1.2 集合间的基本关系-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教A版2019）

1．2　集合间的基本关系 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 第一章 集合与常用逻辑用语 必修第一册 数学 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第一章 集合与常用逻辑用语 课程标准 素养解读 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集 会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表示集合间的基本关系，并能进行转换，重点提升数学抽象素养和直观想象素养 [情境引入] 这天，正巧 公孙龙 骑着白马来到 函谷关 ． 关吏说：“你人可入关，但马不能．” 公孙龙辩道：“ 白马非马 ， 怎么不可以 过关？”关吏说：“白马是马．” 公孙龙说：“我公孙龙是龙吗？”关吏一愣，但仍坚持说：“按照规定只要是赵国的马就不能入关，管你是白马还是黑马．” 公孙龙微微一笑，道：“‘马’是指名称而言，‘白’是指颜色而说，名称和颜色不是一个概念。‘白马’这个概念，分开来就是‘白’和‘马’或‘马’和‘白’，这是两个不同的概念。比如说你要马，给黄马、黑马可以，但是如果要白马，给黑马、给黄马就不可以，由此证明‘白马’和‘马’不是一回事！所以说白马非马．” 这一则寓言故事．对于一般人，说“白马是马”就如同说“白人是人”一样，清楚明白，准确无误．怎么可能“白马非马”呢？如果赵国的白马组成集合A，赵国的所有马组成集合B. [问题]　(1)集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的？ (2)集合A与集合B又存在什么关系？ (3)故事中的“白马非马”是为何意？ 提示　(1)集合A中的元素都是集合B的元素． (2)A是B的子集． (3)故事中的“白马非马”意为白马组成的集合与所有马组成的集合不相等． [知识梳理] [知识点一]　子集、集合相等、真子集　 1．Venn图 用平面上 封闭曲线 的内部代表集合，这种图称为Venn图． 2．子集、集合相等、真子集 子集 集合相等 真子集 概念 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中　任意一个　元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作　A⊆B　(或　B⊇A　)，读作“A　包含于　B”(或“B　包含　A”) 一般地，如果集合A的任何一个元素　都是　集合B的元素，同时集合B的任何一个元素　都是　集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作　A＝B　也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则　A＝B　 如果集合A⊆B，但存在元素　x∈B　，且　x∉A　，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) 子集 集合相等 真子集 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集．即　A⊆A　 (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么　A⊆C　 若A＝B且B＝C，则　A＝C　 (1)若AB且BC，则A　　C (2)若A⊆B且A≠B，则A　　B 1.任意两个集合之间是否有包含关系？ 提示：不一定，如集合A＝{1,3}，B＝{2,3}，这两个集合就没有包含关系． 2．符号“∈”与“⊆”有什么区别？ 提示：①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1∉N. ②“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1,2,3}⊆{3,2,1}． ③“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为集合． [知识点二]　空集　 定义 我们把　不含任何元素　的集合，叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的　子集　，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅ (2)若A≠∅，则∅　　A 3.∅与0，{0}，{∅}有何区别？ 提示： ∅与0 ∅与{0} ∅与{∅} 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 ∅是集合；0是实数 ∅不含任何元素；{0}含一个元素0 ∅不含任何元素；{∅}含一个元素，该元素是∅ 关系 0∉∅ ∅{0} ∅{∅} [预习自测] 1．下列关系式正确的是(　　) A．0⊆{0} B．0∈{0}　 C．0＝{0}　 D．0∉{0} 答案：B 2．集合{1,2}的子集有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 答案：A 3．集合{1}与集合{x|x2－1＝0}的关系是__________． 答案：{1}{x|x2－1＝0}． 求集合的子集、真子集 [例1] 写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集． [思路点拨]　按照顺序依次写出：由0个元素构成的子集；由1个元素构成的子集；由2个元素构成的子集；由3个元素构成的子集． [解]　由0个元素构成的子集：∅； 由1个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}； 由2个元素构成的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}； 由3个元素构成的子集：{1,2,3}． 由此得集合A的所有子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}． 在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集． 1．写出一个集合的所有子集的常用方法为： (1)首先要注意两个特殊子集：∅和它自身． (2)其次要依次按含有1个元素的子集，含有2个元素的子集、含有3个元素的子集……写出所有子集，在本例中，写出含有2个元素的子集时，首先从1起，1与每个元素搭配，然后不看1，再看2可与哪些元素搭配． 2．求一个集合子集个数的规律及注意点 (1)规律：含有n(n≥1且n∈N)个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集． (2)注意点：解决此类问题时应注意两个比较特殊的集合，即∅和集合本身． [变式训练] 1．(1)满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有几个？ (2)已知集合A{x∈N|－1＜x＜3}，且A中至少有一个元素为奇数，则这样的集合A共有多少个？并用恰当的方法表示这些集合． 解：(1)由{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}可以确定集合M中必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；含有四个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M共有7个． (2)这样的集合共有3个． ∵{x∈N|－1＜x＜3}＝{0,1,2}，A{0,1,2}且A中至少有一个元素为奇数，∴当A中含有1个元素时，A可以为{1}；当A中含有2个元素时，A可以为{0,1}，{1,2}． 集合间关系的判断 [例2] 指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}． (2)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}． (3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}． (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． [思路点拨]　判断两集合间关系的关键是弄清所给集合是由哪些元素组成的，也就是把抽象的集合具体化，这就要求熟练地用自然语言、符号语言(列举法和描述法)、图形语言(Venn图)来表示集合． [解]　(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)集合B＝{x|x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB. (3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. (4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM. 判断集合间关系的常用方法 (1)列举观察法 当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系． (2)集合元素特征法 先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系． 一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A⊆B；②若由q(x)可推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系． (3)数形结合法 利用数轴或Venn图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系，适合用数轴法． [变式训练] 2．(1)设集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x<1}，则(　　) A．A⊆B　　　　　　 B．B⊆A C．A＝B D．A⃘B (2)下列命题中正确的有____________(写出全部正确命题的序号)． ①{2,4,6}⊆{2,3,4,5,6}；②{菱形}⊆{矩形}；③{x|x2＝0}⊆{0}；④{(0,1)}⊆{0,1}；⑤{1}∈{0,1,2}；⑥{x|x>1}⊆{x|x≥2}． 解析：(1)选B.如图所示 A的范围包含B的范围，所以B⊆A. (2)根据子集的定义，①显然正确；②中只有正方形才既是菱形，也是矩形，其他的菱形不是矩形；③中集合{x|x2＝0}中的元素只有一个“0”，因此是集合{0}的子集；④中{(0,1)}的元素是有序实数对，而{0,1}是数集， 元素不同；⑤中两个集合之间使用了“∈”符号，这是用来表示元素与集合的关系时使用的符号，⑤错；⑥显然错误．应有{x|x>1}{x|x≥2)．故填①③. 答案：(1)B　(2)①③ 由集合间的关系求参数问题 [例3] (1)若集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|ax＋2＝0，a∈R}，且NM，则a的取值集合为____________． (2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且B⊆A.求实数m的取值范围． [思路点拨]　(1)求出集合M中的元素，对N作讨论． (2)借助数轴，不要漏掉B＝∅的情况． 解析：(1)化简M＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，因为ax＋2＝0的系数a是字母，所以对a分类讨论如下： 当a＝0时，ax＋2＝0无解，所以N＝∅满足题意；当a≠0时，ax＋2＝0的解为x＝－eq \f(2,a)，因为NM，所以由－eq \f(2,a)＝－3，得a＝eq \f(2,3)，由－eq \f(2,a)＝2.得a＝－1，所以符合条件的a的取值集合为{0，eq \f(2,3)，－1}． (2)因为B⊆A，①当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2. ②当B≠∅时有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－3≤2m－1，,m＋1≤4，,2m－1<m＋1，)) 解得－1≤m<2，综上得m≥－1. 答案：(1){0，eq \f(2,3)，－1}　(2)m≥－1 由集合间的包含关系求参数的方法 (1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解．此时应注意分类讨论； (2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点． 提醒： (1)不能忽视集合为∅的情形． (2)当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论． [变式训练] 3．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，BA，求m的值． 解：A＝{x|x2＋x－6＝0)＝{－3,2}． 因为BA， 所以B＝{－3}或B＝{2}或B＝∅. 当B＝{－3}时， 由m·(－3)＋1＝0，得m＝eq \f(1,3). 当B＝{2}时， 由m·2＋1＝0，得m＝－eq \f(1,2). 当B＝∅时，m＝0， 综上所述，m＝eq \f(1,3)或m＝－eq \f(1,2)或m＝0. 1．集合M＝{x|－2＜x≤3且x∈N}的真子集个数为(　　) A．7　　 B．8　　　C．15　　　D．16 答案：C 2．给出以下5组集合： (1)M＝{(－5,3)}，N＝{－5,3}； (2)M＝{1，－3}，N＝{3，－1}； (3)M＝∅，N＝{0}； (4)M＝{π}，N＝{3.141 5}； (5)M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{y|y2－3y＋2＝0}．其中是相等集合的有(　　) A．1组　　　　　　 B．2组 C．3组 D．4组 答案：A 3．对于两个非空集合A，B，定义集合A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若M＝{1,2,3,4,5}，N＝{0,2,3,6,7}，则集合N－M的真子集个数为____________． 答案：7 4．设A＝{x|x2－5x＋m＝0}，B＝{x|x－3＝0}，且B⊆A，则m＝____________. 答案：6 5．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}． (1)若AB，求a的取值范围； (2)若B⊆A，求a的取值范围． 解：(1)若AB，由图可知a>2. (2)若B⊆A，由图可知，1≤a≤2. $$