专题01：算术平方根与平方根（4大知识点+10大题型+真题检验） 2025-2026学年沪教版（五四制） 八年级数学上册暑假班预修提升课程

2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题01 算术平方根与平方根 知识点1 算术平方根 1.定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a, 即x²=a,那么这个正数x叫作a的算术平方根. 2.表示方法： a的算术平方根记为 ，读作“根号a”，a叫做被开方数．实际省略了中的根指数2，因此也读作“二次根号a”。 3.性质 （1）算术平方根是它本身的数有0和1； （2）一个正数的算术平方根只有一个，并且恒为正；0的算术平方根为0，即；负数没有算术平方根， （3）具有“双重非负性”：被开方数一定是非负数，即≥0；其本身非负，即≥0， 知识点2 算术平方根小数点移动问题 一个数扩大为原来的100 倍，它的算术平方根就扩大为原来的10倍. 一个数缩小为原来,它的算术平方根就缩小为原来 即被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 知识点3 平方根的概念及其性质 1.平方根的概念：一般地，如果一个数x的平方等于a,即 x²=a,那么这个数x叫作a的平方根，也称为二次方根.a 叫作被开方数.a叫做被开方数。 2.表示方法：正数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作“正负根号a”,，其中表示的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号”；表示的负平方根，读作“负根号”；0的平方根记作，即 3.平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。 4.开平方：求一个数a 的平方根的运算叫作开平方. 注意：（1）平方根是数，是开平方的结果；开平方是一种运算，是求平方根的运算。 （2） 开平方与平方互为逆运算. 知识点4：平方根与算术平方根的区别与联系 算术平方根 平方根 区别 个数不同 正数的算术平方根只有1个 正数的平方根有2个 表示方法不同 正数a的算术平方根表示为 正数a的平方根表示为 取值范围不同 正数的算术平方根一定是正数 正数的平方根一正一负，互为相反数 联系 具有包含关系 平方根包含算术平方根 存在的条件相同 只有非负数才有平方根和算术平方根 0的平方根与算术平方根均为0 题型01：辨析算术平方根的概念 【例1】下列说法正确的是（    ） A．表示25的算术平方根 B．表示2的算术平方根 C．2的算术平方根记作 D．2是的算术平方根 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的意义可得答案． 【详解】A、表示25的算术平方根，故A正确； B、不是2的算术平方根，故B错误； C、2的算术平方根为，故C错误； D、是2的算术平方根，故D错误； 故选：A． 【跟踪训练】 1．算术平方根是它本身的数是（    ） A．0和1 B．1和 C．2和 D．0和 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的性质，进行判断即可． 【详解】解：算术平方根是它本身的数是0和1； 故选A． 2．如果有算术平方根，那么可以取的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．根据负数没有平方根，即可解答此题． 【详解】解：∵有算术平方根， ∴， 解得：， 可以取的值为0． 故选：D． 3．下列各数没有算术平方根的是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根的定义，分别计算出选项B、C、D中的数值，根据负数没有算术平方根解答即可． 【详解】解：，，根据负数没有算术平方根得C选项符合题意． 故选：C． 题型02：求算术平方根 【例2】的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的定义即可求出答案． 【详解】解：的算术平方根是， 故选：D． 【例3】计算： ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了利用一个数的算术平方根的定义进行化简，熟练掌握知识点是解题的关键．根据的算术平方根是，进行解答即可． 【详解】解：∵的算术平方根是， ∴， ∴． 故答案为：． 【例4】的算术平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】此题考查了求算术平方根，根据算术平方根的定义得到，，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴的算术平方根是， 答案为： 【跟踪训练】 1. 的算术平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．正数a有一个正的算术平方根， 0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．根据算术平方根的定义，即可求解． 【详解】解：的算术平方根是 故答案为：． 2. 计算 的结果为 ． 【答案】6 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握知识点是解题的关键．根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】解：， 故答案为：6． 3. 的算术平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键． 先计算，然后计算9的算术平方根即可得出答案． 【详解】，9的算术平方根为 的算术平方根为． 故答案为：． 4. 的算术平方根是 ；的算术平方根是 ． 【答案】 2 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根的定义，熟练掌握相关内容是解题的关键． 根据算术平方根、平方根的定义，即可进行解答． 【详解】解：的算术平方根是2； 的算术平方根是； 故答案为：2，，． 题型03：辨析平方根的概念 【例5】 “的平方根是”，用数学式子表达为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据算术平方根和平方根的定义进行解题即可． 【详解】解：“的平方根是”，用式子表示为． 故选：C． 【例6】下列各数中没有平方根的是（    ） A．π B． C．0 D． 【答案】D 【知识点】平方根概念理解 【分析】根据负数没有平方根，解答即可． 本题考查了平方根的特点，熟练掌握特点是解题的关键． 【详解】解：由负数没有平方根，得没有平方根，其余有， 故选：D． 【例7】下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．负数有个平方根 D．正数只有个平方根 【答案】A 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的性质即可求解，掌握平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：、的平方根是，该选项说法正确，符合题意； 、的平方根是，该选项说法错误，不合题意； 、负数没有平方根，该选项说法错误，不合题意； 、正数有个平方根，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 【跟踪训练】 1．下列语句写成数字式子正确的是（    ） A．9是81的算术平方根： B．5是的算术平方根： C．是36的平方根： D．是4的负的平方根： 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根和平方根，根据一个数的平方根有两个，他们互为相反数，正的平方根是算术平方根，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、9是81的算术平方根：，故该选项是错误的； B、5是的算术平方根：，故该选项是正确的； C、是36的平方根：，故该选项是错误的； D、是4的负的平方根：，故该选项是错误的； 故选：B 2.下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．的平方根是 C．的算术平方根是6 D．25的平方根是 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和平方根，平方根的性质，掌握()的平方根为，算术平方根为，“正数有两个平方根，的平方根是，负数没有平方根”，能区分的平方根和的平方根是解题的关键．根据平方根和算术平方根定义进行求解即可． 【详解】解：A、 4的平方根是，结论错误，不符合题意； B、的平方根是，结论错误，不符合题意； C、没有算术平方根，结论错误，不符合题意； D、25的平方根是，结论正确，符合题意． 故选：D． 3.下列说法正确的是（   ） A．任何正数都有平方根 B．任何实数都有平方根 C．的平方根是 D．的平方根是 【答案】A 【分析】根据平方根的性质求解即可． 【详解】解：A、任何正数都有平方根，故本选项正确，符合题意； B、负数没有平方根，故本选项错误，不符合题意； C、的平方根是，故本选项错误，不符合题意； D、的平方根是，故本选项错误，不符合题意． 故选：A 【点睛】本题主要考查的是平方根的性质，熟练掌握其性质是解本题的关键．平方根的性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 4.一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，以及已知一个数的平方根，求这个数，先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的下一个自然数，进而得到其平方根． 【详解】解：由题意可知：该自然数为， 该自然数相邻的下一个自然数为， 的平方根为． 故选：D． 题型04：求平方根 【例8】求下列各数的平方根 （1）2.25 （2） （3）0 （4） 【答案：（1），（2），（3）0，（4）】 【例9】16的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平方根的含义，根据，结合平方根的含义可得答案． 【详解】解：16的平方根是； 故答案为： 【例10】的平方根是（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：， ∵9的平方根为， ∴的平方根是， 故选：A． 【跟踪训练】 1.．9的平方根等于 ；的平方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 【分析】根据平方根的定义即可得出答案． 【详解】解：，的平方根等于； ，的平方根等于； ，的平方根等于． 故答案为：；；． 【点睛】本题考查了平方根的定义．理解一个正数的平方根有两个，并且解题中不要漏解是本题的关键． 2．求下列各数的平方根，并用式子表示出来． (1)；(2)；(3)；(4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查平方根和算术平方根，掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键 （1）先化简绝对值，再求求平根； （2）先化简绝对值，再求求平根； （3）先求算术平方根，再求平方根； （4）先求算术平方根，再求平方根； 【详解】（1），225的平方根是．用式子表示为； （2），的平方根是．用式子表示为； （3），的平方根是，用式子表示为； （4），的平方根是，用式子表示为 3．求下列等式中的x； （1）若，则______；（2）若，则______； （3）若，则______；（4）若，则______． 【答案】                    【分析】（1）根据平方根的定义，由，可得的值； （2）根据平方根的定义，由，可得的值； （3）根据平方根的定义，由=25，可得的值； （4）根据平方根的定义，由，可得的值． 【详解】（1）∵ ∴ 故答案为： （2）∵ ∴ 故答案为： （3）∵ ∴ 故答案为： （4）∵ ∴ 故答案为： 【点睛】考核知识点：平方根．理解平方根的定义是关键． 题型03：利用算术平方根和平方根的概念求值 【例11】已知的平方根为，的算术平方根为． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，根据题意正确列式是解题的关键． （1）由题得，求出，继而得到，求出； （2）由得到，再根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：的平方根为， ， ； 的算术平方根为， ， ； （2）解：， ， 的平方根为 【跟踪训练】 1．已知的平方根是，的平方根是，求的平方根． 【答案】． 【分析】利用平方根求出和的值，确定出的值，即可确定出平方根． 【详解】解：∵的平方根是，的平方根是， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根为． 【点睛】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键． 2．已知的值是2，的算术平方根是4． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了算术平方根，掌握运算法则是解题关键． （1）根据的值是2，求出，再根据的算术平方根是4，得，解出b值即可； （2）将a，b的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵的值是2，的算术平方根是4． ∴，， ∴，； （2）解：∵， ∴的平方根为：． 3．已知，，z是9的算术平方根，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、平方根，解答本题的关键是明确它们各自的含义和计算方法． 根据，，z是9的算术平方根，可以求得x、y、z的值，从而可以解答本题． 【详解】解：∵，，z是9的算术平方根， ∴，，， ∴．　　 故的平方根是． 题型04：利用平方根的概念解方程 【例12】求下列各式中的值： (1)； (2)．（3）． 【答案】(1)， (2)，【3】或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，解题的关键是掌握平方根的定义． （1）根据解方程的步骤和平方根的定义求解即可； （2）根据解方程的步骤和平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解： ， （2）解： ， （3） 解得：或． 【跟踪训练】 1．求下列各式中x的值： (1)；(2)． (3) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了利用平方根的性质求未知数的值． （1）整理后，根据平方根的性质求解即可； （2）整理后，根据平方根的性质求解即可． 【详解】（1）解：整理得， 解得； （2）解：整理得， 开方得， 解得． （3）， 或， 解得，． 2.解方程 (1)；(2)．(3)． 【答案】(1) (2)或．(3)或 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题主要考查了平方根的应用，熟练掌握平方根定义，是解题的关键． （1）先移项，然后方程两边同除以81，最后开平方即可； （2）直接开平方，解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 方程两边同除以81得：， 开平方得：； （2）解：， 即， 开平方得：， 解得：或． （3）∵， ∴， ∴，即或， ∴或． 题型05：算术平方根非负性的应用 【例13】若，则的平方根为 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根、绝对值非负性 【分析】本题考查算术平方根和绝对值的非负性、求一个数的平方根．首先根据算术平方根具有非负性，以及任意一个数的绝对值都是非负数，求出的大小，然后代入求解即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 的平方根为． 故答案为：． 【例14】已知、都是实数，且，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负数的性质及平方根，根据算术平方根的非负性得，，可得的值，再代入等式求出的值，再根据平方根的定义求解即可．解题的关键是掌握：任意非负数的算术平方根是非负数，即． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 【跟踪训练】 1.若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求代数式的平方根 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义．直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， 则， 故的平方根为：． 故答案为：． 2．如果，那么的平方根为 ． 【答案】/或/或 【分析】根据算术平方根和平方的非负性，求出的值，然后进行计算即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方式的非负性、代数式求值，解题的关键是利用非负性求出的值 题型06：平方根性质的应用 【例15】一个正数的平方根分别为和，则这个正数是 ． 【答案】 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】此题主要考查了平方根的性质，正确得出a的值是解题关键．直接利用平方根的定义得出a的值，进而得出答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是：与， ∴， 解得：， 故， 则这个正数是：． 故答案为：． 【跟踪训练】 1.已知一个正数的平方根分别是与，则这个数为 ． 【答案】9 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了正数的平方根，且正数的平方根是互为相反数，熟练掌握这些知识是解题的关键． 根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数，可得出a的值，继而得出这个数． 【详解】解：∵一个正数的平方根分别是与， ∴， 解得：， 则， ∴， 则这个数为9． 故答案为：9． 2.已知一个正数的两个不同的平方根分别是与，则 ． 【答案】3 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查平方根的性质、解一元一次方程，熟知一个正数有两个平方根，且互为相反数是解答的关键．先根据平方根的性质列方程，然后解方程即可求解． 【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是与， ∴，解得， 故答案为：3． 题型07：算术平方根与平方根的运算 【例16】计算: （1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【答案：(1)16；（2）-1.2；（3） ；（4）0.3；（5）】 【例17】求下列各式的值： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)15 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根以及二次根式的运算，解题的关键是理解平方根和算术平方根的定义，以及掌握二次根式的运算规则． （1）根据算术平方根的定义分别计算； （2）根据算术平方根的定义分别计算； （3）根据算术平方根的定义分别计算； （4）先计算根号内的数值，再求算术平方根． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【例18】求下列各式的值: (1)； (2)+； (3)+ -0.1 11 0.42 【跟踪训练】 1．下列选项中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的，平方根的求解，根据算术平方根，平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项正确，不符合题意； 故选：D． 2.求下列各式的值： （1） （2） （3） （4） 【答案】：（1） （2） （3） （4）】 3.求下列各式的值： （1）； ±9 （2）； -4 （3）； （4）.4 （5）， 1.2 （6）， -6 （7） ± （8） 25 【答案】：（1） ±9 （2） -4 （3） （4）.4 （5）， 1.2 （6）， -6 （7） ± （8） 25 题型08算术平方根的估算 【例19】若，则满足条件的可能是（    ） A．8 B．9 C．15 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的意义成为解题的关键． 先根据算术平方根的意义确定a的取值范围，然后结合选项即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即选项C符合题意． 故选C． 【例20】的整数部分是 ．小数部分是 ． 【答案】 3 【知识点】估计算术平方根的取值范围、求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】根据算术平方根的整数部分和小数部分求解的方法直接进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分为； 故答案为3，． 【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个算术平方根的整数部分和小数部分是解题的关键． 【跟踪训练】 1．估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】本题考查无理数的估算．估算的近似值，即可得到在哪两个整数之间． 【详解】解：∵，即， ∴， ∴在整数2与整数3之间， 故选：B． 2.已知a，b是两个连续整数，，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小及求代数式的值，求得、的值是解题的关键．依据被开放数越大对应的算术平方根越大，可求得、的值，然后再利用有理数的加法法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵，是两个连续整数，若， ∴，， ∴． 故选：C． 3.一个正方形的面积是8，估计它的边长大小在（   ） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的定义和估算无理数的大小，由正方形的面积等于边长的平方，故根据已知的面积开方即可求出正方形的边长为，然后由可得的取值范围． 【详解】解：设正方形边长为， 由正方形的面积为8得：， 又， ， ， ， ， 即正方形的边长在2与3之间，故B正确． 故选：B． 4.若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 【答案】 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】根据首先确定的值，则小数部分即可确定． 【详解】解：， ， 则． 故答案是：3，． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是确定无理数的整数部分即可解决问题． 5.已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【答案】 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】根据的取值范围，根据整数部分和小数部分的定义，即可求解， 本题考查了，求算术平方根的整数部分和小数部分，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：∵的整数部分是，小数部分是，， ∴，， 故答案为：，． 题型09：平方根中小数点的移动规律的应用 【例21】已知，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，根据被开方数的小数点每向右（左）移动两位，其算术平方根的小数点每向右（左）移动一位进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ，这两个式子都不成立， 故选：A． 【例22】如表所示，被开方数a的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动规律符合一定的规律，若=180，且=1.8，则被开方数a的值为_______． a … 0.000001 0.01 1 100 10000 1000000 … … 0.001 0.1 1 10 100 1000 … 【答案】32400 【分析】根据题意和表格中数据的变化规律，可以求得a的值． 【详解】解：∵＝180，且＝1.8， ∴＝180， ∴a＝32400， 故答案为：32400． 【点睛】此题考查的是算术平方根的探索规律题，掌握被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动规律是解决此题的关键． 【跟踪训练】 1．若，，则的平方根约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根，熟练掌握平方根是解题的关键；根据题意30是0.3的100倍，进而可根据进行求解． 【详解】解：∵， ∴的平方根为； 故选D． 2.（1）填表并观察规律： a 0.0064 0.64 64 6400 ___________ ___________ ___________ ___________ （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则___________； ②已知，则___________． （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【答案】（1）0.08，0.8，8，80；（2）①5800；②0.001225；（3）求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的 【分析】本题考查算术平方根中的规律探究： （1）根据算术平方根的定义，填表即可； （2）根据表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的，进行求解即可； （3）根据表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的，作答即可． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.0064 0.64 64 6400 0.08 0.8 8 80 （2）①，则：； 故答案为：5800； ②已知，则； 故答案为：0.001225； （3）由表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的． 3.按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【答案】(1)见解析 (2)，68 (3)求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律问题，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据（1）可得规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位，由此即可得； （3）根据（1）解题过程找出规律即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，，， 填表如下： 4 400 2 20 （2）解：由（1）可知，求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位， ∵， ∴被开方数的小数点向右移动2位得到580，则它的算术平方根的小数点向右移动1位，即； ∵，， ∴将被开方数的小数点向右移动4位即可得到， ∴； 故答案为：，68． （3）解：从以上问题的解决过程中，发现的规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位． 题型10：算术平方根、平方根的实际应用 【例23】如图，用两个边长为的小正方形拼成一个大的正方形． (1)大正方形的边长为 ； (2)若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为且面积为？ 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【知识点】算术平方根的实际应用、平方根的应用 【分析】本题考查了平方根的应用、算术平方根的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据题意计算即可得解； （2）设长方形的长为，宽为，根据题意得出，求出，再结合题意判断即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得，大正方形的边长为； （2）解：不能，理由如下： ∵长方形纸片的长宽之比为， ∴设长方形的长为，宽为， 由题意可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为且面积为． 【跟踪训练】 1．观察正方形方格，每个小正方形的边长均是1． (1)如图1，求阴影正方形的面积和边长； (2)图2是的正方形方格，请在图2中画出长为的线段，并说明理由． 【答案】(1)5； (2)画图见解析；理由见解析 【知识点】平方根的应用、勾股定理与网格问题 【分析】题目主要考查算术平方根的应用及网格与勾股定理． （1）利用网格与勾股定理求出的平方即正方形的面积，再利用算术平方根即可求出边长的值． （2）利用网格与勾股定理画出的线段即可． 【详解】（1）解：因为， 所以阴影正方形的面积是5； 边长长为． （2）解：如图，线段就是长为的线段． 理由： 2.为了装饰房间，小明制作了一个面积为的正方形拼图．他准备把这个拼图装进一个长方形相框中，这个长方形相框的长和宽之比为，且面积为． (1)求长方形相框的长和宽． (2)小明能将拼图放入这个相框中吗？请通过计算说明． 【答案】(1)长方形相框的长为，宽为． (2)小明不能将拼图放入这个相框中，理由见解析 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，解题的关键是掌握由算术平方根的定义求出正方形拼图的边长． （1）设长方形相框的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （2）先求出正方形拼图的边长，然后与相框的宽比较即可． 【详解】（1）解：设长方形相框的长为，宽为， 由题意得， ， ． 答：长方形相框的长为，宽为． （2）解；面积为的正方形拼图的边长是， ， ， ，即相框的宽小于正方形拼图的边长， 小明不能将拼图放入这个相框中． 3．如图，用两个面积为的小正方形剪拼成一个大的正方形． (1)则大正方形的边长是_________； (2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为，若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由． （参考数据：） 【答案】(1)4 (2)不能，理由见解析 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查算术平方根的实际应用： （1）求出大正方形的面积，再开方求出边长即可； （2）设长方形纸片的长为，宽为，求出长方形的长和宽，与正方形的边长进行比较即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，大正方形的面积为， ∴大正方形的边长：； 故答案为：4； （2）设长方形纸片的长为，宽为， 则， 解得：（负值已舍掉）， ， 所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为． 一、选择题 1．（2023上海闵行区期中）的算术平方根等于（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】计算，由此解答即可． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2， 故选：C． 【点睛】此题考查了求一个数的算术平方根，正确掌握算术平方根的定义：一个正数的平方等于a，则这个数是a的算术平方根，熟记定义是解题的关键． 2．（2022上海静安·期中）的平方根为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先计算的值为3，再利用平方根的定义即可得到结果． 【详解】解：∵=3， ∴3的平方根是±． 故选：C． 【点睛】此题考查了平方根，以及算术平方根，解题的关键是先求得的值． 3．（2024静安区七年级下期中）下列说法正确的是　　 A．一个数的平方根一定有两个 B．一个正数的平方根一定是它的算术平方根 C．一个非零数的正的平方根一定是它的算术平方根 D．一个非负数的非负平方根一定是它的算术平方根 【答案】 【分析】利用平方根与算术平方根的意义对每个选项的结论进行逐一判断即可得出结论． 【解答】解：的平方根为0， 选项的说法不正确； 一个正数的正的平方根一定是它的算术平方根， 选项的说法不正确； 一个非负数的非负平方根一定是它的算术平方根， 选项的说法不正确； 一个非负数的非负平方根一定是它的算术平方根， 选项的说法正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了平方根与算术平方根，熟练掌握上述定义与性质是解题的关键． 4．（2024松江区七年级下期中）面积为9的正方形，其边长等于（　　） A．9的平方根 B．9的算术平方根 C．9的立方根 D．5的算术平方根 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：∵面积等于边长的平方， ∴面积为9的正方形，其边长等于9的算术平方根． 故选B． 【点睛】本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根． 5．（2024上海实验七年级期中）下列说法正确的是（   ） A．是16的一个平方根 B．16的平方根是4 C．的算术平方根是 D．的算术平方根是4 【答案】A 【分析】本题考查平方根和算术平方根，根据平方根和算术平方根的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、是16的一个平方根，原说法正确，符合题意； B、16的平方根是，原说法错误，不符合题意； C、的算术平方根是4，原说法错误，不符合题意； D、的算术平方根是2，原说法错误，不符合题意； 故选A． 6．（2024存志中学期中）下列说法正确的是（    ） A．平方根等于它本身的数是0，1 B．倒数等于它本身的数只有1 C．算术平方根等于它本身的数是0，1 D．的平方根为 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根和倒数的概念，熟练掌握平方根，算术平方根和倒数相关概念是解题的关键． 根据平方根，算术平方根，和倒数的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．平方根等于它本身的数是0，故本选项不符合题意； B．倒数等于它本身的数有，故本选项不符合题意； C．算术平方根等于它本身的数是0，1，故本选项符合题意； D．的平方根为，故本选项不符合题意； 故选：C． 二、填空题 7．（24-25七年级下·上海松江期中）4的算数平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了求算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的非负性，根据正数的算术平方根为正数即可求解． 【详解】解：4的算数平方根是， 故答案为：． 8．（2023春•杨浦区期末）4的平方根是 　　． 【分析】一个数的平方等于，那么这个数即为的平方根，据此即可求得答案． 【解答】解：，， 的平方根是， 故答案为：． 【点评】本题考查平方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 9．（2023春·辽宁铁岭·七年级统考期中）的平方根是 ． 【答案】 【分析】根据平方根的定义和特点求解即可． 【详解】因为，所以的平方根是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平方根的定义（如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根）和特点（正数有两个平方根，它们互为相反数），牢记平方根的定义和特点是解题的关键． 10．（23-24建平中学阶段练习）的算术平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查平方根和算术平方根计算．根据平方根和算术平方根定义直接计算即可得到本题答案． 【详解】∵，即的算术平方根是， 故答案为：． 11．（2023春•闵行区期中）的平方根是 　　． 【分析】先求出的值，再求其平方根即可． 【解答】解：，2的平方根是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查的是平方根及算术平方根，掌握平方根的概念是解题的关键． 12．（2023春•徐汇区校级期中）的平方根等于 　　 【分析】利用平方根及算术平方根定义计算即可求出值． 【解答】解：，9的平方根是， 故答案为：． 【点评】此题考查了算术平方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，注意：不是 13．（2022上海期中）的整数部分是 ，小数部分是 ． 【答案】 1 / 【分析】先估算出，得出，即可得出结果． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴的整数部分是1，小数部分是． 故答案为：1，． 【点睛】此题主要考查学生对平方根知识点的掌握．根据判断其数值范围为解题 14．（2024静安区七年级下期中）若，则_____． 【答案】 【分析】利用算术平方根和绝对值的非负性求出a和b，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查非负数的性质，有理数的乘方以及代数式求值，解题的关键是利用非负数的性质求出a和b． 15．（2024黄浦区七年级下期中）若一个正数m的平方根为和，则m的值是 _______． 【答案】36 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，得出，求出a的值，再求出这个数m，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， 故答案为：36． 16．（2023春·上海虹口·七年级校联考期末）已知是正整数，则实数的最大值为______ 【分析】由题意可得，要使要使是正整数，即可得出当n最大取2022时，是正整数． 【详解】解：∵， ∴， 要使是正整数， 即当时，． 【点睛】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键． 17．（2024浦东新区七年级下期中）已知，则______． 【答案】 【分析】运用算术平方根解题即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根，解决本题的关键是掌握算术平方根的运算． 18．（2024徐汇区七年级下期中）物体自由下落时，下落的高度（单位：）可用公式来计算，其中，是重力加速度，取，（单位：）表示物体下落的时间．若一个小球从离地面的高处自由下落，则小球落到地面的时间是 ． 【答案】 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题考查利用算术平方根的性质解方程，通过代入已知量到自由下落公式，关键步骤是正确代入数值并解方程，舍去不符合实际的负解．根据题目给出的自由下落公式，将已知高度和重力加速度代入，利用算术平方根的性质解方程求出下落时间． 【详解】解：由题意将，， 代入公式，可得：， 化简得：， 表示物体下落的时间， ，即小球落到地面的时间是． 故答案为：． 3、 解答题 19.（2024徐汇中学七年级练习）求下列各数的算术平方根． (1)169；(2)；(3)0.09；(4)． 【答案】(1)13(2)(3)0.3 (4)3 解：（1）∵132＝169， ∴169的算术平方根是13， 即＝13； （2）∵（）2＝， ∴的算术平方根是， 即＝； （3）∵0.32＝0.09， ∴0.09的算术平方根是0.3， 即＝0.3； （4）∵32＝9＝（﹣3）2， ∴（﹣3）2的算术平方根是3， 即＝3． 【点睛】此题考查了求一个数的算术平方根，正确理解算术平方根的定义是解题的关键． 20．求下列各数的平方根： （1）121；（2）0.01；（3）；（4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）根据平方根的定义，进行求解即可； （2）根据平方根的定义，进行求解即可； （3）根据平方根的定义，进行求解即可； （4）根据平方根的定义，进行求解即可． 【解答】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【点评】本题考查求一个数的平方根．熟练掌握平方根的定义，是解题的关键．正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根． 21．求下列各式中的x值： （1）；    （2）；       （3）； （4）；        （5）． 【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）或；（5）． 【分析】通过移项，二次项系数化为1，再直接开平方，即可求解． 【详解】解：（1）， 移项得：，即：， 解得：x=; （2）. 开平方得： ， 解得：x=； （3）， 移项得：，即：， 开平方得：， 解得：x=或； （4）， 两边同除以4得：， 开平方得：， 解得：x=或； （5）， 整理得：，即， 开平方得：， 解得：x=． 【点睛】本题主要考查解二次方程，掌握平方根的意义，是解题的关键． 22．（21-22八年级·全国·假期作业）已知与(2x+3y+1)2互为相反数，求x﹣y的平方根． 【答案】x﹣y的平方根为 【分析】根据与(2x+3y+1)2互为相反数，得到，再结合二次根式非负性及平方的非负性得到，求解代值即可得到结论． 【详解】解：∵与互为相反数， ， ， ∴，解得， ∴x﹣y＝2， ∴x﹣y的平方根为． 【点睛】本题考查求代数式的平方根，涉及到相反数的性质、二次根式非负性及平方的非负性、解二元一次方程组等知识点，熟练掌握相反数的性质和常见非负式的运用是解决问题的关键． 23．（2023青浦区七年级统考期末）已知实数a的平方根为，，的整数部分为b． (1)求a，b的值； (2)若的小数部分为c，求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据一个正数的平方根互为相反数求，通过估算求； （2）求出，再代入求值计算即可． 【详解】（1）解：∵实数a的平方根为，， ∴， 解得， ∴， 即， ∵的整数部分为b， ∴； （2）∵b，c分别是的整数部分和小数部分， ∴， ∴， 平方根为． 【点睛】本题考查算术平方根的整数部分和小数部分，以及平方根的性质，解题的关键是 一个正数的平方根互为相反数． 24.（24-25七年级下宝山期中）已知，，是9的算术平方根，求的值． 【答案】11 【分析】本题考查算术平方根、平方根，解答本题的关键是明确它们各自的含义和计算方法．根据，，z是9的算术平方根，可以求得x、y、z的值，从而可以解答本题． 【详解】解：∵，，z是9的算术平方根， ∴，，， ∴．　　 25．（24-25七年级下·上外附中阶段练习）已知的平方根是，的平方根是． (1)求m，n的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义即可求得答案； （2）将（1）中结果代入中计算后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， ∴ （2）解：， ， ， 的平方根为． 26（24-25七年级下上宝中学阶段练习）一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)5 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题主要考查平方根及算术平方根，熟练掌握平方根及算术平方根的意义是解题的关键； （1）根据平方根的意义可得，则可求出a的值，进而得出x的值即可； （2）把（1）中a、x的值代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴， ∴25的算术平方根为5． 27．（23-24七年级下华育中学月考）如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形纸片的边长； (2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？ 【答案】(1) (2)解：不同意小明的说法，我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片，理由见解析 【知识点】算术平方根的实际应用、平方根的应用、利用平方根解方程 【分析】本题考查平方根的实际应用，读懂题意，由算术平方根及平方根定义列式求解即可得到答案，读懂题意，由平方根定义列式求解是解决问题的关键． （1）根据题意，利用算术平方根列式求解即可得到答案； （2）设长方形纸片的长为，宽为，由题意得到求解即可得到答案． 【详解】（1）解：用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形， 大正方形的边长为； （2）解：不同意小明的说法；我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片． 理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为，根据题意得，解得或（负值，舍去），即长方形的长为，宽为， ∵，不符合题意， ∴小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题01 算术平方根与平方根 知识点1 算术平方根 1.定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a, 即x²=a,那么这个正数x叫作a的算术平方根. 2.表示方法： a的算术平方根记为 ，读作“根号a”，a叫做被开方数．实际省略了中的根指数2，因此也读作“二次根号a”。 3.性质 （1）算术平方根是它本身的数有0和1； （2）一个正数的算术平方根只有一个，并且恒为正；0的算术平方根为0，即；负数没有算术平方根， （3）具有“双重非负性”：被开方数一定是非负数，即≥0；其本身非负，即≥0， 知识点2 算术平方根小数点移动问题 一个数扩大为原来的100 倍，它的算术平方根就扩大为原来的10倍. 一个数缩小为原来,它的算术平方根就缩小为原来 即被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位. 知识点3 平方根的概念及其性质 1.平方根的概念：一般地，如果一个数x的平方等于a,即 x²=a,那么这个数x叫作a的平方根，也称为二次方根.a 叫作被开方数.a叫做被开方数。 2.表示方法：正数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作“正负根号a”,，其中表示的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号”；表示的负平方根，读作“负根号”；0的平方根记作，即 3.平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。 4.开平方：求一个数a 的平方根的运算叫作开平方. 注意：（1）平方根是数，是开平方的结果；开平方是一种运算，是求平方根的运算。 （2） 开平方与平方互为逆运算. 知识点4：平方根与算术平方根的区别与联系 算术平方根 平方根 区别 个数不同 正数的算术平方根只有1个 正数的平方根有2个 表示方法不同 正数a的算术平方根表示为 正数a的平方根表示为 取值范围不同 正数的算术平方根一定是正数 正数的平方根一正一负，互为相反数 联系 具有包含关系 平方根包含算术平方根 存在的条件相同 只有非负数才有平方根和算术平方根 0的平方根与算术平方根均为0 题型01：辨析算术平方根的概念 【例1】下列说法正确的是（    ） A．表示25的算术平方根 B．表示2的算术平方根 C．2的算术平方根记作 D．2是的算术平方根 【跟踪训练】 1．算术平方根是它本身的数是（    ） A．0和1 B．1和 C．2和 D．0和 2．如果有算术平方根，那么可以取的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．下列各数没有算术平方根的是（    ） A．0 B． C． D． 题型02：求算术平方根 【例2】的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 【例3】计算： ． 【例4】的算术平方根是 ． 【跟踪训练】 1. 的算术平方根是 ． 2. 计算 的结果为 ． 3. 的算术平方根是 ． 4. 的算术平方根是 ；的算术平方根是 ． 题型03：辨析平方根的概念 【例5】 “的平方根是”，用数学式子表达为（　　） A． B． C． D． 【例6】下列各数中没有平方根的是（    ） A．π B． C．0 D． 【例7】下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．负数有个平方根 D．正数只有个平方根 【跟踪训练】 1．下列语句写成数字式子正确的是（    ） A．9是81的算术平方根： B．5是的算术平方根： C．是36的平方根： D．是4的负的平方根： 2.下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．的平方根是 C．的算术平方根是6 D．25的平方根是 3.下列说法正确的是（   ） A．任何正数都有平方根 B．任何实数都有平方根 C．的平方根是 D．的平方根是 4.一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 题型04：求平方根 【例8】求下列各数的平方根 （1）2.25 （2） （3）0 （4） 【例9】16的平方根是 ． 【例10】的平方根是（   ） A． B．3 C． D．9 【跟踪训练】 1．9的平方根等于 ；的平方根是 ；的平方根是 ． 2．求下列各数的平方根，并用式子表示出来． (1)；(2)；(3)；(4) 3．求下列等式中的x； （1）若，则______；（2）若，则______； （3）若，则______；（4）若，则______． 题型05：利用算术平方根和平方根的概念求值 【例11】已知的平方根为，的算术平方根为． (1)求的值； (2)求的平方根． 【跟踪训练】 1．已知的平方根是，的平方根是，求的平方根． 2．已知的值是2，的算术平方根是4． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 3．已知，，z是9的算术平方根，求的平方根． 题型06：利用平方根的概念解方程 【例12】求下列各式中的值： (1)； (2)．（3）． 【跟踪训练】 1．求下列各式中x的值： (1)；(2)． (3) 2.解方程 (1)；(2)．(3)． 题型07：算术平方根非负性的应用 【例13】若，则的平方根为 ． 【例14】已知、都是实数，且，求的平方根． 【跟踪训练】 1.若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 2．如果，那么的平方根为 ． 题型08：平方根性质的应用 【例15】一个正数的平方根分别为和，则这个正数是 ． 【跟踪训练】 1.已知一个正数的平方根分别是与，则这个数为 ． 2.已知一个正数的两个不同的平方根分别是与，则 ． 题型09：算术平方根与平方根的运算 【例16】计算: （1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【例17】求下列各式的值： (1)；(2)；(3)；(4)． 【例18】求下列各式的值: (1)； (2)+； (3)+ 【跟踪训练】 1．下列选项中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2.求下列各式的值： （1） （2） （3） （4） 3.求下列各式的值： （1）； ±9 （2）； -4 （3）； （4）.4 （5）， 1.2 （6）， -6 （7） ± （8） 25 题型10：算术平方根的估算 【例19】若，则满足条件的可能是（    ） A．8 B．9 C．15 D．18 【例20】的整数部分是 ．小数部分是 ． 【跟踪训练】 1．估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 2.已知a，b是两个连续整数，，则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3.一个正方形的面积是8，估计它的边长大小在（   ） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 4.若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 5.已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 题型11：平方根中小数点的移动规律的应用 【例21】已知，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例22】如表所示，被开方数a的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动规律符合一定的规律，若=180，且=1.8，则被开方数a的值为_______． a … 0.000001 0.01 1 100 10000 1000000 … … 0.001 0.1 1 10 100 1000 … 【跟踪训练】 1．若，，则的平方根约为（    ） A． B． C． D． 2.（1）填表并观察规律： a 0.0064 0.64 64 6400 ___________ ___________ ___________ ___________ （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则___________； ②已知，则___________． （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 3.按要求填空： (1)填表并观察规律： a 4 400 (2)根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； (3)从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 题型12：算术平方根、平方根的实际应用 【例23】如图，用两个边长为的小正方形拼成一个大的正方形． (1)大正方形的边长为 ； (2)若沿此大正方形边长的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为且面积为？ 【跟踪训练】 1．观察正方形方格，每个小正方形的边长均是1． (1)如图1，求阴影正方形的面积和边长； (2)图2是的正方形方格，请在图2中画出长为的线段，并说明理由． 2.为了装饰房间，小明制作了一个面积为的正方形拼图．他准备把这个拼图装进一个长方形相框中，这个长方形相框的长和宽之比为，且面积为． (1)求长方形相框的长和宽． (2)小明能将拼图放入这个相框中吗？请通过计算说明． 3．如图，用两个面积为的小正方形剪拼成一个大的正方形． (1)则大正方形的边长是_________； (2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为，若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由． （参考数据：） 一、选择题 1．（2023上海闵行区期中）的算术平方根等于（    ） A．4 B． C．2 D． 2．（2022上海静安·期中）的平方根为（    ） A． B．3 C． D． 3．（2024静安区七年级下期中）下列说法正确的是　　 A．一个数的平方根一定有两个 B．一个正数的平方根一定是它的算术平方根 C．一个非零数的正的平方根一定是它的算术平方根 D．一个非负数的非负平方根一定是它的算术平方根 4．（2024松江区七年级下期中）面积为9的正方形，其边长等于（　　） A．9的平方根 B．9的算术平方根 C．9的立方根 D．5的算术平方根 5．（2024上海实验七年级期中）下列说法正确的是（   ） A．是16的一个平方根 B．16的平方根是4 C．的算术平方根是 D．的算术平方根是4 6．（2024存志中学期中）下列说法正确的是（    ） A．平方根等于它本身的数是0，1 B．倒数等于它本身的数只有1 C．算术平方根等于它本身的数是0，1 D．的平方根为 二、填空题 7．（24-25七年级下·上海松江期中）4的算数平方根是 ． 8．（2023春•杨浦区期末）4的平方根是 　　． 9．（2023春·辽宁铁岭·七年级统考期中）的平方根是 ． 10．（23-24建平中学阶段练习）的算术平方根是 ． 11．（2023春•闵行区期中）的平方根是 　　． 12．（2023春•徐汇区校级期中）的平方根等于 　　 13．（2022上海期中）的整数部分是 ，小数部分是 ． 14．（2024静安区七年级下期中）若，则_____． 15．（2024黄浦区七年级下期中）若一个正数m的平方根为和，则m的值是 _______． 16．（2023春·上海虹口·七年级校联考期末）已知是正整数，则实数的最大值为______ 17．（2024浦东新区七年级下期中）已知，则______． 18．（2024徐汇区七年级下期中）物体自由下落时，下落的高度（单位：）可用公式来计算，其中，是重力加速度，取，（单位：）表示物体下落的时间．若一个小球从离地面的高处自由下落，则小球落到地面的时间是 ． 3、 解答题 19.（2024徐汇中学七年级练习）求下列各数的算术平方根． (1)169；(2)；(3)0.09；(4)． 20．求下列各数的平方根： （1）121；（2）0.01；（3）；（4）． 21．求下列各式中的x值： （1）；    （2）；       （3）； （4）；        （5）． 22．（21-22八年级·全国·假期作业）已知与(2x+3y+1)2互为相反数，求x﹣y的平方根． 23．（2023青浦区七年级统考期末）已知实数a的平方根为，，的整数部分为b． (1)求a，b的值； (2)若的小数部分为c，求的平方根． 24.（24-25七年级下宝山期中）已知，，是9的算术平方根，求的值． 25．（24-25七年级下·上外附中阶段练习）已知的平方根是，的平方根是． (1)求m，n的值； (2)求的平方根． 26（24-25七年级下上宝中学阶段练习）一个正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求和的值； (2)求的算术平方根． 27．（23-24七年级下华育中学月考）如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形纸片的边长； (2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$