1.2 一定是直角三角形吗（4大基本题型） 课时同步训练 2025-2026学年 北师大版数学八年级上册

2025~2026学年度北师大版数学八年级上册课时同步训练 第一章 勾股定理 1.2 一定是直角三角形吗（4大基本题型） 【课时概述】 知识点：直角三角形的判别条件、勾股数 主要题型：判断三角形的形状、勾股数、勾股定理及其逆定理的综合运用、用勾股定理解现实应用 【知识点1】【教材重现】直角三角形的判别条件（教材P10） 1. 如果直角三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形（此判别条件也称为勾股定理的逆定理） 2. 判断一个三角形是否为直角三角形的方法 （1） 从角度上判断：三角形中有一个角是直角，或者三角形中有两个角互余 （2） 从边长上判断：两条较短边的平方和等于最长边的平方 【★易错点】在判断一个三角形是否为直角三角形时，是否等于需要通过计算说明，不能直接写成. 【知识点2】【教材重现】勾股数（教材P10） 1. 勾股数： （1） 定义：满足的三个正整数，称为勾股数 （2） 满足条件：①三个数都是正整数；②两个较小数的平方和等于最大整数的平方 （3） 扩展：勾股数的整数倍仍为勾股数，如3，4，5的2倍6，8，10仍为勾股数 （4） 常见形式：①（n为大于1的整数）；②（n为正整数）等 【★数学技巧】常见的勾股数：①3，4，5；②7，24，25；③8，15，17；④9，40，41 记忆口诀：勾三股四弦五（3，4，5），五一二记一生（5，12，13），八月十五在一起（8，15，17） 【★易错点】一组勾股数一定是直角三角形的三条边长，而直角三角形的三条边长不一定是勾股数 2. 判定勾股数的方法步骤： （1） 确定三个数是正整数； （2） 确定出最大数与另外两个较小的数，分别计算最大数的平方与另外两个较小数的平方和； （3） 进行比较，若最大数的平方等于另外两个较小数的平方和，则是勾股数，否则不是. 【★易错点】勾股数必须都是正整数，如：0.3，0.4，0.5，尽管成立，但它们都是小数，因此不是勾股数. 【例1】判断三角形的形状 【典例】已知a、b、c是一个三角形的三边长，如果满足，则这个三角形的形状是 ． 【变式1】综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验对“对等垂美四边形”进行研究．定义：对角线相等且垂直的四边形叫作对等垂美四边形． (1)定义理解 请在下面如图1所示的网格中确定两点C和D，使四边形为对等垂美四边形，且C和D均在格点上．（画出一种即可） (2)深入探究 如图2，在对等垂美四边形中，对角线与交于点O，且，．将绕点O顺时针旋转（）．B、C的对应点分别为、．如图3．请判断四边形是否为对等垂美四边形，并说明理由．（仅就图3的情况证明即可） (3)拓展运用 在（2）的条件下，若，，当为直角三角形时，直接写出点到的距离． 【变式2】如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离米，点A与地面上点C（点B、C处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离（的长）． 【变式3】已知：如图，四边形中，，，，，， (1)判断△ACD的形状，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【例2】勾股数 【典例】勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．下列各组数中是勾股数的是（　　） A．0.6，0.8，1 B．1，3，10 C．5，10，12 D．3，4，5 【变式1】下列各组数是勾股数的是（    ） A．13，14，15 B．6，8，11 C．，， D．5，12，13 【变式2】勾股数，①3，4，5；②5，，；③7，，；④9，，；…根据你发现的规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ． 【变式3】已知． (1)当时，则以的值为三边长的三角形面积为________； (2)小安猜想：当取大于1的整数时，为勾股数，你认为小安的猜想正确吗？请说明理由． 【例3】勾股定理及其逆定理的综合运用 【典例】如图，在四边形中，，连接，以为边向外作正方形，求正方形的面积． 【变式1】如图，分别以直角三角形三边为边长，向外作三个正方形，数字代表所在正方形的面积，则代表的正方形的面积是 ． 【变式2】如图，在长方形中，点在上，点在上，，，，且． (1)请用两种不同的方法计算梯形的面积，探究、、三者之间的等量关系（结果化成最简）； (2)请运用（1）中得到的结论，解决下列问题： ①当，时，长方形的面积是______； ②当，时，求面积． 【变式3】问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点，使，连接．根据________可以判定________，得出________．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是________． （方法感悟）当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种做辅助线的方法称为“中线加倍”法． （问题解决）（2）如图2，在中，是边的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． （问题拓展）（3）如图3，在中，，是的中线，，，且．直接写出的长=________． 【例4】用勾股定理解现实应用 【典例】如图，有一盏由传感器A控制的灯，装在门上方离地面的墙上，任何东西只要移至该传感器周围及以内，灯就会自动发光，一位身高的学生要使灯刚好发光，则他与门的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式1】《九章算术》中有这样一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子原高一丈（1丈尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，问折断处离地面几尺？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞 ． 【变式3】物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到定滑轮的垂直距离是，．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025~2026学年度北师大版数学八年级上册课时同步训练 第一章 勾股定理 1.2 一定是直角三角形吗（4大基本题型） 【课时概述】 知识点：直角三角形的判别条件、勾股数 主要题型：判断三角形的形状、勾股数、勾股定理及其逆定理的综合运用、用勾股定理解现实应用 【知识点1】【教材重现】直角三角形的判别条件（教材P10） 1. 如果直角三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形（此判别条件也称为勾股定理的逆定理） 2. 判断一个三角形是否为直角三角形的方法 （1） 从角度上判断：三角形中有一个角是直角，或者三角形中有两个角互余 （2） 从边长上判断：两条较短边的平方和等于最长边的平方 【★易错点】在判断一个三角形是否为直角三角形时，是否等于需要通过计算说明，不能直接写成. 【知识点2】【教材重现】勾股数（教材P10） 1. 勾股数： （1） 定义：满足的三个正整数，称为勾股数 （2） 满足条件：①三个数都是正整数；②两个较小数的平方和等于最大整数的平方 （3） 扩展：勾股数的整数倍仍为勾股数，如3，4，5的2倍6，8，10仍为勾股数 （4） 常见形式：①（n为大于1的整数）；②（n为正整数）等 【★数学技巧】常见的勾股数：①3，4，5；②7，24，25；③8，15，17；④9，40，41 记忆口诀：勾三股四弦五（3，4，5），五一二记一生（5，12，13），八月十五在一起（8，15，17） 【★易错点】一组勾股数一定是直角三角形的三条边长，而直角三角形的三条边长不一定是勾股数 2. 判定勾股数的方法步骤： （1） 确定三个数是正整数； （2） 确定出最大数与另外两个较小的数，分别计算最大数的平方与另外两个较小数的平方和； （3） 进行比较，若最大数的平方等于另外两个较小数的平方和，则是勾股数，否则不是. 【★易错点】勾股数必须都是正整数，如：0.3，0.4，0.5，尽管成立，但它们都是小数，因此不是勾股数. 【例1】判断三角形的形状 【典例】已知a、b、c是一个三角形的三边长，如果满足，则这个三角形的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】根据绝对值、完全平方数和算术平方根的非负性，可求解出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， ∵， ∴三角形为直角三角形． 故答案为直角三角形． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理，运用非负数的性质求出a、b、c的值是解题的关键． 【变式1】综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验对“对等垂美四边形”进行研究．定义：对角线相等且垂直的四边形叫作对等垂美四边形． (1)定义理解 请在下面如图1所示的网格中确定两点C和D，使四边形为对等垂美四边形，且C和D均在格点上．（画出一种即可） (2)深入探究 如图2，在对等垂美四边形中，对角线与交于点O，且，．将绕点O顺时针旋转（）．B、C的对应点分别为、．如图3．请判断四边形是否为对等垂美四边形，并说明理由．（仅就图3的情况证明即可） (3)拓展运用 在（2）的条件下，若，，当为直角三角形时，直接写出点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是对等垂美四边形，理由见解析 (3)3或 【分析】本题主要考查复杂作图，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用，正确理解“对等垂美四边形”的定义是解答本题的关键． （1）根据“对等垂美四边形”的定义作图即可； （2）连接，交于点，设与交于点，证明得，，再证明即可得出结论； （3）分是直角和为直角两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所作的对等垂美四边形； （2）是，理由如下： 解：连接，交于点，设与交于点， 由题意知，，，， ∴， 即 在和中， ∴ ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴在四边形中，，， ∴四边形是对等垂美四边形 （3）解：当是直角时，点与点重合，如图， ∴点到的距离即为， ∵， ∴点到的距离为3； 当为直角时，如图， ∵，， ∴， 设点到的距离为， ∴，即， ∴， 综上，点到的距离为3或． 【变式2】如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离米，点A与地面上点C（点B、C处于同一水平面上）的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离（的长）． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质，熟练的掌握勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）在中，根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：，， ， 是直角三角形，； （2）设米，若点恰好在边的垂直平分线上， 则米，米， 在中，， ， 解得 答：这架无人机向下飞行的距离的长）为米． 【变式3】已知：如图，四边形中，，，，，， (1)判断△ACD的形状，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)是直角三角形. (2) 【分析】本题考查了四边形的面积，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及逆定理的应用，属于中考常考题型． （1）利用勾股定理可得，再利用勾股定理的逆定理证明即可； （2）把四边形的面积转化为两个三角形的面积和求解即可． 【详解】（1）是直角三角形， 理由：在中，，，， ． ，，， ，， ， 是直角三角形，； （2）解：； ， ， 四边形的面积为84． 【例2】勾股数 【典例】勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．下列各组数中是勾股数的是（　　） A．0.6，0.8，1 B．1，3，10 C．5，10，12 D．3，4，5 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数，掌握勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、0.6和0.8不是正整数，不满足定义，选项错误； B、，不满足定义，选项错误； C、，不满足定义，选项错误； D、，满足定义，选项正确； 故选：D． 【变式1】下列各组数是勾股数的是（    ） A．13，14，15 B．6，8，11 C．，， D．5，12，13 【答案】D 【分析】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股数组的定义，如果a，b，c为正整数，且满足，那么，a、b、c叫做一组勾股数．欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A．∵，∴不是勾股数，不符合题意；     B．∵，∴不是勾股数，不符合题意； C．∵都不是整数，∴不是勾股数，不符合题意； D．∵，∴5，12，13是勾股数，符合题意 故选D． 【变式2】勾股数，①3，4，5；②5，，；③7，，；④9，，；…根据你发现的规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ． 【答案】，， 【分析】本题考查了勾股数，解题的关键是根据所给的勾股数找出规律，按照规律进行解答．根据所给的几组勾股数可找出规律，根据此规律即可求出第⑤组勾股数． 【详解】解：①，，， ②，，， ③，，， …… 第⑤组勾股数：，，， 故答案为：，，． 【变式3】已知． (1)当时，则以的值为三边长的三角形面积为________； (2)小安猜想：当取大于1的整数时，为勾股数，你认为小安的猜想正确吗？请说明理由． 【答案】(1)6 (2)小安的猜想正确，见解析 【分析】本题考查的是勾股数，整式的混合运算，熟知满足的三个正整数，称为勾股数是解题关键． （1）根据勾股定理的逆定理得到以，，的值为三边长的三角形是直角三角形，根据三角形面积公式计算即可； （2）根据勾股数的概念判断即可． 【详解】（1）解：当时，，，， ， 以，，的值为三边长的三角形是直角三角形，面积为：， 故答案为：6； （2）解：小安的猜想正确， 理由如下：， ， ， 当取大于1的整数时，，，为勾股数， 小安的猜想正确． 【例3】勾股定理及其逆定理的综合运用 【典例】如图，在四边形中，，连接，以为边向外作正方形，求正方形的面积． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先利用勾股定理计算，再求解，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴正方形的面积为． 【变式1】如图，分别以直角三角形三边为边长，向外作三个正方形，数字代表所在正方形的面积，则代表的正方形的面积是 ． 【答案】100 【分析】本题考查了以直角三角形三边为边长的图形面积，掌握以勾股定理的计算为背景是关键． 根据图示，运用以勾股定理为背景得计算即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， 故答案为：100 ． 【变式2】如图，在长方形中，点在上，点在上，，，，且． (1)请用两种不同的方法计算梯形的面积，探究、、三者之间的等量关系（结果化成最简）； (2)请运用（1）中得到的结论，解决下列问题： ①当，时，长方形的面积是______； ②当，时，求面积． 【答案】(1) (2)①28  ②14 【分析】本题考查勾股定理的证明，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． （1）证明，利用两种方法求出梯形的面积，可得结论； （2）①利用（1）中结论求出b可得结论； ②想办法求出可得结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴梯形的面积， ∴； （2）解：①当，时，， 长方形的面积是； 故答案为：28； ②当，时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴面积． 【变式3】问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点，使，连接．根据________可以判定________，得出________．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是________． （方法感悟）当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种做辅助线的方法称为“中线加倍”法． （问题解决）（2）如图2，在中，是边的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． （问题拓展）（3）如图3，在中，，是的中线，，，且．直接写出的长=________． 【答案】（1），，， （2）见解析． （3）8 【分析】（1）利用证明，得到，利用三角形三边的关系，解答即可． （2）延长到点．使．连接，利用倍长中线思想，线段垂直平分线的判定和性质，三角形三边关系定理解答即可． （3）延长，交的延长线于点． 仿照（2）的证明解答即可． 【详解】（1）解：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是， 由，， 故． 故答案为：，，，． （2）证明：延长到点．使．连接， ∵是的中点， ∴． ∵． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）证明：延长，交的延长线于点． ∵是的中线， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴． ∵，， ∴， ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形三边关系定理，线段垂直平分线的判定和性质，三角形的中线，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【例4】用勾股定理解现实应用 【典例】如图，有一盏由传感器A控制的灯，装在门上方离地面的墙上，任何东西只要移至该传感器周围及以内，灯就会自动发光，一位身高的学生要使灯刚好发光，则他与门的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用．将实际问题构造出直角三角形解决问题成为解题的关键． 如图：过点C作交于点E，构造出直角三角形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：过点C作交于点E，则， 由题意可知：， 所以． 在中，， 由勾股定理得：， ∴学生走到灯刚好发光的地方时，他离墙的距离为． 故选B． 【变式1】《九章算术》中有这样一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子原高一丈（1丈尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，问折断处离地面几尺？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设折断处离地面的高度为x尺，根据勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为x尺， 由题意得，， 故选：A． 【变式2】如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞 ． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理，进行计算即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴． 即喜鹊至少要飞． 故答案为：13 【变式3】物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到定滑轮的垂直距离是，．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟悉掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理运算求解即可； （2）利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）解：设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴绳子长度； （2）解：如图进行标注： 若物体升高，则此时， ∴在中，， ∴， 答：滑块向左滑动的距离为． 学科网（北京）股份有限公司 $$