1.2 集合间的基本关系-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版2019）

学习讲义􀅰参考答案 第一章　集合与常用逻辑用语 １．１　集合的概念 课前预习学案 情境引入 　提示　通知的对象是全体高一学生． 知识梳理 知识点一、１．研究对象　２．元素　集　３．一样　４．确定性 知识点二、１．大写拉丁字母A,B,C,􀆺　小写拉丁字母a,b, c,􀆺 ２．a是集合A 中的元素　a∈A　a不是集合A 中的元素 知识点三、N　N∗ 或 N＋ 　Z　Q　R 知识点四、１．一一列举　{　　}　２．{x∈A|P(x)}　{x∈ A:P(x)}　{x∈A;P(x)} [思考] １．提示:集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式,也 可以是现实生活中的各种各样的事物或人等． ２．提示:某班所有的高个子男生不能构成集合,因为高个 子男生没有明确的标准． ３．提示:对于一个元素a与一个集合A 而言,只有“a∈A” 与“a∉A”这两种结果． ４．提示:N∗ 是所有正整数组成的集合,而 N 是由０和所有 的正整数 组 成 的 集 合,所 以 N 比 N∗ (N＋ )多 一 个 元 素０． ５．提示:用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序．例如: {a,b}与{b,a}表示同一个集合． ６．提示:A＝{x|x－１＝０}＝{１}与 集 合 B 表 示 同 一 个 集合． 预习自测 １．D　２．C　３．C 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)试卷中的哪些题才能称为是“难题”,是 无法确定的,故不能组成一个集合;(２)元素“观众”是确 定的,所以能组成一个集合;(３)接近１的实数没有一个 明确的标准,所以这些实数是无法确定的,不能组成一 个集合;(４)哪些球员比林书豪打得好是不确定的,所以 不能组成一个集合． [例２]　A　[①∵ ２是无理数,∴ ２∉Q,故①错误; ②∵０是非负整数,∴０∈N故②错误; ③∵π是实数,∴π∈R,故③错误; ④∵|－４|＝４是整数,∴|－４|∈Z,故④正确．] [例３]　[解]　若x２＝０,则x＝０,此时集合A 中有两个相 同元素０,不符合集合中元素的互异性,舍去． 若x２＝１,则x＝±１． 当x＝１时,集合A 中有两个相同元素１,舍去; 当x＝－１时,集合A 中三个元素为１,０,－１,符合． 若x２＝x,则x＝０或x＝１, 不符合互异性,都舍去． 综上可知:x＝－１． [例４]　[解]　(１)比５大３的数 显 然 是８,故 可 表 示 为 {８}． (２)方程x２＋y２－４x＋６y＋１３＝０可化为:(x－２)２＋(y ＋３)２＝０,∴ x＝２, y＝－３,{ ∴方程的解集为{(２,－３)}． (３)由x－３＞２,得x＞５． 故不等式的解集为{x|x＞５}． (４)“二次函数y＝x２－１０的图象上的所有点”用描述法 可表示为{(x,y)|y＝x２－１０}． 变式训练 １．AC　[B中,由于“较胖”的标准不明确,不满足集合元素 的确定性,所以B错误;D 中的所有整数能组成集合,所 以 D错误．] ２．解析:由 ６３－x∈N ,x∈N知x≥０,６３－x＞０ ,且x≠３,故０ ≤x＜３．又x∈N,故x＝０,１,２．当x＝０时,６３－０＝２∈ N;当x＝１时,６３－１＝３∈N ;当x＝２时,６３－２＝６∈N． 故 集合A 中的元素为０,１,２． 答案:０,１,２ ３．解析:由题意知a２＝４,即a＝±２． 答案:±２ ４．解析:(１)偶数可用式子x＝２n,n∈Z表示,但此题要求 为正偶数,故限定n∈N∗ ,所以正偶数集合可表示为{x| x＝２n,n∈N∗ }． (２)设被３除余２的数为x,则x＝３n＋２,n∈Z,但元素 为正整数,故n∈N,所以被３除余２的正整数集合可表 示为{x|x＝３n＋２,n∈N}． (３)坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少有一 个为０,即xy＝０,故平面直角坐标系中坐标轴上的点的 集合可表示为{(x,y)|xy＝０}． 随堂步步夯实 １．ACD　２．B　　３．C　　４．２ ５．a＝０,或a＝１． １．２　集合间的基本关系 课前预习学案 情境引入 　提示　(１)集合A 中的元素都是集合B 的元素． (２)A 是B 的子集． (３)故事中的“白马非马”意为白马组成的集合与所有马 组成的集合不相等． 知识梳理 知识点一、１．封闭曲线　２．任意一个　A⊆B　B⊇A　包 含于　包含　都是　都是　A＝B　A＝B　x∈B　x∉A 　A⊆A　A⊆C　A＝C　⫋　⫋ 知识点二、不含任何元素　子集　⫋ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６６３􀅰 数学􀅰必修第一册 [思考] １．提示:不一定,如集合A＝{１,３},B＝{２,３},这两个集合 就没有包含关系． ２．提示:①“∈”是表示元素与集合之间的关系,比如１∈ N,－１∉N． ②“⊆”是表示集合与集合之间的关系,比如 N⊆R,{１, ２,３}⊆{３,２,１}． ③“∈”的左边是元素,右边是集合,而“⊆”的两边均为 集合． ３．提示: ⌀与０ ⌀与{０} ⌀与{⌀} 相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合 不同点 ⌀ 是 集 合;０ 是 实数 ⌀ 不 含 任 何 元 素;{０}含 一个元素０ ⌀ 不 含 任 何 元 素;{⌀}含一个 元 素,该 元 素 是⌀ 关系 ０∉⌀ ⌀⫋{０} ⌀⫋{⌀} 预习自测 １．B　２．A　　３．{１}⫋{x|x２－１＝０}． 课堂互动学案 [例１]　[解]　由０个元素构成的子集:⌀; 由１个元素构成的子集:{１},{２},{３}; 由２个元素构成的子集:{１,２},{１,３},{２,３}; 由３个元素构成的子集:{１,２,３}． 由此得集合A 的 所 有 子 集 为⌀,{１},{２},{３},{１,２}, {１,３},{２,３},{１,２,３}． 在上述子集中,除去集合A 本身,即{１,２,３},剩下的都 是A 的真子集． [例２]　[解]　(１)集合 A 的代表元素是数,集合B 的代 表元素是有序实数对,故A 与B 之间无包含关系． (２)集合B＝{x|x＜５},用数轴表示集合A,B 如图所示, 由图可知A⫋B． (３)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两 边相等的三角形,故A⫋B． (４)两个集合都表示正奇数组成的集合,但由于n∈N∗ , 因此 集 合 M 含 有 元 素 “１”,而 集 合 N 不 含 元 素 “１”,故 N⫋M． [例３]　解析:(１)化简 M＝{x|x２＋x－６＝０}＝{－３,２}, 因为ax＋２＝０的 系 数a 是 字 母,所 以 对a 分 类 讨 论 如下: 当a＝０时,ax＋２＝０无解,所以 N＝⌀满足题意;当a ≠０时,ax＋２＝０的解为x＝－２a ,因为 N⫋M,所以由 －２a＝－３ ,得a＝２３ ,由－２a ＝２． 得a＝－１,所以符合 条件的a的取值集合为{０,２３ ,－１}． (２)因为B⊆A,①当 B＝⌀时,m＋１≤２m－１,解得 m ≥２． ②当B≠⌀时有 －３≤２m－１, m＋１≤４, ２m－１＜m＋１, { 解得－１≤m＜２,综上得m≥－１． 答案:(１){０,２３ ,－１}　(２)m≥－１ 变式训练 １．解:(１)由{１,２}⫋M⊆{１,２,３,４,５}可以确定集合 M 中 必含有元素１,２,且至少含有元素３,４,５中的一个,因此 依据集合 M 的元素个数分类如下:含有三个元素:{１,２, ３},{１,２,４},{１,２,５};含有四个元素:{１,２,３,４},{１,２, ３,５},{１,２,４,５};含有五个元素:{１,２,３,４,５}．故满足题 意的集合 M 共有７个． (２)这样的集合共有３个． ∵{x∈N|－１＜x＜３}＝{０,１,２},A⫋{０,１,２}且A 中至 少有一个元素为奇数,∴当A 中含有１个元素时,A 可 以为{１};当 A 中 含 有 ２ 个 元 素 时,A 可 以 为 {０,１}, {１,２}． ２．解析:(１)选B．如图所示 A 的范围包含B 的范围,所以B⊆A． (２)根据子集的定义,①显然正确;②中只有正方形才既 是菱形,也是矩形,其他的菱形不是矩形;③中集合{x| x２＝０}中的元素只有一个“０”,因此是集合{０}的子集; ④中{(０,１)}的元素是有序实数对,而{０,１}是数集,元素 不同;⑤中两个集合之间使用了“∈”符号,这是用来表 示元素与集合的关系时使用的符号,⑤错;⑥显然错误． 应有{x|x＞１}⫌{x|x≥２)．故填①③． 答案:(１)B　(２)①③ ３．解:A＝{x|x２＋x－６＝０)＝{－３,２}． 因为B⫋A, 所以B＝{－３}或B＝{２}或B＝⌀． 当B＝{－３}时, 由m􀅰(－３)＋１＝０,得m＝１３． 当B＝{２}时, 由m􀅰２＋１＝０,得m＝－１２． 当B＝⌀时,m＝０, 综上所述,m＝１３ 或m＝－１２ 或m＝０． 随堂步步夯实 １．C　２．A ３．７　４．６ ５．解:(１)若A⫋B,由图可知a＞２． (２)若B⊆A,由图可知,１≤a≤２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７６３􀅰 参考答案 １．(多选题)下列各组对象能构成集合的是(　　) A．拥有手机的人　B．２０２４年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于π的正整数 ２．下列说法正确的有 (　　) ①１∈N;② ３∈N∗;③１２∈Q ;④２＋ ２∈Q; ⑤４２∉Z． A．１个　　B．２个　　C．３个　　D．４个 ３．集合A＝{y|y＝x２＋１},集合B＝{(x,y)| y＝x２＋１}(A,B 中x∈R,y∈R)．选项中元 素与集合的关系都正确的是 (　　) A．２∈A,且２∈B B．(１,２)∈A,且(１,２)∈B C．２∈A,且(３,１０)∈B D．(３,１０)∈A,且２∈B ４．由实数x,－x,|x|,x２, ３ x３所组成的集合 里面元素最多有　　　　个． ５．已知集合A 由元素a－３,２a－１,a２－４构 成,且－３∈A,求实数a的值． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．２　集合间的基本关系 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 理解集合之间包含与相等的含义,能 识别给定集合的子集 会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表示集合 间的基本关系,并能进行转换,重点提升数学抽象素养和 直观想象素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　这天,正巧公孙龙骑着白马来到函谷关． 关吏说:“你人可入关,但马不能．” 公孙龙辩道:“白马非马,怎么不可以 过 关?”关吏说:“白马是马．” 公孙龙说:“我公孙龙是龙吗?”关吏一愣, 但仍坚持说:“按照规定只要是赵国的马就不 能入关,管你是白马还是黑马．” 公孙龙微微一笑,道:“‘马’是指名称而 言,‘白’是指颜色而说,名称和颜色不是一个 概念.‘白马’这个概念,分开来就是‘白’和 ‘马’或‘马’和‘白’,这是两个不同的概念.比 如说你要马,给黄马、黑马可以,但是如果要白 马,给黑马、给黄马就不可以,由此证明‘白马’ 和‘马’不是一回事! 所以说白马非马．” 　　这一则寓言故事．对于一般人,说“白马是 马”就如同说“白人是人”一样,清楚明白,准确 无误．怎么可能“白马非马”呢? 如果赵国的白 马组成集合A,赵国的所有马组成集合B． [问题]　(１)集合A 中的元素与集合B 中的 元素的关系是怎样的? (２)集合A 与集合B 又存在什么关系? (３)故事中的“白马非马”是为何意? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５􀅰 第一章　集合与常用逻辑用语 [知识梳理] [知识点一]　子集、集合相等、真子集 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．Venn图 用平面上　　　　　的内部代表集合,这种 图称为Venn图． ２．子集、集合相等、真子集 子集 集合相等 真子集 概 念 一般地,对于 两个集合 A, B,如 果 集 合 A 中　　　　 元素都是集合 B中的元素,就 称集合A 为集 合B的子集,记 作　　　　(或 　　　),读作 “A 　　　B” (或“B　　　 A”) 一般地,如果集 合A 的任何一 个元素　　　 集 合 B 的 元 素,同时集合 B 的任何一个 元素　　　集 合A的元素,那 么集合A 与集 合B相等,记作 　　　也就是 说,若A⊆B,且 B⊆A, 则　　　 如果集合 A ⊆B,但存在 元素　　　, 且　　　,就 称集合 A 是 集合B 的真 子集,记作A ⫋B(或B⫌ A) 图 示 结 论 (１)任何一个 集合是它本身 的子集． 即　　　 (２)对于集合 A,B,C,如果 A⊆B,且B⊆ C,那么 　　　 若A＝B 且B＝C, 则　　　 (１)若A⫋B 且B⫋C,则 A　　C (２)若A⊆B 且A≠B,则 A　　B 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．任 意 两 个 集 合 之 间 是 否 有 包 含 关系? ２．符号“∈”与“⊆”有什么区别? [知识点二]　空集 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 定义 我们把　　　　　　的集合,叫做 空集 记法 ⌀ 规定 空集是任何集合的　　　,即⌀⊆A 特性 (１)空集只有一个子集,即它本身,⌀⊆⌀ (２)若A≠⌀,则⌀　　A 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３．⌀与０,{０},{⌀}有何区别? [预习自测] １．下列关系式正确的是 (　　) A．０⊆{０}　　　　　　　　B．０∈{０} C．０＝{０} D．０∉{０} ２．集合{１,２}的子集有 (　　) A．４个　　B．３个　　C．２个　　D．１个 ３．集合{１}与集合{x|x２－１＝０}的关系是　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６􀅰 数学􀅰必修第一册 　求集合的子集、真子集 [例１]写出集合A＝{１,２,３}的所有子集和真 子集． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　按照顺序依次写出:由０个 元素构成的子集;由１个元素构成的子集; 由２个元素构成的子集;由３个元素构成 的子集． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．写出一个集合的所有子集的常用方 法为: (１)首 先 要 注 意 两 个 特 殊 子 集:⌀和 它 自身． (２)其次要依次按含有１个元素的子集,含 有２个元素的子集、含有３个元素的 子集􀆺􀆺写出所有子集,在本例中,写 出含有２个元素的子集时,首先从１ 起,１与每个元素搭配,然后不看１,再 看２可与哪些元素搭配． ２．求一个集合子集个数的规律及注意点 (１)规律:含有n(n≥１且n∈N)个元素的 集合有２n 个子集,有２n－１个真子集, 有２n－２个非空真子集． (２)注意点:解决此类问题时应注意两个比 较特殊的集合,即⌀和集合本身． 􀳀[变式训练] １．(１)满足{１,２}⫋M⊆{１,２,３,４,５}的集合 M 有几个? (２)已知集合A⫋{x∈N|－１＜x＜３},且A 中至少有一个元素为奇数,则这样的集合A 共有多少个? 并用恰当的方法表示这些 集合． 　集合间关系的判断 [例２]指出下列各对集合之间的关系: (１)A＝{－１,１},B＝{(－１,－１),(－１,１), (１,－１),(１,１)}． (２)A＝{x|－１＜x＜４},B＝{x|x－５＜０}． (３)A＝{x|x 是等边三角形},B＝{x|x 是 等腰三角形}． (４)M＝{x|x＝２n－１,n∈N∗},N＝{x|x＝２n＋１,n ∈N∗}． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　判断两集合间关系的关键是 弄清所给集合是由哪些元素组成的,也就 是把抽象的集合具体化,这就要求熟练地 用自然语言、符号语言(列举法和描述法)、 图形语言(Venn图)来表示集合． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７􀅰 第一章　集合与常用逻辑用语 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 判断集合间关系的常用方法 (１)列举观察法 当集合中元素较少时,可列举出集合中 的全部元素,通过定义得出集合之间的 关系． (２)集合元素特征法 先确定集合的代表元素是什么,弄清集 合元素的特征,再利用集合元素的特征 判断得出集合之间的关系． 一般地,设 A＝{x|p(x)},B＝{x|q (x)},①若由p(x)可推出q(x),则A ⊆B;②若由q(x)可推出p(x),则B⊆ A;③若p(x),q(x)可互相推出,则 A ＝B;④若由p(x)推不出q(x),由q (x)也推不出p(x),则集合A,B 无包 含关系． (３)数形结合法 利用数轴或Venn图可清晰、明了地判 断集合间的关系,其中不等式的解集之 间的关系,适合用数轴法． 􀳀[变式训练] ２．(１)设集合A＝{x|－１＜x＜２},B＝{x|－１ ＜x＜１},则 (　　) A．A⊆B　　　　　　　B．B⊆A C．A＝B D．A⊈B (２)下列命题中正确的有　　　　(写出全 部正确命题的序号)． ①{２,４,６}⊆{２,３,４,５,６};②{菱形}⊆{矩 形};③{x|x２＝０}⊆{０};④{(０,１)}⊆{０,１}; ⑤{１}∈{０,１,２};⑥{x|x＞１}⊆{x|x≥２}． 由集合间的关系求参数问题 [例３](１)若集合 M＝{x|x２＋x－６＝０},N＝ {x|ax＋２＝０,a∈R},且N⫋M,则a的取值集 合为　　　　． (２)已知集合A＝{x|－３≤x≤４},B＝{x|２m－ １＜x＜m＋１},且B⊆A．求实数 m 的取值 范围． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)求出集合 M 中的元素,对 N 作讨论． (２)借助数轴,不要漏掉B＝⌀的情况． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 由集合间的包含关系求参数的方法 (１)当集合为不连续数集时,常根据集合包含 关系的意义,建立方程求解．此时应注意分类 讨论; (２)当集合为连续数集时,常借助数轴来建立 不等关系求解,应注意端点处是实点还是 虚点． 提醒:(１)不能忽视集合为⌀的情形． (２)当集合中含有字母参数时,一般要分类 讨论． 􀳀[变式训练] ３．已知集合A＝{x|x２＋x－６＝０},B＝{x|mx＋１ ＝０},B⫋A,求m的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８􀅰 数学􀅰必修第一册 １．集合M＝{x|－２＜x≤３且x∈N}的真子集个 数为 (　　) A．７　　　B．８　　　C．１５　　　D．１６ ２．给出以下５组集合: (１)M＝{(－５,３)},N＝{－５,３}; (２)M＝{１,－３},N＝{３,－１}; (３)M＝⌀,N＝{０}; (４)M＝{π},N＝{３．１４１５}; (５)M＝{x|x２－３x＋２＝０},N＝{y|y２－３y＋２ ＝０}．其中是相等集合的有 (　　) A．１组　　　　　　　B．２组 C．３组 D．４组 ３．对于两个非空集合A,B,定义集合A－B＝{x|x ∈A且x∉B},若M＝{１,２,３,４,５},N＝{０,２,３, ６,７},则集合N－M 的真子集个数为　　　　． ４．设A＝{x|x２－５x＋m＝０},B＝{x|x－３＝ ０},且B⊆A,则m＝　　　　． ５．已知集合A＝{x|１≤x≤２},B＝{x|１≤x≤ a,a≥１}． (１)若A⫋B,求a的取值范围; (２)若B⊆A,求a的取值范围． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．３　集合的基本运算 第１课时　并集与交集 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 理解两个集合之间的并集和交集的 含义.能求两个集合的交集与并集 能用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表达集合 的交集和并集运算,发展学生的数学抽象和数学运算 素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　某 班 有 学 生２０人, 他们的学号分别是１,２, ３,􀆺,２０,现 有a,b 两 本 新书,已知学号是偶数的 读过新书a,学号是３的倍数的读过新书b． [问题]　(１)问至少读过一本书的有哪些 同学? (２)同时读了a,b两本书的有哪些同学? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９􀅰 第一章　集合与常用逻辑用语