3.1.2 函数的表示法-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦函数的表示法这一核心知识点，系统梳理解析法、图象法、列表法三种基本表示方法，进而延伸至分段函数的概念、图象绘制及实际应用，构建从基础表示到复杂函数应用的学习支架。 资料以出生人口曲线、氰化物浓度表等实例引入，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力，通过待定系数法、换元法等解析技巧训练数学思维，结合个人所得税计算等实际问题强化数学语言表达。课中助力教师分层教学，课后通过基础巩固与综合运用练习，帮助学生查漏补缺，提升逻辑推理与数学运算素养。

3.1.2　函数的表示法 第1课时　函数的表示法　　 　　　　► 对应学生用书P60 学习目标　1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法，提升数学抽象素养．(重点)　2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，提升逻辑推理素养．(重点)　3.会求函数的解析式，提升逻辑推理和数学运算素养．(重点、难点) 　 　　　观察下列图表． (1)如图，这是我国出生人口数的变化曲线： (2)下面是大气中氰化物浓度与距污染源距离的关系表： 距污染源距离 50 100 200 300 500 氰化物浓度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01 问题　图表中表示的两者的关系都是函数关系吗？若是，分别是什么表示方法？ 提示：都是函数关系．(1)是图象法，(2)是列表法． 【自主评测】 1．教材挖掘：任何函数都能用图象法表示吗？ 提示：不是，有的函数无法作出图象，如狄利克雷函数D(x)＝ 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)任何一个函数都能用解析法表示．(　　 ) (2)函数y＝2x－1(－1≤x≤0)的图象是一条直线．(　　 ) (3)函数的图象一定是一条连续不断的曲线．(　　 ) (4)图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 　函数的表示法 例1　已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出． x 1 2 3 f(x) 2 1 1 g(x) 3 2 1 (1)f(g(3))＝________； (2)若g(f(x))＝2，则x＝________． 解析：(1)由表知g(3)＝1， ∴f(g(3))＝f(1)＝2； (2)由表知g(2)＝2，又g(f(x))＝2，得f(x)＝2，再由表知x＝1. 答案：(1)2　(2)1 类题通法 应用函数三种表示方法应注意以下三点： （1） 解析法必须注明函数的定义域； （2） 列表法必须能清楚表明自变量与函数值的对应关系； （3） 图像法必须清楚函数图像是“点”还是“线”. 　 【迁移运用】 1.某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是(　　) 解析：选D.由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0. 　函数的图象 作函数图象的基本步骤 例2　(链接教材：人教A版P68例6)作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y＝，x∈[2，＋∞)； (2)y＝x2＋2x，x∈[－2，2]. 解：(1)列表： x 2 3 4 5 … y 1 … 画图象，当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分(图1)，观察图象可知其值域为(0，1]. (2)列表： x －2 －1 0 1 2 y 0 －1 0 3 8 画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分(图2).由图可得函数的值域是[－1，8]. 类题通法 　 利用图象认识函数 左右看范围→函数的定义域； 上下看范围→函数的值域； 左右看变化→函数值随x的变化情况．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 2.画出下列函数的图象． (1)y＝x＋1(x≤0)； (2)y＝x2－2x(x>1或x<－1). 解：(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图1. (2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图2. 　求函数的解析式 (1)一次函数：y＝kx＋b，k≠0； (2)正比例函数：y＝kx，k≠0； (3)反比例函数：y＝，k≠0； (4)一元二次函数：①一般式：y＝ax2＋bx＋c；②顶点式：y＝a(x－h)2＋k；③两点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中a≠0，顶点(h，k)，与x轴交点的横坐标x1，x2. 角度一　待定系数法求解析式 例3　已知函数f(x)是一次函数，若f[f(x)]＝4x＋8，求f(x)的解析式． 解：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b. 又f[f(x)]＝4x＋8，∴a2x＋ab＋b＝4x＋8， 即 解得或 ∴f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8. 类题通法 若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程（组），通过解方程（组）求出待定系数，进而求出函数解析式. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 角度二　换元法和配凑法求解析式 例4　(一题多解)已知函数f(＋1)＝x＋2＋1，求f(x)的解析式． 解：配凑法：∵f(＋1)＝x＋2＋1＝(＋1)2， ∴f(x)＝x2.又＋1≥1，∴f(x)＝x2(x≥1). 换元法：令t＝＋1，则x＝(t－1)2.由于x≥0，所以t≥1. 代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＋1＝t2，所以f(x)＝x2(x≥1). 类题通法 换元法和配凑法求解析式的策略 (1) 换元法：令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意：换元后新元的范围． (2)配凑法：从f(g（x)）的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可．　　　 　 角度三　方程组法求解析式 例5　若f(x)＋2f(－x)＝，求f(x). 解：因为f(x)＋2f(－x)＝　①， 用－x替换x得f(－x)＋2f(x)＝－　②， ②×2－①得3f(x)＝－－＝－， 所以f(x)＝－. 类题通法 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 已知关于f(x)与f()或f(-x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 1．已知学校宿舍与办公室相距a m，某同学有重要材料要送给老师，从宿舍出发，先匀速跑步3 min来到办公室，停留2 min，然后匀速步行10 min返回宿舍，在这个过程中，这位同学行走的路程s是时间t的函数，则这个函数图象是(　　) 解析：选A.由题意可得先匀速跑步3 min来到办公室，路程是递增的；停留2 min，路程不发生变化；再匀速步行10 min返回宿舍，总路程也是增加的，只有A符合． 2．已知f(＋1)＝x＋3，则f(x)的解析式可取(　　) A．f(x)＝(x≠1) B．f(x)＝(x≠1) C．f(x)＝(x≠1) D．f(x)＝－(x≠1) 解析：选A.令t＝＋1(t≠1)，则x＝，因为f(＋1)＝x＋3，所以f(t)＝＋3＝(t≠1).所以f(x)＝(x≠1). 3．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f()·－1，则f(x)＝(　　) A．＋(x>0) B．＋(x>0) C．＋1(x>0) D．－1(x>0) 解析：选B.由f(x)＝2f()·－1，① 以替换x，得f()＝2f(x)·－1，② 把②代入①，可得f(x)＝2[2f(x)·－1]－1，即3f(x)＝2＋1. 所以f(x)＝＋(x>0). 4．一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则它的高y与x的函数关系为______________． 解析：由梯形的面积公式有100＝·y，得y＝(x>0). 答案：y＝(x>0) 5．已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2). (1)画出f(x)图象的简图； (2)根据图象写出f(x)的值域． 解：(1)f(x)图象的简图如图所示． (2)由f(x)的图象可知，f(x)所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，则f(x)的值域是[－1，3]. [课后分层练(二十)]　函数的表示法 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．已知f(3x－1)＝9x2，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)＝9x2 B．f(x)＝(x＋1)2 C．f(2)＝36 D．f(－2)＝－1 解析：选B.因为f(3x－1)＝9x2＝(3x－1)2＋2(3x－1)＋1，所以f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，则f(2)＝9，f(－2)＝1. 2．已知函数y＝f(x)，用列表法表示如下： x －2 －1 0 1 2 y 1 0 －2 2 －1 则f(－2)＋f[f(－2)]＝(　　) A．－4 B．0 C．2 D．3 解析：选D.由表格可得：f(－2)＝1， 所以f[f(－2)]＝f(1)＝2， 所以f(－2)＋f[f(－2)]＝3. 3．若函数f()＝，则函数f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝1＋x(x≠0，x≠－1) B．f(x)＝(x≠0，x≠－1) C．f(x)＝(x≠0，x≠－1) D．f(x)＝x(x≠0，x≠－1) 解析：选B.设t＝，则x＝， ∵函数f()＝， ∴f(t)＝，t≠0，t≠－1， ∴f(x)＝(x≠0，x≠－1). 4．在函数y＝|x|(x∈[－2，2])的图象上有一点P(t，|t|)，此函数的图象与x轴、直线x＝－2及x＝t围成的图形(如图阴影部分)的面积为S，则S与t的函数关系图象可表示为(　　) 解析：选B.当－2≤t<0时，S＝2－，其图象是开口向下的抛物线，顶点坐标是(0，2)； 当0<t≤2时，S＝2＋，其图象是开口向上的抛物线，顶点坐标是(0，2).所以B满足要求． 5．已知函数f(x)与g(x)的部分对应值如表所示，则方程f(g(x))＝x＋1的解集是(　　 ) x 1 2 3 g(x) 1 3 2 f(x) 2 3 1 A.{1} B．{1，2} C．{2} D．{1，2，3} 解析：选A.∵f(1)＝2，f(2)＝3，f(3)＝1，f(g(1))＝2，f(g(2))＝1，f(g(3))＝3 ， ∴只有f(g(1))＝2满足f(g(x))＝x＋1， 因此方程f(g(x))＝x＋1的解集是{1}． 6．若f(x)＝4x－3，g(2x－1)＝f(x)，则g(3)＝(　　) A．2 B．3 C．5 D．17 解析：选C.由f(x)＝4x－3，g(2x－1)＝f(x)， 令2x－1＝3，解得x＝2， 所以g(3)＝f(2)＝2×4－3＝5. 7．(2025·福建莆田期中)若函数f(x)满足f(x)＋2f()＝2x＋1，则f(2)＝(　　) A．－ B． C． D． 解析：选A.因为函数f(x)满足f(x)＋2f()＝2x＋1　①， 所以f()＋2f(x)＝＋1　②， 联立①② 解得f(x)＝－＋， ∴f(2)＝－＋＝－. 8．(多选)下列命题中，正确的有(　　) A．函数y＝·与函数y＝表示同一函数 B．已知函数f(2x＋1)＝4x－6，若f(a)＝10，则a＝9 C．若函数f(－1)＝x－3，则f(x)＝x2－x－2(x≥－1) D．若函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数f(2x)的定义域为[0，4] 解析：选BC.f(x)＝·的定义域是＝{x|x≥1}，g(x)＝的定义域是{x|x2－1≥0}＝{x|x≥1，或x≤－1}，两函数的定义域不同，故不是同一函数，所以A错误； 函数f(2x＋1)＝4x－6，若f(a)＝10，则所以故B正确； 若函数f(－1)＝x－3＝(－1)2－(－1)－2，则f(x)＝x2－x－2(x≥－1)，故C正确； 若函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数f(2x)中，0≤2x≤2，所以0≤x≤1，即函数f(2x)的定义域为[0，1]，故D错误． 9．根据下列条件，求函数的解析式： (1)已知f(＋1)＝x＋2； (2)若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1； (3)已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1). 解：(1)方法一(换元法)：设t＝＋1，t≥1，则x＝(t－1)2(t≥1). 代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1. ∴f(x)＝x2－1(x≥1). 方法二(配凑法)：∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1， ∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1). (2)用－x换x得2f(－x)－f(x)＝－3x＋1，与原式2f(x)－f(－x)＝3x＋1联立消去f(－x)得f(x)＝x＋1. (3)令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y＝(－y)2＋(－y)＋1，所以f(y)＝y2＋y＋1，即f(x)＝x2＋x＋1. 10．画出二次函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小； (2)求函数f(x)的值域． 解：f(x)＝－(x－1)2＋4的图象如图所示： (1)f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0. 所以f(1)>f(0)>f(3). (2)由图象可知二次函数f(x)的最大值为f(1)＝4， 则函数f(x)的值域为(－∞，4]. 【综合运用】 11．函数y＝的大致图象是(　　) 解析：选A.y＝的定义域为{x|x≠－1}，排除C、D；当x＝0时，y＝0，排除B. 12．(2025·广西北海期末)若函数f(x＋)＝x2＋，且f(m)＝4，则实数m的值为(　　) A． B．或－ C．－ D．3 解析：选B.令x＋＝t(t≥2或t≤－2)，x2＋＝(x＋)2－2＝t2－2，∴f(t)＝t2－2，f(m)＝m2－2＝4，∴m＝±. 13．设函数f(x)＝(a，b为非零常数)满足： (1)f(2)＝1；(2)f(x)＝x有唯一解，求函数y＝f(x)的解析式和f(f(－3))的值及f(x)的值域． 解：因为f(2)＝＝1. ∴2a＋b＝2，① 又因为f(x)＝x有唯一解， 即＝x有唯一解， 所以ax2＋(b－1)x＝0有两个相等的实数根， 则Δ＝(b－1)2＝0，∴b＝1.② 代入①式，得a＝. 所以f(x)＝＝. 所以f(－3)＝＝6. 因此f[f(－3)]＝f(6)＝＝. 又f(x)＝＝＝2－，由≠0，知f(x)≠2. 故函数f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠2}． 【创新探索】 14．为更好实施乡村振兴战略，加强村民对本村事务的参与和监督，根据《中华人民共和国村民委员会组织法》，某乡镇准备在各村推选村民代表．规定各村每15户推选1人，当全村户数除以15所得的余数大于10时再增加1人．那么，各村可推选的人数y与该村户数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(　　) A．y＝[] B．y＝[] C．y＝[] D．y＝[] 解：选B.根据规定15户推选一名代表，当全村户数除以15的余数大于10时再增加一名代表，即余数分别为11，12，13，14时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加4， 因此利用取整函数可表示为y＝[]. 15．已知二次函数f(x)满足：f(x＋1)－f(x)＝2x，f(0)＝3. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若g()＝f(x)(x≥－1)，求函数g(x)的解析式． 解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 因为f(0)＝3，所以c＝3， 因为f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝ax2＋2ax＋a＋bx＋b＋c， 所以f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b＝2x， 即解得 所以f(x)＝x2－x＋3. (2)依题意可得g()＝x2－x＋3(x≥－1)， 令t＝，则t≥0， 所以x＝t2－1， 所以g(t)＝(t2－1)2－(t2－1)＋3＝t4－3t2＋5， 所以g(x)＝x4－3x2＋5，x∈[0，＋∞). 第2课时　分段函数　　　　　　　　► 对应学生用书P63 学习目标　1.了解分段函数的概念，提升数学抽象素养．(重点)　2.会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象，提升数学运算和直观想象素养．(重点、难点)　3.能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题，提升数学建模素养．(重点) 　分段函数　 　　　某市空调公共汽车的票价按下列规则制定： ①5千米以内，票价2元； ②5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的按5千米计算). 已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站． 问题1　从起点站出发，公共汽车的行程x(千米)与票价y(元)是函数关系吗？ 提示：是． 问题2　x与y之间有什么特点？ 提示：x在不同的范围内取值时，y的对应关系不同． 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数． 温馨提示 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集. 例1　(链接教材：人教A版P68例5延伸)已知函数f(x)＝，求f(－5)，f(f(1))的值． 解：(1)因为－5∈(－∞，－2]，1∈(－2，2)， 所以f(－5)＝－5＋1＝－4， f(1)＝3×1＋5＝8，又8∈[2，＋∞)， f(f(1))＝f(8)＝2×8－1＝15. 变式探究　(1)在例1条件下，若f(a)＝3，求实数a的值； 解：当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3， 即a＝2>－2，不符合题意，舍去； 当－2<a<2时，f(a)＝3a＋5＝3， 即a＝－∈(－2，2)，符合题意； 当a≥2时，f(a)＝2a－1＝3， 即a＝2∈[2，＋∞)，符合题意． 综上可得，当f(a)＝3时， a的值为－或2. (2)在例1条件下，若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围； 解：因为a2＋2≥2， 所以f(a2＋2)＝2(a2＋2)－1＝2a2＋3， 所以不等式f(a2＋2)≥a＋4化为2a2－a－1≥0，解得a≥1或a≤－， 即实数a的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞). (3)在例1条件下，若f(x)>2x，求x的取值范围． 解：当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x， 即x<1，所以x≤－2； 当－2<x<2时，f(x)>2x可化为3x＋5>2x， 即x>－5，所以－2<x<2； 当x≥2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x，则x∈∅. 综上可得，x的取值范围是{x|x<2}． 类题通法 　　 分段函数问题的常见解法 （1）求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (2)已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验． 　分段函数的图象及应用 角度一　画分段函数的图象 例2　已知函数f(x)＝1＋(－2<x≤2). (1)用分段函数的形式表示函数f(x)； (2)画出函数f(x)的图象； (3)写出函数f(x)的值域． 解：(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1， 当－2<x<0时，f(x)＝1＋＝1－x， 所以f(x)＝ (2)函数f(x)的图象如图所示． (3)由(2)知，f(x)在(－2，2]上的值域为[1，3). 类题通法 画分段函数图象的策略 (1)整段作图分段取：先不考虑定义域的限制，用虚线分别作出各段图象，再用实线保留定义域内的图象． (2)端点实虚要明确：一定要明确区间端点是否包含在内，且用实心点或空心圈表示． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 角度二　分段函数图象的应用 例3　(链接教材：人教A版P68例6)将x1，x2，…，xn中的最小数记为min{x1，x2，…，xn}，最大数记为max{x1，x2，…，xn}，则min{max{x2－4x＋4，2x－1，－x＋8}}(x∈R)的值为(　　) A．1 B．5 C．4 D．6 解析：选B.在同一平面直角坐标系中作出y＝x2－4x＋4，y＝2x－1以及y＝－x＋8的图象，根据题意可得max{x2－4x＋4，2x－1，－x＋8}的图象如图中的实线部分所示， 联立解得 所以min{max{x2－4x＋4，2x－1，－x＋8}}(x∈R)的值为5. 类题通法 分段函数图象应用的解题策略 （1）在同一坐标系中作出两个函数的图象，观察图象，图象在上方的相应函数值大，图象在下方的相应函数值小． （2）根据所求选择上方或下方的图象，就得到分段函数的图象，通过图象的最高点、最低点的函数值可以求函数的值域． 【迁移运用】 (2025·山东德州期末)定义min{a，b}＝已知f＝－x2＋2x，g＝－x＋1，记函数M＝min{f，g}，则M的最大值是________． 解析：由f(x)≤g(x)，得－x2＋2x≤－x＋1，化简得2x2－5x＋2≥0，解得x≤或x≥2， 所以M(x)＝ M(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1在上单调递增， 所以M(x)≤M()＝－＋1＝， M(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1在上单调递减， 所以M(x)≤M(2)＝－4＋4＝0， M(x)＝－x＋1在上单调递减， 所以M(2)<M(x)<M()，得0<M(x)<， 综上，M(x)≤， 所以M的最大值是. 答案： 　分段函数的实际应用 例4　(链接教材：人教A版P70例8)《中华人民共和国个人所得税法》最新规定，公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税，超过5 000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过3 000元的部分 3% 超过3 000元至12 000元的部分 10% 超过12 000元至25 000元的部分 20% 某职工每月收入为x元，应缴纳的税额为y元． (1)请写出y关于x的函数关系式； (2)有一职工八月份缴纳了54元的税款，请问该职工八月份的工资是多少？ 解：(1)由题意，得y＝ (2)因为该职工八月份缴纳了54元的税款， 所以5 000<x≤8 000，即(x－5 000)×3%＝54，解得x＝6 800. 故该职工八月份的工资是6 800元． 类题通法 分段函数实际应用问题的两个关注点 (1) 日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等，都是最简单的分段函数． (2)求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”，一定要合理． 1．函数y＝的值域是(　　) A．R B．[0，＋∞) C．[0，3] D．{y|0≤y≤2，或y＝3} 解析：选D.值域为[0，2]∪{2}∪{3}＝{y|0≤y≤2，或y＝3}． 2．已知函数y＝则使函数值为5的x的值是(　　) A．－2 B．2或－ C．2或－2 D．2或－2或－ 解析：选A.当x≤0时，x2＋1＝5，x＝－2. 当x>0时，－2x<0，不合题意． 故x＝－2. 3．函数y＝x＋的图象是(　　) 解析：选C.对于y＝x＋，当x>0时，y＝x＋1；当x<0时，y＝x－1.即y＝故其图象应为C. 4．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是________. 解析：由题图可知，f(x)的图象是由两条线段组成的，当－1≤x＜0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1，0)，(0，1)代入解析式， 得解得 当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，得k＝－1. 所以f(x)的解析式为f(x)＝ 答案：f(x)＝ 5．已知函数f(x)＝ (1)求f(2)，f(f(2))的值； (2)若f(x0)＝8，求x0的值． 解：(1)因为0≤x≤2时，f(x)＝x2－4， 所以f(2)＝22－4＝0， f(f(2))＝f(0)＝02－4＝－4. (2)当0≤x0≤2时，由x－4＝8，得x0＝±2(舍去)； 当x0>2时，由2x0＝8，得x0＝4. 所以x0＝4. 函数图象的翻折变换 (链接教材：人教A版P68例5) 示例：已知函数y＝f(x)＝x2－2x－3，分别作出函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象如图所示． 名师点拨 感悟升华 (1)y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象； (2)y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象． [课后分层练(二十一)]　分段函数 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．(2025·福建泉州阶段练习)设函数f(x)＝则f(9)＝(　　) A．6 B．7 C．9 D．10 解析：选B.f(9)＝f(f(9＋4))＝f(f(13))＝f(10)＝10－3＝7. 2．函数f(x)＝若f(x)＝2，则x的值是(　　) A． B．± C．0或1 D． 解析：选A.若f(x)＝2， ①x≤－1时，x＋2＝2，解得x＝0(不符，舍去)； ②－1＜x＜2时，x2＝2，解得x＝(符合)或x＝－(不符，舍去)； ③x≥2时，2x＝2，解得x＝1(不符，舍去). 综上，x＝. 3．已知t∈R，函数f(x)＝若f(f(9))＝4，则t＝(　　) A．0 B．2 C．5 D．6 解析：选B.因为f(9)＝－2＝1，所以f(1)＝|1－3|＋t＝4⇒t＝4－2＝2. 4．(2025·河南南阳模拟)已知函数f(x)＝则不等式f(x)>3的解集是(　　 ) A．(－3，1)∪(3，＋∞) B．(－∞，－1)∪(2，3) C．(－1，1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，3) 解析：选A.函数f(x)＝则不等式f(x)>3等价于或 解得－3<x<0， 解得0≤x<1或x>3，于是得－3<x<1或x>3， 所以不等式f(x)>3的解集是(－3，1)∪(3，＋∞). 5．(多选)有以下判断，其中正确的有(　　) A．f(x)＝与g(x)＝表示同一函数 B．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个 C．f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数 D．若f(x)＝|x－1|－x，则f(f())＝0 解析：选BC.对于A，函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数g(x)＝定义域为R，两函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误； 对于B，若函数y＝f(x)在x＝1处有定义，则f(x)的图象与直线x＝1的交点有1个； 若函数y＝f(x)在x＝1处没有定义，则f(x)的图象与直线x＝1没有交点，故B正确； 对于C，函数f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1的定义域与对应法则都相同，所以两函数是同一函数，故C正确； 对于D，由f(x)＝|x－1|－x，可得f()＝0，所以f(f())＝f(0)＝1，故D错误． 6．函数y＝的值域为________． 解析：由y＝作出函数图象，如图所示，由图象可得函数的值域为(－∞，2]. 答案：(－∞，2] 7．设函数f(x)＝若f(f(m))＝2，则实数m的取值是________． 解：因为f(x)＝所以当x≥0时，f(x)≤0， 因为f(f(m))＝2，所以f(m)<0， 令f(m)＝t<0，所以t2＋t＝2，解得t＝－2或t＝1(舍)， 所以f(m)＝－2， 所以当m≥0时，－m2＝－2，解得m＝， 当m<0时，m2＋m＝－2，方程无解． 所以实数m的取值是. 答案： 8．已知函数f(x)＝ (1)若f(a)＝5，求实数a的值； (2)画出函数的图象，并求出函数f(x)在区间[－2，2]上的值域． 解：(1)当a≥0时，由f(a)＝a2＋4＝5得a＝1； 当a<0时，由f(a)＝4－a＝5得a＝－1. 综上，a＝1或－1. (2)函数图象如图所示． 因为f(0)＝4，f(2)＝22＋4＝8， f(－2)＝4－(－2)＝6， 所以由图象知函数f(x)在[－2，2]上的值域为[4，8]. 9．如图，等腰梯形OABC的底角为60°，OA＝2，BC＝1，记梯形OABC位于直线x＝t(t>0)左侧的图形的面积为f(t)，试求函数f(t)的解析式． 解：当0<t≤时，f(t)＝×t×t＝t2， 当<t≤时，f(t)＝××＋(t－)×＝t－， 当<t<2时，f(t)＝×(1＋2)×－×(2－t)×(2－t)＝－t2＋2t－， 当t≥2时，f(t)＝×(1＋2)×＝， 综上所述，f(t)＝ 【综合运用】 10．(多选)设函数f(x)＝若f(1)＝2f(0)，则实数a可以为(　　) A．1 B．0 C．－1 D．－2 解析：选BCD.根据题意，函数f(x)＝ 若a<0，f(1)＝12＋1＝2，f(0)＝02＋1＝1，满足f(1)＝2f(0)， 若0≤a<1，f(0)＝1－0＝1，f(1)＝1＋1＝2，满足f(1)＝2f(0)， 若a≥1，f(0)＝1－0＝1，f(1)＝1－1＝0，不满足f(1)＝ 2f(0)， 故a的取值范围为(－∞，1)，分析选项：BCD符合． 11．(多选)函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)的值域是{0，1} C．方程f(f(x))＝f(x)的解只有x＝1 D．方程f(f(x))＝x的解只有x＝1 解析：选ABD.∵函数f(x)＝ ∴当x为有理数时，－x必为有理数，此时f(－x)＝f(x)＝1； 当x为无理数时，－x必为无理数，此时f(－x)＝f(x)＝0，故A正确； 当x为有理数时，f(x)＝1；当x为无理数时，f(x)＝0，即f(x)的值域是{0，1}，故B正确； 若x为有理数，则方程f(f(x))＝f(1)＝1＝f(x)恒成立； 若x为无理数，则方程f(f(x))＝f(0)＝1≠f(x)，此时无满足条件的x； 故方程f(f(x))＝f(x)的解为任意有理数，故C错误； 若x为有理数，则方程f(f(x))＝f(1)＝1，此时x＝1； 若x为无理数，则方程f(f(x))＝f(0)＝1，此时无满足条件的x，故D正确． 12．我们用符号max{a，b，c}表示a，b，c三个数中较大的数，若x∈R，f(x)＝max{－x＋3，x＋，x2－4x＋3}，则f(x)的最小值为________． 解：联立解得 联立解得或 联立解得或 作出函数f(x)＝max{－x＋3，x＋，x2－4x＋3}的图象如图： 由图可知，则f(x)的最小值为f(1)＝2. 答案：2 13．已知函数f(x)＝2＋(－2<x≤3). (1)用分段函数的形式表示函数f(x)； (2)画出函数f(x)的图象； (3)写出函数f(x)的值域． 解：(1)当0<x≤3时， f(x)＝2＋＝2－； 当－2<x≤0时，f(x)＝2＋＝x＋2； 综上，函数f(x)的解析式为f(x)＝ (2)图象过点(－2，0)，(0，2)，(3，1)， 其中点(－2，0)是空点，(0，2)和(3，1)是实心点，函数f(x)的图象如图所示： (3)由(2)知，图象最高点的坐标是(0，2). 故依据图象，函数f(x)的值域是(0，2]. 【创新探索】 14．定义运算a⊗b＝设函数f(x)＝x⊗(x＋1)，则该函数的图象是(　　) 解析：选C.由a⊗b的定义可知f(x)＝因为f(0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)，排除A，B；当x<0时，f(x)＝x2>0，排除D，只有C符合． 学科网（北京）股份有限公司 $