3.1.2 函数的表示法-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版2019）

１．区间(－３,２]用集合可表示为 (　　) A．{－２,－１,０,１,２}　　B．{x|－３＜x＜２} C．{x|－３＜x≤２} D．{x|－３≤x≤２} ２．下列各组函数中,表示同一个函数的是 (　　) A．y＝x－２和y＝x ２－４ x＋２ B．y＝x－１和y＝ x２－２x＋１ C．f(x)＝(x－１)２ 和g(x)＝(x＋１)２ D．f(x)＝ (x)２ x 和g(x)＝ x(x)２ ３．如图,函数f(x)的图象 是折线段ABC,其中A, B,C三点的坐标分别为 (０,４),(２,０),(６,４),则f (f(４))＝　　　　;不等 式f(x)＜２的解集为　　　　． ４．已知函数f(x)＝２x－３,x∈{x∈N|１≤x≤ ５},则函数f(x)的值域为　　　　　　　． ５．已知f(x)＝１－x１＋x (x∈R,且x≠－１),g(x) ＝x２－１(x∈R)． (１)求f(２),g(３)的值; (２)求f(g(３))的值及f(g(x))． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３．１．２　函数的表示法 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．掌握函数的三种表示法:解析法、列表法、图象 法以及各自的优缺点 ２．在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的 方法表示函数 ３．通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用 １．结合实例,经历函数三种表示法的抽象 过程,体会三种表示法的作用,培养学生 的数学抽象素养 ２．结合实例,加深对分段函数概念的理解 及应用,提升逻辑推理、数学运算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　如 图,艾 宾 浩 斯 遗忘 曲 线 告 诉 我 们, 学习中的遗忘是有规 律的,遗 忘 的 进 程 是 不均衡的,记忆的最初阶段遗忘的速度很快, 后来就逐渐慢了,这条曲线表明了遗忘的发展 规律是“先快后慢”. 根据初中学习的知识,你能说出以上问题是什 么法表示函数的吗? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１６􀅰 第三章　函数的概念与性质 [知识梳理] [知识点一]　函数的表示方法 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．所有的函数都能用解析法、列表法 和图象法表示吗? 为什么? ２．函数的三种表示方法各有哪些优缺点? [知识点二]　分段函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．分段函数 如果函数y＝f(x),x∈A,根据自变量x在 A 中不同的取值范围,有着不同的对应关 系,则称这样的函数为分段函数． ２．分段函数的图象 分段函数有几段,它的图象就由几条曲线组 成．在同一直角坐标系中,根据每段的定义 区间和表达式依次画出图象,要注意每段图 象的端点是空心点还是实心点,组合到一起 就得到整个分段函数的图象． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３．分段函数y＝ －x,x＜０, x,x≥０,{ 是两个函 数吗? ４．分段函数的定义域、值域是怎么规定的? [预习自测] １．一个面积为１００cm２ 的等腰梯形,上底长为 xcm,下底长为上底长的３倍,则把它的高 y(单位:cm)表示成x的函数为 (　　) A．y＝５０x(x＞０)　　B．y＝１００x(x＞０) C．y＝５０x (x＞０) D．y＝１００x (x＞０) ２．若正比例函数f(x)满足f(３)＝６,则f(x) 的解析式为　　　　． ３．图中的文物叫做垂鳞 纹圆壶,是甘肃礼县出 土的先秦时期的青铜 器皿,其身流线自若、 纹理分明,展现了中国 古代精湛的制造技术． 科研人员为了测量其 容积,以恒定的流速向 其内注水,恰好用时３０s注满,设注水过程 中,壶中水面高度为h(单位:cm),注水时间 为t(单位:s),则下列选项中最符合h关于t 的函数图象的是 (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　函数的表示法 [例１]某商场新进了１０台彩电,每台售价 ３０００元,试求售出台数x与收款数y 之间 的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法 表示出来． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　根据自变量与函数值的对应 关系用不同的方法表示． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 函数的三种表示法的选择和应用的注意点 解析法、图象法和列表法分别从三个不同 的角度刻画了自变量与函数值的对应关 系．采用解析法的前提是变量间的对应关 系明确,采用图象法的前提是函数的变化 规律清晰,采用列表法的前提是定义域内 自变量的个数较少． 在用三种方法表示函数时要注意: (１)解析法必须注明函数的定义域; (２)列表法必须罗列出所有的自变量与函 数值的对应关系; (３)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２６􀅰 数学􀅰必修第一册 􀳀[变式训练] １．已知函数f(x),g(x)分别由下表给出: x １ ２ ３ f(x) １ ３ １ x １ ２ ３ g(x) ３ ２ １ 则f(g(１))的值是　　　　． 　　　函数图象的作法及应用 [例２]作出下列函数的图象并求出其值域: (１)y＝２x＋１,x∈[０,２]; (２)y＝２x ,x∈[２,＋∞); (３)y＝x２＋２x,x∈[－２,２]． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋[思路点拨]　按列表、描点、连线的思路作图． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．画函数图象的两种常见方法 (１)描点法 一般步骤: ①列表———先找出一些(有代表性的) 自变量x,并计算出与这些自变量相对 应的函数值f(x),用表格的形式表示 出来; ②描 点———从 表 中 得 到 一 系 列 的 点 (x,f(x)),在坐标平面上描出这些点; ③连线———用光滑曲线把这些点按自 变量由小到大的顺序连接起来． (２)变换作图法:常用的有水平平移变换、 竖直平移变换、翻折变换等． ２．画函数图象的三点注意 注意 一:先 确 定 定 义 域,在 定 义 域 内 画图; 注意二:实、虚点(线)要分清; 注意三:标出关键点． 􀳀[变式训练] ２．作出下列函数的图象: (１)y＝－x＋１,x∈Z; (２)y＝２x２－４x－３,０≤x＜３． 　　　求函数解析式 [例３](１)已知f(x＋１)＝x２＋４x＋１,求 f(x)的解析式; (２)已知f(x)是一次函数,且满足３f(x＋ １)－f(x)＝２x＋９．求f(x); (３)已知f(x)满足２f(x)＋f(１x )＝３x,求f(x)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３６􀅰 第三章　函数的概念与性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)换元法,设x＋１＝t,求f(t)． (２)待定系数法． (３)构造方程组法,依题意 ２f(x)＋f(１x )＝３x ２f(１x )＋f(x)＝３x ì î í ï ï ï ï , 解方程组求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．已知f(g(x))＝h(x)求f(x),常用的两 种方法: (１)换元法,即令t＝g(x)解出x,代入h (x)中得到一个含t的解析式,即为函 数解析式,注意换元后新元的范围． (２)配凑法,即从f(g(x))的解析式中配凑 出“g(x)”,即用g(x)来表示h(x),然 后将解析式中的g(x)用x代替即可． ２．待定系数法求函数解析式 已知函数的类型,如是一次函数、二次函 数等,即可设出f(x)的解析式,再根据 条件列方程(或方程组),通过解方程 (组)求出待定系数,进而求出函数解 析式． ３．已知关于f(x)与f(１x )或f(－x)的表 达式,可根据已知条件再构造出另外一 个等式组成方程组,通过解方程组求出 f(x)． 􀳀[变式训练] ３．(１)已知反比例函数f(x)满足f(３)＝－６, 求f(x)的解析式; (２)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))＝４x －３,求f(x)的解析式; (３)已知二次函数f(x)满足f(０)＝１,f(１) ＝２,f(２)＝５,求f(x)的解析式; (４)已知f(x－１)＝x＋２ x,求f(x)的解 析式． 　　　分段函数的定义域、值域与最值 [例４](１)设函数f(x)＝ １－x２,x≤１ x２＋x－２,x＞１{ , 则f １f(２) æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．１５１６　　B．４　　C．３　　D．－３ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　∵f(２)＝２２＋２－２＝４, ∴f １f(２) æ è ç ö ø ÷＝f(１４ )＝１５１６． (２)函数f(x)＝ ２x２,０≤x≤１ ２,１＜x＜２ ３,x≥２ ì î í ï ï ï ï 的值域是 (　　) A．R　　　　　　B．[０,＋∞) C．[０,３] D．[０,２]∪{３} 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４６􀅰 数学􀅰必修第一册 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋[思路点拨]　求出每一段的值域,再合并． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．分段函数问题的常见解法 (１)求分段函数的函数值的方法:先确定要 求值的自变量的取值属于哪一段区间,然 后 代 入 该 段 的 解 析 式 求 值．当 出 现 f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值． (２)已知分段函数的函数值,求自变量的值 的方法:先假设自变量的值在分段函数定 义域的各段上,然后求出相应自变量的值, 切记要检验． (３)在分段函数的前提下,求某条件下自变 量的取值范围的方法:先假设自变量的值 在分段函数定义域的各段上,然后求出在 相应各段定义域上自变量的取值范围,再 求它们的并集即可． ２．定义域 取每一段定义域的并集． ３．值域 取每一段函数值的并集． 􀳀[变式训练] ４．(多选)已知函数f(x)＝ x２,－２≤x＜１, －x＋２,x≥１,{ 关 于函数f(x)的结论正确的是 (　　) A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为(－∞,４] C．若f(x)＝２,则x的值是－ ２ D．f(x)＜１的解集为(－１,１) 　　　分段函数的图象及应用 [例５]根据如图所示的函数y＝f(x)的图象, 写出函数的解析式． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　如图给出的图象,其实是一 个分段函数的图象,求各段图象对应的函 数解析式时,要注意其定义域是否包括所 在区间的端点． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．由分段函数的图象确定函数解析式的 方法 (１)定类型:根据自变量在不同范围内的图 象的特点,先确定函数的类型． (２)设函数式:设出函数的解析式． (３)列方程(组):根据图象中的已知点,列 出方程(组),求出该段内的解析式． (４)下结论:最后用“{”表示出各段解析式, 注意自变量的取值范围． ２．分段函数应用问题的两个关注点 (１)应用情境 日常生活中的出租车计费、自来水费、 电费、个人所得税的收取等,都是最简 单的分段函数． (２)注意问题 求解分段函数模型问题应明确分段函 数的“段”一定要分得合理． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５６􀅰 第三章　函数的概念与性质 􀳀[变式训练] ５．某市有A,B 两家羽毛球俱乐部,两家设备 和服务都很好,但收费方式不同,A 俱乐部 每块场地每小时收费６元;B 俱乐部按月计 费,一个月中２０小时以内(含２０小时)每块 场地收费９０元,超过２０小时的部分,每块 场地每小时２元,某企业准备下个月从这两 家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动, 其活动时间不少于１２小时,也不超过３０ 小时． (１)设在A 俱乐部租一块场地开展活动x 小时的收费为f(x)元(１２≤x≤３０),在B 俱 乐部租一块场地开展活动x小时的收费为 g(x)元(１２≤x≤３０),试求f(x)与g(x)的 解析式; (２)问该企业选择哪家俱乐部比较合算,为 什么? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．已知函数f(x－１)＝x２－３,则f(２)的值为 (　　) A．－２　　B．６　　C．１　　D．０ ２．某校学生实行凭学生证入校,凡是不带学生 证者一律不准进校园．某学生早上上学,骑 自行车从家里出发,离开家不久发现学生证 忘在家里了,于是返回家取上学生证,然后 改为乘坐出租车以更快的速度赶往学校．令 x(单位:min)表示离开家的时间,y(单位: km)表示离开家的距离,其中等待红绿灯及 在家取学生证的时间忽略不计,下列图象中 与上述事件吻合最好的是 (　　) ３．已知函数f(x),g(x)分别由下表给出 x １ ２ ３ f(x) ２ ３ １ g(x) ３ ２ １ (１)则当g(f(x))＝２时,x＝　　　　． (２)则f(g(２))＝　　　　． ４．已知函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x＋y)＝ f(x)＋f(y),且f(２)＝４,则f(１)＝　　　　． ５．如图所示,在边长为４的 正 方 形ABCD上 有 一 点 P,沿着折线BCDA 由B 点(起点)向 A 点(终点) 移动．设P 点移动的路程 为x,△ABP 的面积为y＝f(x)． (１)求△ABP 的面积与P 移动的路程的函 数关系式; (２)作出函数的图象,并根据图象求f(x)的 值域． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６６􀅰 数学􀅰必修第一册 ３．１．２　函数的表示法 课前预习学案 情境引入 　提示:图象法 [思考] １．提示:并不是所有的函数都能用解析式表示;事实上,图 象法也不适用于所有函数,如 D(x)＝ ０,x∈Q, １,x∈∁RQ;{ ;列 表法虽在理论上适用于所有函数,但对于自变量有无数 个取值 的 情 况,列 表 法 只 能 表 示 函 数 的 一 个 概 况 或 片段． ２．提示:三种方法的优、缺点 ３．提示:分段函数是一个函数,只不过不同范围上解析式 不同． ４．提示:定义域为各段范围的并集;值域为各段上值域的 并集． 预习自测 １．C　２．f(x)＝２x　３．A 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)列表法: x/台 １ ２ ３ ４ ５ y/元 ３０００ ６０００ ９０００ １２０００ １５０００ x/台 ６ ７ ８ ９ １０ y/元 １８０００ ２１０００ ２４０００ ２７０００ ３００００ (２)图象法: (３)解析法:y＝３０００x,x∈{１,２,３,􀆺,１０}． [例２]　[解]　(１)当x∈[０,２]时,图象是直 线y＝２x＋１的一部分,观察图象可知,其 值域为[１,５)． (２)当x∈[２,＋∞)时,图象是反比例函数 y＝ ２x 的一部分,观察图象可知其值域为 (０,１]． (３)当－２≤x≤２时,图 象 是 抛 物 线y＝x２＋２x 的 一 部分． 由图可得函数的值域是[－１,８]． [例３]　[解析]　(１)方法一:(换元法)设x＋１＝t, 则x＝t－１, 所以f(t)＝(t－１)２＋４(t－１)＋１, 即f(t)＝t２＋２t－２, 所以所求函数解析式为f(x)＝x２＋２x－２． 方法二:(配凑法) f(x＋１)＝x２＋４x＋１＝(x＋１)２＋２(x＋１)－２, 所以所求函数解析式为f(x)＝x２＋２x－２． (２)(待定系数法)由题意, 设函数为f(x)＝ax＋b(a≠０), 因为３f(x＋１)－f(x)＝２x＋９, 所以３a(x＋１)＋３b－ax－b＝２x＋９, 即２ax＋３a＋２b＝２x＋９, 由恒等式性质,得 ２a＝２, ３a＋２b＝９,{ 所以a＝１,b＝３． 所以所求函数解析式为f(x)＝x＋３． (３)２f(x)＋f(１x )＝３x,① 将①中x换成１x ,得２f(１x )＋f(x)＝３x ,② ①×２－②得３f(x)＝６x－３x． 所以f(x)＝２x－１x． [例４]　(１)[解析]　A　[由题意知f(２)＝２２＋２－２＝４, 则f １f(２)( )＝f( １ ４ )＝１－(１４ )２＝１５１６． 故选 A．] (２)[解析]　D　[当x∈[０,１]时,f(x)＝２x２∈[０,２], 所以函数f(x)的值域为[０,２]∪{２,３}＝[０,２]∪{３}．] [例５]　[解]　当－１≤x＜１时,函数y＝f(x)的图象是一 条线段,故可设f(x)＝ax＋b(a≠０),将点(－１,－２), (１,１)代入,解得a＝３２ ,b＝－１２ ,故f(x)＝３２x－ １ ２ ; 当１≤x＜２时,函数y＝f(x)的图象是一条平行于x轴 的线段,即f(x)＝１; 当２≤x≤３时,同理可得f(x)＝２． 综上可知,f(x)＝ ３ ２x－ １ ２　 (－１≤x＜１), １　(１≤x＜２), ２　(２≤x≤３)． ì î í ï ï ïï 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４８３􀅰 数学􀅰必修第一册 变式训练 １．解析:由已知,f(g(１))＝f(３)＝１． 答案:１ ２．[解]　(１)函 数y＝－x＋１,x∈Z的 图 象 是 直 线y＝ －x＋１上所有横坐标为整数的点,如图(a)所示． (２)由于０≤x＜３,故函数的图象是抛物线y＝２x２－４x－３ 介于０≤x＜３之间的部分,如图(b)． ３．解析:(１)设f(x)＝kx (k≠０),则f(３)＝k３＝－６ ,解得 k＝－１８, 所以f(x)＝－１８x (x≠０)． (２)设f(x)＝kx＋b(k≠０),则 f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝４x－３, 即 k２＝４ kb＋b＝－３{ ,解得 k＝２ b＝－１{ ,或 k＝－２ b＝３{ , 所以f(x)＝２x－１或f(x)＝－２x＋３． (３)由题意设f(x)＝ax２＋bx＋c(a≠０), 所以 f(０)＝c＝１ f(１)＝a＋b＋c＝２ f(２)＝４a＋２b＋c＝５ ì î í ïï ï ,解得 a＝１ b＝０ c＝１ ì î í ïï ï ,所以f(x)＝x２ ＋１． (４)方法一:(拼凑法)因为f(x－１)＝x＋２ x＝(x－ １)２＋４(x－１)＋３,而 x－１≥－１, 所以f(x)＝x２＋４x＋３(x≥－１)． 方法二:(换元法)令t＝ x－１, 则 x＝t＋１,且t≥－１． 所以f(t)＝(t＋１)２＋２(t＋１)＝t２＋４t＋３, 即f(x)＝x２＋４x＋３(x≥－１)． ４．BC　[函数f(x)＝ x２,－２≤x＜１, －x＋２,x≥１,{ 定义域是[－２,＋ ∞),故 A错误;当－２≤x＜１时,f(x)＝x２,f(x)∈[０, ４],当x≥１时,f(x)＝－x＋２,f(x)∈(－∞,１],故 f(x)的值域为(－∞,４],故 B正确;由函数值的分布情 况可知f(x)＝２在x≥１时无解,故当－２≤x＜１时,有 f(x)＝x２＝２,解得x＝－ ２(x＝ ２舍去),故 C正确;当 －２≤x＜１时,令f(x)＝x２＜１,解得x∈(－１,１),当 x≥１时,令f(x)＝－x＋２＜１,解 得x∈(１,＋∞),故 f(x)＜１的解集为(－１,１)∪(１,＋∞),故 D错误．] ５．解:(１)由题意f(x)＝６x,x∈[１２,３０], g(x)＝ ９０,x∈[１２,２０], ２x＋５０,x∈(２０,３０]．{ (２)①１２≤x≤２０时,６x＝９０,解得:x＝１５, 即当１２≤x＜１５时,f(x)＜g(x), 当x＝１５时,f(x)＝g(x), 当１５＜x≤２０时,f(x)＞g(x)． ②当２０＜x≤３０时,f(x)＞g(x), 故当１２≤x＜１５时,选A 俱乐部合算, 当x＝１５时,两家俱乐部一样合算, 当１５＜x≤３０时,选B 俱乐部合算． 随堂步步夯实 １．B　２．C ３．(１)１　(２)３ ４．２ ５．解:(１)函数的定义域为(０,１２),当０＜x≤４时,f(x)＝ １ ２×４×x＝２x ;当４＜x≤８时,f(x)＝１２×４×４＝８ ;当 ８＜x＜１２时,f(x)＝１２×４× (１２－x)＝２４－２x． 所以函数解析式为 f(x)＝ ２x,x∈(０,４], ８,x∈(４,８], ２４－２x,x∈(８,１２)． { (２)图 象 如 图 所 示．从 图 象 可 以 看 出 f(x)的 值 域 为(０,８]． ３．２　函数的基本性质 ３．２．１　函数的单调性与最大(小)值 第１课时　函数的单调性 课前预习学案 情境引入 　提示:(１)随着时间间隔t逐渐增大,函数值y逐渐变小, 这个试验告诉我们,在以后的学习中,我们应及时复习 刚学习过的知识． (２)“艾宾浩斯遗忘曲线”是减函数曲线． 知识梳理 知识点一、(１)f(x１)＜f(x２)　单调递增　(２)f(x１)＞ f(x２)　单调递减　 知识点二、单调递增　单调递减　单调区间 [思考] １．提示:不能． ２．提示:不一定,可能是定义域的一部分． ３．提示:y＝１x 在定义域上不是减函数,但是它有两个单调 递减区间(－∞,０),(０,＋∞)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５８３􀅰 参考答案