精品解析：山西省太原市2023-2024学年高一下学期7月期末学业诊断数学试卷

2023~2024学年第二学期高一年级期末学业诊断 数学试卷 （考试时间：上午8：00—9：30） 说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分． 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 为了解某校高中3000名学生的身高情况，从中抽取了100名学生进行调查，则这100名学生是（ ） A. 总体 B. 样本 C. 样本量 D. 个体 【答案】B 【解析】 【分析】根据总体、样本的定义判断即可. 【详解】依题意，从中抽取了100名学生进行调查，则这100名学生是一组样本. 故选：B 2. 某公司有员工30名，其中包含经理一名、保洁一名，为了调查该公司员工的工资情况，拟采用以下两种方案：方案一，调查公司全部30名员工的工资情况；方案二，收入最高的经理和收入最低的保洁的工资不纳入调查范围，只调查其他28名员工的工资情况．这两种调查方案得到的数据，一定相同的是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 极差 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】根据一组数据的中位数、平均数和方差、极差的定义进行判断，即可求解. 【详解】由题意，公司30名员工工资情况组成30个数据，按大小顺序排列，排在中间的两个数的平均数是中位数，去掉收入最高的经理和收入最低的保洁的工资，即去掉一个最大值和一个最小值，剩余28个数据按大小顺序排列，排在中间的两个数还是原来的两个数，所以这两个数的平均数不变，即中位数不变； 平均数是与每一个数据都有关系的量，方差也是与每一个数据都有关系的量，所以会变化； 极差是与最大值和最小值有关系的量，所以也会发生变化. 故选：A. 3. 已知平面，和直线，，若，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与异面 D. 与无公共点 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面平行的性质可得，又，由线面平行的性质可得没有公共点，所以与可能异面、平行、垂直，从而确定正确答案. 详解】依题意，若，，则， 又，所以没有公共点， 与可能异面、平行、垂直， 所以D选项正确，ABC选项错误. 故选：D. 4. “幸福感指数”是某人对自己目前生活状态满意程度的自我评价指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取8位市民，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，7，9，4，5，则该组数据的第75百分位数为（ ） A. 6.5 B. 7 C. 7.5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的计算公式即可得出结果. 【详解】该组数据从小到大的排序是：，且， 则该组数据的第75百分位数为. 故选：C. 5. 某场乒乓球单打比赛按三局两胜的赛制进行，甲乙两人参加比赛．已知每局比赛甲获胜的概率为0.4，乙获胜的概率为0.6．现用计算机产生1~5之间的整数随机数，当出现1或2时，表示此局比赛甲获胜，当出现3，4或5时，表示此局比赛乙获胜．在一次试验中，产生了20组随机数如下： 534 123 512 114 125 334 432 332 314 152 423 443 423 344 541 453 525 151 354 345 根据以上数据，利用随机模拟试验，估计甲获得冠军的概率为（ ） A. 0.24 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.76 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，在20组随机数中，表示甲获胜的有：123，512，114，125，152，151，共6种情况，然后利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】根据题意，在20组随机数中，表示甲获胜的有：123，512，114，125，152，151，共6种情况， 所以可估计甲获得冠军的概率为. 故选：B. 6. 现有甲、乙两台机床同时生产直径为的零件，从两台机床生产的零件中各抽取10件进行测量，其结果如图所示，则下列结论不正确的是（ ） A. 甲机床数据的极差大于乙机床数据的极差 B. 乙机床数据比甲机床数据更稳定 C. 甲机床数据的平均数小于乙机床数据的平均数 D. 甲机床数据的中位数等于乙机床数据的中位数 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形，由极差、方差、平均数、众数的概念即可判断. 【详解】对于A：甲机床数据的极差为，乙机床数据的极差为， 所以甲机床数据的极差大于乙机床数据的极差，故A正确； 对于B：乙机床数据比甲机床数据更集中，所以乙机床数据比甲机床数据更稳定，故B正确； 对于C：甲机床数据的平均数为， 乙机床数据的平均数为， 故甲机床数据的平均数等于乙机床数据的平均数，故C错误； 对于D：甲机床数据从小到大排列为：，，，，，， ，，，，故中位数为， 乙机床数据从小到大排列为：，，，，，， ，，，，故中位数为，故D正确. 故选：C 7. 已知，为两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由，，，则或或，为异面直线，可以判断选项A；由，，，则或或，为异面直线，可以判断选项B；若，，，则或，即可判断选项C；设直线，由，则，又，可得，又，则，所以，即可判断选项D. 【详解】对于选项A，若，，，则或或，为异面直线，故选项A错误； 对于选项B，若，，，则或或，为异面直线，故选项B错误； 对于选项C，若，，，则或，故选项C错误； 对于选项D，设直线，因为，则，又，所以， 因为，所以，所以，故选项D正确. 故选：D. 8. 已知甲、乙两个袋子中各装有若干个白球和红球（这些球仅颜色不同），且乙袋中球数是甲袋中球数2倍，若从甲袋中随机摸一个球，摸到红球的概率为，而将甲、乙两个袋子中的球装在一起后，从中随机摸一个球，摸到红球的概率为，则从乙袋中随机摸一个球，摸到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设甲袋中的总球数为，则甲袋中有个红球，个白球，乙袋中的总球数为，根据题意可得乙袋中有个红球，计算可得乙袋中摸到红球的概率. 【详解】假设甲袋中的总球数为，因为从甲袋中随机摸一个球，摸到红球的概率为， 则甲袋中有个红球，个白球， 又乙袋中球数是甲袋中球数2倍，乙袋中的总球数为； 因为将甲、乙两个袋子中的球装在一起后，从中随机摸一个球，摸到红球的概率为， 所以甲、乙两袋中共有个红球，所以乙袋中有个红球， 因而从乙袋中摸到红球的概率为. 故选：C. 二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 任何事件的概率总是在内 B. 随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定于概率 C. 抛掷一枚硬币，试验100次出现正面向上的频率一定比试验50次出现正面向上的频率更接近它出现正面向上的概率 D. 随机事件中至少有一个发生的概率一定不小于中恰有一个发生的概率 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：根据概率的性质分析判断；对于BC：根据概率和频率之间的关系分析判断；对于D：根据事件的运算结合概率的性质分析判断. 【详解】对于选项A：任何事件的概率总是在内，例如必然事件的概率为1，故A错误； 对于选项B：根据频率与概率之间的关系可知：随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定于概率，故B正确； 对于选项C：由选项B可知：随着试验次数增加，频率会逐渐稳定于概率， 但该结论为总体效果，对具体情况不一定成立，故C错误； 对于选项D：因为，则， 且随机事件中至少有一个发生的概率为， 中恰有一个发生的的概率为， 所以随机事件中至少有一个发生的概率一定不小于中恰有一个发生的概率，故D正确； 故选：BD. 10. 连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷结果向上的点数小于3”，“第二次抛掷结果向上的点数是3的倍数”，“两次抛掷结果向上的点数之和为奇数”，“两次抛掷结果向上的点数之和为偶数”，则下列结论正确的是（ ） A. 与是互斥事件 B. 与是互斥事件 C. 与是相互独立事件 D. 与是相互独立事件 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，分别写出事件、、、包含的基本事件，并计算出概率，然后根据互斥事件及相互独立事件的定义判断即可. 【详解】连续抛掷骰子两次，则基本事件有 共个， 其中事件包含的基本事件有 共个； 其中事件包含的基本事件有 共个； 事件包含的基本事件有，，，，，，， ，，，，，，，，，，，共个； 事件包含的基本事件有，，，，，，， ，，，，，，，，，，，共个； 对于A：事件与可以同时发生，故不是互斥事件，故A错误； 对于B：事件与不能同时发生，即其中一个发生另一个一定不发生，且一定有一个会发生， 故与是互斥事件且是对立事件，故B正确； 对于C：因为，， 且包含的基本事件有共个， 所以，所以与是相互独立事件，故C正确； 对于D：因为与是对立事件且， 所以，故与不是相互独立事件，故D错误. 故选：BC 11. 已知两组样本数据和的均值和方差分别为，和，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，且，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平均数公式判断A，利用特殊值判断B，首先求出，再根据平均数的性质判断C，求出，再根据方差的性质判断D. 【详解】对于A：因为，所以， 又，，所以，故A正确； 对于B：若，满足，且， 但是，故B错误； 对于C：因为，所以， 又，所以，故C正确； 对于D：因为 ， 又，所以，故D错误. 故选：AC 12. 如图，矩形中，，为的中点，将沿直线翻折至，连接，为的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（ ） A. 的长是定值 B. 存在某个位置，使得 C. 存在某个位置，使得平面平面 D. 当三棱锥的体积取最大值时，其外接球的表面积是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：取点作辅助线，分析可知，，结合余弦定理分析判断；对于B：假设，分析可得，，进而可得矛盾，即可得结果；对于C：取，分析可知平面，结合面面垂直的判定定理分析证明；对于D：分析可知当平面与平面垂直时，三棱锥的体积最大，说明此时中点为外接球球心即可. 【详解】对于A，取AD的中点为E，连接CE交MD于点F，可知为中点， 则，可知， 且， 在△CEN中，由余弦定理得：为定值， 所以NC是定值，故B正确； 对于选项B：由选项A可知：， 因为，则， 假设，则， 但NE，NF，NC共面且有公共点， 这是不可能的，假设不成立，所以不相互垂直，故B错误； 对于选项C：例如，则，可知， 且，，平面， 可得平面， 又因为平面，可得平面平面， 所以存在某个位置，使得平面平面，故C正确； 对于选项D：根据题意知：当且仅当平面平面AMD时，三棱锥的体积最大， 取AM、AD的中点为O、E，连接， 因为，即，则， 平面平面，平面，可得平面， 且平面，则， 则，，， 可得，则， 可知AD的中点E就是三棱锥的外接球的球心，球的半径为1， 所以球的表面积是，故D正确； 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：探索性问题求解的途径和方法 （1）对命题条件探索的三种途径： ①先猜后证，即先观察，尝试给出条件再证明； ②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性； ③将几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件． （2）对命题结论的探索方法： 从条件出发，探索出要求的结论是什么，对于探索结论是否存在，求解时常假设结论存在，现寻找与条件相容或者矛盾的结论． 三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 某校高一、高二、高三的学生人数比为，按年级分层，采用样本量比例分配进行分层随机抽样，抽取了容量为56的样本，则高三年级应该抽取人数为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】按照分层抽样计算规则计算可得. 【详解】依题意高三年级应该抽取人数为人. 故答案为： 14. 投掷两枚质地均匀的硬币，用表示“第枚硬币正面朝上”，表示“第枚硬币反面朝上”，则该试验的样本空间_____________． 【答案】 【解析】 【分析】按照表示“第枚硬币正面朝上”， 表示“第枚硬币正面朝上”，表示“第枚硬币反面朝上” ，表示“第枚硬币反面朝上”写出即可． 【详解】事件空间： . 故答案为：. 15. 甲、乙两人进行投篮比赛，比赛中甲、乙各投篮10次．已知甲、乙投中的次数都不少于8次，甲投中8次、9次、10次的概率分别为0.6、0.3、0.1，乙投中8次、9次、10次的概率分别为0.7、0.2、0.1，且甲、乙两人投中与否相互独立，则甲投中的次数多于乙投中的次数的概率为_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】设相应的事件，可知，结合互斥事件以及独立事件概率公式运算求解. 【详解】设甲投中8次、9次、10次分别为事件，乙投中8次、9次、10次分别为事件， 则，， 设甲投中的次数多于乙投中的次数为事件C， 则， 可得 ， 所以甲投中的次数多于乙投中的次数的概率为0.3. 故答案为：. 16. 如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，，分别为线段和棱上的动点，则的最小值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】设是的中点，即可证明，过作，交于，过作，交于，连接，即可说明，从而得到，再求出的最小值，即可得解. 【详解】设是的中点，， 所以，则. 对任一点，的最小值是到直线的距离， 过作，交于， 过作，交于，连接， 由于，所以平面，平面， 所以， 由于，平面，所以平面， 又平面，所以， 则，易得. ，， ， 所以， 当三点共线，且是的中点，是与的交点， 此时取得最小值为，所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是将转化为，从而求出的最小值，利用两点之间线段最短求出最小值. 四、解答题（本题共5小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 甲、乙两名射箭运动员在10次射箭训练中，射中的环数分别为： 甲 9 10 8 9 9 7 8 9 10 8 乙 9 9 8 8 10 9 9 8 8 9 （1）计算这10次训练中甲、乙射中环数的平均数和方差； （2）从计算结果看，哪位运动员的射箭技术更好？ 【答案】（1）甲的平均数为8.7，方差为0.81，乙的平均数为8.7，方差为0.41 （2）乙 【解析】 【分析】（1）由平均数和方差计算公式计算即可得到答案； （2）由，可知乙运动员的射箭技术更好. 【小问1详解】 根据题中所给数据，甲的平均数为， 乙的平均数为， 甲的方差为， 乙的方差为， 故甲的平均数为8.7，标准差为0.81，乙的平均数为8.7，标准差为0.41. 【小问2详解】 由（1）可知，，因为平均数相同，方差越小的技术越稳定， 所以乙的技术较为稳定，故乙运动员的射箭技术更好. 18. 甲、乙两歌迷进行听歌曲旋律猜歌名的游戏，已知甲猜出歌名的概率为0.8，乙猜出歌名的概率为0.6，甲和乙猜出与否互不影响． （1）求甲、乙都猜出歌名的概率； （2）求甲、乙两人中至少有一人猜出歌名的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率公式即可求解； （2）先甲、乙两人都没有猜出的概率，再由对立事件的概率公式即可求解. 【小问1详解】 记甲猜出歌名为事件A, 乙猜出歌名为事件B，则， 则甲、乙都猜出歌名的概率为. 【小问2详解】 “甲、乙两人中至少有一人猜出歌名”的对立事件是“两人都没有猜出”， 甲、乙两人都没有猜出的概率为， 所以甲、乙两人中至少有一人猜出歌名的概率为. 19. 某校为普及安全知识，举办了安全知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计这次竞赛的平均成绩； （2）按照成绩从高到低选出样本中前的学生组成安全宣传队，请估计进入宣传队的学生成绩至少需要多少分？ （3）在（2）的条件下，按成绩采用样本量比例分配的分层抽样从宣传队中抽取6名学生担任宣传队骨干，再从这6人中随机选取2人担任正副队长，求正副队长中至少有1名学生成绩在的概率． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分别直方图每组小矩形的面积之和为1，列出方程，求得，再由平均数的计算公式，即可求解； （2）根据题意，成绩从高到低选出样本中前的学生，即为分位数，结合百分位数的计算方法，即可求解； （3）根据题意，得到成绩在的学生有2人，在的学生有4人，利用列举法求得基本事件的总数和所求事件中包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为频率分别直方图每组小矩形的面积之和为1， 可得，解得， 竞赛的平均成绩：. 【小问2详解】 解：由频率分别直方图的数据，可得： 成绩在内的频率为：， 成绩在内的频率为：， 所以成绩从高到低选出样本中前学生，即为分位数，设为， 可得分，即估计进入宣传队的学生成绩至少需要分. 【小问3详解】 由题意得，样本中宣传队学生的人生为， 其中成绩在的学生人数为， 成绩在的学生人数为， 从样本中按分层抽样的的方法抽取6人，则成绩在的学生有2人，记为， 在的学生有4人，记为， 从中选2人担任正副队长的样本空间为： ,， 记事件“正副队长中至少有1名学生成绩在”，则： ， 由古典摡型的概率计算公式，可得. 20. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，． （1）证明：平面； （2）当二面角的正切值为时，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理，结合勾股定理的逆定理证得，借助三角形全等得，再利用线面垂直的判定推理即得； （2）取PA中点，由给定二面角结合勾股定理的逆定理证得，再利用线面垂直的判断性质求出线面角的正弦. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得， 显然，则，即， 由，，，得，则，即， 又，平面，所以平面. 【小问2详解】 取PA中点，连接BE，DE，如图， 由，，则，，即为二面角的平面角， 由（1）知，平面，平面，则，， 于是，，而， 则，，，于是， 又，，平面，因此平面， 又，则平面，过作于点，平面，于是， 而，平面，则平面， 因此直线BD与平面夹角即为， 中，，， 且，则， 所以直线BD与平面夹角为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年第二学期高一年级期末学业诊断 数学试卷 （考试时间：上午8：00—9：30） 说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分． 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 为了解某校高中3000名学生的身高情况，从中抽取了100名学生进行调查，则这100名学生是（ ） A. 总体 B. 样本 C. 样本量 D. 个体 2. 某公司有员工30名，其中包含经理一名、保洁一名，为了调查该公司员工的工资情况，拟采用以下两种方案：方案一，调查公司全部30名员工的工资情况；方案二，收入最高的经理和收入最低的保洁的工资不纳入调查范围，只调查其他28名员工的工资情况．这两种调查方案得到的数据，一定相同的是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 极差 D. 方差 3. 已知平面，和直线，，若，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与异面 D. 与无公共点 4. “幸福感指数”是某人对自己目前生活状态满意程度自我评价指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取8位市民，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，7，9，4，5，则该组数据的第75百分位数为（ ） A. 6.5 B. 7 C. 7.5 D. 8 5. 某场乒乓球单打比赛按三局两胜的赛制进行，甲乙两人参加比赛．已知每局比赛甲获胜的概率为0.4，乙获胜的概率为0.6．现用计算机产生1~5之间的整数随机数，当出现1或2时，表示此局比赛甲获胜，当出现3，4或5时，表示此局比赛乙获胜．在一次试验中，产生了20组随机数如下： 534 123 512 114 125 334 432 332 314 152 423 443 423 344 541 453 525 151 354 345 根据以上数据，利用随机模拟试验，估计甲获得冠军的概率为（ ） A. 0.24 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.76 6. 现有甲、乙两台机床同时生产直径为的零件，从两台机床生产的零件中各抽取10件进行测量，其结果如图所示，则下列结论不正确的是（ ） A. 甲机床数据的极差大于乙机床数据的极差 B. 乙机床数据比甲机床数据更稳定 C. 甲机床数据的平均数小于乙机床数据的平均数 D. 甲机床数据的中位数等于乙机床数据的中位数 7. 已知，为两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 8. 已知甲、乙两个袋子中各装有若干个白球和红球（这些球仅颜色不同），且乙袋中球数是甲袋中球数2倍，若从甲袋中随机摸一个球，摸到红球的概率为，而将甲、乙两个袋子中的球装在一起后，从中随机摸一个球，摸到红球的概率为，则从乙袋中随机摸一个球，摸到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 任何事件的概率总是在内 B. 随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定于概率 C. 抛掷一枚硬币，试验100次出现正面向上的频率一定比试验50次出现正面向上的频率更接近它出现正面向上的概率 D. 随机事件中至少有一个发生的概率一定不小于中恰有一个发生的概率 10. 连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷结果向上点数小于3”，“第二次抛掷结果向上的点数是3的倍数”，“两次抛掷结果向上的点数之和为奇数”，“两次抛掷结果向上的点数之和为偶数”，则下列结论正确的是（ ） A. 与是互斥事件 B. 与是互斥事件 C. 与是相互独立事件 D. 与是相互独立事件 11. 已知两组样本数据和的均值和方差分别为，和，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，且，，则 12. 如图，矩形中，，为的中点，将沿直线翻折至，连接，为的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（ ） A. 的长是定值 B. 存在某个位置，使得 C. 存在某个位置，使得平面平面 D. 当三棱锥的体积取最大值时，其外接球的表面积是 三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 某校高一、高二、高三学生人数比为，按年级分层，采用样本量比例分配进行分层随机抽样，抽取了容量为56的样本，则高三年级应该抽取人数为_____________． 14. 投掷两枚质地均匀的硬币，用表示“第枚硬币正面朝上”，表示“第枚硬币反面朝上”，则该试验的样本空间_____________． 15. 甲、乙两人进行投篮比赛，比赛中甲、乙各投篮10次．已知甲、乙投中的次数都不少于8次，甲投中8次、9次、10次的概率分别为0.6、0.3、0.1，乙投中8次、9次、10次的概率分别为0.7、0.2、0.1，且甲、乙两人投中与否相互独立，则甲投中的次数多于乙投中的次数的概率为_____________． 16. 如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，，分别为线段和棱上的动点，则的最小值为_____________． 四、解答题（本题共5小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 甲、乙两名射箭运动员在10次射箭训练中，射中的环数分别为： 甲 9 10 8 9 9 7 8 9 10 8 乙 9 9 8 8 10 9 9 8 8 9 （1）计算这10次训练中甲、乙射中环数的平均数和方差； （2）从计算结果看，哪位运动员的射箭技术更好？ 18. 甲、乙两歌迷进行听歌曲旋律猜歌名的游戏，已知甲猜出歌名的概率为0.8，乙猜出歌名的概率为0.6，甲和乙猜出与否互不影响． （1）求甲、乙都猜出歌名概率； （2）求甲、乙两人中至少有一人猜出歌名的概率． 19. 某校为普及安全知识，举办了安全知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计这次竞赛的平均成绩； （2）按照成绩从高到低选出样本中前学生组成安全宣传队，请估计进入宣传队的学生成绩至少需要多少分？ （3）在（2）的条件下，按成绩采用样本量比例分配的分层抽样从宣传队中抽取6名学生担任宣传队骨干，再从这6人中随机选取2人担任正副队长，求正副队长中至少有1名学生成绩在的概率． 20. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，． （1）证明：平面； （2）当二面角的正切值为时，求直线与平面所成角的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$