第04讲 1.3 空间向量及其运算的坐标表示（知识清单+10类热点题型讲练+分层强化训练）-【精讲精练】2025-2026学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第04讲 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：空间向量的正交分解及其坐标表示 1、空间直角坐标系 空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系. (2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分． 2、空间向量的坐标表示 2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． 2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. 【即学即练1】（24-25高二下·福建泉州·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 知识点02：空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 知识点03：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 【即学即练2】（24-25高二下·江苏泰州·期末）若向量与垂直，则实数的值为 ． 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 【即学即练3】（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）已知向量，，则 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 4、两点间的距离公式 已知，则 第三部分 题型精讲 题型01空间向量的坐标表示 【典例1】已知空间直角坐标系中，O为坐标原点，点，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【典例2】如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为 . 【变式1】在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】在空间直角坐标系中，点，点关于轴对称的点为，点关于平面对称的点为，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3】在空间直角坐标系中，已知点关于原点中心对称的点为，而点关于轴对称的点为，则（    ） A． B． C． D． 题型02空间向量的坐标运算 【典例1】（24-25高二下·江苏宿迁·阶段练习）若，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·重庆长寿·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·云南昆明·开学考试）若向量，则（    ） A．5 B．7 C．8 D．10 【变式2】（24-25高二上·四川乐山·期末）已知，，则 . 【变式3】（23-24高二上·北京延庆·期中）已知，则 . 题型03空间向量数量积（坐标形式求空间向量的数量积） 【典例1】（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·湖北·阶段练习）棱长为的正方体中，点是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·辽宁鞍山·一模）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知，其中若，则 . 【变式3】（24-25高二上·河南许昌·阶段练习）已知，则 . 题型04空间向量数量积（坐标形式求空间向量数量积的最值范围问题） 【典例1】（2025·山西·一模）如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是 ． 【变式1】（24-25高二上·湖北武汉·期末）在三棱锥中，，，，中点为，点为棱上的动点，当取最小值时，线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高三上·云南文山·期末）已知正方体的棱长为1，为底面上一点，则的最小值为（   ） A． B．0 C． D． 【变式3】（24-25高二上·河南·期中）如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，为底面内的一个动点（包括边界），底面底面，且，则的最小值与最大值分别为（    ） A． B． C． D． 题型05空间向量的模（坐标形式求空间向量的模（距离，长度）） 【典例1】（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知，，且，则 ． 【典例2】（24-25高二上·山西晋城·期中）已知向量，，，且共面，则 ． 【变式1】（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知空间向量，若与垂直，则（    ） A． B． C． D．14 【变式2】（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）向量，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·北京海淀·期末）已知向量，，且，则实数 ， . 题型06空间向量的模（坐标形式求空间向量模的最值（范围）问题） 【典例1】（24-25高二上·河南郑州·期末）在边长为 2 的正方体中，分别为的中点， 分别为线段 上的动点 (不包括端点) 满足 ，则线段的长度最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【典例2】（24-25高二上·河北唐山·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为 . 【变式1】（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·河北张家口·期末）如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，若，则的取值范围是 ． 【变式3】（24-25高二上·上海·期末）已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是 . 题型07空间向量的夹角问题（坐标形式） 【典例1】（23-24高二上·浙江湖州·期中）设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（   ） A． B． C．或 D．或 【典例2】（24-25高二上·广西·阶段练习）已知向量，. (1)求的值； (2)若，求实数k的值； (3)求向量与夹角的余弦值. 【变式1】（23-24高二下·四川绵阳·开学考试）已知向量，， (1)求的值； (2)求； 【变式2】（24-25高二下·福建莆田·期中）已知向量，，若向量同时满足下列三个条件： ①；②；③与垂直． (1)求向量的坐标； (2)若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值． 【变式3】（24-25高二上·北京·期中）设，向量，且. (1)求； (2)求向量与夹角的余弦值. 题型08空间向量的投影向量（坐标形式） 【典例1】（24-25高二下·福建莆田·期中）已知，，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）已知向量，，，当时，向量在向量上的投影的数量为 【变式1】（2025·湖北襄阳·二模）已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·江苏·期中）已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知，，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 题型09空间向量的平行、垂直关系（坐标形式） 【典例1】（24-25高二上·山东淄博·期末）设 ，则 （    ） A．3 B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·上海·期中）已知空间三点、、，设. (1)若，求点坐标； (2)若向量与互相垂直，求实数的值； (3)若向量与平行，求实数的值. 【变式1】（24-25高二上·广东东莞·期末）已知，，且，则x的值为 . 【变式2】（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知 (1)，求的坐标； (2)求； (3)若与互相垂直，求实数的值. 【变式3】（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习）已知空间中三点，设， (1)若，且，求向量 (2)已知向量与互相垂直，求k 题型10易错题型根据空间向量成锐角（钝角）求参数 【典例1】（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知向量，，若，的夹角是钝角，则的可能取值为（   ） A． B． C．0 D．1 【变式1】（24-25高二上·安徽·期中）在空间直角坐标系中，已知，则是与夹角为锐角的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（24-25高二上·福建·期中）已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是 ． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1．（24-25高二下·江苏盐城·期末）向量，，若，则实数m的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 2．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）设，向量，，，且，，则（   ） A．5 B．1 C． D． 4．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）已知向量，且，则（   ） A．5 B．11 C．-5 D．-11 5．（24-25高二下·江苏南京·期末）若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·山东济南·三模）已知在空间直角坐标系中，三点，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．（多选）（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）若，，与的夹角为120°，则的值为（   ） A．17 B． C． D．1 8．（多选）（24-25高二上·广东清远·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为 . 10．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 11．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知向量，，且． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 12．（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）对于空间任意两个非零向量，定义新运算：. (1)若向量.求； (2)若两个单位向量满足，求向量夹角的余弦值. B能力提升 1．（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）已知向量，，，若、、共面，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·福建·期中）在空间直角坐标系中，已知．若，分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·江苏常州·期中）如图，四棱锥中，平面，底面是边长为1的正方形，且，点是线段上异于的点，当为钝角时，的取值范围为 ． 5．（23-24高二上·福建福州·期末）已知为单位向量.，若，则在上的投影向量的坐标为 . C综合素养 1．（23-24高一下·北京·阶段练习）如图，正方体的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 2．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）在棱长为1的正方体中，为线段上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·福建南平·三模）已知正方体的棱长为4，点分别为线段上的动点，则的最小值为 ，此时 . 4．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）如图，长方体中，，，点为线段上一点，则的取值范围为 . 5．（24-25高二上·辽宁·期中）已知正方体的棱长为2，点为底面内的动点（不含边界），，则的最小值为 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：空间向量的正交分解及其坐标表示 1、空间直角坐标系 空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系. (2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分． 2、空间向量的坐标表示 2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． 2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. 【即学即练1】（24-25高二下·福建泉州·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件结合空间直角坐标系中对称的特点直接求解即可. 【详解】在空间直角坐标系中，两点关于坐标平面对称， 则这两点的横坐标、纵坐标都不变，它们的竖坐标互为相反数， 故点关于平面的对称点坐标为. 故选：D. 知识点02：空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 知识点03：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 【即学即练2】（24-25高二下·江苏泰州·期末）若向量与垂直，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据空间向量互相垂直则数量积为零列式计算即可. 【详解】向量与垂直， 所以，解得. 故答案为： 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 【即学即练3】（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）已知向量，，则 【答案】 【分析】根据向量的减法运算，坐标表示、向量模的坐标表示运算即可得解. 【详解】，， ， . 故答案为：. 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 4、两点间的距离公式 已知，则 第三部分 题型精讲 题型01空间向量的坐标表示 【典例1】已知空间直角坐标系中，O为坐标原点，点，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标表示得解. 【详解】依题意，. 故选：A 【典例2】如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为 . 【答案】 【分析】根据题目条件确定长度关系标注坐标即可； 【详解】因为的坐标为， 所以 所以,, 故答案为：. 【变式1】在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点的坐标可得答案. 【详解】由点与点A关于平面对称，可得，所以. 故选：A. 【变式2】在空间直角坐标系中，点，点关于轴对称的点为，点关于平面对称的点为，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间直角坐标关于坐标轴、平面的对称性性质求出、的坐标，即可得解. 【详解】因为，则点关于轴对称的点为， 又，则点关于平面对称的点为. 所以. 故选：B. 【变式3】在空间直角坐标系中，已知点关于原点中心对称的点为，而点关于轴对称的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对称性得出点坐标，进而得出. 【详解】点关于原点中心对称的点为， 则点关于轴对称的点为，. 故选：A 题型02空间向量的坐标运算 【典例1】（24-25高二下·江苏宿迁·阶段练习）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示求解即可. 【详解】因为，， 所以则. 故选：A. 【典例2】（24-25高二上·重庆长寿·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量坐标运算得出结果. 【详解】若，则. 故选：B. 【变式1】（24-25高二下·云南昆明·开学考试）若向量，则（    ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【分析】利用空间向量的坐标运算求解即得. 【详解】由，， 得，而， 所以. 故选：D 【变式2】（24-25高二上·四川乐山·期末）已知，，则 . 【答案】 【分析】利用空间向量坐标运算求解即得. 【详解】. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·北京延庆·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】应用空间向量坐标表示的线性运算律计算即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 题型03空间向量数量积（坐标形式求空间向量的数量积） 【典例1】（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知由空间向量的坐标运算求得 ，根据数量积的运算律结合，即可得的值． 【详解】由已知，， 所以， 又，所以. 故选：D. 【典例2】（24-25高二下·湖北·阶段练习）棱长为的正方体中，点是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标可计算得出的值. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，，故. 故选：C. 【变式1】（2025·辽宁鞍山·一模）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量运算的坐标表示，列式计算即得. 【详解】向量，，则， 所以. 故选：A 【变式2】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知，其中若，则 . 【答案】 【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算代入计算，即可求解. 【详解】由题意可得，， ， 则. 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·河南许昌·阶段练习）已知，则 . 【答案】2 【分析】由空间向量的坐标运算即可； 【详解】由题意可得， 故答案为：2 题型04空间向量数量积（坐标形式求空间向量数量积的最值范围问题） 【典例1】（2025·山西·一模）如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设，由数量积的坐标表示得到，进而可求解； 【详解】如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设， 其中，，，， ，，， 当，且或时，取最大值4， 当，且时，取最小值2，所以的取值范围为． 故选：C 【典例2】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】先建立方程，再用表示，接着用表示，最后判断当时取最小值并点Q的坐标. 【详解】因为点Q在直线OP上运动， 所以，则，则 则， 所以 当时，取最小值，此时 故答案为：. 【变式1】（24-25高二上·湖北武汉·期末）在三棱锥中，，，，中点为，点为棱上的动点，当取最小值时，线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将三棱锥补全为长方体，利用勾股定理求出长方体的长宽高，再以点为原点建立空间直角坐标系，利用坐标法计算即可. 【详解】如图所示，将三棱锥补全为长方体，设长方体的长宽高分别为， 则有，解得， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 故， 所以， 则当时，取得最小值， 此时. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：将三棱锥补全为长方体，是解决本题的关键. 【变式2】（24-25高三上·云南文山·期末）已知正方体的棱长为1，为底面上一点，则的最小值为（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，将向量用坐标表示，计算数量积，求最小值. 【详解】 如图，以，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设点，，， 则，， ， 当时，的最小，最小值为. 故选：A. 【变式3】（24-25高二上·河南·期中）如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，为底面内的一个动点（包括边界），底面底面，且，则的最小值与最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得两两垂直，所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，然后表示出化简可求得结果. 【详解】因为底面平面， 所以, 因为四边形为正方形，所以， 所以两两垂直， 所以以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 所以 ， 因为， 所以当时，取得最小值； 当或1，或1时，取得最大值4. 故选：A 题型05空间向量的模（坐标形式求空间向量的模（距离，长度）） 【典例1】（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知，，且，则 ． 【答案】 【分析】直接利用向量垂直的充要条件可求出的值，进而可求出的坐标，结合空间向量的模长公式可求出的值. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 故，所以，故． 故答案为：． 【典例2】（24-25高二上·山西晋城·期中）已知向量，，，且共面，则 ． 【答案】 【分析】根据共面，结合空间向量共面定理先求出x的值，再计算的值. 【详解】共面，则存在非零实数，满足， 则 即解得 所以，则， 所以． 故答案为：. 【变式1】（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知空间向量，若与垂直，则（    ） A． B． C． D．14 【答案】B 【分析】根据空间向量数量积的运算及空间向量的模求解. 【详解】因为与垂直， 所以，解得， 所以， 故. 故选：B 【变式2】（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）向量，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的关系列式求解，的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模公式计算得出结果. 【详解】由，，则，解得， ，， ， . 故选：C. 【变式3】（24-25高二上·北京海淀·期末）已知向量，，且，则实数 ， . 【答案】 【分析】运用向量垂直坐标表示和模长公式计算即可. 【详解】，则，解得. 则，，. . 故答案为：；13. 题型06空间向量的模（坐标形式求空间向量模的最值（范围）问题） 【典例1】（24-25高二上·河南郑州·期末）在边长为 2 的正方体中，分别为的中点， 分别为线段 上的动点 (不包括端点) 满足 ，则线段的长度最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用坐标法表示垂直关系，再代入距离公式，即可求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系，，，设，， ，， 因为，所以，即， 所以， 当时，线段的最小值为. 故选：A 【典例2】（24-25高二上·河北唐山·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，根据条件利用向量法求出，再由向量模的定义求模表示为的二次函数求最值. 【详解】如图， 以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 依题意，，， 所以 因为平面，平面，则， 又，平面，故平面， 故平面的法向量可取， 因为平面，故，即 则 ， 因为，故当时， 故答案为： 【变式1】（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量建立的函数关系求解即可. 【详解】三棱锥中，过作平面，由，知， 以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系，如图，    由平面，得，则， 令，则，设， 于是， 当且仅当时取等号，所以线段的最小值为. 故选：B 【变式2】（24-25高二上·河北张家口·期末）如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】过点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量坐标运算求出，，再由两点间的距离公式结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】因为正三棱柱的底面边长为2，为的中点， 所以，过点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，， 因为，设，， ， 所以， 所以， 所以，， 所以， 当时，有最小值，当时，有最大值， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·上海·期末）已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是 . 【答案】4 【分析】利用坐标法，根据空间向量数量积的坐标运算，向量线性运算，不等式思想即可求解． 【详解】是空间相互垂直的单位向量， 设，，设， 又，， 又， ， ，其中， ， ， 当且仅当时取得等号， 的最小值是4． 故答案为：4． 题型07空间向量的夹角问题（坐标形式） 【典例1】（23-24高二上·浙江湖州·期中）设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】首先根据为单位向量得到，再利用与的夹角等于，得．联立方程求解出与的值，最后再利用向量的夹角公式进行求解即可． 【详解】因为空间两个单位向量与向量的夹角都等于， ， 易知， 又， 又为单位向量，所以， 联立，得或， 又， ． 故选：C． 【典例2】（24-25高二上·广西·阶段练习）已知向量，. (1)求的值； (2)若，求实数k的值； (3)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）根据向量模的坐标表示计算； （2）由向量垂直的数量积为0求解； （3）由向量夹角公式计算． 【详解】（1）由题可得，则. （2），， ，， 即，则. （3），，，， ， 向量与夹角的余弦值为. 【变式1】（23-24高二下·四川绵阳·开学考试）已知向量，， (1)求的值； (2)求； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数量积的坐标表示即可求解； （2）由夹角公式即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以，又因为， 所以． （2）因为，， 所以． 【变式2】（24-25高二下·福建莆田·期中）已知向量，，若向量同时满足下列三个条件： ①；②；③与垂直． (1)求向量的坐标； (2)若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）首先设，再根据条件列出方程组，即可求解； （2）根据（1）的结果，确定向量，再代入向量夹角的余弦公式，即可求解. 【详解】（1）设，则由题可知， 解得或， 所以或． （2）因为向量与向量共线，所以． 又，，所以，， 所以，且，， 所以与夹角的余弦值为． 【变式3】（24-25高二上·北京·期中）设，向量，且. (1)求； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）首先利用向量的共线和向量的垂直求出向量的坐标，进一步求出向量的模； （2）利用向量的线性运算和向量的夹角运算求出结果. 【详解】（1）向量，且， 故，解得. 由于， 所以，解得. 故， 所以， 故. （2）由于，故， 故. 题型08空间向量的投影向量（坐标形式） 【典例1】（24-25高二下·福建莆田·期中）已知，，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积和投影向量公式计算即可. 【详解】已知，，可得： 且，那么。 根据向量投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量为。 将，，代入可得：. 故选：C. 【典例2】（24-25高二下·江苏淮安·阶段练习）已知向量，，，当时，向量在向量上的投影的数量为 【答案】 【分析】由向量数量积的几何意义即可求. 【详解】向量量，，， 所以，解得，所以，， 所以向量在向量上的投影的数量为. 故答案为：. 【变式1】（2025·湖北襄阳·二模）已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得向量在法向量上的投影，再由向量的加法法则即可求解. 【详解】向量在平面法向量上的投影向量： ， 设在平面上的投影向量是， 则， 所以， 故选：D 【变式2】（24-25高二下·江苏·期中）已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求，再由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】向量，，， 所以，解得，所以，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 【变式3】（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知，，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出与的向量坐标，再根据投影向量的公式来计算. 【详解】已知，，，. ； . 计算和, . 根据投影向量公式，则投影向量为. 故选：A. 题型09空间向量的平行、垂直关系（坐标形式） 【典例1】（24-25高二上·山东淄博·期末）设 ，则 （    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】因为，∴，解得 ∴， ∴ 故选：C． 【典例2】（23-24高二上·上海·期中）已知空间三点、、，设. (1)若，求点坐标； (2)若向量与互相垂直，求实数的值； (3)若向量与平行，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设，求出，，根据列出方程组求解即可； （2）求出向量、的坐标，利用空间向量垂直的坐标表示列出方程求解即可； （3）求出向量、的坐标，设，进而列出方程组求解即可. 【详解】（1）设，则，， 由，得， 解得，即. （2）由，， 则，， 因为向量与互相垂直， 所以，即， 解得或. （3）由（2）知，，， 所以，， 因为向量与平行，设， 则，解得. 【变式1】（24-25高二上·广东东莞·期末）已知，，且，则x的值为 . 【答案】2 【分析】利用向量垂直关系的坐标表示求解 【详解】解：由题意可知，， 解得， 故答案为： 【变式2】（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知 (1)，求的坐标； (2)求； (3)若与互相垂直，求实数的值. 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）由空间向量平行，得出，设，再利用列方程，进而求得； （2）先求得，，再利用公式即可求得的值； （3）利用空间向量垂直充要条件列出关于的方程，解之即可求得的值． 【详解】（1）由题可知，， 由，得，设， 因为， 所以，解得， 所以或． （2）因为、、，，， 所以，， 则. （3）因为，， 又与垂直， 所以， 解得或． 【变式3】（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习）已知空间中三点，设， (1)若，且，求向量 (2)已知向量与互相垂直，求k 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由空间向量模长公式结合空间向量平行坐标表示可得答案； （2）由空间向量垂直坐标表示可得答案. 【详解】（1）由题，，因，则设； 因，则， 则或； （2）由题，， 则，又与垂直， 则. 题型10易错题型根据空间向量成锐角（钝角）求参数 【典例1】（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用夹角是锐角的向量关系计算即可. 【详解】因为空间向量，， 若与的夹角是锐角，则且不成立， 所以或. 故选：C. 【典例2】（多选）（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知向量，，若，的夹角是钝角，则的可能取值为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】AC 【分析】根据题意分析得，再去除共线的情况即可. 【详解】由题意得，再去掉其共线反方向的情况， 则，解得，当，共线时，解得， 故且，对照选项知AC正确，BD错误. 故选：AC. 【变式1】（24-25高二上·安徽·期中）在空间直角坐标系中，已知，则是与夹角为锐角的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出与的夹角为锐角的的取值范围，与进行比较，根据充分必要条件的判定得解. 【详解】与的夹角为锐角，则要满足， 即且不等于1， 解得：且， 因为是的真子集， 所以是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件. 故选：B 【变式2】（24-25高二上·福建·期中）已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用数量积大于0求解，即可去除同向共线时的情况求解. 【详解】若，则， 当时，则，解得，此时，方向相同， 故的夹角为锐角时，且， 故答案为： 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1．（24-25高二下·江苏盐城·期末）向量，，若，则实数m的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】利用向量共线列式求解. 【详解】向量，，由，得， 所以. 故选：D 2．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解. 【详解】由，，得，， 所以在上的投影向量为. 故选：C 3．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）设，向量，，，且，，则（   ） A．5 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由有存在，即可解得，又得解得，进而求解. 【详解】由有存在，所以， 由有，所以，所以， 故选：D. 4．（24-25高二下·江苏南通·阶段练习）已知向量，且，则（   ） A．5 B．11 C．-5 D．-11 【答案】C 【分析】根据两个向量垂直其数量积为及向量数量积的坐标运算即可得解. 【详解】因为，且， 所以，得. 故选：C. 5．（24-25高二下·江苏南京·期末）若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入投影向量坐标公式，即可求解. 【详解】向量在向量上的投影向量的坐标是. 故选：D 6．（2025·山东济南·三模）已知在空间直角坐标系中，三点，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用空间向量夹角公式求解. 【详解】依题意，， 所以向量与夹角的余弦值为. 故选：A 7．（多选）（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）若，，与的夹角为120°，则的值为（   ） A．17 B． C． D．1 【答案】AC 【分析】根据空间向量夹角公式得到方程，求出或. 【详解】由题意得，即， 化简得，解得或 故选：AC 8．（多选）（24-25高二上·广东清远·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于A，根据向量加法坐标运算公式求，再由模的坐标公式求，判断A； 对于B，根据向量加法坐标运算公式求，再根据数量积运算求，判断B， 对于C，向量加法坐标运算公式求，再根据数量积运算求，结合向量垂直的坐标表示判断C； 对于D，结合向量平行的坐标表示判断D. 【详解】对于A：，所以，A正确； 对于B：，所以，B错误； 对于C：，所以，C正确； 对于D：，假设， 则存在实数，使得， 所以， 满足条件的不存在， 故与不平行，D错误． 故选：AC． 9．（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为 . 【答案】 【分析】利用向量的数量积公式及投影向量的模的计算公式，即可求解. 【详解】因为向量，， 所以向量在向量上的投影向量，其模为. 故答案为： 10．（24-25高二下·上海宝山·期中）已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依题意且与不共线（反向），结合数量积的坐标表示得到不等式，解得即可. 【详解】因为，且的夹角为钝角， 所以且与不共线（反向）， 由，则，解得， 当与共线时，，则，解得， 综上可得实数的取值范围为. 故答案为： 11．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知向量，，且． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得出，可求出的值，求出的坐标，利用空间向量的模长公式可求得的值； （2）利用空间向量数量积的坐标运算可得出向量与夹角的余弦值. 【详解】（1）因为向量，，且，则，解得， 所以，，则， 故. （2）， 所以，. 因此，向量与夹角的余弦值为. 12．（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）对于空间任意两个非零向量，定义新运算：. (1)若向量.求； (2)若两个单位向量满足，求向量夹角的余弦值. 【答案】(1)0； (2)； 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算求出，再利用给定定义求解即得. （2）利用数量积的运算律及给定的定义，列式求出向量夹角的余弦值. 【详解】（1）由，得，则， 所以. （2）由是单位向量，得， 设的夹角为，则， ，而， 因此，解得， 所以夹角的余弦值为. B能力提升 1．（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）已知向量，，，若、、共面，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由共面向量的基本定理可知，存在、，使得，由空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，即可解出的值. 【详解】因为向量，，，且、、共面， 由题意可知，存在、，使得， 即，所以，故. 故选：D. 2．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，由为钝角，可得，得到不等式，解不等式，可得出答案. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， ，，， 故， ， 则 ， 因为， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：C 3．（24-25高二下·福建·期中）在空间直角坐标系中，已知．若，分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求点在坐标平面上的正投影，进而可求，，即可比较大小. 【详解】由题意可知：点在坐标平面上的正投影分别为， 因为，则，可知三点共线， 可得，，， 所以. 故选：B. 4．（24-25高二下·江苏常州·期中）如图，四棱锥中，平面，底面是边长为1的正方形，且，点是线段上异于的点，当为钝角时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，由向量共线定理可求得点坐标， 因为为钝角，而三点不共线，故，由此可解出的取值范围. 【详解】如图，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 则，， 设，，则， 故，所以， 则， 因为为钝角，而三点不共线， 故， 解得，即的取值范围为. 故答案为：. 5．（23-24高二上·福建福州·期末）已知为单位向量.，若，则在上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【分析】根据模与向量的关系求出的值，再根据在上的投影向量公式求出答案即可. 【详解】， 由题可得： ，可得， 则在上的投影向量为. 故答案为：. C综合素养 1．（23-24高一下·北京·阶段练习）如图，正方体的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】通过建立空间直角坐标系，设P坐标，根据可得出轨迹方程，再根据轨迹方程即可求解. 【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设， ，， ，， ∵，∴， ∴点P在侧面的边界及其内部运动的轨迹如图线段： 正方体中，平面， ∴，又， 由图可知当点P在E处取得最大值， 所以面积的最大值. 故选：D. 2．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）在棱长为1的正方体中，为线段上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设，，表达出，进而求出最小值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 故， 过点作⊥于点，设，， 则，所以， 显然∽，故，即， 故，则， ， ， ， 故当时，取得最小值，最小值为 故选：B 3．（2025·福建南平·三模）已知正方体的棱长为4，点分别为线段上的动点，则的最小值为 ，此时 . 【答案】 ； . 【分析】以为原点建立适当空间直角坐标系，设，利用取得最小值时，为异面直线和的公垂线段，进而得且，利用向量垂直坐标表示即可求出参数s和t，进而利用向量坐标运算即可计算求解. 【详解】由题可以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以，设， 所以， 当取得最小值时，为异面直线和的公垂线段， 所以此时且， 故， 所以取得最小值时，，， 所以的最小值为， 此时. 故答案为：；. 4．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）如图，长方体中，，，点为线段上一点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标，根据数量积的坐标运算结合二次函数性质，即可求得答案. 【详解】以为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系， 由于，，设P点纵坐标为m， 则， 则 ， 由于，当时，取最小值， 当时，取最大值3， 即的取值范围为， 故答案为： 5．（24-25高二上·辽宁·期中）已知正方体的棱长为2，点为底面内的动点（不含边界），，则的最小值为 【答案】 【分析】建立空间坐标系，利用点的坐标对称，结合向量的坐标运算，根据共线可得，即可得求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，作出关于平面对称的点， 连接交平面于，设， 则，则，， 故， 由于在面内，故，则， 此时，，满足， 故的最小值为. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$