第一章 集合与常用逻辑用语 章末归纳提升-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版2019）

(３)该命题的否定:至少存在一个x∈Z,x２ 的个位数等 于３,因为０２＝０,１２＝１,２２＝４,３２＝９,４２＝１６,５２＝２５;６２ ＝３６,７２＝４９,８２＝６４,９２＝８１,􀆺􀆺,所 以 这 是 一 个 假 命题． (４)该命题省略了量词“所有的”,该命题是全称量词命 题,它的否定:有的正数的绝对值不是它本身．这是一个 假命题． [例２]　[解析]　(１)该命题的否定:任意分数都是有理 数,这是一个真命题． (２)该命题的否定:∀x,y∈Z,３x－４y≠２０,当x＝４,y＝ －２时,３x－４y＝２０．因此这是一个假命题． (３)该命题的否定:在实数范围内,所有的一元二次方程 都有解,这是一个假命题． (４)该命题的否定:所有梯形的对角线不相等,如等腰梯 形的对角线相等,因此这是一个假命题． [例３]　[解析]　方法一:由题意,知命题“对任意实数x, 使x２＋ax＋１≥０”是真命题,故Δ＝a２－４×１×１≤０,解 得－２≤a≤２． 方法二:由题意,知命题“存在实数x,使x２＋ax＋１＜０ 是假命题．若命题“存在实数x,使x２＋ax＋１＜０”是真 命题,则Δ＝a２－４×１×１＞０,解得a＞２或a＜－２,所求 实数a的取值范围是{a|－２≤a≤２}． 答案:{a|－２≤a≤２} 变式训练 １．解:(１)其否定为:存在一个平行四边形,它的对边不都 平行． (２)其否定为:存在一个圆不是轴对称图形． (３)其否定为:∃a,b∈R,使方程ax＝b的解不唯一或不 存在． (４)其否定为:存在被５整除的整数,末位不是０． ２．解析:①命题的否定是“不存在一个实数,它的绝对值是 正数”,即 “所 有 实 数 的 绝 对 值 都 不 是 正 数”．它 为 假 命题． ②命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”,即“每 一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形, 因此命题的否定是假命题． ③命题的否定是“∀x,y∈Z,２x＋y≠３”．当x＝０,y＝３ 时,２x＋y＝３,因此命题的否定是假命题． ３．解析:因为命题“∃x∈{x|１≤x≤２}, 使x２＋２x＋a≥０”为真命题, x∈{x|１≤x≤２}时,x２＋２x的最大值为８, 所以a≥－８时,命题“∃x∈{x|１≤x≤２}, 使x２＋２x＋a≥０”为真命题． 所以a的取值范围:{a|a≥－８}． 随堂步步夯实 １．D　　２．D　 ３．∃x０∈R, １ x０－２ ＞０或x０－２＝０． ４．是 ５．解:(１)由于命题p:“∀x∈B,x∈A”是真命题, 所以B⊆A,B≠⌀, 所以 m＋１≤２m－１, m＋１≥－２, ２m－１≤５, { 解得２≤m≤３． (２)q为真,则A∩B≠⌀, 因为B≠⌀,所以m≥２． 所以 m＋１≤５, ２m－１≥－２, m≥２． { 解得２≤m≤４． 章末归纳提升 归纳提升[例１]　解析:(１)C　(２)C　[(１)∵a∈A,b∈A, x＝a＋b,所以x＝２,３,４,５,６,８,∴B 中有６个元素,故 选 C． (２)当x＝０,y＝０时,x－y＝０;当x＝０,y＝１时,x－y＝ －１;当x＝０,y＝２时,x－y＝－２;当x＝１,y＝０时,x－ y＝１;当x＝１,y＝１时,x－y＝０;当x＝１,y＝２时,x－y ＝－１;当x＝２,y＝０时,x－y＝２;当x＝２,y＝１时,x－ y＝１;当x＝２,y＝２时,x－y＝０．根据集合中元素的互 异性知,B 中元素有０,－１,－２,１,２,共５个．] [例２]　解析:(１)D　(２)０或－２　(３)(－∞,４] [(１)用列举法表示集合A,B,根据集合关系求出集合C 的个数．由x２－３x＋２＝０得x＝１或x＝２,∴A＝{１, ２}．由题意知B＝{１,２,３,４},∴满足条件的C 可为{１, ２},{１,２,３},{１,２,４},{１,２,３,４},共４个． (２)由B⊆A,则x２＝４或x２＝２x．当x２＝４时,x＝±２, 但x＝２时,２x＝４,这与集合元素的互异性相矛盾;当x２ ＝２x时,x＝０或x＝２(舍), 综上所述,x＝－２或x＝０． (３)当B＝⌀时,有m＋１≥２m－１,则m≤２． 当B≠⌀时,若B⊆A,如图． 则 m＋１≥－２, ２m－１≤７, m＋１＜２m－１, { 解得２＜m≤４． 综上,m 的取值范围为(－∞,４]．] [例３]　[解析]　(１)由A∩B＝{１}得１∈B, 所以m＝３,B＝{１,３}． (２)A∩B＝{x|－２＜x＜－１}． [答案]　(１)C　(２)A (３)[解]　①因为A＝{x|２≤x＜７},B＝{x|３＜x＜１０}, 所以A∪B＝{x|２≤x＜１０}． 因为A＝{x|２≤x＜７}, 所以∁RA＝{x|x＜２,或x≥７}, 则(∁RA)∩B＝{x|７≤x＜１０}． ②因为A＝{x|２≤x＜７},C＝{x|x＜a},且A∩C≠⌀, 所以a＞２, 所以a的取值范围是{a|a＞２}． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３７３􀅰 参考答案 [例４]　[解]　(１)该命题是全称量词命题,是真命题．该 命题的否定:存在一个非空集合,空集不是该集合的真 子集． (２)该命题是全称量词命题,是假命题． 因为４x２－(２x－１＋３x２)＝x２－２x＋１＝(x－１)２≥０, 所以当x＝１时,４x２＝２x－１＋３x２． 该命题的否定:∃x∈R,４x２≤２x－１＋３x２． (３)该命题是存在量词命题,是真命题． 因为当x＝１时,|x－２|＝１＜２． 该命题的否定:∀x∈{－２,－１,０,１,２},|x－２|≥２． (４)该命题是全称量词命题,是假命题．当a≠０时,方程 ax＋b＝０才恰有一解．该命题的否定:∃a,b∈R,方程 ax＋b＝０无解或至少有两解． [例５]　[解析]　①ab＝０⇔a＝０或b＝０,即a,b至少有一 个为０; ②a＋b＝０⇔a,b互为相反数,则a,b可能均为０,也可能 为一正数一负数; ③a(a２＋b２)＝０⇔a＝０,b为任意实数; ④ab＞０⇔ a＞０, b＞０{ 或 a＜０, b＜０,{ 即a,b 同 为 正 数 或 同 为 负数． 综上可知:(１)使a,b都为０的必要条件是①②③; (２)使a,b都不为０的充分条件是④; (３)使a,b至少有一个为０的充要条件是①． [答案]　(１)①②③　(２)④　(３)① [例６]　[解析]　设参加数学、物理、化学小组的人数构成 的集合分别为A,B,C,同时参加数学和化学小组的有x 人,由题意可得如图所示的 Venn图． 由全班共３６名同学可得(２６－６－x)＋６＋(１５－４－６) ＋４＋(１３－４－x)＋x＝３６, 解得x＝８,即同时参加数学和化学小组的有８人． [答案]　８ 变式训练 １．解析:(１)C　(２)３或１　[(１)易知 A＝{１,２},又 A∪B ＝(０,１,２},所以集合B 可以是:{０},{０,１},{０,２},{０, １,２}． (２)当m＋２＝５时,m＝３,M＝{１,５,１３),符合题意; 当m２＋４＝５时,m＝１或 m＝－１,若 m＝１,则 M＝{１, ３,５},符合题意;若m＝－１,则 m＋２＝１,不满足元素的 互异性,故m＝３或１．] ２．D　[当m＝０时,方程mx－６＝０无解,B＝⌀,满足B⊆ A;当m≠０时,B＝{６m },因为B⊆A,所以６m＝２ 或６ m＝ ３,解得m＝３或m＝２．] ３．(１)D　[由题意得,B＝{１,４,７,１０},所 以 A∩B＝{１, ４}．] (２)A　[由题意知∁UA＝{２,５},所以(∁UA)∪B＝{２, ４,５},故选 A．] ４．(１)B　[量词“存在”否定后为“任意”,结论“它的平方是 有理数”否定后为“它的平方不是有理数”．故选B．] (２)BC　[A中,x２＋x＋３＝(x＋１２ )２＋１１４ ＞０ ,故 A 是 假命题;B中,x∈Q,１３x ２＋１２x＋１ 一定是有理数,故 B 是真命题;C中,x＝４,y＝１时,３x－２y＝１０成立,故 C 是真命题;对于 D,当x＝０时,左边＝右边＝０,故 D 为 假命题．] ５．[解]　 (１)欲使x∈A 是x∈B 成立的充分条件, 则只要{x|x＜－m２ }⊆{x|x＜－１,或x＞３},则只要－ m ２≤－１ 即m≥２, 故存在实数m≥２时使x∈A 是x∈B 成立的充分条件． (２)欲使x∈A 是x∈B 成立的必要条件, 则只要{x|x＜－m２ }⊇{x|x＜－１,或x＞３},则这是不 可能的,故不存在实数m,使x∈A 是x∈B 成立的必要 条件． ６．B　[由题可得参加比赛的学生共有３１人,因为card(A ∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B),所以田赛和径 赛都参加的学生人数为１６＋２３－３１＝８．故选B．] 第二章　一元二次函数、方程和不等式 ２．１　等式性质与不等式性质 第１课时　不等关系与不等式 课前预习学案 情境引入 　提示　糖水变甜这一现象对应的不等式为ab ＜ a＋c b＋c ,其 中a＜b,c＞０． 知识梳理 知识点一、１．不等关系　２．＞　＜　≥　≤　 知识点二、a－b＞０　a－b＜０　a－b＝０　 [思考] １．提示:成立．不等式“a≤b”的含义是:或者“a＜b”或者“a ＝b”,即 当“a＜b”与“a＝b”一 个 成 立 时,该 不 等 式 就 成立． ２．提示:是． ３．提示:p⇔q的含义是:p 可以推出q,q也可以推出p,即 p与q可以互推． 预习自测 １．D　２．D　３．４．５t＜２８０００ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４７３􀅰 数学􀅰必修第一册 [网络构建] 集 合 集合的含义 元素与集合关系 属于 ∈,不属于 ∉ 集合的表示 列举法 图示法 描述法 集合中元素的特性 确定性 互异性 无序性 集合间的 基本关系 包含 子集 A⊆B 真子集 A⫋B 相等 A ＝B 集合的运算 并集 A∪B＝ {x|x∈A,或x∈B} 交集 A∩B＝ {x|x∈A,且x∈B} 补集 ∁UA ＝ {x|x∈U,且x∉A} 常 用 逻 辑 用 语 充分条件与 必要条件 充要条件 判定定理 必要条件 性质定理 充要条件 数学定义 全称量词与 存在量词 全称量词 全称量词命题 存在量词 存在量词命题 全称量词 命题和存 在量词命 题的否定 [归纳提升] 　　集合的基本概念 与集合中的元素有关的问题的求解策略 (１)确定集合的元素是什么,即集合是数集、点 集还是其它集合． (２)看这些元素满足什么限制条件． (３)根据限制条件列式求参数的值或确定集合 中元素的个数时,要注意检验集合是否满足元 素的互异性． [例１]　(１)设集合A＝{１,２,４},集合B＝{x| x＝a＋b,a∈A,b∈A},则集合B 中元素的 个数是 (　　) A．４　　　B．５　　　C．６　　　D．７ (２)已知集合A＝{０,１,２},则集合B＝{x－ y|x∈A,y∈A}中元素的个数是 (　　) A．１　　　B．３　　　C．５　　　D．９ 􀳀[变式训练] １．(１)设集合A＝{x|x２－３x＋２＝０},则满足 A∪B＝{０,１,２}的集合B 的个数是 (　　) A．１　　　B．３　　　C．４　　　D．６ (２)已知集合 M＝{１,m＋２,m２＋４},且５∈ M,则m 的值为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１３􀅰 第一章　集合与常用逻辑用语 　　集合的基本关系 　集合与集合之间的关系是包含和相等的关 系,判断两集合之间的关系,可从元素特征 入手,并注意代表元素． [例２](１)已知集合A＝{x|x２－３x＋２＝０,x∈ R},B＝{x|０＜x＜５,x∈N},则满足条件A⊆C ⊆B的集合C的个数为 (　　) A．１　　　B．２　　　C．３　　　D．４ (２)设A＝{１,４,２x},若B＝{１,x２},若B⊆A, 则x＝　　　　． (３)已知集合A＝{x|－２≤x≤７},B＝{x|m＋１ ＜x＜２m－１},若B⊆A,则实数m的取值范围 是　　　　． 􀳀[变式训练] ２．已知集合A＝{２,３},B＝{x|mx－６＝０},若B ⊆A,则实数m等于 (　　) A．３　　B．２　　C．２或３　　D．０或２或３ 　　集合的基本运算 　集合的基本运算是指集合间的交、并、补这三 种常见的运算,在运算过程中往往由于运算能 力差或考虑不全面而出现错误,不等式解集之 间的包含关系通常用数轴法,而用列举法表示 的集合运算常用维恩图法,运算时特别注意对 ⌀的讨论,不要遗漏． [例３](１)设集合A＝{１,２,４},B＝{x|x２－４x＋ m＝０}．若A∩B＝{１},则B＝ (　　) A．{１,－３}　　　　　　　B．{１,０} C．{１,３} D．{１,５} (２)若集合A＝{x|－２＜x＜１),B＝{x|x＜－１ 或x＞３),则A∩B＝ (　　) A．{x|－２＜x＜－１} B．{x|－２＜x＜３} C．{x|－１＜x＜１} D．{x|１＜x＜３} (３)已知集合A＝{x|２≤x＜７},B＝{x|３＜x＜ １０},C＝{x|x＜a}． ①求A∪B,(∁RA)∩B; ②若A∩C≠⌀,求a的取值范围． 􀳀[变式训练] ３．(１)已知集合A＝{１,２,３,４},B＝{y|y＝３x－２, x∈A},则A∩B＝ (　　) A．{１} B．{４} C．{１,３} D．{１,４} (２)已知全集U＝{１,２,３,４,５},集合A＝{１,３, ４},集合B＝{２,４},则(∁UA)∪B＝ (　　) A．{２,４,５} B．{１,３,４} C．{１,２,４} D．{２,３,４,５} 　　全称量词命题与存在量词命题 　已知含量词的命题真假求参数的取值范围,实 质上是对命题意义的考查．解决此类问题,一 定要辨清参数,恰当选取主元,合理确定解题 思路．解决此类问题的关键是根据含量词命题 的真假转化为相关数学知识,利用函数、方程、 不等式等知识求解参数的取值范围,解题过程 中要注意变量取值范围的限制． [例４]判断下列命题是全称量词命题还是存在 量词命题,判断真假,并写出它们的否定: (１)空集是任何一个非空集合的真子集． (２)∀x∈R,４x２＞２x－１＋３x２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２３􀅰 数学􀅰必修第一册 (３)∃x∈{－２,－１,０,１,２},|x－２|＜２． (４)∀a,b∈R,方程ax＋b＝０恰有一解． 􀳀[变式训练] ４．(１)命题“存在一个无理数,它的平方是有理数” 的否定是 (　　) A．任意一个有理数,它的平方是有理数 B．任意一个无理数,它的平方不是有理数 C．存在一个有理数,它的平方是有理数 D．存在一个无理数,它的平方不是有理数 (２)(多选题)在下列命题中,真命题有 (　　) A．∃x∈R,x２＋x＋３＝０ B．∀x∈Q,１３x ２＋１２x＋１ 是有理数 C．∃x,y∈Z,使３x－２y＝１０ D．∀x∈R,x２＞|x| 　　　充分条件与必要条件 　充要条件是数学的重要概念之一,在数学中有 着非常广泛的应用,在高考中有着较高的考查 频率,其特点是以高中数学的其他知识为载体 考查充分条件、必要条件、充要条件的判断． [例５]若a,b都是实数,试从①ab＝０;②a＋b＝ ０;③a(a２＋b２)＝０;④ab＞０中选出满足下列条 件的式子,用序号填空: (１)使a,b都为０的必要条件是　　　　; (２)使a,b都不为０的充分条件是　　　　; (３)使a,b至少有一个为０的充要条件是　　　． 􀳀[变式训练] ５．已知集合A＝{x∈R|２x＋m＜０},B＝{x∈ R|x＜－１或x＞３}． (１)是否存在实数m,使得x∈A 是x∈B 成 立的充分条件? (２)是否存在实数m,使得x∈A 是x∈B 成 立的必要条件? 　　　　集合的实际应用 　数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数 学语言表达问题、用数学方法构建模型解决 问题的素养,主要表现在:发现和提出问题, 建立和求解模型,检验和完善模型,分析和 解决问题,在本章主要表现在集合的实际应 用问题中． [例６]某班有３６名同学参加数学、物理、化学课 外探究小组,每名同学至多参加两个小组,已 知参加数学、物理、化学小组的人数分别为２６, １５,１３同时参加数学和物理小组的有６人,同 时参加物理和化学小组的有４人,则同时参加 数学和化学小组的有　　　　人． 􀳀[变式训练] ６．２０２１年文汇高中学生运动会,某班６２名学生 中有一半的学生没有参加比赛,参加比赛的学 生中,参加田赛的有１６人,参加径赛的有２３ 人,则田赛和径赛都参加的学生人数为 (　　) A．７　　　B．８　　　C．１０　　　D．１２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３３􀅰 第一章　集合与常用逻辑用语