精品解析：江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校2024-2025学年八年级下学期期末数学试题

2024－2025学年度第二学期期末调研 八年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．寻找对称中心、对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌中心对称图形则是指一个图形可以绕着一个点（‌对称中心）‌旋转，‌使得旋转前后的图形互相重合．‌根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项不符合题意； B．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，也找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，但找不到一点旋转后与原图重合，是不中心对称图形，故选项不符合题意； D．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，也可找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意； 故选：D． 2. 在一个不透明的盒子里装有3个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球．下列事件中，不可能事件是（ ） A. 摸出的3个球都是红球 B. 摸出的3个球都是白球 C. 摸出的3个球中有2个红球1个白球 D. 摸出的3个球中有2个白球1个红球 【答案】B 【解析】 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件． 【详解】解：A、摸出的3个球都是红球是随机事件，故A错误； B、只有2个白球，摸出的3个球都是白球是不可能事件，故B选项正确； C、摸出的3个球中有2个红球1个白球是随机事件，故C错误； D、摸出的3个球中有2个白球1个红球是随机事件，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了可能性的大小，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的基本性质逐个判断即可． 【详解】A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质的内容是解此题的关键． 4. 如图，菱形中，O为的中点，M为的中点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，中位线定理，勾股定理，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 先利用中位线定理求出菱形的边的长，再利用菱形的性质求得，从而可得，再利用勾股定理求得的长． 【详解】解：∵O为的中点，M为的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴，   故选：C ． 5. 如图，在平面直角坐标系中，为正方形的对称中心，分别在轴和轴上，正方形的边长，双曲线经过、两点，则的值为（ ） A. 2 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用全等三角形的判定与性质表示点的坐标是解题的关键．作轴于，设，，则，利用证明，得，，从而得出，，根据得到，，据此求解即可得出答案． 【详解】解：作轴于， 设，，则， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， 为正方形的对称中心， 点为的中点， ， 双曲线经过、两点， ， ∴，， ∵正方形的边长， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 6. 如图，线段是直线的一部分，点是直线与轴的交点，点的纵坐标为4，曲线是双曲线的一部分，已知点的横坐标为4，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点与点均在该波浪线上，分别过、两点向轴作垂线段，垂足为和两点，则四边形的面积是（ ） A. 10 B. C. D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，根据变化规律求出点，点的坐标是解决问题的关键．根据一次函数可求出点、的坐标，进而确定反比例函数的关系式，利用平移所引起的坐标变化规律，可求出点，点的坐标，再根据梯形的面积公式可求出答案． 【详解】解：当时，， ， 当时，即， ， ， 又点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的关系式为， 当时，， 点， ∴， 依题意由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．且结合图象： 由图象的平移可得， ，，，，，， ，，，，，， 又，，且 即， ， ，，且 ∴ ， 依题意， ， 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴x-1≥0， 解得x≥1． 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0． 8. 分式，，的最简公分母是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 根据最简公分母的定义解答即可． 【详解】解：分式，，最简公分母是． 故答案为：． 9. 为了解某市八年级学生每天的睡眠时间，从该市八年级学生中抽取1000名学生进行调查，该调查中的样本是______． 【答案】被抽取的1000名学生每天的睡眠时间 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目． 【详解】解：为了解某市八年级学生每天的睡眠时间，从该市八年级学生中抽取1000名学生进行调查，该调查中的样本是被抽取的1000名学生每天的睡眠时间， 故答案为：被抽取的1000名学生每天的睡眠时间． 10. 比较大小：________（填>、<或=）． 【答案】 【解析】 【分析】由题意估算≈3.6056，所以＜0.5=，由此即可得出答案． 【详解】解：因为≈3.6056，=0.5， 所以＜． 故答案为：＜． 【点睛】本题主要考查实数的大小的比较，注意掌握对于含有根号的两个正数比较大小，可以通过比较它们估算结果． 11. 若关于的分式方程无解，则的值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的无解，熟练掌握分母等于零时分式方程无解是解答本题的关键． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，求出的值，代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】解： 由分式方程无解，得到， 解得， 将代入， 故答案为：5． 12. 一元二次方程的两个根分别为、，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握这个关系是关键．当然本题也可直接解方程来求解． 由一元二次方程根与系数的关系带入即可求得． 【详解】解：由根与系数的关系得：；； ∴ 故答案为： ． 13. 如图，点和在反比例函数的图象上，其中．过点A作轴于点C，若的面积为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，根据，得出，根据三角形面积公式，即可求出的面积；过点B作轴于点D，交于点E，根据，，得出，进而得出，根据梯形面积公式，列出方程，化简得，令，则，求出x的值，根据，得出，即，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 过点B作轴于点D，交于点E， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 令， 则， 解得：，， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为： 2． 14. 如图，点在正方形的边上，延长至点，使，连接和，取的中点，连接并延长，与交于点．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，先证明，得到是的垂直平分线，则，设，则，，在中，由勾股定理得，解方程即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵的中点为， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， 设，则，， ∴在中，由勾股定理得 ∴， 解得：， ∴， 故答案为：。 15. 定义：若两个分式与满足：，则称与这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且均为不等于0的实数，则分式______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减法和实数的性质，绝对值的意义，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键．根据分式与互为“美妙分式”，得到，求出①，②，分别把①②代入分式中求出结果即可． 【详解】解：与互为“美妙分式”， ， ， 或， 或， 、均为不等于的实数， ①，②， 把①代入， 把②代入， 综上：分式的值为或． 故答案为：或． 16. 如图，在矩形中，，，点在边上，且，为边上的一个动点，连接，以为边作等边，且点在矩形内，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】以为边作等边三角形，过点H作于N，于M，可证四边形是矩形，可证，由“”可证，可得，当时，有最小值，即有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，以为边作等边三角形，过点H作于N，于M， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴点F与点M重合时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式加减法和二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式分别化简各二次根式，再合并即可； （2）原式先化简括号内的，再进行二次根式的乘法即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）无解 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程，熟知解分式方程和解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案； （2）把原方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解： 去分母得：， 去括号得：，即， 移项得：， 合并同类项得；， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得，． 19. 先化简，然后从，，，中选取一个你认为合适的数作为的值代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查的知识点是分式的化简求值、因式分解、分式有意义的条件、分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式的化简求值． 先通过因式分解、分式的混合运算进行化简，由分式有意义的条件得出，再将其代入原式即可得解． 【详解】解：， ， ， ， 由分式有意义的条件得，，， ， 将代入原式，得． 20. 如图，在中，E，F分别为边上的点，，连接，与交于点O． （1）求证：与相互平分． （2）若，，，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． 在中，， 又， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴与相互平分． （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质．菱形的判定与性质以及勾股定理 ，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）连接．通过证明四边形是平行四边形推知与互相平分． （2）连接，过点C作，交的延长线于点H．证明四边形是菱形，求出，．设，则，，，在中根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，过点C作，交的延长线于点H． 由（1）可得四边形是平行四边形． 又， ∴四边形是菱形． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 设，则． ∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴． 在中，，即， 解得， ∴． 21. 为增强环保意识，某校举行了“垃圾分类知识竞赛”，每位学生答40道试题．随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将样本数据分为A、B、C、D、E五个组别，并绘制了下列不完整的统计图表． 组别 答题正确个数 人数 A 10 B 15 C 25 D E 根据以上信息完成下列问题： （1）______，______； （2）请补全条形统计图； （3）已知该中学共有3000名学生，如果答题正确个数不少于24个的学生进入第二轮的比赛，请你估计本次知识竞赛该中学进入第二轮的学生有多少名？ 【答案】（1）30；20 （2）见解析 （3）1500 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图和条形统计图，用样本估计总体； （1）利用B组的人数及百分比求出总人数，由总人数分别乘以对应的百分比即可求出m、n的值； （2）利用（1）的结果补图即可； （3）用3000乘以D与E组的和与总体的比即可得到答案． 【小问1详解】 解：总人数：； ； ； 故答案为：30；20 【小问2详解】 如图所示，由（1）中计算可得； 【小问3详解】 ∵答题正确个数不少于24个的学生进入第二轮的比赛， ∴本次知识竞赛该中学进入第二轮的是D、E两组， ∴（人） 答：本次知识竞赛该中学进入第二轮的学生有1500名. 22. 已知：关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若这个方程的一个根为3，求另一个根及的值． 【答案】（1）见解析 （2）另外一根为； 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据根的判别式的符号来判定该方程的根的情况； （2）设方程的另外一个根为3，带入可求出的值；再利用的值可知原方程，解之即可得到答案． 【小问1详解】 证明：方程化简为：， 根据判别式： ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：∵这个方程的一个根为3， ∴；解得：，则 把带入方程得：； ∴；解得：或； ∴方程得另外一根为：. 23. 机器狗在景区充当“挑山工”的现象成为今年“五一”文旅市场的一大亮点．景区有300千克货物需要搬运．已知机器狗A每小时能搬运的货物重量是机器狗B的倍，机器狗A单独搬运货物所需的时间比机器狗B少1小时．求两只机器狗每小时分别能搬运多少千克的货物． 【答案】A型机器人每小时搬运60千克，B型机器人每小时搬运50千克． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意列出分式方程是解题的关键． 设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克，再根据题意列出分式方程求解并检验即可解答． 【详解】解：设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克， 根据题意得：，解得：， 经检验：为分式方程的解， 则． 答：A型机器人每小时搬运60千克，B型机器人每小时搬运50千克． 24. 如图，一次函数图像与反比例函数图像交于点，，与轴交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）结合图像，直接写出当时，的取值范围． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数相结合，利用待定系数法求函数解析式，函数和不等式的关系等内容，解题的关键是熟练掌握一次函数和反比例函数的性质． （1）利用待定系数法求反比例函数解析式，然后求出点坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）通过图象的交点坐标判定不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：将代入反比例函数的解析式中得， ， 所以，反比例函数的解析式为； 将代入反比例函数的解析式中得， ， 解得， ∴， 将，代入一次函数解析式中得， ， 解得 所以，一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：通过图象交点可得当时，直线在双曲线的上方可得， 或． 25. 按要求完成下列尺规作图：（不写做法，保留作图痕迹） （1）如图1，已知，点、分别在射线、上，作点使得四边形为平行四边形； （2）如图2，已知，点、在边上，分别在边、上作点、，使得四边形为平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图． （1）以为圆心，长为半径画弧；以为圆心，长为半径画弧；两弧交点即为所求； （2）以为圆心，长为半径画弧，交于点；在边上任取点，类比第（1）问，找到点，使四边形为平行四边形；连接并延长，交于点；作交于点；点、即为所求． 【小问1详解】 解：①以为圆心，长为半径画弧； ②以为圆心，长为半径画弧； ③两弧交点即为所求． 证明：如图， 在四边形中，，， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：①以为圆心，长为半径画弧，交于点； ②在边上任取点，类比第（1）问，找到点，使四边形为平行四边形； ③连接并延长，交于点； ④作交于点； ⑤点、即为所求． 证明：如图，连接，， 由作图可知，，四边形为平行四边形， ∴ ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形. 26. 阅读理解 欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献遍及高等数学的各个领域，同时，在初等数学中也到处留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式： 这个公式我们可以分情况进行研究，例如，当时的欧拉公式为： ， 证明如下： 左边 ____________ ______ （1）请将材料中时欧拉公式的证明过程补充完整； （2）写出当时的欧拉公式，并证明； （3）利用欧拉公式，______． 【答案】（1）见解析； （2），见解析； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． （）当时，然后通分，再化简运算即可； （）当时，然后通分，再化简运算即可； （）当时，令，，，然后通分，再化简运算即可． 【小问1详解】 证明：左边 ； 【小问2详解】 解：时， 证明： ； 【小问3详解】 解：当时， 令，，，则 ， 故答案为：． 27. 定义：如果四边形的一条对角线的中点到另外两个顶点的距离都等于这条对角线长的一半，那么我们称这样的四边形为“等距四边形”． （1）在下列图形中：①平行四边形、②矩形、③菱形，一定是“等距四边形”的是______；（填序号） （2）如图1，在菱形中，，，于点，点是菱形边上的一点，顺次连接、、、，若四边形为“等距四边形”，求线段的长； （3）如图2，在等边中，，点是内任意一点，在、、上是否分别存在点，使得这些点与点的连线将恰好分割成三个“等距四边形”，若存在，请直接写出这三个“等距四边形”的周长和，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）② （2）或 （3）存在，周长和为 【解析】 【分析】（1）根据等距四边形的定义即可得出结论； （2）根据等距四边形的定义，分两种情况，利用菱形的性质和含30度的直角三角形，即可得出结论； （3）先判断出四边形，四边形，四边形是等距四边形，再利用三角形的面积求出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：①平行四边形对角线互相平分，一条对角线的中点到另外两个顶点的距离不等于另一条对角线长的一半，不符合题意； ②矩形的对角线相等且互相平分，一条对角线的中点到另外两个顶点的距离等于这条对角线的一半，符合题意； ③菱形的对角线互相平分，对角线不一定相等，因此一条对角线的中点到另外两个顶点的距离不等于另一条对角线的一半，不符合题意； 故答案为：②； 【小问2详解】 解：根据等距四边形的定义， 当点在上且时，四边形是等距四边形，如图1， 取的中点，连接，，， ，， ， ， 四边形是等距四边形， 在菱形中，，，， ，， ， ， 根据菱形的对称性得，， 是等边三角形， 在中，， ， 根据勾股定理得，， ， 当点在上且时，四边形是等距四边形，如图2， 连接，，交于点， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，在菱形中，，， ， ； 【小问3详解】 解：存在； 过点分别作于，于，于，连接、、如图3， 同（2）的方法得，四边形，四边形，四边形是等距四边形，过点作于， 在中，，， ， ， 根据勾股定理得，， ， ， ， ， 四边形，四边形，四边形的周长的和为． 【点睛】本题考查了新定义，菱形判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定的性质，三角形的面积公式，理解和运用新定义是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第二学期期末调研 八年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在一个不透明的盒子里装有3个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球．下列事件中，不可能事件是（ ） A. 摸出的3个球都是红球 B. 摸出的3个球都是白球 C. 摸出的3个球中有2个红球1个白球 D. 摸出的3个球中有2个白球1个红球 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，菱形中，O为的中点，M为的中点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中， 为正方形 的对称中心，分别在轴和轴上，正方形 的边长，双曲线经过、 两点，则的值为（ ） A. 2 B. C. 5 D. 6. 如图，线段是直线的一部分，点是直线与轴的交点，点的纵坐标为4，曲线 是双曲线的一部分，已知点的横坐标为4，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点与点均在该波浪线上，分别过 、两点向轴作垂线段，垂足为和两点，则四边形的面积是（ ） A. 10 B. C. D. 15 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 8. 分式，，的最简公分母是______． 9. 为了解某市八年级学生每天的睡眠时间，从该市八年级学生中抽取1000名学生进行调查，该调查中的样本是______． 10. 比较大小：________（填>、<或=）． 11. 若关于的分式方程无解，则的值是______． 12. 一元二次方程的两个根分别为、，则______． 13. 如图，点和在反比例函数的图象上，其中．过点A作轴于点C，若的面积为，则______． 14. 如图，点在正方形 的边上，延长至点，使，连接和，取的中点 ，连接 并延长，与 交于点．若，，则的长为______． 15. 定义：若两个分式与满足：，则称与这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且均为不等于0的实数，则分式______． 16. 如图，在矩形 中，，，点在 边上，且，为边上的一个动点，连接，以为边作等边，且点在矩形 内，连接，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共11小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 先化简，然后从，，，中选取一个你认为合适的数作为的值代入求值． 20. 如图，在中，E，F分别为边上的点，，连接，与交于点O． （1）求证：与相互平分． （2）若，，，，求的长． 21. 为增强环保意识，某校举行了“垃圾分类知识竞赛”，每位学生答40道试题．随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将样本数据分为A、B、C、D、E五个组别，并绘制了下列不完整的统计图表． 组别 答题正确个数 人数 A 10 B 15 C 25 D E 根据以上信息完成下列问题： （1）______，______； （2）请补全条形统计图； （3）已知该中学共有3000名学生，如果答题正确个数不少于24个的学生进入第二轮的比赛，请你估计本次知识竞赛该中学进入第二轮的学生有多少名？ 22. 已知：关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若这个方程的一个根为3，求另一个根及的值． 23. 机器狗在景区充当“挑山工”的现象成为今年“五一”文旅市场的一大亮点．景区有300千克货物需要搬运．已知机器狗A每小时能搬运的货物重量是机器狗B的倍，机器狗A单独搬运货物所需的时间比机器狗B少1小时．求两只机器狗每小时分别能搬运多少千克的货物． 24. 如图，一次函数图像与反比例函数图像交于点，，与轴交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）结合图像，直接写出当时，的取值范围． 25. 按要求完成下列尺规作图：（不写做法，保留作图痕迹） （1）如图1，已知，点、 分别在射线、上，作点使得四边形为平行四边形； （2）如图2，已知，点、 在边 上，分别在边、上作点、，使得四边形为平行四边形． 26. 阅读理解 欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献遍及高等数学的各个领域，同时，在初等数学中也到处留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式： 这个公式我们可以分情况进行研究，例如，当时的欧拉公式为： ， 证明如下： 左边 ____________ ______ （1）请将材料中时欧拉公式的证明过程补充完整； （2）写出当时的欧拉公式，并证明； （3）利用欧拉公式，______． 27. 定义：如果四边形的一条对角线的中点到另外两个顶点的距离都等于这条对角线长的一半，那么我们称这样的四边形为“等距四边形”． （1）在下列图形中：①平行四边形、②矩形、③菱形，一定是“等距四边形”的是______；（填序号） （2）如图1，在菱形 中，，，于点，点是菱形 边上的一点，顺次连接、、、，若四边形为“等距四边形”，求线段的长； （3）如图2，在等边中，，点 是内任意一点，在、 、上是否分别存在点，使得这些点与点 的连线将恰好分割成三个“等距四边形”，若存在，请直接写出这三个“等距四边形”的周长和，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $