第12讲 第一章 空间向量与立体几何 章节验收测评卷-【精讲精练】2025-2026学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章 空间向量与立体几何 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，且为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意即即可列方程求解. 【详解】由题意， 所以，解得. 故选：D. 2．已知向量，且，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量共线的充要条件计算即得. 【详解】因为，， 所以可设， 则有，，， 解得，，， 故. 故选：A. 3．如图，空间四边形中，．点在上，且，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算结合空间向量基本定理求解即可. 【详解】利用中，，， 所以． 故选：B． 4．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】根据空间向量共面定理得，进而求解. 【详解】由四点共面，所以，即， 故选：C. 5．结合以下材料：“在空间直角坐标系O-xyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为.”解决问题：在空间直角坐标系O-xyz中，若直线l是两平面与的交线，则直线l的方向向量可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线l的方向向量. 【详解】由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线的方向向量， 则，令，则， 故选：A. 6．如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，点E在棱上，且，则点B到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及点到面的距离公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，， ∴，，． 设平面的法向量为，则． 令，则，，∴． ∴点B到平面的距离． 故选：C 7．在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，计算、的坐标，利用数量积的坐标运算化简即可. 【详解】由点在直线上运动，故可设，， 则， ， 所以 ， 故当时，取得最小值. 故选：C． 8．在体积为的正四棱锥中，为底面内的任意两点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用直线与面内直线所成角的最小值是直线和面上射影所成角，再结合边长计算求解. 【详解】设正四棱锥的高为，则，解得， 所以. 由已知，，， 设，且，又， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 设直线与直线所成角为， 所以当直线与直线平行或重合时，取得最大值，最大值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据空间向量线性运算、数量积、模的坐标表示计算，依次判断选项即可. 【详解】A：，故A正确； B：，故B错误； C：，故C正确； D：，故D正确. 故选：ACD 10．下列命题中，正确的是（    ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，，则 B．直线的方向向量，平面的法向量，则 C．直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面所成角的大小为 D．两个不同的平面的法向量分别是，，则 【答案】AD 【分析】对于A，利用向量共线即可判断；对于B，利用向量垂直判断直线与平面的两种位置关系排除；对于C和D，利用空间向量夹角的坐标公式计算结果即可判断. 【详解】对于A，由，可得， 又是两条不重合直线，故，即A正确； 对于B，因，可得，即或，故B错误； 对于C，设直线与平面所成角为，则， 因，故有，故C错误； 对于D，由，可得， 则，故，即D正确. 故选：AD. 11．如图，已知正方体的棱长为2，P是正方形（包括边界）底面内的一动点，则下列结论正确的有（    ）    A．三棱锥的体积为定值 B．存在点P，使得 C．若，则P点在正方形内的运动轨迹长度为 D．若点P为的中点，点Q为的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体所得截面的面积为 【答案】ACD 【分析】利用等体积法判断A；建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积判断B；确定轨迹并求出长度判断C；作出符合要求的正方体的截面并求出面积判断D. 【详解】对于A，在正方体中，平面平面， 则点P到平面距离为定值，的面积为定值，为定值，A正确； 对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，则，    设，，， 不垂直，因此不存在点P，使，B错误； 对于C，连接，平面，平面，则，而， 又平面，则平面，又平面，则. 同理得，又平面，则平面， 由，得平面，又平面，因此点轨迹为平面 与底面交线，即为线段，又，C正确；    对于D，取中点为，连接，平面， 由平行于，平面，得，又，则平面， 又取中点为，则，有四点共面，则平面平面. 平面即为平面，设平面分别与交于， 由平面平面，平面，平面， 则，又都是中点，则是中点，同理是中点， 于是平面截正方体所得截面为正六边形，又正方体棱长为2，则， 所以截面面积为，D正确.      故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为 ． 【答案】4 【分析】由空间四点构成梯形，则四点首先共面，利用空间向量基本定理可求，再代入验证即可. 【详解】因为空间四点构成梯形，所以四点首先共面， 则，即， ， 当时，，所以， 即，且，此时为梯形， 所以. 故答案为：4. 13．在空间直角坐标系中，已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数k的值为 . 【答案】1 【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解. 【详解】解： ， ， 存在实数使得 ，解得 故答案为： 14．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记，其中．则MN的长的最小值为 .    【答案】 【分析】根据面面垂直性质可证得平面，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系；利用空间中两点间距离公式可表示出；将整理为，由二次函数最值可得结果. 【详解】平面平面，平面平面，，平面，平面， 则以为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，， ，，， ； 则， 当时，最小，最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，E是棱PA的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析. (2). 【分析】（1）连接交于点，连接，证明即可. （2）以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量法求出面面角的余弦值. 【详解】（1）在四棱锥中，连接交于点，连接， 由四边形为正方形，得为的中点，又E是棱PA的中点，则， 而平面，平面， 所以平面. （2）在四棱锥中，平面， 因为平面，所以， 以点为原点，直线所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，得， 设平面的法向量为，则， 解得，取，则，得， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 16．在如图所示的几何体中，平面是的中点，． (1)求证:平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点G，连接，得出，由线面垂直的性质及判定得出平面，即可证明； （2）建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量公式即可求解． 【详解】（1）证明：取的中点G，连接， 因为F是的中点，所以， 因为，所以． 又因为，所以四边形是平行四边形，所以， 在中，，，有， 因为平面，所以平面， 又平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为，所以平面． （2）由题可知直线两两垂直，则以C为原点，直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设， 则， 所以，设是平面的一个法向量， 则， 令，得，， 所以是平面的一个法向量，， 平面的一个法向量为，设二面角的大小为， 则， 所以， 所以二面角的正弦值为． 17．如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，． (1)求点到平面的距离； (2)在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点是中点 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得点到平面的距离； （2）利用坐标法设点，根据线面平行列方程，解方程即可. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 且平面，故平面．    以为原点，所在直线为轴，过点平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，得平面的一个法向量为，           所以点到平面的距离为； （2）由（1）知，平面的一个法向量为， “线段上存在点，使得平面”等价于“”．          因为，设，， 则，， 所以，解得， 所以线段上存在点，即中点，使得平面. 18．如图，在边长为的正方形中，，分别为边，上的点，连接，，，将沿着折线翻折，使点到达点位置，连接，形成三棱锥. (1)若，分别为边，上的中点，，求此时三棱锥外接球的表面积； (2)若，是的中点. （ⅰ）求的大小； （ⅱ）若正方形边长为，当取最小值，取最大值时，求此时直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）由题设及线面垂直的判定有平面，将三棱锥补全为长方体，即可求外接球半径，进而求表面积； （2）（ⅰ）设，，根据几何关系列方程求得，，，应用和角正切公式求的大小，即可得；（ii）设，则，应用三角形面积公式及三角恒等变换求出最小，取中点，连接，，则，，并求出相关线段的长度，构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求线面角的正弦值. 【详解】（1）由题意得，又，，平面，， 所以平面，则此时三棱锥如图所示， 由题意得，，，，都是直角三角形，所以， 将三棱锥补全为长方体，此时三棱锥的外接球球心为长方体对角线的中点， 即， 所以三棱锥外接球的表面积为. （2）（ⅰ）设，，则，， 因为，所以， 在直角三角形中，得，整理得，， 因为，， 所以， 因为，所以，故. （ⅱ）由（ⅰ）知，设，则， 所以，， 所以 ， 因为，所以， 当时，有最大值，最大值为1，此时有最小值， 所以当取最小值时，，且， 由，得，， 所以，，. 如图1，取中点，连接，，则，，故，，，四点共线， 当取最大值时，即平面平面，由翻折关系知， 故直线，，两两垂直，且，， 如图2，以为原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， ∴，， 设平面的法向量为，则， 令，则，故， 设直线与平面所成的角为，则. ∴直线与平面所成角的正弦值为. 19．如图，几何体是圆柱的四分之一部分，其中底面是半径为的扇形，母线长为，是的中点，为的中点，是上的动点（不与、重合），是圆柱的母线． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积的最大值； (3)求二面角余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）设点，其中，利用空间向量法求出点到平面的距离，再利用锥体的体积公式以及三角函数的有界性可求得三棱锥的体积的最大值； （3）利用空间向量法可求得二面角余弦值的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，，平面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，所以， 易知平面的一个法向量为，则，即， 又因为平面，所以平面. （2）不妨设点，其中， 则、、， ，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 所以点到平面的距离为， 因为为是圆柱的一条母线，故平面， 因为平面，故，则， 所以 ， 因为，则，故，所以， 则， 即三棱锥的体积的最大值为. （3）设平面的一个法向量为， ，，则， 取，则， 所以 ， 因为，则，故. 结合图形可知，二面角的平面角为锐角， 因此，二面角余弦值的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量与立体几何 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，且为直线的一个方向向量，为平面的一个法向量，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，且，那么（   ） A． B． C． D． 3．如图，空间四边形中，．点在上，且，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 4．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D．0 5．结合以下材料：“在空间直角坐标系O-xyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为.”解决问题：在空间直角坐标系O-xyz中，若直线l是两平面与的交线，则直线l的方向向量可以是（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，点E在棱上，且，则点B到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 7．在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．在体积为的正四棱锥中，为底面内的任意两点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．下列命题中，正确的是（    ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，，则 B．直线的方向向量，平面的法向量，则 C．直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面所成角的大小为 D．两个不同的平面的法向量分别是，，则 11．如图，已知正方体的棱长为2，P是正方形（包括边界）底面内的一动点，则下列结论正确的有（    ）    A．三棱锥的体积为定值 B．存在点P，使得 C．若，则P点在正方形内的运动轨迹长度为 D．若点P为的中点，点Q为的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为 ． 13．在空间直角坐标系中，已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数k的值为 . 14．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记，其中．则MN的长的最小值为 .    四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，E是棱PA的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 16．在如图所示的几何体中，平面是的中点，． (1)求证:平面； (2)求二面角的正弦值． 17．如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，． (1)求点到平面的距离； (2)在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 18．如图，在边长为的正方形中，，分别为边，上的点，连接，，，将沿着折线翻折，使点到达点位置，连接，形成三棱锥. (1)若，分别为边，上的中点，，求此时三棱锥外接球的表面积； (2)若，是的中点. （ⅰ）求的大小； （ⅱ）若正方形边长为，当取最小值，取最大值时，求此时直线与平面所成角的正弦值. 19．如图，几何体是圆柱的四分之一部分，其中底面是半径为的扇形，母线长为，是的中点，为的中点，是上的动点（不与、重合），是圆柱的母线． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积的最大值； (3)求二面角余弦值的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$