精品解析：广东省云浮市郁南县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024-2025年第二学期义务教育阶段期中教学质量监测卷 八年级数学 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义， 根据最简二次根式的定义：①被开方数不含能开方的因数或因式；②被开方数不含分母．对各选项逐一分析即可． 【详解】A：，不是最简二次根式． B：是最简二次根式． C：，原式被开方数含分母10， 不是最简二次根式． D：，被开方数含分母3，不是最简二次根式． 综上，只有选项B是最简二次根式． 故选B． 2. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是明确二次根式中被开方数是非负数． 根据二次根式有意义的条件，列出关于的不等式，求解不等式得出的取值范围． 【详解】解：二次根式有意义的条件是， ， ． 故选：A． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的减法，二次根式的性质，二次根式的乘法及加法依次对各选项进行分析即可作出判断．掌握二次根式的运算法则和性质是解题的关键． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：C． 4. 下列各组数中，以a、b、c为边的三角形不是直角三角形的是（　　） A. a＝1，b＝，c＝ B. a＝，b＝2，c＝ C. a＝，b＝，c＝ D. a＝7，b＝24，c＝25 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形． 【详解】解：A、12+（）2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项错误； B、22+（）2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项错误； C、（）2+（）2≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故此选项正确； D、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 5. 如图在□ABCD中，已知AC=5cm，若△ACD的周长为16cm，则□ABCD的周长为（　 　） A. 22cm B. 23cm C. 24cm D. 25cm 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出AB＝CD，AD＝BC，由△ACD的周长得出AD＋CD＝11cm，得出▱ABCD的周长＝2（AD＋CD）＝22cm即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵△ACD的周长为16cm，AC＝5cm， ∴AD＋CD＝16−5＝11cm， ∴▱ABCD的周长＝2（AD＋CD）＝22cm． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形的周长，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 6. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 2，2，2 B. 6，8，10 C. 1，1， D. 0.4，0.3，0.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股数的定义：勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数；据此解答即可． 【详解】解：A、，不是勾股数，不符合题意； B、，是勾股数，符合题意； C、不是整数，不是勾股数，不符合题意； D、0.4，0.3，0.5不是整数，不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股数的定义，熟记定义是解本题的关键． 7. 如图，四边形的两条对角线相交于点，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得． 【详解】解：∵四边形的两条对角线相交于点，且互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当或时，均可判定四边形是菱形； 当时，可判定四边形是矩形； 当时， 由得：， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 故选C． 【点睛】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定． 8. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC=8，点P是边BC上的动点，则AP的长不可能为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求出AC的长，AP的长介于AC和AB的长度之间，据此即可选出正确答案． 【详解】解：∵AB=10，BC=8， ∴AC==6， 则6≤AP≤10， ∴AP长不可能是5， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，求出AC的长是解题的关键． 9. 两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形．若，且，则的长度为（　　） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、含30度角的直角三角形，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半，可得，再利用勾股定理解即可． 【详解】解：中，，， ， 在中，， 故选：D． 10. 如图所示，正方形的面积为，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设与交于点，连接，根据点B与D关于对称得，可得，即P在与的交点上时最小，即的长度，根据正方形的面积为得，根据等边三角形的性质即可得． 【详解】解：如图所示，设与交于点，连接， ∵点B与D关于对称， ∴， ∴， 即P在与的交点上时最小，即的长度， ∵正方形的面积为， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，正方形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若a＝2+，b＝2﹣，则ab的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用平方差公式计算得出答案． 【详解】解：∵， ∴ab＝＝4﹣3＝1． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确运用乘法公式是解题关键． 12. 如图，在中，，D，E分别是，的中点，则的长度为___________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，由题意可得是的中位线，再由三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：∵D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 13. 若最简二次根式与是同类二次根式，则m的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的性质，通过计算，即可完成求解． 【详解】解：∵是最简二次根式，且最简二次根式与是同类二次根式 ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式，熟知同类二次根式的定义是解题的关键：如果两个最简二次根式的被开方数相同，那么这两个二次根式叫做同类二次根式． 14. 如图，矩形中，对角线，相交于点O，于点E，，，则的长为___________．     【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理等知识，根据矩形的性质可求出，然后在中根据勾股定理求解即可． 【详解】解∶∵四边形是矩形，， ∴，， ∵，， ∴， 故答案为：2． 15. 小明在小区放风筝时，风筝意外挂在了树的顶端，热爱思考的他制定了一个测量树高的方案．如图，在地面A处测得手中剩下的风筝线为4米．后退6米后，在地面B处风筝线恰好用完（点N在点M的正下方，A、B、N在同一条直线上）．已知风筝线总长为8米，则这棵树的高度为______． 【答案】米## 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用．根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意得，米，（米），米， ∴，， ∴，， ∴， ∴（负值已舍去）， 故答案为：米． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是： （1）先根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的乘法、除法，然后合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图，在平行四边形中，延长边至F，使得，连接交于点E．求证：． 【答案】证明：∵平行四边形，， ∵ ∴ 【解析】 【分析】先证明再证明再结合对顶角相等证明，再利用全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】略 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，证明是解本题的关键． 18. 自动感应水龙头使用方便，没有开启关闭的操作，相对于传统水龙头节水率达到60%以上，为了节约用水，某校安装了一批自动感应水龙头.该批自动感应水龙头的示意图如下：在距离洗手台面的点C处连接着出水口D所在水管，水管AB的点E处安装有红外线感应装置，已知出水口D到点C的距离为，出水口D到点E的距离为，且，求红外线感应装置到洗手台面的高度的长为多少？ 【答案】 【解析】 【分析】连接，在中，由勾股定理得，根据求出的长度即可. 【详解】解：连接，如下图所示， ∵， ∴是直角三角形 在中，，，由勾股定理得： ∵， ∴ 答：红外线感应装置到洗手台面的高度的长为. 【点睛】本题主要考查了直角三角形和勾股定理的实际问题，较为简单，要熟练掌握. 19. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和化简，正确化简各数是解题关键．直接利用数轴得出、、的符号进行化简，即可求解． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，． ∴原式 ． 20. 如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB=30海里，问乙轮船每小时航行多少海里？ 【答案】12. 【解析】 【分析】根据题目提供的方位角判定AO⊥BO，然后根据甲轮船的速度和行驶时间求得OB的长，利用勾股定理求得OA的长，除以时间即得到乙轮船的行驶速度． 【详解】解： ∵OB=16×1.5=24，AB=30，∠AOB=90°， ∴ ∴18÷1.5=12（海里／时）， 答：乙船每小时航行12 海里. 21. 如图，在四边形中，，对角线交于点O，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点D作，交的延长线于点E，连接，若，求菱形的边长． 【答案】（1） 证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AD＝AB， ∵AB＝BC， ∴AD＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）通过平行线的性质和角平分线的性质得出∠ADB＝∠ABD，证出AD＝AB，由AB＝BC得出AD＝BC，得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论． （2）由菱形的性质得AC⊥BD，OB＝OD=BD， OC＝AC＝2，由直角三角形斜边上的中线性质得出OD= OE=3，再由勾股定理即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB＝OD=BD， OC＝AC＝2， ∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝90°， ∵OB＝OD， ∴OE＝BD， ∵OD=BD， ∴OD= OE=3， 在Rt△OCD中，由勾股定理得： 即菱形的边长是 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定，等腰三角形的判定平行线的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解此题的关键． 22. 综合与探究 【问题情境】圆圆与方方运用折叠纸片研究平行四边形． 【操作判断】如图1，将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合，证明：． 【类比探究】如图2，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在对角线上，若点与点C，E共线，，求的长． 【问题解决】如图3，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处，若，求的长． 【答案】[操作判断] ∵将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴． [类比探究]1； [问题解决]2 【解析】 【分析】[操作判断]根据折叠的性质得，结合平行四边形的性质可得四边形是菱形，即有； [类比探究]根据平行四边形的性质得和，则，有折叠得，，由结合等腰三角形的性质有，则有，即可得； [问题解决]延长交的延长线于点，由（2）得，设，由平行四边形，，则有和，进一步证明，有和，根据列方程求解即可． 【详解】 [操作判断]略 [类比探究]∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵沿着折叠点A的对称点恰好落在对角线上， ∴，， ∴， ∴， ∵点与点C，E共线， ∴， 即， [问题解决]延长交的延长线于点， 由（2）得， ∵沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处， 设， ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∵恰好落在的中点处， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质和特殊四边形的性质． 23. 阅读下列材料： 材料一：已知平面直角坐标系内两点，，则这两点间的距离可用下列公式计算：．例如：已知，，则这两点间的距离为． 材料二：我们把叫做“均值不等式”．该不等式的推导过程如下： ∵， ∴， ∴．该不等式还可以根据不等式的性质进行变形，如： ∵， ∴， ∴． 根据上述材料，完成下列题目： （1）已知，，则________； （2）如图1，在平面直角坐标系中，点O是原点，四边形是平行四边形，且，． ①点B的坐标为________； ②连接．求证： （3）如图2，是的中线，若，，求周长的最大值． 【答案】（1）5 （2）①； ②证明：连接，过点作，垂足分别为， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ，即， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据两点的距离公式列式计算即可； （2）①利用平行四边形的性质求解即可；②连接，过点作，垂足分别为，则四边形是矩形，得到，由平行四边形的性质可得，推出，根据，即可证明结论； （3）分别过点作的平行线交于点E，连接，则四边形是平行四边形，求出，由（2）②可得：，求出，根据材料二即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：分别过点作的平行线交于点E，连接， 则四边形是平行四边形， ， 是的中线， 三点共线， 是平行四边形的对角线， ，， ， 由（2）②可得：， ， ，， ， ， ，即， ， ， 周长为：， 周长的最大值为． 【点睛】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定与性质，坐标与图形，两点间的距离公式，完全平方公式的运用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025年第二学期义务教育阶段期中教学质量监测卷 八年级数学 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列各组数中，以a、b、c为边的三角形不是直角三角形的是（　　） A. a＝1，b＝，c＝ B. a＝，b＝2，c＝ C. a＝，b＝，c＝ D. a＝7，b＝24，c＝25 5. 如图在□ABCD中，已知AC=5cm，若△ACD的周长为16cm，则□ABCD的周长为（　 　） A. 22cm B. 23cm C. 24cm D. 25cm 6. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 2，2，2 B. 6，8，10 C. 1，1， D. 0.4，0.3，0.5 7. 如图，四边形的两条对角线相交于点，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC=8，点P是边BC上的动点，则AP的长不可能为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 9. 两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形．若，且，则的长度为（　　） A. B. 2 C. 4 D. 10. 如图所示，正方形的面积为，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若a＝2+，b＝2﹣，则ab的值为_____． 12. 如图，在中，，D，E分别是，的中点，则的长度为___________． 13. 若最简二次根式与是同类二次根式，则m的值是______． 14. 如图，矩形中，对角线，相交于点O，于点E，，，则的长为___________．     15. 小明在小区放风筝时，风筝意外挂在了树的顶端，热爱思考的他制定了一个测量树高的方案．如图，在地面A处测得手中剩下的风筝线为4米．后退6米后，在地面B处风筝线恰好用完（点N在点M的正下方，A、B、N在同一条直线上）．已知风筝线总长为8米，则这棵树的高度为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： （1）； （2） 17. 如图，在平行四边形中，延长边至F，使得，连接交于点E．求证：． 18. 自动感应水龙头使用方便，没有开启关闭的操作，相对于传统水龙头节水率达到60%以上，为了节约用水，某校安装了一批自动感应水龙头.该批自动感应水龙头的示意图如下：在距离洗手台面的点C处连接着出水口D所在水管，水管AB的点E处安装有红外线感应装置，已知出水口D到点C的距离为，出水口D到点E的距离为，且，求红外线感应装置到洗手台面的高度的长为多少？ 19. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简． 20. 如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB=30海里，问乙轮船每小时航行多少海里？ 21. 如图，在四边形中，，对角线交于点O，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点D作，交的延长线于点E，连接，若，求菱形的边长． 22. 综合与探究 【问题情境】圆圆与方方运用折叠纸片研究平行四边形． 【操作判断】如图1，将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合，证明：． 【类比探究】如图2，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在对角线上，若点与点C，E共线，，求的长． 【问题解决】如图3，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处，若，求的长． 23. 阅读下列材料： 材料一：已知平面直角坐标系内两点，，则这两点间的距离可用下列公式计算：．例如：已知，，则这两点间的距离为． 材料二：我们把叫做“均值不等式”．该不等式的推导过程如下： ∵， ∴， ∴．该不等式还可以根据不等式的性质进行变形，如： ∵， ∴， ∴． 根据上述材料，完成下列题目： （1）已知，，则________； （2）如图1，在平面直角坐标系中，点O是原点，四边形是平行四边形，且，． ①点B的坐标为________； ②连接．求证： （3）如图2，是的中线，若，，求周长的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $