第02讲 1.1.2 空间向量的数量积运算（知识清单+6类热点题型讲练+分层强化训练）-【精讲精练】2025-2026学年高二数学同步学与练

第02讲 1.1.2 空间向量的数量积运算 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． (3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的． 3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 知识点02：空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． 3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 5、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 【即学即练1】（2025高三下·全国·专题练习）在向量的数量积运算中．( ) 知识点03：空间向量数量积的性质 （1） （2）若与同向，则；若与反向，则．特别地，． （3）. 第三部分 题型精讲 题型01空间向量的数量积（求空间向量的数量积） 【典例1】（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【典例2】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ． 【变式1】（24-25高二下·江苏南京·期中）若是一个单位正交基底，且向量，，则的值为（    ） A． B．4 C．7 D．23 【变式2】（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知正方体的棱长为1，则的值为 ． 【变式3】（24-25高二上·陕西渭南·期末）在棱长为1的正四面体中，是的中点，则 . 题型02空间向量的数量积（空间向量的数量积的最值或范围） 【典例1】（24-25高二上·安徽合肥·期末）在长方体中，，线段与交于点，点P 为空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三上·河南·期末）正多面体是指各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角的多面体.在古希腊时期人们就已经发现正多面体仅有5种，分别是正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体和正二十面体.如图，是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，棱长为2，点为正八面体内切球球面上的任意一点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高三上·上海·期中）已知圆锥的底面半径为2，高为4，点为圆锥底面上任意一点，点为圆锥侧面（点异于顶点且不在底面圆周上）上任意一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·上海·期末）已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是 ． 【变式3】（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知球内切于正四棱锥是球的一条直径，点为正四棱锥表面上的点，则的取值范围为 . 题型03利用数量积求夹角 【典例1】（24-25高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知空间向量满足，，则与的夹角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 【典例2】（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知平行六面体中，．若，则的值为 ． 【变式1】（24-25高一上·重庆·期末）已知空间向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·北京·阶段练习）已知空间向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·山东枣庄·二模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型04空间向量中的模（距离，长度） 【典例1】（24-25高二上·湖南株洲·期末）在正四棱台中，，，，则（    ） A． B．2 C． D． 【典例2】（24-25高三下·安徽安庆·阶段练习）在平行六面体中，底面是边长为正方形，侧棱的长为，且，则的长为 . 【变式1】（24-25高二上·江苏南通·期末）已知平行六面体的所有棱长均为，，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·安徽·期末）已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则 . 【变式3】（24-25高三上·安徽淮南·阶段练习）若为空间中两两夹角都是的单位向量，则 . 题型05利用数量积证明垂直问题 【典例1】（2025·全国·模拟预测）在空间四边形中，，，且，平面，则棱的长为 . 【典例2】（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）如图所示，已知斜四棱柱的底面是菱形，且，且．    (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 【变式1】（23-24高二下·江苏·课后作业）已知：如图，OB是平面α的斜线，O为斜足，，A为垂足，，且．求证：． 【变式2】（23-24高二上·上海·课后作业）在空间四面体中，，．求证：． 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）已知正方形的边长为2，为等边三角形（如图1所示）．沿着折起，点折起到点的位置，使得侧面底面．是棱的中点（如图2所示）． 求证：． 题型06重点方法篇（利用极化恒等式求数量积最值） 【典例1】（24-25高三下·浙江·开学考试）已知是长方体表面上任意三点，且，则的最小值为（    ） A．14 B． C．10 D．5 【典例2】（23-24高二上·北京延庆·期中）已知正三棱锥的底面的边长为，是空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）在棱长为4的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知是棱长为2的正方体内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为 . 【变式3】（24-25高二上·山东·期中）已知正四棱柱为对角线的中点，过点的直线与长方体表面交于两点，为长方体表面上的动点，则的取值范围是 . 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）给出下列命题，其中正确的是（    ） A．若，则是钝角 B．若，则与一定共线 C．若，则AB与CD为同一线段 D．非零向量、、满足与，与，与都是共面向量，则、、必共面 2．（24-25高二上·天津滨海新·期末）如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则（    ） A． B． C． D．1 3．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）在正四棱锥中，，为的中点，.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25高二上·重庆·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为1，AB，AD，两两所成夹角均为，点E，F分别在棱，上，且，，则（   ） A． B． C．3 D． 5．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，，若，则（   ）    A． B． C．6 D． 6．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知正方体的棱长为2，且，，，则（    ） A．0 B．2 C．4 D．8 7．（24-25高二上·辽宁·期中）已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（24-25高二下·广东肇庆·阶段练习）已知是正方体，以下正确命题有（    ） A． B． C．向量与向量的夹角为 D．正方体的体积为 9．（24-25高二下·河北保定·开学考试）在棱长为6的正四面体中，点M在OA上，且，则 ． 10．（23-24高二上·江西·阶段练习）在长方体中，，，则向量在方向上的投影数量与向量在方向上的投影数量之和为 . 11．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正四面体的棱长为1，如图所示.求： (1)； (2). 12．（24-25高二上·上海·期中）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. B能力提升 1．（2025·安徽安庆·模拟预测）在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 2．（23-24高二上·安徽宣城·期末）已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江西赣州·期中）在棱长为2的正四面体中，点满足，点满足，当、最短时，（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广东广州·期中）已知是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为 . 5．（23-24高二上·天津西青·阶段练习）如图，四面体的所有棱长都等于1，、分别是四面体的棱、的中点，、是的三等分点，，，，则 （用表示），的值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 1.1.2 空间向量的数量积运算 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． (3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的． 3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 知识点02：空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． 3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 5、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 【即学即练1】（2025高三下·全国·专题练习）在向量的数量积运算中．( ) 【答案】错误 【分析】举出反例即可判断. 【详解】当且都是非零向量时， 若不共线，则不共线. 故答案为：错误. 知识点03：空间向量数量积的性质 （1） （2）若与同向，则；若与反向，则．特别地，． （3）. 第三部分 题型精讲 题型01空间向量的数量积（求空间向量的数量积） 【典例1】（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由平面向量基本定理可得，再由空间向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】因为点分别为棱的中点，且四面体所有棱长均为2， 则， 所以 . 故选：D 【典例2】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ． 【答案】 【分析】设，连接，根据向量的线性运算法则，化简得到，，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由平行六面体的所有棱长均为2，且两两所成夹角均为， 设，则 且， 如图所示，连接，由，， 可得， 所以. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二下·江苏南京·期中）若是一个单位正交基底，且向量，，则的值为（    ） A． B．4 C．7 D．23 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求解即得. 【详解】由是一个单位正交基底，得， 所以. 故选：A 【变式2】（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知正方体的棱长为1，则的值为 ． 【答案】1 【分析】由及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为， 又，，所以， 所以. 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·陕西渭南·期末）在棱长为1的正四面体中，是的中点，则 . 【答案】/ 【分析】将转化成，再结合正四面体性质和数量积的定义计算即可. 【详解】由题意可得 . 故答案为：. 题型02空间向量的数量积（空间向量的数量积的最值或范围） 【典例1】（24-25高二上·安徽合肥·期末）在长方体中，，线段与交于点，点P 为空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接AC与BD交于点O，连接记的中点为G，AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，利用空间向量的运算可得，则可化为，进而可得答案. 【详解】如图，连接AC与BD交于点O，连接记的中点为G，AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，则O 为EF的中点， 因为 所以， 所以 ， 所以当P与G重合时，取得最小值，为0，此时取得最小值，为． 故选：C.    【典例2】（24-25高三上·河南·期末）正多面体是指各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角的多面体.在古希腊时期人们就已经发现正多面体仅有5种，分别是正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体和正二十面体.如图，是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，棱长为2，点为正八面体内切球球面上的任意一点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用体积分割法求出正八面体的内切球的半径，取的中点，利用数量积的运算律得，利用圆的知识求出的最大值为，即可得解. 【详解】正八面体的表面是8个全等的正三角形组成，其中正边长为2， 则正八面体的表面积， 而正八面体可视为两个共底面的， 侧棱长与底面边长相等的正四棱锥与拼接而成， 正四棱锥的高， 则正八面体的体积， 设内切球半径为，则，解得， 取的中点. 设为正方形的中心也是内切球的球心，则， 因此的最大值为， 所以的最大值是. 故选：A. 【变式1】（24-25高三上·上海·期中）已知圆锥的底面半径为2，高为4，点为圆锥底面上任意一点，点为圆锥侧面（点异于顶点且不在底面圆周上）上任意一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交底面圆周于B，过Q作底面圆于G点，利用空间向量的线性运算及数量积公式结合夹角余弦的范围计算即可. 【详解】如图所示，延长交底面圆周于B，过Q作底面圆于G点， 显然， 由题意可知， 所以的取值范围为. 故选：D. 【变式2】（24-25高二上·上海·期末）已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设O为中点，先由题设得和，进而得点M在以O为球心，半径为的球上，接着设 ，再将转化成即可计算求解. 【详解】如图，O为中点，则由题意且， 所以. 因为，则即， 所以点M在以O为球心，半径为的球上， 设，则， 所以. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知球内切于正四棱锥是球的一条直径，点为正四棱锥表面上的点，则的取值范围为 . 【答案】. 【分析】令是正四棱锥底面正方形中心，利用向量的数量积的运算律可得，根据的范围可求的取值范围. 【详解】令是正四棱锥底面正方形中心，则平面， 而，则，故， 显然球的球心在线段上，设球半径为， 则， 在中，，于是， 又是球的一条直径，则为半径， 因此， 而，则，， 所以的取值范围为.    故答案为： 题型03利用数量积求夹角 【典例1】（24-25高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知空间向量满足，，则与的夹角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 【答案】D 【分析】由题意，再两边平方求解即可. 【详解】由题意，设与的夹角为，则， 即，解得. 故选：D 【典例2】（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知平行六面体中，．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用向量加法和数量积求解即可. 【详解】由题意可得 ， 解得：， 所以 故答案为： 【变式1】（24-25高一上·重庆·期末）已知空间向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据模长公式即可代入求解. 【详解】由可得， 故，故， 故选：B 【变式2】（24-25高二上·北京·阶段练习）已知空间向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知，然后两边同时平方，代入已知数据计算即可. 【详解】因为， 所以, 得. 故选：D 【变式3】（2025·山东枣庄·二模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，根据空间向量的数量积运算求，即可得结果. 【详解】不妨设棱长为2， 由题意可知：， 因为， 则 ， 即， 且， 可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 题型04空间向量中的模（距离，长度） 【典例1】（24-25高二上·湖南株洲·期末）在正四棱台中，，，，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量法求. 【详解】在正四棱台中，过点向作垂线，垂足为点， 则，所以， . 故选：A 【典例2】（24-25高三下·安徽安庆·阶段练习）在平行六面体中，底面是边长为正方形，侧棱的长为，且，则的长为 . 【答案】 【分析】根据空间向量的运算来求得正确答案. 【详解】 ， 所以. 故答案为： 【变式1】（24-25高二上·江苏南通·期末）已知平行六面体的所有棱长均为，，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算，可得的表达式，两边平方即可求得. 【详解】由已知：平行六面体所有棱长均为， ，则， 又因为：， 同理可得：， 则 ，则. 故选：. 【变式2】（24-25高二上·安徽·期末）已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则 . 【答案】 【分析】利用空间向量数量积的运算法则计算即可求得. 【详解】 . 故答案为：. 【变式3】（24-25高三上·安徽淮南·阶段练习）若为空间中两两夹角都是的单位向量，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解即得. 【详解】由为空间中两两夹角都是的单位向量，得， 所以. 故答案为： 题型05利用数量积证明垂直问题 【典例1】（2025·全国·模拟预测）在空间四边形中，，，且，平面，则棱的长为 . 【答案】 【分析】根据题意可得，且，结合数量积的运算律求模长. 【详解】因为平面，平面，则，， 且，，， 可得， 又因为，则， 可得，所以. 故答案为：. 【典例2】（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）如图所示，已知斜四棱柱的底面是菱形，且，且．    (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据已知条件可以构造空间向量，利用空间向量的数量积为0得到垂直关系； （2）根据线面垂直的性质知，要使平面，只需且，根据数量积的定义可知需证明，，结合向量的加减运算和数量积的定义，即可求出与的关系； 【详解】（1）证明：设，，，则， 底面是菱形，有， 则， ∴，即. （2）要使平面，只需且. 欲使，则可证明，即， 也就是， 即， 由于，显然当时，上式成立. 同理可得，当时，. 因此，当时，能使平面. 【变式1】（23-24高二下·江苏·课后作业）已知：如图，OB是平面α的斜线，O为斜足，，A为垂足，，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】要证，只要证，即证，结合空间向量分析运算． 【详解】因为，所以， 因为，，所以，． 又，所以， 故． 【变式2】（23-24高二上·上海·课后作业）在空间四面体中，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用空间向量的运算以及垂直的向量表示进行证明. 【详解】因为，，所以，； 因为，， 所以 . . 所以. 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）已知正方形的边长为2，为等边三角形（如图1所示）．沿着折起，点折起到点的位置，使得侧面底面．是棱的中点（如图2所示）． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用面面垂直的条件推出平面，进而可得，再利用空间向量的线性运算结合数量积与向量垂直的关系可得，利用线面垂直的判定定理即可得平面，则. 【详解】如图，取AB中点O，连接OC交BM于E， ∵为等边三角形， ∴， 又∵平面平面，平面，平面平面， 故平面， 而平面，∴， 又∵，， ∴． ∴， 又∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴． 题型06重点方法篇（利用极化恒等式求数量积最值） 【典例1】（24-25高三下·浙江·开学考试）已知是长方体表面上任意三点，且，则的最小值为（    ） A．14 B． C．10 D．5 【答案】B 【分析】利用极化恒等式：，根据长方体的几何性质，可得答案. 【详解】取中点为，由极化恒等式，. 又是长方体表面上任意三点， 所以当位于体对角线的两个端点时，最大，最大值为； 此时为长方体的中心，则当位于长方形中心时，的值最小，最小值为1， 所以的最小值为. 故选：B. 【典例2】（23-24高二上·北京延庆·期中）已知正三棱锥的底面的边长为，是空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设中点为，连接，设中点为，连接，，，利用转化法求向量数量积的最值即可. 【详解】设中点为，连接，设中点为，连接，，， 则， ， 当与重合时，取最小值0， 此时有最小值. 故选：. 【变式1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）在棱长为4的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出正方体的外接球的半径，并求得，求出的取值范围，进而可求得的取值范围. 【详解】设正方体的外接球的球心为，球的半径为， 由，得，则， ， 当点为正方体的侧面或底面中心时，的长取最小值，即， 当点与正方体的顶点重合时，的长取最大值，即， 即，所以. 故选：A 【变式2】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知是棱长为2的正方体内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为 . 【答案】4 【分析】根据向量的线性运算及数量积运算可得，由正方体的性质可得当时取得最大值为4. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示：    因此可得，且 可得； 因此当的长度最大时，取得最大值， 显然当点与重合时，，因此取得最大值为4. 故答案为：4 【变式3】（24-25高二上·山东·期中）已知正四棱柱为对角线的中点，过点的直线与长方体表面交于两点，为长方体表面上的动点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由，求出的最大值和最小值后即可得． 【详解】为的中点，即为正四棱柱的中心，由对称性，为的中点， 则， ，，，所以， 所以， 故答案为：．    第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）给出下列命题，其中正确的是（    ） A．若，则是钝角 B．若，则与一定共线 C．若，则AB与CD为同一线段 D．非零向量、、满足与，与，与都是共面向量，则、、必共面 【答案】B 【分析】A，由判断即可；BC，利用共线向量的定义判断即可；D，举例判断即可. 【详解】A.当时，满足，但不是钝角，故A错误； B.当时，，所以与一定共线，故B正确； C.当时，则与共线，但线段与可能只是平行关系，故C错误； D.如图所示： 设， 显然满足与，与，与都是共面向量，但､､不共面，故D错误； 故选：B. 2．（24-25高二上·天津滨海新·期末）如图，已知三棱锥的每条棱的长度都等于1，点，，分别是，，的中点，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据线面垂直的性质可得，再利用向量的加法法则和共线定理，结合数量积的运算律即可求得. 【详解】分别为的中点，则， 由已知三棱锥为正三棱锥，取中点为，连接， 由已知和为正三角形，则， 又，且平面，则平面，又平面 则，即， 则. 故选：. 3．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）在正四棱锥中，，为的中点，.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据数量积的运算律，结合垂直关系即可求解. 【详解】由于，且是正四棱锥， 故，且侧面均为等边三角形， ， 故，则， 故选：C 4．（24-25高二上·重庆·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为1，AB，AD，两两所成夹角均为，点E，F分别在棱，上，且，，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据题意，连接，由向量的线性运算可得，再由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 连接， 由题意可得， 所以 ， 所以. 故选：D 5．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，，若，则（   ）    A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算用表示出，再用模长公式计算可得结果. 【详解】因为，所以， 则 ，所以. 故选：B. 6．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知正方体的棱长为2，且，，，则（    ） A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】向量数量积分配律展开，再根据已知条件，用数量积公式计算即可. 【详解】根据向量数量积的分配律，将展开为. 因为正方体棱长为，且，，，与夹角为， 根据向量数量积定义（为两向量夹角），所以. 同理与夹角为，所以. 而，所以. 将各项计算结果代入可得：. 故选：D. 7．（24-25高二上·辽宁·期中）已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，然后两边平方，结合向量数量积的运算求向量的夹角. 【详解】设与的夹角为，由，得， 两边同时平方得， 所以1，解得， 又，所以. 故选：D 8．（多选）（24-25高二下·广东肇庆·阶段练习）已知是正方体，以下正确命题有（    ） A． B． C．向量与向量的夹角为 D．正方体的体积为 【答案】AB 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算法则，空间向量的数量积的运算，结合正方体的几何结构，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由空间向量的运算法则，可得： ，所以A正确； 对于B中，在正方体中，可得平面， 因为平面，所以， 又因为，且，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以，所以B正确； 对于C中，在正方体中，可得平面， 因为平面，所以，所以， 所以向量与所成的角为，所以C错误； 对于D中，在正方体中，可得， 该正方体的体积为，所以D错误. 故选：AB. 9．（24-25高二下·河北保定·开学考试）在棱长为6的正四面体中，点M在OA上，且，则 ． 【答案】 【分析】利用空间向量的数量积运算求解. 【详解】因为， 所以， ． 故答案为：-12 10．（23-24高二上·江西·阶段练习）在长方体中，，，则向量在方向上的投影数量与向量在方向上的投影数量之和为 . 【答案】 【分析】根据数量积的定义结合空间向量的运算即可得结论. 【详解】   由图可知.向量 在方向上的投影数量为. 向量在方向上的投影数量为， 所以向量在方向上的投影数量与向量在方向上的投影数量之和为. 故答案为：. 11．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正四面体的棱长为1，如图所示.求： (1)； (2). 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据题意易得，，进而根据空间向量的数量积计算即可； （2）根据空间向量的数量积的运算性质求解即可. 【详解】（1）在正四面体中，， ， 则. （2） . 12．（24-25高二上·上海·期中）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）利用向量的运算得，然后由向量数量积的运算求解； （2）利用向量的运算得，然后利用向量数量积的运算求解. 【详解】（1）连接， ， ， ， ， ， ∴，即的长为. （2）， ∴ . B能力提升 1．（2025·安徽安庆·模拟预测）在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】设，，，将向量分别用表示，代入，利用向量数量积的运算律化简，求得，借助于二次函数的性质即可求得的最小值. 【详解】    设，，， 则，， 由， 因，，则， 代入整理得，，显然，故， 因，故当时，取得最大值， 此时取得最小值为36，故的最小值为为6. 故选：B. 2．（23-24高二上·安徽宣城·期末）已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算得出，，根据正四面体的性质得出，且、、三向量两两夹角为，即可通过向量数量积的运算率得出答案. 【详解】 四面体ABCD是正四面体， ，且、、三向量两两夹角为， 点E，F分别是BC，AD的中点， ，， 则， 故选：C. 3．（23-24高二上·江西赣州·期中）在棱长为2的正四面体中，点满足，点满足，当、最短时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到面，，从而求得，最短时，得到为的中心，为的中点，求得的长，结合，由向量的运算公式，即可求得的值． 【详解】解：因为， 可得平面，， 当，最短时，面，且， 则正四面体中，为的中心，为的中点，如图所示， 又因为正四面体的棱长为2，在正三角形中，由正弦定理得，所以， 所以， 因为平面，所以， 因为， 所以， 故选：C． 4．（23-24高二上·广东广州·期中）已知是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用空间向量的数量积的运算律及正方体的几何特征求解即可. 【详解】如图所示，设正方体内切球球心为S，MN是该内切球的任意一条直径，则内切球的半径为1， 所以当点P在与正方体的面的中心时，PS取得最小值1，当点P顶点时，PS取得最大值，所以， ， 所以的取值范围为. 故答案为：. 5．（23-24高二上·天津西青·阶段练习）如图，四面体的所有棱长都等于1，、分别是四面体的棱、的中点，、是的三等分点，，，，则 （用表示），的值为 ． 【答案】 【分析】根据平面向量的基本定理，结合题意，即可求得表达式，同理可得表达式，根据数量积公式，化简整理，即可得答案. 【详解】由题意得： . 同理可得， 所以 因为四面体的所有棱长都等于1， 所以， 所以 学科网（北京）股份有限公司 $$