进阶检测卷（测试范围：初中衔接、集合与逻辑、等式与不等式、幂、指数与对数）-2025年初升高数学无忧衔接（上海专用）

2025年初升高衔接进阶检测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 测试范围：初中衔接、集合与逻辑、等式与不等式、幂、指数与对数 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．不等式的解集为 ． 2．已知全集集合则 . 3．计算 ． 4．设，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 5．（22-23高一上·上海黄浦·开学考试）口袋中有个球，其中白球个，红球个，黑球个，现从中任取个球，使得白球不少于个但不多于个，红球不少于个，黑球不多于个，那么上述取法的种数是 . 6．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）计算： . 7．（22-23高一上·上海杨浦·开学考试）一个三角形的边长分别为、、，另一个三角形的边长分别为、、，其中，若两个三角形的最小内角相等，的值等于 ． 8．（24-25高一上·上海·开学考试）若一元二次方程的两根分别为a，b，则 . 9．函数的定义域为，值域为，则的最大值为 ． 10．已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 11．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）如图.在中，，为三角形内部一点，其，.则的面积为 . 12．（24-25高一上·上海·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，…，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 二、单选题 13．下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若且则； D．若， 则 14．（22-23高一上·上海黄浦·开学考试）如图，在矩形中，，，点是边上一点，沿翻折，点恰好落在边上点处，则的长是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·上海·开学考试）某校交响乐团有90名成员，下表是合唱团成员的年龄分布统计表：对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（　　） 年龄（单位：岁） 13 14 15 16 17 频数（单位：名） 17 29 x 18 A．平均数、中位数 B．平均数、方差 C．众数、中位数 D．众数、方差 16．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）100人共有2000元人民币，其中任意10人的钱数的和不超过380元.那么一个人最多有（    ）元. A．216 B．218 C．238 D．236 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．已知实数用作差比较法证明： (1)若则 (2)并指出等号成立条件. 18．（1）已知，，，求的值 （2）设（都是不为1的正数，），求：的充要条件 19．已知集合． (1)求证：、、； (2)已知，证明：“”的充分非必要条件是“”． 20．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）如图，已知平行四边形ABCD，对角AC与BD交于点O，以AD､AB边分别为边长作正方形ADEF和正方形ABHG，连接FG. (1)求证：： (2)若，请求出的面积. 21．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. (1)判断：集合是否是“完美集”并说明理由； (2)、是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：、至少有一个大于； (3)若为正整数，求：“完美集” 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年初升高衔接进阶检测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 测试范围：初中衔接、集合与逻辑、等式与不等式、幂、指数与对数 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．不等式的解集为 ． 【答案】，或 【分析】先移项、通分，再转化为整式不等式求解即可. 【详解】由得，，通分得， 此不等式等价于，解得或， 故不等式的解集为，或 故答案为：，或 2．已知全集集合则 . 【答案】 【分析】利用集合的交集运算即可求解. 【详解】由可得：. 故答案为： 3．计算 ． 【答案】 【分析】利用指数运算及对数运算计算得解. 【详解】. 故答案为： 4．设，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据充分条件转化为，即可根据集合间的关系求解. 【详解】设. 因为是的充分条件，所以， 所以. 故答案为：. 5．（22-23高一上·上海黄浦·开学考试）口袋中有个球，其中白球个，红球个，黑球个，现从中任取个球，使得白球不少于个但不多于个，红球不少于个，黑球不多于个，那么上述取法的种数是 . 【答案】 【分析】列举出符合题意的取法，即可得解. 【详解】设抽取的白球、红球、黑球的个数分别为、、，用表示任意一种取法， 则所有的取法如下：、、、、、、 、、、、、、、、 、，共种. 故答案为：. 6．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）计算： . 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值计算． 【详解】原式. 故答案为：． 7．（22-23高一上·上海杨浦·开学考试）一个三角形的边长分别为、、，另一个三角形的边长分别为、、，其中，若两个三角形的最小内角相等，的值等于 ． 【答案】 【分析】在中，，，在中，，，． 过点作于点H，过作于点．设，利用勾股定理求得，然后在两个直角三角形中由建立的关系求得． 【详解】如图，在中，，， 在中，，，． 过点作于点H，过作于点．设． 因为，所以， 所以，因为∠B＝∠E，所以，所以， 因为，，所以，所以，解得． 故答案为：． 8．（24-25高一上·上海·开学考试）若一元二次方程的两根分别为a，b，则 . 【答案】 【分析】应用韦达定理化简计算即可. 【详解】因为一元二次方程的两根分别为a，b， 所以， 所以 .. 故答案为：. 9．函数的定义域为，值域为，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，求出时的值，结合图象可得所求最大值． 【详解】函数 作出函数的图象如图所示， 令，解得或， 因为函数的定义域为，值域为， 由图象可得，的最大值为． 故答案为：． 10．已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意得到，再结合基本不等式求得最小值，进而可求解； 【详解】恒成立，即， ，当且仅当时取等号， 所以， 即， 解得：， 所以实数t的取值范围是， 故答案为： 11．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）如图.在中，，为三角形内部一点，其，.则的面积为 . 【答案】 【分析】过作与的垂线，得到矩形，设矩形的长与宽，以及等腰的直角边，根据，，利用勾股定理构造方程，整理化简，然后利用面积差，整体代入求解的面积. 【详解】过作于于， 则四边形是矩形，设， 所以， 因为，根据勾股定理可得， ，所以，所以， 所以. 故答案为：. 12．（24-25高一上·上海·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，…，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得，进而根据旋转的性质可得与轴平行，即可得，结合锐角三角函数即可求解，进而可可求解. 【详解】将代入可得，故, 由勾股定理可得，进而可得, 根据题意可知，三角形经过三次旋转后，()与轴平行， 由于，, 由于直线方程为，故 故，因此，故 故答案为： 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 二、单选题 13．下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若且则； D．若， 则 【答案】D 【分析】利用不等式的性质和作差法来进行不等式变形即可得到判断，对于不成立的不等式可通过举反例来判断. 【详解】对于A；由，可知，所以，故A正确； 对于B；由可得：，因为，所以，故B正确； 对于C；由可得：，又因为所以，故C正确； 对于D；取，则故D错误； 故选：D. 14．（22-23高一上·上海黄浦·开学考试）如图，在矩形中，，，点是边上一点，沿翻折，点恰好落在边上点处，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中利用勾股定理求出，则，设，则，在中利用勾股定理解出即可. 【详解】矩形中，,, 由翻折的性质可得,, 在中,所以， 设，则, 在中即解得. 故选：B. 15．（24-25高一上·上海·开学考试）某校交响乐团有90名成员，下表是合唱团成员的年龄分布统计表：对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（　　） 年龄（单位：岁） 13 14 15 16 17 频数（单位：名） 17 29 x 18 A．平均数、中位数 B．平均数、方差 C．众数、中位数 D．众数、方差 【答案】C 【分析】由频数分布表可知年龄15岁和年龄16岁的两组的频数和为26，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第45、46个数据的平均数，可得答案． 【详解】由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为， 则总人数为：， 故该组数据的众数为14岁， 中位数为（岁）． 即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数． 故选：C． 16．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）100人共有2000元人民币，其中任意10人的钱数的和不超过380元.那么一个人最多有（    ）元. A．216 B．218 C．238 D．236 【答案】B 【分析】由题可得存在9人的钱数的和不少于162元，结合条件进而即得. 【详解】因为任意10个人的钱数的和不超过380元， 所以任意90个人的钱数的和不少于1620元， 所以存在9人的钱数的和不少于162元， 所以一个人最多能有元. 故选：B. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．已知实数用作差比较法证明： (1)若则 (2)并指出等号成立条件. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析，当且仅当时取等. 【分析】利用立方差公式和作差法即可证明. 利用作差法直接化简即可证明. 【详解】（1）证明： 因为 所以， 所以， 所以当时，. （2）证明： 当且仅当时取等. 18．（1）已知，，，求的值 （2）设（都是不为1的正数，），求：的充要条件 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用对数运算性质、对数换底公式变换给定等式，联立求出即可计算得解. （2）令，利用指数、对数的互化关系，结合对数运算法则求出充要条件. 【详解】（1）由，得， 则，于是， 整理得，即，解得，即， 所以. （2）令，依题意，且，则， 于是，， 所以的充要条件是. 19．已知集合． (1)求证：、、； (2)已知，证明：“”的充分非必要条件是“”． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据集合中元素的特征一一判断即可； （2）由，即可得到充分性成立，再利用特殊值判断必要性不成立； 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 因为，所以； （2），， ，即所有奇数都属于集合，则由，必有， 又 所以，而，即由推不出， 所以的充分非必要条件是. 20．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）如图，已知平行四边形ABCD，对角AC与BD交于点O，以AD､AB边分别为边长作正方形ADEF和正方形ABHG，连接FG. (1)求证：： (2)若，请求出的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过条件证明即可； （2）根据条件求出，然后得到即可. 【详解】（1）因为四边形ADEF和四边形ABHG都是正方形， 所以， 所以， 因为四边形是平行四边形，所以 所以，所以， 在和中， 所以 所以，在平行四边形中，，所以； （2）过点作交于点， 因为， 所以， 所以 所以 因为，所以，即的面积为. 21．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. (1)判断：集合是否是“完美集”并说明理由； (2)、是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：、至少有一个大于； (3)若为正整数，求：“完美集” 【答案】(1)是，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据“完美集”的定义，进行判断即可； （2）根据“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设中，得到，分，，进行分类讨论. 【详解】（1）由，， 所以集合是“完美集”； （2）若、是两个不同的正数，且是“完美集”， 设， 根据根与系数关系可知，相当于方程的两根， 由于，解得或（舍）， 所以， 又，均为正数， 所以、至少有一个大于； （3）不妨设中， 由， 得， 当时，即有， 又为正整数，所以， 则，则无解，即不存在满足条件的“完美集”； 当时，即有， 故只能，， 则，可求得， 于是此时“完美集”只有一个为； 当时，由， 即有， 又， 又，所以， 即， 又， 即，与矛盾， 所以当时，不存在“完美集”； 综上所述，“完美集”为. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$