3.1.1 函数的概念-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版2019）

３．１　函数的概念及其表示 ３．１．１　函数的概念 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应 关系刻画函数,建立完整的函数概念 ２．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用 ３．了解构成函数的要素及同一个函数的概念,能求简单函数的定义域和 值域 １．通过对函数概念的理 解,提升数学抽象素养 ２．通过求简单函数的定义 域,提升数学运算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　比萨斜塔是意大利的标志性建筑,更是世界 建筑史上的一大奇迹．比萨斜塔位于比萨城北面 的一个名字叫奇迹广场上．奇迹广场的大片草坪 上有一组宗教建筑,它们是比萨大教堂、洗礼堂、 比萨斜塔和墓园．它们的外墙面均为乳白色大理 石砌成,各自相对独立但又形成统一的罗马式建 筑风格．１９８７年１２月,奇迹广场(包括大教堂、洗 礼堂、比萨斜塔和墓园)被联合国教科文组织列 入«世界文化遗产»．比萨斜塔位于大教堂后面右 侧,它从地面到塔顶高５５米,直径１６米,总重约 １４４５３吨．塔 身 向 东 南 方 向 倾 斜,倾 斜 角 度 ３．９９度． 某物体从比萨斜塔的塔顶自由下落,物体下 落的高度h(m)与所用时间t(s)的平方成正比,这 个规律用数学式子可以描述为h＝１２gt ２,其中g 取９．８m/s２． [问题]　物体下落的高度h(m)是所用时间 t(s)的函数吗? [知识梳理] [知识点一]　函数的概念 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．函数的定义:设A、B 是　　　　　　,如果 按照某种　　　　对应关系f,使对于集合 A 中的　　　一个数x,在集合B 中都有 　　　确定的数f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合A 到集合B的一个函数, 记作　　　　　． ２．函数的定义域:函数y＝f(x)中,x是自变量, 　　　叫做函数的定义域． ３．函数的值域:函数y＝f(x)中,与x的值相对应 的y值叫做函数值,　　　　　　　　叫做函 数的值域．显然,值域是集合B的　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７５􀅰 第三章　函数的概念与性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．对于函数f:A→B,值域一定是集合B 吗? 为什么? ２．对应关系f必须是一个解析式的形式吗? 为 什么? ３．有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x 的乘积”,这种看法对吗? ４．f(x)与f(a)有何区别与联系? [知识点二]　区间的概念 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．区间的概念:设a,b是两个实数,而且a＜b． 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a＜x＜b} 开区间 (a,b) {x|a≤x＜b} 左闭右开区间 [a,b) {x|a＜x≤b} 左开右闭区间 (a,b] ２．无穷区间表示 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a}{x|x＜a} 符号 (－∞,＋∞) [a,＋∞) (a,＋∞) (－∞,a] (－∞,a) ３．特殊区间的表示 定义 区间 数轴表示 {x|x≥a} 　　　　 {x|x＞a} 　　　　 {x|x≤b} 　　　　 {x|x＜b} 　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５．区间是数集的另一种表示方法,那么 任何数集都能用区间表示吗? ６．“∞”是数吗? 以“－∞”或“＋∞”作为区间一 端时,这一端可以是中括号吗? [知识点三]　函数三要素及函数相等 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．函数三要素:　　　、　　　　和　　　． ２．函数相等:由于函数的值域是由　　　　和　 　　　确定的,如果两个函数的　　　　相 同,并且　　　　完全一致,就称这两个函数 相等． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７．函数有定义域、对应关系和值域三要 素,为什么判断两个函数是否是同一个函数, 只看定义域和对应关系? ８．定义域和值域分别相同的两个函数是同一个 函数吗? [预习自测] １．已知集合M＝{x|０≤x≤２},N＝{y|０≤y≤２}, 那么下面的４个图形中,能表示从集合M 到集 合N 的函数图象的个数为 (　　) A．１　　　B．２　　　C．３　　　D．４ ２．函数f(x)＝ ２x ２ １－x ＋(２x－１)０ 的定义域为 (　　) A．－∞,１２ æ è ç ö ø ÷ B．１２ ,１ æ è ç ö ø ÷ C．－１２ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷ D．－∞,１２ æ è ç ö ø ÷∪ １２ ,１ æ è ç ö ø ÷ ３．给出下列三组函数,其中表示同一个函数的是 　　　(填序号)． ①f(x)＝x,g(x)＝x ２ x ; ②f(x)＝２x＋１,g(x)＝２x－１; ③f(x)＝x,g(x)＝ ３ x３． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８５􀅰 数学􀅰必修第一册 　　　函数概念的理解 [例１]下列对应关系是否为A到B的函数? (１)A＝R,B＝{x|x≥０},f:x→y＝|x|; (２)A＝R,B＝R,f:x→y＝１x ; (３)A＝R,B＝Z,f:x→y＝ x; (４)A＝[－２,２],B＝{１},f:x→y＝１． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋[思路点拨]　依据函数的概念判断． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．判断对应关系是否为函数的２个条件 (１)A,B必须是非空数集． (２)A中任意一元素在B中有且只有一个元 素与之对应． 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函 数关系,“一对多”的不是函数关系． ２．根据图形判断是否为函数的方法 (１)任取一条垂直于x轴的直线l． (２)在定义域内平行移动直线l． (３)若l与图形有且只有一个交点,则是函数; 若在定义域内没有交点或有两个或两个 以上的交点,则不是函数． 如图所示: １．下列对应关系是集合A到B的函数的是(　　) A．A＝R,B＝{x|x＞０},f:x→y＝ x B．A＝R,B＝R,f:x→y＝ x C．A＝{２},B＝{－ ２,２},f:x→y２＝x D．A＝{x|－１≤x≤１},B＝{０},f:x→y＝０ 　　　判定函数相等 [例２]下列各组函数: ①f(x)＝x ２－x x ,g(x)＝x－１; ②f(x)＝ xx ,g(x)＝x x ; ③f(x)＝ x＋１􀅰 １－x,g(x)＝ １－x２; ④f(x)＝ (x＋３)２,g(x)＝x＋３; ⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系 f(t)＝８０t(０≤t≤５)与一次函数g(x)＝ ８０x(０≤x≤５)． 其中表示相等函数的是　　　　　　(填上 所有正确的序号)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　判断是否为相等函数,关键 是看对应关系和定义域是否一致． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)如何判断两个函数是否相等? ①判断定义域是否相等; ②判断对应关系是否相等; ③结论:如果①和②都肯定,则两个 函数相等;如果①和②中有一个否 定,则两个函数不等． (２)判断两个函数是否相等的注意事项: ①如果两个函数的定义域和值域分别 相同,那么这两个函数不一定相等,如 f(x)＝x２＋１与g(x)＝|x＋１|,两个函 数的定义域、值域分别相同,但它们的 对应法则不同,因此它们不是相等 函数． ②因为函数是两个数集之间的对应 关系,所以至于用什么字母表示自变 量、因变量和对应关系是无关紧要 的,如f(x)＝３x＋４与f(t)＝３t＋４ 表示相等的函数． 􀳀[变式训练] ２．判断下列各组函数是否是相等函数． (１)f(x)＝x２－x＋１,g(t)＝t２－t＋１; (２)f(x)＝ x－１􀅰 x＋１,g(x)＝ x２－１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９５􀅰 第三章　函数的概念与性质 　　　求函数的定义域 [例３]求下列函数的定义域． (１)f(x)＝ x－１􀅰 ４－x＋２; (２)f(x)＝ x＋３＋ １x＋２． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　求函数的定义域,就是求使 函数解析式有意义的自变量的取值范围． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 定义域的求法 (１)如果f(x)是整式,那么函数的定义域 是实数集R; (２)如果f(x)是分式,那么函数的定义域 是使分母不为０的实数的集合; (３)如果f(x)为偶次根式,那么函数的定 义域是使根号内的式子大于或等于０ 的实数的集合; (４)如果f(x)是由几个部分的数学式子构 成的,那么函数的定义域是使各部分式 子都有意义的实数的集合． (５)如果函数有实际背景,那么除符合上述 要求外,还要符合实际情况． 函数定义域要用集合或区间形式表示,这 一点初学者易忽视． 􀳀[变式训练] ３．函数y＝ ３x－x ２ ２x２－３x－２ 的定义域为 (　　) A．(－∞,３]　　　　　B．[０,３] C．(０,２)∪(２,３) D．[０,２)∪(２,３] 　　函数值和函数的值域 [例４]已知函数f(x)＝x＋１x＋２． (１)求f(２); (２)求函数f(x)的值域． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　形如f(x)＝ax＋bcx＋d 的函数在 求值域时,一般利用分离常数的方法,即在 分式的分子上构造出分母的形式以便分离 出常数来求值域． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 求函数值域的原则及常用方法 (１)原则:①先确定相应的定义域; ②再根据函数的具体形式及运算确定 其值域． (２)常用方法: ①观察法:对于一些比较简单的函数, 其值域可通过观察法得到． ②配方法:是求“二次函数”类值域的基 本方法． ③换元法:运用新元代换,将所给函数 化成值域易确定的函数,从而求得原函 数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋ cx＋d (其中a,b,c,d 为常数,且a≠０)型的 函数常用换元法． ④分离常数法．此方法主要是针对有理 分式,即将有理分式转化为“反比例函 数类”的形式,便于求值域． 􀳀[变式训练] ４．求下列函数的值域: (１)y＝２x＋１; (２)y＝x２－４x＋６,x∈[１,５); 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０６􀅰 数学􀅰必修第一册 １．区间(－３,２]用集合可表示为 (　　) A．{－２,－１,０,１,２}　　B．{x|－３＜x＜２} C．{x|－３＜x≤２} D．{x|－３≤x≤２} ２．下列各组函数中,表示同一个函数的是 (　　) A．y＝x－２和y＝x ２－４ x＋２ B．y＝x－１和y＝ x２－２x＋１ C．f(x)＝(x－１)２ 和g(x)＝(x＋１)２ D．f(x)＝ (x)２ x 和g(x)＝ x(x)２ ３．如图,函数f(x)的图象 是折线段ABC,其中A, B,C三点的坐标分别为 (０,４),(２,０),(６,４),则f (f(４))＝　　　　;不等 式f(x)＜２的解集为　　　　． ４．已知函数f(x)＝２x－３,x∈{x∈N|１≤x≤ ５},则函数f(x)的值域为　　　　　　　． ５．已知f(x)＝１－x１＋x (x∈R,且x≠－１),g(x) ＝x２－１(x∈R)． (１)求f(２),g(３)的值; (２)求f(g(３))的值及f(g(x))． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３．１．２　函数的表示法 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．掌握函数的三种表示法:解析法、列表法、图象 法以及各自的优缺点 ２．在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的 方法表示函数 ３．通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用 １．结合实例,经历函数三种表示法的抽象 过程,体会三种表示法的作用,培养学生 的数学抽象素养 ２．结合实例,加深对分段函数概念的理解 及应用,提升逻辑推理、数学运算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　如 图,艾 宾 浩 斯 遗忘 曲 线 告 诉 我 们, 学习中的遗忘是有规 律的,遗 忘 的 进 程 是 不均衡的,记忆的最初阶段遗忘的速度很快, 后来就逐渐慢了,这条曲线表明了遗忘的发展 规律是“先快后慢”. 根据初中学习的知识,你能说出以上问题是什 么法表示函数的吗? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１６􀅰 第三章　函数的概念与性质 当且仅当 ２a２＝１＋b２, a２＋b ２ ２＝１ , a＞０,b＞０, ì î í ï ï ïï 即 a＝ ３２ , b＝ ２２ ì î í ï ï ïï 时, y＝a １＋b２有最大值３４ ２． [答案](１)８　(２)３４ ２ [例４]　[解]　y＜－m＋５恒成立． 即m(x２－x＋１)－６＜０恒成立, ∵x２－x＋１＝(x－１２ )２＋３４＞０ , 又m(x２－x＋１)－６＜０, ∴m＜ ６ x２－x＋１ ． ∵y＝ ６x２－x＋１ ＝ ６ (x－１２ )２＋３４ 在１≤x≤３上的最小 值为６ ７ ,∴只需m＜６７ 即可． ∴m 的取值范围为{m|m＜６７ }． [例５]　[解]　y＝１１２(２x＋１６０x ×２ )＋９６(x＋１６０x ×３ )＋ １００×１６０＝３２０×(x＋２５６x )＋１６０００≥２６２４０． 此时,x＝２５６x ,即x＝１６时,取得最小值． 最小值为２６２４０元． 变式训练 １．(１)解析:AD　[因为a＞１,所以 １a ＜１ ,所以 A 正确;若 a＋c＞b,可令a＝１,c＝１,b＝－１,则有 １a ＞ １ b ,故 B错 误;对于 C,可取a＝１２ ,则a２＜a,故 C错误;因为ac２＞ bc２,所以c２＞０,所以a＞b,故 D正确．] (２)(a ２ b ＋ b２ a )－ (a＋b)＝a ２ b －b＋ b２ a －a＝ a２－b２ b ＋b ２－a２ a ＝(a２－b２)(１b－ １ a ) ＝(a２－b２)a－bab ＝ (a－b)２(a＋b) ab , 因为a＞０,b＞０,且a≠b, 所以(a－b)２＞０,a＋b＞０,ab＞０, 所以(a ２ b＋ b２ a )－(a＋b)＞０, 即a ２ b＋ b２ a＞a＋b． ２．解:(１)原不等式组可化为 x＜－２或x＞０, －１＜x＜１,{ ,即０＜x＜ １,所以原不等式组的解集为{x|０＜x＜１}． (２)原不等式等价于 ６－２x≤x２－３x, x２－３x＜１８,{ 即 x２－x－６≥０, x２－３x－１８＜０,{ 因式分解,得 (x－３)(x＋２)≥０, (x－６)(x＋３)＜０,{ 所以 x≤－２,或x≥３, －３＜x＜６,{ 所以－３＜x≤－２或３≤x＜６． 所以不等式的解集为{x|－３＜x≤－２,或３≤x＜６}． ３．解:因为x＞０,y＞０,且x＋２y＝５, 所以９ x＋ ２ y＝ １ ５ (x＋２y)(９x＋ ２ y ) ＝１５ (１３＋１８yx ＋ ２x y ) ≥１５ (１３＋２ １８yx 􀅰２x y )＝５, 当且仅当 x＋２y＝５, １８y x ＝ ２x y ,{ 即 x＝３, y＝１,{ 时等号成立． 所以９ x＋ ２ y 的最小值为５,此时x＝３,y＝１． ４．解:不等式x２＋px＞４x＋p－３恒成立,即(x－１)p＋ (x２－４x＋３)＞０, 设y＝(x－１)p＋(x２－４x＋３)是以p 为自变量的一次 函数,则０≤p≤４时y＞０恒成立, 即 (x－１)􀅰０＋x２－４x＋３＞０, ４(x－１)＋x２－４x＋３＞０,{ 解得x＞３或x＜－１． ∴x的取值范围是{x|x＞３,或x＜－１}． ５．解:(１)依题意y＝１００(１－x１０ )􀅰１００(１＋８５０x ); 又售价不能低于成本价, 所以１００(１－x１０ )－８０≥０,解得x≤２, 所以y＝f(x)＝２０(１０－x)(５０＋８x)(０≤x≤２)． (２)２０(１０－x)(５０＋８x)≥１０２６０, 化简得:８x２－３０x＋１３≤０,解得１２≤x≤ １３ ４． 又x∈{x|０≤x≤２},所以x的取值范围为１２≤x≤２． 第三章　函数的概念与性质 ３．１　函数的概念及其表示 ３．１．１　函数的概念 课前预习学案 情境引入 　提示:物体下落的高度h(m)是所用时间t(s)的函数． 知识梳理 知识点一、１．非空的数集　确定的　任意　唯一　y＝f(x),x ∈A ２．x的取值范围A　３．函数值的集合{f(x)|x∈A}　子集　 知识点二、３．[a,＋∞)　(a,＋∞)　(－∞,b]　(－∞,b)　 知识点三、１．定义域　对应关系　值域　２．定义域　对应 关系　定义域　对应关系 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２８３􀅰 数学􀅰必修第一册 [思考] １．提示:不一定．值域是集合 B 的子集,即{f(x)|x∈A} ⊆B． ２．提示:不一定．可以是数表,也可以是图象． ３．提示:这种看法不对．符号y＝f(x)是“y是x 的函数”的 数学表示,应理解为x 是自变量,它是关系所施加的对 象;f是对应关系,它可以是一个或几个解析式,可以是 图象、表格,也可以是文字描述;y是自变量的函数,当x 允许取某一具体值时,相应的y值为与该自变量值对应 的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号,不表示“y 等于f 与x 的乘积”．在研究函数时,除用符号f(x)外,还常用 g(x),F(x),G(x)等来表示函数． ４．提示:f(x)与f(a)的区别与联系:f(a)表示当x＝a时, 函数f(x)的值,是一个常量,而f(x)是自变量x 的函 数,一般情况下,它是一个变量,f(a)是f(x)的一个特殊 值,如一次函数f(x)＝３x＋４,当x＝８时,f(８)＝３×８ ＋４＝２８是一个常数． ５．提示:不是任何数集都能用区间表示,如集合{０}就不能 用区间表示． ６．提示:“∞”读 作 “无 穷 大”,是 一 个 符 号,不 是 数．以 “－∞”或 “＋ ∞”作 为 区 间 一 端 时,这 一 端 必 须 是 小 括号． ７．提示:由函数的定义域和对应关系可以求出函数的 值 域,所以判断两个函数是否是同一个函数,只看定义域 和对应关系即可． ８．提示:不一定,如果对应关系不同,这两个函数一定不是 同一个函数． 预习自测 １．A　２．D　３．③ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)A中的任一元素按照对应关系y＝|x|,在 B中都有唯一确定的元素与之对应,故是集合A 到集合B 的函数． (２)A中的元素０在B中没有对应元素,故不是集合A 到 集合B 的函数． (３)A 中元素负数没有平方根,故在B 中没有对应的元 素,且 x不一定是整数,故此对应关系不是集合A 到集 合B 的函数． (４)对于集合A 中任意一个实数x,按照对应关系f:x→ y＝１,在集合B 中都有唯一一个确定的数１与它对应, 故是集合A 到集合B 的函数． [例２]　[解析] 序号 是否相等 原因 ① 不等 定义域不同,f(x)定 义 域 为{x|x ≠０},g(x)定义域为 R． ② 不等 对应法则不同,f(x)＝ １ x , g(x)＝ x． ③ 相等 定义域、对应关系都相同． ④ 不等 值域不同,f(x)≥０,g(x)∈R． ⑤ 相等 定义域、对应关系都相同． [答案]　③⑤ [例３]　[解]　(１)要使此函数有意义,应满足 x－１≥０, ４－x≥０,{ 即 １≤x≤４,所以此函数的定义域是{x|１≤x≤４}． (２)要使此函数有意义,则 x＋３≥０, x＋２≠０{ ⇒ x≥－３, x≠－２{ ⇒x≥－３,且x≠－２． 所以f(x)的定义域为{x|x≥－３,且x≠－２}． [例４]　[解析]　(１)f(２)＝２＋１２＋２＝ ３ ４． (２)f(x)＝x＋１x＋２＝ x＋２－１ x＋２ ＝１－ １ x＋２ , 又 １ x＋２≠０ ,∴１－ １x＋２≠１ , ∴f(x)≠１, 即函数值域是{y|y∈R,且y≠１}． 变式训练 １．D　[对于 A选项,A 中的元素０在B 中没有对应元素, 不是函数;B选项中 A 集合中负数没有平方根,不是函 数;C选项中集合A 中的元素２在集合B 中有两个元素 ± ２与之对应,不是函数．D选项符合函数的概念．] ２．解:(１)虽然表示自变量的字母不同,但定义域、对应关 系均相同,因而是相等函数． (２)∵f(x)的定义域为{x|x≥１},而g(x)的定义域为{x |x≤－１,或x≥１},两函数的定义域不同,∴f(x)与g (x)不是相等函数． ３．D　[由题意可得 ３x－x２≥０, ２x２－３x－２≠０,{ 故x∈[０,２)∪(２, ３],故选 D．] ４．解:(１)因为x∈R,所以２x＋１∈R,即函 数的值域为 R． (２)配方:y＝x２－４x＋６＝(x－２)２＋２, 因为x∈[１,５),由图所示． 所以所求函数的值域为[２,１１)． 随堂步步夯实 １．C　　２．D　 ３．０　(１,４) ４．{－１,１,３,５,７} ５．解:(１)因为f(x)＝１－x１＋x , 所以f(２)＝１－２１＋２＝－ １ ３． 因为g(x)＝x２－１,所以g(３)＝３２－１＝８． (２)依题意,知f(g(３))＝f(８)＝１－８１＋８＝－ ７ ９ , f(g(x))＝１－g (x) １＋g(x)＝ １－(x２－１) １＋(x２－１) ＝２－x ２ x２ (x≠０)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３８３􀅰 参考答案