第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末归纳提升-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版2019）

[网络构建] 一 元 二 次 函 数 、 方 程 和 不 等 式 不等 关系 　　 比较大小 　　 实数的性质 a－b＞０⇔a＞b a－b＝０⇔a＝b a－b＜０⇔a＜b 比较法 不等式的有关概念 不 等 式 的 基 本 性 质 １．a＞b⇔b＜a(对称性) ２．a＞b,b＞c⇒a＞c(传递性) ３．a＞b⇒a＋c＞b＋c(可加性) ４．a＞b,c＞０⇒ac＞bc(可乘性) a＞b,c＜０⇒ac＜bc(可乘性) ５．a＞b,c＞d⇒a＋c＞b＋d(同向可加性) ６．a＞b＞０,c＞d＞０⇒ac＞bd(同向同正可乘性) ７．a＞b＞０⇒an ＞bn(n∈N,n≥２)(可乘方性) 基 本 不 等 式 　 １．a,b∈R,a２＋b２ ≥２ab(当且 仅当a＝b时取等号) 变式:(a＋b)２≥４ab, 　　a ２＋b２ ２ ≥ a＋b ２ æ è ç ö ø ÷ ２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．a,b＞０,a＋b２ ≥ ab (当且仅当a＝b时取等号) 推广:a１,a２,􀆺,an ＞０ a１＋a２＋􀆺＋an n ≥ na１a２􀆺an 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 基本不等式 与最大(小)值 　 　 x,y＞０,若和x＋y＝s(定值),当x＝y时,积xy 取得最大值s ２ ４ x,y＞０,若积xy＝p(定值),当x＝y时,和x＋y 取得最小值２ p 求最值 ———“一正,二定,三相等”解决实际问题 一 元 二 次 不 等 式 　　 　 　 　 　 　 一元二次不等式的解集 ax２＋bx＋c＞０(a＞０)的解集 Δ＞０,{x|x＜x１,或x＞x２} Δ＝０,{x|x∈R,且x≠－b２a } Δ＜０,x∈R ì î í ï ï ï ï ax２＋bx＋c＜０(a＞０)的解集 Δ＞０,{x|x１＜x＜x２} Δ≤０,⌀{ (ax２＋bx＋c＝０的两根为x１,x２ 且x１＜x２) 一元二次不 等式的应用 从实际问题中建立一元二次不等式 􀅰４５􀅰 数学􀅰必修第一册 　　　　　　　[归纳提升] 　　　不等式的性质及应用 不等关系与不等式的解法是高考重点考查的 内容之一,在试题中多以选择题或填空题的形 式考查,有时也渗透到解答题中,主要考查不 等式的性质及运用． [例１](１)如果a,b,c满足c＜b＜a且ac＜０, 那么下列选项中不一定成立的是 (　　) A．ab＞ac　　　　　　　B．c(b－a)＞０ C．cb２＜ab２ D．ac(a－c)＜０ (２)不等式x２＋６x＋１０＜０的解集是(　　) A．⌀ B．R C．{x|x＞５} D．{x|x＜２} (３)已知２＜a＜３,－２＜b＜－１,求ab,b ２ a 的 取值范围． 􀳀[变式训练] １．(１)(多选)下列命题正确的有 (　　) A．若a＞１,则１a＜１ B．若a＋c＞b,则１a＜ １ b C．对任意实数a,都有a２≥a D．若ac２＞bc２,则a＞b (２)已知a＞０,b＞０,且a≠b,比较a ２ b＋ b２ a 与 a＋b的大小． 　　　解一元二次不等式 一元二次方程的解集及其根与系数的关系,虽 在高考中不直接考查,但它是解决某些数学问 题的基础,常在解题过程中用到,主要涉及到 一元二次方程的解法及其根与系数的关系的 应用． [例２]解下列关于x的不等式: (１)－１＜x２＋２x－１≤２; (２)m２x２＋２mx－３＜０． 􀳀[变式训练] ２．解下列不等式(组): (１) x(x＋２)＞０, x２＜１;{ (２)６－２x≤x２－３x＜１８． 　　　利用基本不等式求最值 　基本不等式:ab≤a＋b２ (a＞０,b＞０)是每年高 考的热点,主要考查命题判断、不等式证明以 及求最值问题,特别是求最值问题往往与实际 问题相结合,同时在基本不等式的使用条件上 设置一些问题,实际上是考查学生恒等变形的 技巧,另外,基本不等式的和与积的转化在高 考中也经常出现． [例３](１)设a＞０,b＞０,２a＋b＝１,则１a＋ ２ b 的最 小值为　　　　． (２)已知a,b都是正数,且a２＋b ２ ２＝１ ,则y＝a １＋b２的最大值为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５５􀅰 第二章　一元二次函数、方程和不等式 􀳀[变式训练] ３．若x＞０,y＞０,且x＋２y＝５,求９x＋ ２ y 的最小 值,并求出取得最小值时x,y的值． 　　　恒成立问题 对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及 解法有以下几种 (１)变更主元法 根据实际情况的需要确定合适的主元,一般 知道取值范围的变量要看作主元． (２)分离参数法 若m＜y恒成立,则m＜y的最小值． 若m＞y恒成立,则m＞y的最大值． (３)数形结合法 利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过 函数图象直观化． [例４]设函数y＝mx２－mx－１,(１≤x≤３),若y ＜－m＋５恒成立,求m的取值范围． 􀳀[变式训练] ４．对于满足０≤p≤４的一切实数,不等式x２＋px ＞４x＋p－３恒成立,试求x的取值范围． 　　　构建不等式模型解决实际问题 数学建模是应用数学实际问题的基本手段,在本 章中体现在:(１)基本不等式的实际应用;(２)一元 二次不等式的实际应用． [例５]某水产养殖场拟造一 个平面图为矩形且面积为 １６０平方米的水产养殖网 箱,为了避免混养,箱中要安 装一些筛网,如平面图所示．如果网箱四周网 衣(图中实线部分)建造单价为每米１１２元,筛 网(图中虚线部分)的建造单价为每米９６元, 网箱底面建造单价为每平方米１００元,网衣及 筛网的厚度忽略不计．把建造网箱的总造价y (元)表示为网箱的长x(如图所示,单位为米) 的函数,并求出最低造价． 􀳀[变式训练] ５．某商品的成本价８０元/件,售价１００元/件,每 天售出１００件,若售价降低x成(１成＝１０％), 售出商品的数量就增加８ ５x 成,要求售价不能 低于成本价． (１)设该商店一天的营业额为y,试求出y与x 之间的函数关系式y＝f(x),并写出定义域; (２)若再要求该商品一天营业额至少１０２６０ 元,求x的取值范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６５􀅰 数学􀅰必修第一册 所以(+2)(4r+3)<0,所以-2<<-3 所以原不等式的解桑为-2<<一子. 答案：14(2)x-2<r<-是 2.解析：税率降低后是(8一x)%,收购量为m(1十2x%) kg,税率降低后的税收为12m(1十2x%)(8一x)%元，原 来的税收为12m×8%元. 根据题意，可得12m(1十2.x%)(8一x)%≥12m×8% ×78%, 即x2+42.x-88≤0，解得-44≤x≤2. 又x>0,.0<x2, ,∴.实数t的取值范围是《x0<x≤2). 3.解析：H1≤x≤4，不等式x2-(a十2)x十4≥一a一1恒 成立，即H1≤x≤4，a(x-1)≤x2-2x+5恒成立. ①当x=1时，不等式为0≤4恒成立，此时a∈R; ②当1<≤4时a≤二2+5=x-1+4与 x-1 x-1 1x≤4，.0<x-13 ≥2x-D·高=4（吉且仅当-1 ∴x-1+4 4 一与即x=3时取等号)， ∴.a4. 综上，实救a的取值范国为{aa≤4. 答案：{aa≤4 随堂步步夯实 1.A2.B 3.2 4.{k0≤k1 5.解析：设花坛的宽度为xm, 则草坪的长为(800一2x)m,宽为(600-2.x)m, 根据题意得(800-2x)·(600-2x)≥号×800×60， 整理得x一700x+60000≥0， 解不等式得x≥600（会去）或x≤100， 由题意知x>0,所以0<x≤100. 当x在(0,100]之间取值时，绿草坪的面积不小于总面 积的二分之一 章末归纳提升 归纳提升[例1][解析](1)C(2)A[(1)因为c<a. 且ac<0.所以c<0.a>0. A成立，因为c<b,所以a<ab,即ab>uc. B成立，因为b<a,b一a<0. 所以c(ba)>0. C不一定成立，当b=0时，cbab不成立. D成立，因为c<a,所以a一c>0, 所以ac(a-c)<0. (2)x2+6.x+10=(x+3)2+1>0, .原不等式的解集为⑦.] ·38 参考答案 (3)圆为一2<b<-1,所以1<一b<2. 又因为2<a<3,所以2<-ab<6, 所以一6<ab<-2. 因为-2<b<-1,所以1<6<4. 因为24<3.所以号<<， 所以号<公<2. 3 a 所以山的取值花国为-6<<一2，名的取位花国为 [例2][解](1)原不等式等价于 1x2+2x-1>-1, x2+2.x-1≤2， 即+2>0， ① x2+2.x-3≤0， ② 由①得x(x+2)>0, 所以x<一2或x>0: 由②得(x+3)(x-1)≤0， 所以-3≤x≤1， 将①②的解集在数轴上表示出来，如图. -3-2-16元 求其交集得原不等式的解集为{.x一3≤x<一2，或0<r≤ 1. (2)当m=0时，一3<0恒成立，解集为R 当m≠0时，二次项系数m2>0,△=16m2>0,不等式化 为(m.x十3)(m-1)<0, 当m>0时，解集为(x-三<r<: m 当m<0时，解集为d日<K一昌 [例3][解析](1)：a>0,b>0,且2a+b=1, +号=（日+2a+ a b a =4+么+04+2，么·-8 1 2a+b=1, a=4 当且仅当 b4a,即 时等号成立. ab 1 1b2 号的最小值为品 2d+号-12+8-2 又，4是正数，b也是正数， ∴y=4√1+6=√a·(1+b) ·2a0+≤2：公+ 2 = 数学·必修第一册 2a=1+b, 当且仅当 a2 2 =1,即 时 a>0,b>0. b2 y=a十B有兼大值子瓦. [答案](1)8 [例4][解]y<一m十5恒成立. 即m(x2-x十1)一6<0恒成立， x-+1=(-2)+>0 又m(x-x+1)-6<0, 6 6 6 3在1≤x≤3上的最小 值为号“只需m<号即可 m的取值范围为mm<号。 [例5】[解]y=112(2x+160×2)+96(x+160×3)+ 100×160=320×(x+256)+16000≥26240. x 此时，江=256，即r=16时，取得最小值 x 最小值为26240元. 变式训练 1.(1)解析：AD[因为a>1,所以1<1所以A正确：若 a十>b,可令a=1.c=1,6=-1,则有}>故B错 误：对于C,可取a=,则。<a,tC错误：周为a2> bc2,所以c2>0.所以a>h,故D正确.] 66+ 2号+)-a+)= -a=4 b +-a =-6哈-2》 =(a'-i)4-b_a-b)2(a+) ub ub 图为a>0,b>0,且a≠b, 所以(a-b)>0,a+b>0,ab>0, 所以(g+在)-(a+b)>0. b a 号+>a+ 2.解：原不等式组可化为2成>0，即0<< -1x<1, 1所以原不等式组的解集为{x0<x<1 16-2r≤r2-3x. (2)原不等式等价于 x2-3r<18, ·3 即r--6≥0， {x2-3.x-18<0. 因式分解，得r-3)(x+2)≥0. 1(x-6)(.x+3)0, 所以≤-2，或x≥3， -3<x<6, 所以一3<x≤-2或3≤x<6. 所以不等式的解集为{x一3<x≤-2，或3≤x<6}. 3.解：因为x>0,y>0,且x+2y=5, 所以号+号-号+20+号) =号13+1+号) y 18y.2z)=5, ≥号13+22·号 x+2y=5, 当且仅当{18y_2x x y 即=3时等号成立。 (y=1, 所以9+2的最小值为5，此时x=3y=1 4.解：不等式x2+px>4x+p-3恒成立，即(x-1)p十 (x2-4x+3)>0, 设y=(x-1)p十(x一4x+3)是以p为自变量的一次 函数，则0≤p≤4时y>0恒成立， 即(x-1D·0+x2-4x+3>0, 4(x-1)+x2-4x+3>0, 解得x>3或x<-1. ∴x的取值范国是{xx>3,或x<-1}. 5.解：1)依题意=1001-奇)·1001+品： 又售价不能低于成本价， 所以1001-后)-80≥0，解得r≤2， 所以y=f(.x)=20(10-x)(50+8x)(0≤x≤2). (2)20(10-x)(50+8.x)≥10260， 化简得：8r2-30r+13<0.解得2≤r<号 又xEx0≤<2，所以c的取值范周为号<≤2. 第三章函数的概念与性质 3.1函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念 课前预习学案 情境引入 提示：物体下落的高度h(m)是所用时间t(s)的函数. 知识梳理 知识点一山，非空的数集确定的任意唯一y=f(x),x ∈A 2.x的取值范围A3.函数值的集合{(x)x∈A}子集 知识点二，3.[a,十oo)(a,十∞)(-∞，b](-c∞，b) 知识点三、1.定义域对应关系值峨2.定义域对应 关系定义域对应关系