武汉·期中）人教版册数学课本第58页的“阅读与思考”：为什么说不是有理数． (1)【阅读与思考】 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得， 两边平方得， 即_______．① 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 设（s是正整数），代入①得，_______． 所以q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质．这与假设p和q互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． (2)【运用并解决】 类比上述的阅读与思考，推理说明不是有理数． (3)【迁移与应用】 长方形画纸的面积为，长与宽的比为，曹同学想从中裁出半径为的圆形画纸，她的想法可行吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)她的想法不可行，理由见解析 【分析】本题考查反证法，算术平方根的应用，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）按照步骤作答即可； （2）类比（1）的步骤作答即可． （3）求出长方形的长和宽，与圆的直径进行比较即可． 【详解】（1）解：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得， 两边平方得， 即．① 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 设（s是正整数），代入①得，． 所以q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质．这与假设p和q互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． （2）解：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得， 两边立方得， 即．① 故是偶数，因为只有偶数的立方才是偶数，所以也是偶数． 设，代入①得，． 即． 所以也是偶数，则和都是偶数，不互质．这与假设和互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． （3）她的想法不可行，理由如下： 设长方形的长为，宽为， ∴， ∴， ∴宽为， ∵圆的半径为， ∴圆的直径为； ∵， ∴她的想法不可行． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$