1.1 幂的乘除 暑假巩固复习 2024--2025学年北师大版七年级数学下册

北师大版数学七年级下册暑假巩固复习 第一章《整式的乘除》 1.幂的乘除 知识点复习 1. 同底数幂相乘： aᵐ · aⁿ = （m，n为正整数） 法则：底数不变，指数相加 特例：aᵐ · aⁿ · aᵖ = 2. 幂的乘方： (aᵐ)ⁿ = （m，n为正整数） 法则：底数不变，指数相乘 3. 积的乘方： (ab)ⁿ = ___ ___（n为正整数） 法则：积的乘方等于各因式乘方的积 4. 同底数幂相除： m>n时：aᵐ ÷ aⁿ = __ ____（a≠0） m=n时： = ______（a≠0） m<n时： = ______（a≠0，p为正整数） 法则：底数不变，指数相减 5. 科学记数法： 小于1的数：a×10ⁿ（1≤|a|<10，n为______） 知识点练习 一、选择题练习 1．“平湖渺渺漾天光，泻入溪桥喷玉凉”，这是出生于淮安的明代小说家吴承恩描写大运河美景的诗句．水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为0.0000000004m，数据0.0000000004用科学记数法表示为（　　） A．0.4×10﹣9 B．4×10﹣9 C．4×10﹣10 D．4×10﹣11 2．下列计算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a6 C．a6÷a3＝a2 D．（﹣a3b）2＝﹣a6b2 3．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　） A．a+3＝8b B．3a＝8b C．a+3＝b8 D．3a＝8+b 4．已知2m•2m＝218，则m的值是（　　） A．3 B．4 C．8 D．9 5．已知a，b满足方程2a+2b＝p，2a﹣2b＝q，则2a+b的值可表示为（　　） A． B． C． D． 6．已知x+y﹣4＝0，则2x×2y的值为（　　） A．8 B．64 C．16 D．12 7．我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）；比如若h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2026）的结果是（　　） A．2026 B．k2026 C．k1013 D．k1014 8．计算3m+3m+3m＝9n×9n，则m与n的关系是（　　） A．3m＝2n B．3m＝4n C．m+1＝2n D．m+1＝4n 9．已知N2＝3m×9n×27k，其中m，n，k，N是正整数，则下列说法中正确的是（　　） A．m是偶数 B．m+k是偶数 C．m+n+k是偶数 D．m是奇数，n+k是偶数 10．若a，b是正整数，且满足5a+5a+5a+5a+5a＝5b•5b•5b•5b•5b，则a与b的关系正确的是（　　） A．a＝b B．a+1＝5b C．a+5＝b5 D．5a＝5+b 二、填空题练习 11．计算：（﹣8）2025×（）2025＝　 　 ． 12．已知10m＝4，10n＝5，则10m+2n＝ 　 　 ． 13．已知2x+5y+4＝0，则4x•32y的值为　 　 ． 14．如果2a+b＝3，那么4a+2b＝　 　 ；当3m+2n＝4时，则8m•4n＝　 　 ． 15 . 已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，下列结论：①c＝a+2；②a+b＝c+1；③2＜b＜3．其中所有正确结论的序号是 　 　 ． 16．计算（）2024×1.52024＝　 　 ． 17．若2x﹣5y+3＝0，则4x÷32y＝　 　 ． 18．规定两正数a，b之间的一种运算，记作{a，b}：如果ac＝b，那么{a，b}＝c．例如：因为34＝81，所以{3，81}＝4．小慧在研究这种运算时发现：{a，b}+{a，c}＝{a，bc}，例如：{5，6}+{5，7}＝{5，42}．证明如下：设{5，6}＝x，{5，7}＝y，{5，42}＝z，根据定义可得：5x＝6，5y＝7，5z＝42，因为5x×5y＝6×7＝42＝5z，所以5x×5y＝5x+y＝5z，即x+y＝z，所以{5，6}+{5，7}＝{5，42}．请根据前面的经验计算： （1）{4，2}+{4，32}的值为 　 　 ； （2）的值为 　 　 ． 19．如果3×9m×27m＝321，那么m＝　 　 ． 20．计算（﹣9）3×（）6×（1）3＝　 　 ． 三、解答题练习 21．计算： （1）（﹣m）•（﹣m）2•（﹣m）3； （2）（m﹣n）•（n﹣m）3•（n﹣m）4． 22．规定a*b＝2a×2b，求： （1）求1*2的值； （2）若2*（x+1）＝32，求x的值． 23．在等式的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x，y是正整数），则x＝y，利用上面结论解答下列问题： （1）若9x＝310，求x的值； （2）若3x+2﹣3x+1＝162，求x的值． 24．设3m+n能被10整除，试证明3m+4+n也能被10整除． 25．阅读下面的材料： 材料一：比较322和411的大小 解：因为411＝（22）11＝222，且3＞2， 所以322＞222，即322＞411」 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 材料二：比较28和82的大小． 解：因为82＝（23）2＝26，且8＞6， 所以28＞26，即28＞82， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 解决下列问题： （1）比较344、433、522的大小： （2）比较8131、2741、961的大小： （3）比较312×510与310×512的大小． 26．已知两个单项式am+2nb与﹣2a4bk是同类项，求2m•4n•8k的值． 27．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c． 例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空：（5，25）＝　 　 ，（5，1）＝　 　 ，（3，）＝　 　 ． （2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4）， （3）小明给出了如下的证明： 设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n 所以3x＝4，即（3，4）＝x， 所以（3n，4n）＝（3，4）． 试解决下列问题： ①计算（8，1000）﹣（32，100000） ②请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，20）﹣（3，4）＝（3，5） 28．规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】，如果ac＝b，那么【a，b】＝c．例如：因为23＝8，所以【2，8】＝3． （1）根据上述规定，填空：【4，64】＝ 　 　 ，【3，1】＝ 　 　 ；【2，】＝ 　 　 ； （2）小明在研究这种运算时发现一个特征：【3n，4n】＝【3，4】，并作出了如下的说明： ∵设【3，4】＝x，则3x＝4， ∴（3x）n＝4n，即（3n）x＝4n， ∴【3n，4n】＝x ∴【3n，4n】＝【3，4】． 试参照小明的说明过程，解决下列问题： 【运用】 计算【8，1000】﹣【32，100000】； 【探究】 若令【2，3】＝a，【2，5】＝b，【2，15】＝c，试说明【2，3】+【2，5】＝【2，15】； 【综合应用】 ①若【4，25】＝a，【2，3】＝b，【4，225】＝c，则a，b，c之间的数量关系为 　 　 ； ②计算【3，9】×【3，15】﹣【3，25】＝ 　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版数学七年级下册暑假巩固复习 第一章《整式的乘除》 1.幂的乘除 知识点复习 1. 同底数幂相乘： aᵐ · aⁿ = （m，n为正整数） 法则：底数不变，指数相加 特例：aᵐ · aⁿ · aᵖ = 2. 幂的乘方： (aᵐ)ⁿ = （m，n为正整数） 法则：底数不变，指数相乘 3. 积的乘方： (ab)ⁿ = ___ ___（n为正整数） 法则：积的乘方等于各因式乘方的积 4. 同底数幂相除： m>n时：aᵐ ÷ aⁿ = __ ____（a≠0） m=n时： = __1____（a≠0） m<n时： = ____ __（a≠0，p为正整数） 法则：底数不变，指数相减 5. 科学记数法： 小于1的数：a×10ⁿ（1≤|a|<10，n为__整数____） 知识点练习 一、选择题练习 1．“平湖渺渺漾天光，泻入溪桥喷玉凉”，这是出生于淮安的明代小说家吴承恩描写大运河美景的诗句．水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为0.0000000004m，数据0.0000000004用科学记数法表示为（　　） A．0.4×10﹣9 B．4×10﹣9 C．4×10﹣10 D．4×10﹣11 【解答】解：0.0000000004＝4×10﹣10． 故选：C． 2．下列计算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a6 C．a6÷a3＝a2 D．（﹣a3b）2＝﹣a6b2 【解答】解：A、a2•a3＝a5，故此选项不符合题意； B、（a2）3＝a6，故此选项符合题意； C、a6÷a3＝a3，故此选项不符合题意； D、（﹣a3b）2＝a6b2，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　） A．a+3＝8b B．3a＝8b C．a+3＝b8 D．3a＝8+b 【解答】解：由题意得：8×2a＝（2b）8， ∴23×2a＝28b， ∴3+a＝8b， 故选：A． 4．已知2m•2m＝218，则m的值是（　　） A．3 B．4 C．8 D．9 【解答】解：∵2m•2m＝218， ∴2m+m＝218（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）， 即2m＝18， 解得m＝9． 故选：D． 5．已知a，b满足方程2a+2b＝p，2a﹣2b＝q，则2a+b的值可表示为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵2a+2b＝p，2a﹣2b＝q， ∴两式相加：2a+2a＝p+q，即：， 两式相减：2b+2b＝p﹣q，即：， ∴， 故选：A． 6．已知x+y﹣4＝0，则2x×2y的值为（　　） A．8 B．64 C．16 D．12 【解答】解：∵x+y﹣4＝0， ∴x+y＝4， ∴2x×2y＝2x+y＝24＝16． 故选：C 7．我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）＝h（m）•h（n）；比如若h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2026）的结果是（　　） A．2026 B．k2026 C．k1013 D．k1014 【解答】解：∵h（m+n）＝h（m）•h（n），h（2）＝k（k≠0）， ∴h（2+2）＝k×k＝k2， ∴h（2n）＝kn， ∴h（2026）＝h（2×1013）＝k1013， 故选：C 8．计算3m+3m+3m＝9n×9n，则m与n的关系是（　　） A．3m＝2n B．3m＝4n C．m+1＝2n D．m+1＝4n 【解答】解：∵3m+3m+3m＝9n×9n， ∴3×3m＝32n×32n，即3m+1＝34n ∴m+1＝4n， 故选：D． 9．已知N2＝3m×9n×27k，其中m，n，k，N是正整数，则下列说法中正确的是（　　） A．m是偶数 B．m+k是偶数 C．m+n+k是偶数 D．m是奇数，n+k是偶数 【解答】解：∵3m×9n×27k＝3m×32n×33k＝3m+2n+3k＝N2， ∴m+2n+3k一定是偶数，而2n是偶数， ∴m+3k是偶数， 即m+k是偶数， 故选：B 10．若a，b是正整数，且满足5a+5a+5a+5a+5a＝5b•5b•5b•5b•5b，则a与b的关系正确的是（　　） A．a＝b B．a+1＝5b C．a+5＝b5 D．5a＝5+b 【解答】解：由条件可知5×5a＝5b×5b×5b×5b×5b， ∴5a+1＝55b， ∴a+1＝5b， 故选：B． 二、填空题练习 11．计算：（﹣8）2025×（）2025＝　 ﹣1 　 ． 【解答】解：（﹣8）2025×（）2025（﹣1）2025＝﹣1， 故答案为：﹣1． 12．已知10m＝4，10n＝5，则10m+2n＝ 　 100 　 ． 【解答】解：∵10m＝4，10n＝5， ∴10m+2n ＝10m•102n ＝10m•（10n）2 ＝4×52 ＝4×25 ＝100， 故答案为：100． 13．已知2x+5y+4＝0，则4x•32y的值为　 　 ． 【解答】解：∵2x+5y+4＝0， ∴2x+5y＝﹣4， ∴4x•32y＝22x•25y＝22x+5y＝2﹣4． 故答案为：． 14．如果2a+b＝3，那么4a+2b＝　 6　 ；当3m+2n＝4时，则8m•4n＝　 16 　 ． 【解答】解：∵2a+b＝3， ∴4a+2b＝6； 8m•4n＝23m+2n， ∵3m+2n＝4， ∴23m+2n＝16． 故答案为：6；16 15. 已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，下列结论：①c＝a+2；②a+b＝c+1；③2＜b＜3．其中所有正确结论的序号是 　 ①③ 　 ． 【解答】解：∵2a＝3，2b＝6，2c＝12， ∴2a•22＝3×4＝2c＝12， ∴22+a＝2c， ∴c＝a+2， 故①正确； 2a•2b＝2a+b＝3×6＝18，2c•2＝2c+1＝12×2＝24， ∵18≠24， ∴2a+b≠2c+1， ∴a+b≠c+1， 故②错误； ∵2b＝6，4＜6＜8， ∴22＜2b＜23， ∴2＜b＜3， 故③正确， ∴所有正确结论的序号是：①③， 故答案为：①③ 16．计算（）2024×1.52024＝　1　 ． 【解答】解：原式 ＝（﹣1）2024 ＝1． 故答案为：1． 17．若2x﹣5y+3＝0，则4x÷32y＝　　 ． 【解答】解：∵4x÷32y＝22x÷24y＝22x﹣4y， ∴2x﹣5y＝﹣3， ∴， 故答案为：． 18．规定两正数a，b之间的一种运算，记作{a，b}：如果ac＝b，那么{a，b}＝c．例如：因为34＝81，所以{3，81}＝4．小慧在研究这种运算时发现：{a，b}+{a，c}＝{a，bc}，例如：{5，6}+{5，7}＝{5，42}．证明如下：设{5，6}＝x，{5，7}＝y，{5，42}＝z，根据定义可得：5x＝6，5y＝7，5z＝42，因为5x×5y＝6×7＝42＝5z，所以5x×5y＝5x+y＝5z，即x+y＝z，所以{5，6}+{5，7}＝{5，42}．请根据前面的经验计算： （1）{4，2}+{4，32}的值为 　3　 ； （2）的值为 　6　 ． 【解答】解：（1）设{4，2}＝x，{4，32}＝y， ∵4x＝2，4y＝32， ∴4x×4y＝2×32＝64＝43， ∴4x+y＝43， ∴x+y＝3， ∴{4，2}+{4，32}＝{4，64}＝3， 故答案为：3； （2）{mn，2mn}+{mn，2mn}+{mn，m2n}+{mn，m2n3} ＝{mn，2mn•2mn•m2n•m2n3} ＝{mn，m6n6} ＝6， 故答案为：6． 19．如果3×9m×27m＝321，那么m＝　4　 ． 【解答】解：∵3×9m×27m＝321， ∴3×32m×33m＝321， ∴1+2m+3m＝21， 解得：m＝4． 故答案为：4． 20．计算（﹣9）3×（）6×（1）3＝　﹣216　 ． 【解答】解：（﹣9）3×（）6×（1）3， ＝（﹣9）3×[（）2]3×（）3， ＝[（﹣9）]3， ＝（﹣6）3， ＝﹣216． 三、解答题练习 21．计算： （1）（﹣m）•（﹣m）2•（﹣m）3； 【解答】解：（1）（﹣m）•（﹣m）2•（﹣m）3 ＝（﹣m）1+2+3 ＝（﹣m）6 ＝m6； （2）（m﹣n）•（n﹣m）3•（n﹣m）4 ＝（m﹣n）•[﹣（m﹣n）3]•（m﹣n）4 ＝﹣（m﹣n）8． （2）（m﹣n）•（n﹣m）3•（n﹣m）4． 【解答】解：（1）由题意得： 1*2 ＝21×22 ＝8； （2）由题意得： 2*（x+1） ＝22×2（x+1） ＝22+x+1； 即22+x+1＝32＝25， 2+x+1＝5， 3+x＝5， x＝2． 22．规定a*b＝2a×2b，求： （1）求1*2的值； （2）若2*（x+1）＝32，求x的值． 【解答】解：（1）由题意得： 1*2 ＝21×22 ＝8； （2）由题意得： 2*（x+1） ＝22×2（x+1） ＝22+x+1； 即22+x+1＝32＝25， 2+x+1＝5， 3+x＝5， x＝2． 23．在等式的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x，y是正整数），则x＝y，利用上面结论解答下列问题： （1）若9x＝310，求x的值； （2）若3x+2﹣3x+1＝162，求x的值． 【解答】解：（1）∵9x＝310， （32）x＝310， 32x＝310， ∴2x＝10， 解得：x＝5； （2）∵3x+2﹣3x+1＝162， 3x•32﹣3x×3＝34×2， 9×3x﹣3×3x＝34×2， 6×3x＝34×2， 3×3x＝34， 31+x＝34， ∴1+x＝4， 解得：x＝3． 24．设3m+n能被10整除，试证明3m+4+n也能被10整除． 【解答】解：∵3m+4+n＝34×3m+n＝81×3m+n＝80×3m+（3m+n）， ∵3m+n能被10整除， ∴80×3m与3m+n均能被10整除， 即3m+4+n能被10整除． 25．阅读下面的材料： 材料一：比较322和411的大小 解：因为411＝（22）11＝222，且3＞2， 所以322＞222，即322＞411」 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 材料二：比较28和82的大小． 解：因为82＝（23）2＝26，且8＞6， 所以28＞26，即28＞82， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 解决下列问题： （1）比较344、433、522的大小： （2）比较8131、2741、961的大小： （3）比较312×510与310×512的大小． 【解答】解；（1）∵344＝（34）11＝8111， 433＝（43）11＝6411， 522＝（52）11＝2511， ∵81＞64＞25， ∴8111＞6411＞2511， 即344＞433＞522； （2）∵8131＝（34）31＝3124， 2741＝（33）41＝3123， 961＝（32）61＝3122， ∵124＞123＞122， ∴3124＞3123＞3122， 即8131＞2741＞961； （3）∵312×510＝（3×5）10×32， 310×512＝（3×5）10×52， 又∵32＜52， ∴312×510＜310×512． 26．已知两个单项式am+2nb与﹣2a4bk是同类项，求2m•4n•8k的值． 【解答】解：∵由已知可得：， ∴2m•4n•8k＝2m•22n•8k＝2m+2n•8k＝24×8＝128． 27．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c． 例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3． （1）根据上述规定，填空：（5，25）＝　2　 ，（5，1）＝　0　 ，（3，）＝　﹣2　 ． （2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4）， （3）小明给出了如下的证明： 设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n 所以3x＝4，即（3，4）＝x， 所以（3n，4n）＝（3，4）． 试解决下列问题： ①计算（8，1000）﹣（32，100000） ②请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，20）﹣（3，4）＝（3，5） 【解答】解：（1）∵52＝25，∴（5，25）＝2； ∵50＝1，∴（5，1）＝0； ∵3﹣2，∴（3，）＝﹣2； 故答案为2，0，﹣2； （3）①（8，1000）﹣（32，100000） ＝（23，103）﹣（25，105） ＝（2，10）﹣（2，10） ＝0； ②设3x＝4，3y＝5，则3x•3y＝3x+y＝4×5＝20， 所以（3，4）＝x，（3，5）＝y，（3，20）＝x+y， ∴（3，20）﹣（3，4） ＝x+y﹣x ＝y ＝（3，5）， 即：（3，20）﹣（3，4）＝（3，5） 28．规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】，如果ac＝b，那么【a，b】＝c．例如：因为23＝8，所以【2，8】＝3． （1）根据上述规定，填空：【4，64】＝ 　3　 ，【3，1】＝ 　0　 ；【2，】＝ 　﹣3　 ； （2）小明在研究这种运算时发现一个特征：【3n，4n】＝【3，4】，并作出了如下的说明： ∵设【3，4】＝x，则3x＝4， ∴（3x）n＝4n，即（3n）x＝4n， ∴【3n，4n】＝x ∴【3n，4n】＝【3，4】． 试参照小明的说明过程，解决下列问题： 【运用】 计算【8，1000】﹣【32，100000】； 【探究】 若令【2，3】＝a，【2，5】＝b，【2，15】＝c，试说明【2，3】+【2，5】＝【2，15】； 【综合应用】 ①若【4，25】＝a，【2，3】＝b，【4，225】＝c，则a，b，c之间的数量关系为 　a+b＝c　 ； ②计算【3，9】×【3，15】﹣【3，25】＝ 　2　 ． 【解答】解：（1）∵43＝64， ∴【4，64】＝3， ∵30＝1， ∴【3，1】＝0， ∵2﹣3， ∴【2，】＝﹣3． 故答案为：3，0，﹣3． （2）【运用】【8，1000】﹣【32，100000】 ＝【23，103】﹣【25，105】 ＝【2，10】﹣【2，10】 ＝0． 【探究】∵【2，3】＝a，【2，5】＝b，【2，15】＝c， ∴2a＝3，2b＝5，2c＝15， ∴2a•2b＝2a+b＝15＝2c， ∴a+b＝c， ∴【2，3】+【2，5】＝【2，15】． 【综合运用】①∵【4，25】＝a，【2，3】＝b，【4，225】＝c， ∴4a＝22a＝25，2b＝3，4c＝22c＝225， ∴22a•（2b）2＝22a+2b＝22c＝225， ∴2a+2b＝2c， ∴a+b＝c． 故答案为：a+b＝c． ②设【3，9】＝a，【3，15】＝b，【3，25】＝c， 则3a＝9，3b＝15，3c＝25， 3ab﹣c ＝（3a）b÷3c ＝9b÷3c ＝（3b）2÷3c ＝152÷25 ＝9 ＝32， ∴ab﹣c＝2， ∴【3，9】×【3，15】﹣【3，25】＝2． 故答案为：2． 学科网（北京）股份有限公司 $$