第1章 有理数（复习讲义）数学华东师大版2024七年级上册

第一章 有理数（复习讲义） 基础目标：能清晰阐述有理数的定义，熟练运用数轴，能够在数轴上精确表示出任意有理数，正确且熟练地进行有理数的混合运算。 进阶目标：在有理数的学习进程中，深切体会其中蕴含的丰富数学思想。分类讨论思想在有理数分类。 拓展目标：面对与有理数有关的复杂问题，如在实际应用场景中涉及多个数量关系和多步运算的问题，以及需要综合运用有理数的概念、运算等知识的拓展性数学问题，能够冷静分析题目条件，准确提取关键信息，将复杂问题分解为若干个简单的子问题，运用所学有理数知识逐步解决，从而有效提升解决复杂问题的能力。 一、概念与性质 一、正数和负数 （一）正数：大于0的数。 （二）0的意义 1、0既不是正数，也不是负数，0是正数和负数的分界。 2、“0”不仅表示没有，还可以表示某种量的基准。 （三）负数：在正数前面加上符号“﹣”（负）的数。 （四）用正数和负数表示具有相反意义的量 1、含义 ①具有相反意义 ②具有数量 2、通常我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，那么与它具有相反意义的量就可以用负数表示；例：若规定收入1000元记作+1000元，则支出300元记作-300元。若规定前进10米记作+10米，则后退5米记作-5米。 注：用正数、负数表示具有相反意义的量时，究竟哪一种意义的量为正是可以任意选择的，但习惯上把“前进、上升、收入、盈利”等规定为正，而把“后退、下降、支出、亏损”等规定为负。 二、有理数 （一）数轴 1、概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 2、数轴上的点与有理数的关系：任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点不都表示有理数。 3、一般的，设a是一个正数，表示数a的点在原点的右边，与原点的距离为a个单位长度；表示数﹣a的点在原点的左侧，与原点的距离为a个单位长度。 （二）相反数 1、概念：只有符号不同的两个数叫做相反数。 2、几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点距离相等的两个点所表示的数互为相反数。 3、性质 （1）任何一个数都有相反数，而且只有一个； （2）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数； （3）0的相反数是0，即若a=﹣a，则a=0 4、求一个数相反数的方法 （1）求一个数相反数的方法，只需改变这个数前面的符号。 （2）求一个字母或一个式子的相反数时，只需在这个字母或这个式子的前面加上“﹣”号。 5、多重符号的化简：相反数的定义是多重符号化简的依据，当“﹣”号的个数是偶数时，化简的结果为正数；当“﹣”号的个数是奇数时，化简的结果为负数。 （三）绝对值 1、概念：一般的，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，读作“a的绝对值”。 2、性质 （1）一个正数的绝对值是它本身，即如果a>0，那么=a； （2）一个负数的绝对值是它的相反数，即如果a<0，那么=﹣a； （3）0的绝对值是0，即若a=0，那么=0。 3、数轴上两点间距离公式：数轴上A、B两点代表的数分别为和，数轴上A、B两点的距离为。 （四）有理数的大小比较 1、利用数轴：在数轴上表示有理数，左边的数小于右边的数。 2、利用法则 （1）同为正数，绝对值大的数大。 （2）同为负数，绝对值大的数反而小。 （3）正数大于负数和0，负数小于0。 三、有理数的运算 （一）有理数的加减法 1、有理数的加法 （1）加法法则 ①同号两数相加，取相同加数的符号，并把绝对值相加。 ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的异号两数相加得0。 ③一个数同0相加，仍得这个数。 （2）加法运算律 ①加法交换律：在有理数加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。用字母表示： ②加法结合律：在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。用字母表示： 2、有理数减法 （1）减法法则 ①减去一个数等于加上这个数的相反数；用字母表示为a﹣b=a+（﹣b）； ②0减去任何数都等于它的相反数。 3、有理数的减法是有理数加法的逆运算，在做减法运算时，常根据有理数减法运算法则，将减法转化为加法。在转化过程中，要注意“两变一不变”，“两变”是指运算符号“减号 ”变成“加号”，减数变成它的相反数；“一不变”是指被减数不变。 4、有理数的加减混合运算：按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的；将有理数的加减混合运算转化为加法运算，转化为加法后的式子是几个正数和负数和的形式。 5、省略和式中的括号和加号：为简化书写形式，在和式里可以把加号和加数的括号省略不写；省略加号和括号的算式通常有两种读法 例：，按式子所表示的意义读,读作“负 9、负 12、负 3 的和”，按运算的意义读，读作“负 9 减 12 减 3 ”。 （二）有理数的乘除法 1、有理数的乘法 （1）乘法法则 ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 ②任何数与0相乘，都等于0。 ③1乘以任何数都等于任何数，﹣1乘以任何数都等于它的相反数。 （2）有理数乘法的推广 ①几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，“奇负偶正”； ②几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积也等于0。 （3）运算定律 ①乘法交换律：在有理数的乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。用字母表示：； ②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。； ③乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。 a×(b+c)=ab+ac； 2、有理数的除法 （1）倒数 ①概念：乘积是1的两个数互为倒数。 ②性质 a、正数的倒数是正数，负数的倒数是负数； b、0没有倒数。 c、倒数是它本身的数是±1。 ③求一个数倒数的方法 a、非0 整数 a的倒数为。 b、分数（）的倒数。 c、带分数化为假分数、小数化为分数后，再求倒数。 （2）除法法则 ①除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。用字母表示 ②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何不为0的数，都得0。 ③特殊推导 的商等于的商的倒数。 3、乘除混合运算：按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的；将有理数的乘除混合运算转化为乘法运算。 （三）有理数的乘方 1、概念 （1）乘方：求几个相同因数积的运算；一般地，n 个相同的因数a相乘，记作，读作“ a 的 n 次方(或 a 的 n 次幂)”。 （2）乘方是一种运算，幂是乘方的结果；即将看做“a的n次方”的结果时，也可读作a 的 n 次幂。 （3）书写幂时，如果底数是负数或分数，应将底数用括号括起来，例如，。 2、法则 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 3、科学计数法：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a大于等于1且小于10，n是正整数），使用的是科学计数法。 （四）有理数的混合运算顺序 1、先乘方，再乘除，最后加减。 2、同级运算，从左到右进行。 3、如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号一次进行。 （五）近似数 1、准确数：与实际完全相符的数，称为准确数。 2、近似数概念：把接近准确数但不等于准确数的数称为近似数。 3、近似数的精确度：近似数的精确度是指近似数与准确数的接近程度。 4、确定近似数的精确度的方法：看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上就说明该近似数精确到哪一个数位。 5、取近似数的方法 （1）四舍五入法； （2）去尾法； （3）进一法 二、易错点 （一）概念理解易错 有理数分类混淆：误将无限不循环小数（如）当作有理数；对小数分类不清，不清楚有限小数和无限循环小数属于分数，是有理数，而无限不循环小数不是有理数。 绝对值理解错误：忽略绝对值的非负性，在计算中出现（）的错误；在去绝对值符号时，未考虑绝对值内数的正负性，直接去掉绝对值符号。 相反数概念误区：认为只要符号不同的两个数就是相反数，忽略互为相反数的两数绝对值相等这一条件，如与不是相反数 。 （二）运算易错 符号错误：在有理数加减运算中，忽略符号规则，如异号两数相加时，错误判断结果的符号；在乘除运算中，未正确确定积或商的符号，尤其在多个数相乘除时，容易数错负因数个数。 运算顺序混乱：在有理数混合运算中，不按 “先乘方，再乘除，后加减；同级从左至右；有括号先算括号内” 的顺序计算，例如先进行加减再算乘除。 运算律错用：在使用运算律时，出现形式上的错误，如乘法分配律使用时漏乘括号内的某一项；错误地将加法结合律应用到乘法运算中 。 乘方意义误解：混淆与的意义，前者表示的相反数，后者表示个相乘，如，，容易将二者结果算错。 题型一 正数和负数 【例1】深秋毕节的韭菜坪昼夜温差较大，若某日中午温度零上记作，那么晚上半夜温度零下记作（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列数是负数的是（   ） A．2025 B． C．0 D． 【变式1-2】下列各数中负数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-3】为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，他将体重增加记作，那么体重减少应记作 ． 题型二 有理数的分类 【例1】把下列各数填在相应的集合中：15，，，，，，，171，0，，， 正数集合 负分数集合 非负整数集合 有理数集合 【变式1-1】下列四个数中，属于正整数的是（    ） A． B．0 C．3 D． 【变式1-2】有理数1.7，，0，，，，负整数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】将下列各数填入合适的集合内． ． 正数集合： 正有理数集合： 整数集合： 分数集合： 题型三 在数轴上比较大小 【例1】如图，将点P向右平移3个单位，对应的数是（   ） A． B． C．0 D．1 【变式1-1】如图，已知点在数轴上对应的数分别是，其中最大的数是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】点A，B在数轴上的位置如图所示，则A，B两点之间的距离为 ． 【变式1-3】有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且，下列推断正确的是（    ） A．原点一定在点A左侧 B．原点一定在点A右侧 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 题型四 相反数 【例1】的相反数是（　　） A．3 B． C．-3 D． 【变式1-1】化简：（   ） A． B．25 C． D．52 【变式1-2】下列两个数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．4和 【变式1-3】下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．3和 B．3和 C．和 D．3和 题型五 绝对值 【例1】的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】的值是（   ） A．2 B． C． D． 【变式1-2】下列关于表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】检测4个篮球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．从轻重的角度看，哪个球更接近标准（   ） A． B． C． D． 题型六 有理数的大小比较 【例1】下列各数中比小的数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】把有理数、、0、用“”连接正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】在，0，，3这四个数中，最小的数是（   ） A． B．2 C． D．3 【变式1-3】某一天，北京、沈阳、长沙、广州四个城市的最低气温分别是，其中气温最低的城市是（   ） A．北京 B．沈阳 C．长沙 D．广州 题型七 有理数的混合运算 【例1】计算： (1)． (2)． 【变式1-1】计算 (1) (2) (3) 【变式1-2】计算： (1)； (2)； (3)； 【变式1-3】计算∶ (1) (2) 题型八 科学记数法 【例1】据统计，2025年“五·一”假期广州接待游客近11400000人次，再创新高．数11400000用科学记数法表示为 ． 【变式1-1】减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把写成原数为 ． 【变式1-2】一个数用科学记数法表示为，则这个数的整数数位有（    ） A．7位 B．6位 C．3位 D．1位 【变式1-3】用科学记数法表示的数还原后0的个数为m，则m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型九 近似数 【例1】世界上最大的海洋是太平洋，面积是17996800平方千米，改写成以“万”为单位的数为 万平方千米，四舍五入到“万”位是 万平方千米． 【变式1-1】下列说法错误的是（　　） A．0.759精确到个位为1 B．18.04精确到0.1为18.0 C．5.7万精确到十分位 D．356700精确到万位为 【变式1-2】有数据显示，长沙海吉星蔬菜批发市场日均蔬菜交易量约为，关于这个近似数，下列说法正确的是（    ） A．它精确到 B．它精确到万位 C．它精确到万分位 D．它精确到千位 【变式1-3】用四舍五入把639548精确到千位，其中不正确的是（   ） A．640000 B． C．64.0万 D．640千 基础巩固通关测 一、单选题 1．在，，，0，，中，非负数的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．的倒数是（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D． 4．计算（   ） A． B． C．-3 D．3 5．若，则数轴上到有理数对应的点与到对应的点的距离相等的点是（　　） A．3 B． C．3或6 D．3或 6．下列四个数中，是负数的是（   ） A． B． C． D． 7．对于两个有理数，如果，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定的正负 8．2025的相反数的倒数是（　　） A．2025 B． C．-2025 D． 二、填空题 9．将用科学记数法表示为 ． 10．在我国古代数学著作《孙子算经》中，有这样一道题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？其最小正整数解记为a．又知，则a b（填“”“”或“”）． 11．在数轴上，点A对应的数为，点B对应的数为3，若点M是的中点，则点M所对应的数为 ． 12．设a，b都表示数，规定，则 ． 13．今年，李林和他爸爸的年龄和是50岁，5年后，爸爸的年龄比李林年龄的3倍小4岁，爸爸比李林大 岁． 三、解答题 14．科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送8位乘客的行车里程（单位：）如下：． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (3)若出租车起步价为5元，起步里程为（包括），超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？ 15．观察下列各式： … … … … 探索以上式子的规律： (1)写出第6个等式； (2)试写出第n个等式（用含n的式子表示），并说明第n个等式成立； (3)简便运算： 能力提升进阶练 一、单选题 1．（2025·甘肃平凉·中考真题）根据国家统计局的数据，2024年中国生产芯片约451420000000颗，彰显了中国芯片产业的强大实力数据451420000000用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）天天在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，输入一个有理数x，则可相应的输出一个结果y．若输入x的值为，则输出的结果y为（   ） A．7 B．6 C．8 D．12 4．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）对于任意数m，下列各式一定是正数的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·新疆·模拟预测）根据市场研究机构最新预测，预计到2027年，芯片市场规模将是2023年市场规模的2倍以上，达到1194亿美元．数据1194亿用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·云南临沧·期中）计算的结果是（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 二、填空题 8．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）已知，则 ． 9．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）下列说法：①若，则；②若，且，则；③若，则；④若，，，则．其中正确的有 ．（填序号） 10．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）若一对整数的和为一个两位数，且该两位数的个位数字与十位数字相同，这对整数的积是一个三位数，且该三位数的个位、十位和百位数字都相同，则这对整数可以是 （写出一对即可）． 11．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么 ．请你结合数轴与绝对值的知识求得的最小值为 ． 三、解答题 12．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）一只小虫从某点P出发，在一条直线上来回爬行，假定把向右爬行记为正数，向左爬行记为负数，则爬行的记录（单位：厘米）依次为，，，，，，． (1)通过计算说明小虫最后是否回到起点P处； (2)如果小虫爬行的速度为0.5厘米/秒，那么小虫共爬行了多长时间? 13．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）（1）计算：； （2）计算：． 14．（24-25七年级下·河南信阳·期中）数轴上有两个点、，分别代表的整数是和，、满足． (1) ______， ______，点与点之间的距离是______． (2)点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向左运动，点、同时运动，设运动时间为秒，回答下列问题： ①秒时，点对应的数为______；用含的式子表示 ②当时，求点与点之间的距离用含的式子表示 15．（24-25六年级上·上海·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单． (2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．求外卖小哥这一周工资收入多少元． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 有理数（复习讲义） 基础目标：能清晰阐述有理数的定义，熟练运用数轴，能够在数轴上精确表示出任意有理数，正确且熟练地进行有理数的混合运算。 进阶目标：在有理数的学习进程中，深切体会其中蕴含的丰富数学思想。分类讨论思想在有理数分类。 拓展目标：面对与有理数有关的复杂问题，如在实际应用场景中涉及多个数量关系和多步运算的问题，以及需要综合运用有理数的概念、运算等知识的拓展性数学问题，能够冷静分析题目条件，准确提取关键信息，将复杂问题分解为若干个简单的子问题，运用所学有理数知识逐步解决，从而有效提升解决复杂问题的能力。 一、概念与性质 一、正数和负数 （一）正数：大于0的数。 （二）0的意义 1、0既不是正数，也不是负数，0是正数和负数的分界。 2、“0”不仅表示没有，还可以表示某种量的基准。 （三）负数：在正数前面加上符号“﹣”（负）的数。 （四）用正数和负数表示具有相反意义的量 1、含义 ①具有相反意义 ②具有数量 2、通常我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，那么与它具有相反意义的量就可以用负数表示；例：若规定收入1000元记作+1000元，则支出300元记作-300元。若规定前进10米记作+10米，则后退5米记作-5米。 注：用正数、负数表示具有相反意义的量时，究竟哪一种意义的量为正是可以任意选择的，但习惯上把“前进、上升、收入、盈利”等规定为正，而把“后退、下降、支出、亏损”等规定为负。 二、有理数 （一）数轴 1、概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 2、数轴上的点与有理数的关系：任意一个有理数都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点不都表示有理数。 3、一般的，设a是一个正数，表示数a的点在原点的右边，与原点的距离为a个单位长度；表示数﹣a的点在原点的左侧，与原点的距离为a个单位长度。 （二）相反数 1、概念：只有符号不同的两个数叫做相反数。 2、几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点距离相等的两个点所表示的数互为相反数。 3、性质 （1）任何一个数都有相反数，而且只有一个； （2）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数； （3）0的相反数是0，即若a=﹣a，则a=0 4、求一个数相反数的方法 （1）求一个数相反数的方法，只需改变这个数前面的符号。 （2）求一个字母或一个式子的相反数时，只需在这个字母或这个式子的前面加上“﹣”号。 5、多重符号的化简：相反数的定义是多重符号化简的依据，当“﹣”号的个数是偶数时，化简的结果为正数；当“﹣”号的个数是奇数时，化简的结果为负数。 （三）绝对值 1、概念：一般的，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作，读作“a的绝对值”。 2、性质 （1）一个正数的绝对值是它本身，即如果a>0，那么=a； （2）一个负数的绝对值是它的相反数，即如果a<0，那么=﹣a； （3）0的绝对值是0，即若a=0，那么=0。 3、数轴上两点间距离公式：数轴上A、B两点代表的数分别为和，数轴上A、B两点的距离为。 （四）有理数的大小比较 1、利用数轴：在数轴上表示有理数，左边的数小于右边的数。 2、利用法则 （1）同为正数，绝对值大的数大。 （2）同为负数，绝对值大的数反而小。 （3）正数大于负数和0，负数小于0。 三、有理数的运算 （一）有理数的加减法 1、有理数的加法 （1）加法法则 ①同号两数相加，取相同加数的符号，并把绝对值相加。 ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的异号两数相加得0。 ③一个数同0相加，仍得这个数。 （2）加法运算律 ①加法交换律：在有理数加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。用字母表示： ②加法结合律：在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。用字母表示： 2、有理数减法 （1）减法法则 ①减去一个数等于加上这个数的相反数；用字母表示为a﹣b=a+（﹣b）； ②0减去任何数都等于它的相反数。 3、有理数的减法是有理数加法的逆运算，在做减法运算时，常根据有理数减法运算法则，将减法转化为加法。在转化过程中，要注意“两变一不变”，“两变”是指运算符号“减号 ”变成“加号”，减数变成它的相反数；“一不变”是指被减数不变。 4、有理数的加减混合运算：按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的；将有理数的加减混合运算转化为加法运算，转化为加法后的式子是几个正数和负数和的形式。 5、省略和式中的括号和加号：为简化书写形式，在和式里可以把加号和加数的括号省略不写；省略加号和括号的算式通常有两种读法 例：，按式子所表示的意义读,读作“负 9、负 12、负 3 的和”，按运算的意义读，读作“负 9 减 12 减 3 ”。 （二）有理数的乘除法 1、有理数的乘法 （1）乘法法则 ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 ②任何数与0相乘，都等于0。 ③1乘以任何数都等于任何数，﹣1乘以任何数都等于它的相反数。 （2）有理数乘法的推广 ①几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，“奇负偶正”； ②几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积也等于0。 （3）运算定律 ①乘法交换律：在有理数的乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。用字母表示：； ②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。； ③乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。 a×(b+c)=ab+ac； 2、有理数的除法 （1）倒数 ①概念：乘积是1的两个数互为倒数。 ②性质 a、正数的倒数是正数，负数的倒数是负数； b、0没有倒数。 c、倒数是它本身的数是±1。 ③求一个数倒数的方法 a、非0 整数 a的倒数为。 b、分数（）的倒数。 c、带分数化为假分数、小数化为分数后，再求倒数。 （2）除法法则 ①除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。用字母表示 ②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何不为0的数，都得0。 ③特殊推导 的商等于的商的倒数。 3、乘除混合运算：按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的；将有理数的乘除混合运算转化为乘法运算。 （三）有理数的乘方 1、概念 （1）乘方：求几个相同因数积的运算；一般地，n 个相同的因数a相乘，记作，读作“ a 的 n 次方(或 a 的 n 次幂)”。 （2）乘方是一种运算，幂是乘方的结果；即将看做“a的n次方”的结果时，也可读作a 的 n 次幂。 （3）书写幂时，如果底数是负数或分数，应将底数用括号括起来，例如，。 2、法则 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 3、科学计数法：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a大于等于1且小于10，n是正整数），使用的是科学计数法。 （四）有理数的混合运算顺序 1、先乘方，再乘除，最后加减。 2、同级运算，从左到右进行。 3、如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号一次进行。 （五）近似数 1、准确数：与实际完全相符的数，称为准确数。 2、近似数概念：把接近准确数但不等于准确数的数称为近似数。 3、近似数的精确度：近似数的精确度是指近似数与准确数的接近程度。 4、确定近似数的精确度的方法：看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上就说明该近似数精确到哪一个数位。 5、取近似数的方法 （1）四舍五入法； （2）去尾法； （3）进一法 二、易错点 （一）概念理解易错 有理数分类混淆：误将无限不循环小数（如）当作有理数；对小数分类不清，不清楚有限小数和无限循环小数属于分数，是有理数，而无限不循环小数不是有理数。 绝对值理解错误：忽略绝对值的非负性，在计算中出现（）的错误；在去绝对值符号时，未考虑绝对值内数的正负性，直接去掉绝对值符号。 相反数概念误区：认为只要符号不同的两个数就是相反数，忽略互为相反数的两数绝对值相等这一条件，如与不是相反数 。 （二）运算易错 符号错误：在有理数加减运算中，忽略符号规则，如异号两数相加时，错误判断结果的符号；在乘除运算中，未正确确定积或商的符号，尤其在多个数相乘除时，容易数错负因数个数。 运算顺序混乱：在有理数混合运算中，不按 “先乘方，再乘除，后加减；同级从左至右；有括号先算括号内” 的顺序计算，例如先进行加减再算乘除。 运算律错用：在使用运算律时，出现形式上的错误，如乘法分配律使用时漏乘括号内的某一项；错误地将加法结合律应用到乘法运算中 。 乘方意义误解：混淆与的意义，前者表示的相反数，后者表示个相乘，如，，容易将二者结果算错。 题型一 正数和负数 【例1】深秋毕节的韭菜坪昼夜温差较大，若某日中午温度零上记作，那么晚上半夜温度零下记作（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正负数的意义，根据正负数表示一对意义相反的量即可求解，理解正负数的意义是解题的关键． 【详解】解：∵中午温度零上记作， ∴晚上半夜温度零下记作， 故选：D． 【变式1-1】下列数是负数的是（   ） A．2025 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查负数的定义，掌握知识点是解题的根据． 根据负数的定义，小于0的数为负数．直接判断各选项的符号即可． 【详解】解：选项A：2025是正数，显然大于0，不符合条件． 选项B：带有负号，数值部分为2025，因此是负数，符合题意． 选项C：0既不是正数也不是负数，不符合条件． 选项D：的分子和分母均为正数，结果为正数，不符合条件． 故选B． 【变式1-2】下列各数中负数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查负数的定义，即小于0的数，根据负数的定义进行逐一判断，即可作答． 【详解】解：， 则负数有4个， 故选：C 【变式1-3】为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，他将体重增加记作，那么体重减少应记作 ． 【答案】 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，增加为正，则减少为负，进行作答即可． 【详解】解：体重增加记作，那么体重减少应记作； 故答案为：． 题型二 有理数的分类 【例1】把下列各数填在相应的集合中：15，，，，，，，171，0，，， 正数集合 负分数集合 非负整数集合 有理数集合 【答案】见解析 【分析】此题考查有理数的分类，注意解题技巧，正整数、负整数在对应的正数、负数里面找，注意不是有理数．根据正数、负分数、有理数的意义直接把数据分类即可． 【详解】解：正数集合…； 负分数集合…； 非负整数集合…； 有理数集合… 【变式1-1】下列四个数中，属于正整数的是（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正整数的概念，熟知大于0的整数是正整数，小于0的整数是负整数是解题的关键． 【详解】解：这四个数中，属于正整数的是3， 故选：C． 【变式1-2】有理数1.7，，0，，，，负整数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了负整数的定义，即正整数前加负号；根据负整数的定义，需满足两个条件：①是负数；②是整数；逐一判断各数是否符合条件即可． 【详解】解：1.7是正数且含小数部分，不符合负整数条件； 是负数，且无小数或分数部分，是负整数； 0既不是正数也不是负数，不符合； 是带分数形式，含分数部分，不是整数； 是负小数，但非整数； 是分数，化简为，含小数部分，非整数； 综上，只有是负整数，共1个； 故选：A． 【变式1-3】将下列各数填入合适的集合内． ． 正数集合： 正有理数集合： 整数集合： 分数集合： 【答案】；；； 【分析】本题考查了实数的分类，解决本题的关键是熟记有理数的分类． 根据正数、正有理数、整数、分数的定义即可解答． 【详解】解：正数集合： 正有理数集合： 整数集合： 分数集合： 题型三 在数轴上比较大小 【例1】如图，将点P向右平移3个单位，对应的数是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上点的平移，掌握“左减右加”的原则是解答本题的关键．根据“左减右加”的原则即可求解． 【详解】解：将点向右平移个单位，对应的数是， 故选：D． 【变式1-1】如图，已知点在数轴上对应的数分别是，其中最大的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上点大小问题，根据数轴上的数右边的数比左边的数大的性质，可得出答案. 【详解】解：∵数轴上的数右边的数比左边的数大， ∴数轴上的点大小关系为： ∴最大的是d. 【变式1-2】点A，B在数轴上的位置如图所示，则A，B两点之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，解题关键是掌握两点间的距离公式，解为右边的数减去左边的数，或者是两个数的差的绝对值．直接利用右边的点表示的数减去左边的点表示的数即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-3】有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且，下列推断正确的是（    ） A．原点一定在点A左侧 B．原点一定在点A右侧 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，根据越在数轴的右边的数越大，运用，得，则原点一定在中点左侧，即可作答． 【详解】解：∵，且从数轴得， ∴，， ∴原点一定在中点左侧， 故选：C． 题型四 相反数 【例1】的相反数是（　　） A．3 B． C．-3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【详解】的相反数是3． 故选：A． 【变式1-1】化简：（   ） A． B．25 C． D．52 【答案】B 【分析】本题考查了化简多重符号，根据偶数个负号结果为正即可得解，熟练掌握化简多重符号的法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 【变式1-2】下列两个数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．4和 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义逐一判断即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数， 0的相反数是 0，负数的相反数是正数． 【详解】解：A、，故和不是互为相反数，不符合题意； B、，，故和是互为相反数，符合题意； C、和，不是互为相反数，不符合题意； D、4和，不是互为相反数，不符合题意； 故选：B． 【变式1-3】下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．3和 B．3和 C．和 D．3和 【答案】B 【分析】此题考查相反数的定义：只有符号不同的两个数是互为相反数，根据定义判断即可． 【详解】解：A.3和不是相反数，故该项不符合题意； B.3和是相反数，故该项符合题意； C.和不是相反数，故该项不符合题意； D.3和，不是相反数，故该项不符合题意； 故选：B． 题型五 绝对值 【例1】的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据，即可作答． 【详解】解：， 故选：A 【变式1-1】的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数可得：，所以． 【详解】解：． 故选：B． 【变式1-2】下列关于表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的几何意义即可得解，熟练掌握绝对值的意义是解此题的关键． 【详解】解：根据绝对值的意义可得， 故选：B． 【变式1-3】检测4个篮球，其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数．从轻重的角度看，哪个球更接近标准（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正负数的意义，理解绝对值的意义和计算方法是正确解答的前提．根据绝对值的意义，求出各个数的绝对值，进而比较得出答案． 【详解】解：，，，， 的绝对值最小． 所以第四个球是最接近标准的球． 故选：D． 题型六 有理数的大小比较 【例1】下列各数中比小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小进行比较即可判断求解，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵正数大于负数， ∴比小的数在，，中， ∵两个负数，绝对值大的数反而更小， 又∵， ∴， ∴比小的数是， 故选：． 【变式1-1】把有理数、、0、用“”连接正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的比较大小，关键是掌握有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 根据有理数大小比较方法解答即可． 【详解】解：∵，， ∵ ∴． 故选：B． 【变式1-2】在，0，，3这四个数中，最小的数是（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握“两个负数的大小比较”是解题的关键．根据有理数的大小比较的方法比较四个数的大小，从而可得答案． 【详解】解∶∵，，， ∴， 又， ∴， ∴最小的数是， 故选∶A． 【变式1-3】某一天，北京、沈阳、长沙、广州四个城市的最低气温分别是，其中气温最低的城市是（   ） A．北京 B．沈阳 C．长沙 D．广州 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，熟练掌握负数小于、正数，以及两个负数比较大小的规则是解题的关键．根据有理数大小比较的规则，比较四个城市的最低气温，找出最小的温度对应的城市． 【详解】解：有理数大小比较中，负数小于和正数，两个负数比较绝对值大的反而小． ，，且， ． 又， 即沈阳的最低气温是四个城市中最低的． 故选： ． 题型七 有理数的混合运算 【例1】计算： (1)． (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是： （1）先把除法转化为乘法，然后根据乘法分配律计算即可； （2）先计算绝对值，括号内的减法，乘方，然后计算除法和乘法，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1-1】计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则． （1）先通分计算括号里的分数加减法，在计算分数除法，化简即可； （2）先计算各部分，再进行加减运算即可； （3）先分组，提取公因数，进行合并，计算化简即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 【变式1-2】计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据有理数加减运算法则直接求解即可得到答案； （2）根据有理数乘除混合运算法则，即可得到答案； （3）先计算乘方，再计算乘除，然后计算有理数加减运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【变式1-3】计算∶ (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算即可求出值； （2）先计算乘方运算及乘法运算，然后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2） 题型八 科学记数法 【例1】据统计，2025年“五·一”假期广州接待游客近11400000人次，再创新高．数11400000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：数11400000用科学记数法表示为， 故答案为：． 【变式1-1】减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把写成原数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：把写成原数为， 故答案为：． 【变式1-2】一个数用科学记数法表示为，则这个数的整数数位有（    ） A．7位 B．6位 C．3位 D．1位 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，用科学记数法表示的数还原成原数时，时，是几，小数点就向后移几位． 【详解】解：， 用科学记数法表示为，则这个数有个整数位． 故选：B． 【变式1-3】用科学记数法表示的数还原后0的个数为m，则m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：由可知：还原后0的个数为6个； 故选C． 题型九 近似数 【例1】世界上最大的海洋是太平洋，面积是17996800平方千米，改写成以“万”为单位的数为 万平方千米，四舍五入到“万”位是 万平方千米． 【答案】 【分析】本题主要考查整数的改写和求近似数，改写和求近似数时要注意带计数单位．改写成用“万”单位的数，把万位后面点上小数点，然后加上单位“万“字；用四舍五入法省略“万”后面的尾数，需要看千位上的数字，后面的数都省略去，然后加上单位“万”． 【详解】解：万，万． 故答案为：，． 【变式1-1】下列说法错误的是（　　） A．0.759精确到个位为1 B．18.04精确到0.1为18.0 C．5.7万精确到十分位 D．356700精确到万位为 【答案】C 【分析】本题考查近似数的精确度判断．根据各选项的数值单位及精确位数逐一分析． 【详解】解：选项A：0.759精确到个位时，需看十分位的数字7，，向个位进1，结果为1，说法正确，本选项不符合题意； 选项B：18.04精确到0.1（十分位）时，需看百分位的数字4，，舍去，结果为18.0，说法正确，本选项不符合题意； 选项C：5.7万表示57000，以万为单位时，小数点后第一位（十分位）对应实际数值的千位．因此，“精确到十分位”指精确到千位，但选项描述为“精确到十分位”，容易误解为原数57000的小数点后第一位（实际不存在），表述不严谨，本选项符合题意； 选项D：356700精确到万位时，千位数字为，向万位进1，得36万，科学记数法为，说法正确，本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】有数据显示，长沙海吉星蔬菜批发市场日均蔬菜交易量约为，关于这个近似数，下列说法正确的是（    ） A．它精确到 B．它精确到万位 C．它精确到万分位 D．它精确到千位 【答案】B 【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入．还原成原数看3所在的数位即可． 【详解】解：∵， ∴该数精确到万位． 故选C． 【变式1-3】用四舍五入把639548精确到千位，其中不正确的是（   ） A．640000 B． C．64.0万 D．640千 【答案】A 【分析】本题考查了近似数和有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．把百位上的数字5进行四舍五入即可． 【详解】解：639548精确到千位是或64.0万或640千． 640000不能体现精确到千位， 故选：A． 基础巩固通关测 一、单选题 1．在，，，0，，中，非负数的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查非负数的定义，掌握非负数包含正数和0是解题关键．逐一计算各数的值，判断是否为非负数，再统计个数即可． 【详解】解：，8是非负数； ，1是非负数； ，是负数； 0是非负数； ，是负数； 是负数． 综上可知非负数有3个． 故选B． 2．的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键； 乘积是1的两数互为倒数，据此解答即可； 【详解】解：的倒数是， 故选：D． 3．计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的除法运算，利用除法的运算法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 4．计算（   ） A． B． C．-3 D．3 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加法运算．根据异号两数相加的法则，绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，进行计算即可． 【详解】解：； 故选 ：D． 5．若，则数轴上到有理数对应的点与到对应的点的距离相等的点是（　　） A．3 B． C．3或6 D．3或 【答案】D 【分析】本题考查了化简绝对值，在数轴上表示有理数，由绝对值的意义确定m的值，再根据数轴上两点间距离相等的条件建立方程进行求解，即可作答． 【详解】解：∵， ∴得或， 根据题意，这个点表示的数为x， x到m的距离等于x到的距离， 即， 当时，则， 即或， ∴无解或， 当时，则， 即或， ∴无解或， 故选：D 6．下列四个数中，是负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数．先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【详解】A．，结果为正数，不是负数； B．，结果为正数，不是负数； C．，结果为负数，符合题意； D．，结果为正数，不是负数； 故选：C． 7．对于两个有理数，如果，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定的正负 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，根据题意，由，可判断a，b异号，然后根据有理数的乘法运算法则，有理数的加法运算法则判断即可． 【详解】解：∵， ∴a，b异号， 当正数的绝对值较大时，如，则，此时选项A正确； 当a，b的绝对值相等时，如，则，此时选项B正确； 当负数的绝对值较大时，如，则，此时选项C正确； 由于题目未限定a，b的具体值，上述三种均可能出现，因此无法确定的正负，故选项D正确． 故选：D． 8．2025的相反数的倒数是（　　） A．2025 B． C．-2025 D． 【答案】B 【分析】本题考查相反数和倒数的概念，掌握相反数的和倒数的定义成为解题的关键． 先确定2025的相反数，再求其倒数即可． 【详解】解：2025的相反数是． 的倒数为． ∴2025的相反数的倒数是，对应选项B． 故选B． 二、填空题 9．将用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 10．在我国古代数学著作《孙子算经》中，有这样一道题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？其最小正整数解记为a．又知，则a b（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，理解题意，分别由小到大进行分析，发现符合题意的最小正整数解为，即，再结合，即可作答． 【详解】解：∵三三数之剩二， ∴ ， ∵五五数之剩三， ∴ ∵七七数之剩二． ∴ ∵最小正整数解记为a． ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．在数轴上，点A对应的数为，点B对应的数为3，若点M是的中点，则点M所对应的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，根据线段的中点M所表示的数为A、B对应数值和的一半解答即可． 【详解】解：点M所对应的数为， 故答案为：． 12．设a，b都表示数，规定，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了新定义运算，有理数混合运算，根据新定义进行两步有理数混合运算，即可求解． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 13．今年，李林和他爸爸的年龄和是50岁，5年后，爸爸的年龄比李林年龄的3倍小4岁，爸爸比李林大 岁． 【答案】28 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，理解题意是解题的关键；由题意列出，，即可求解． 【详解】解：由题意得 （岁）， （岁）， （岁）， （岁）． 故答案为：． 三、解答题 14．科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送8位乘客的行车里程（单位：）如下：． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (3)若出租车起步价为5元，起步里程为（包括），超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【答案】(1)小李在九洲体育馆门口西侧处； (2)共消耗天然气立方米； (3)小李这天上午共得车费58元． 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数加减法以及乘法应用，绝对值的意义，掌握相关运算法则是解题关键． （1）将小李上午所接送8位乘客的行车里程相加即可求解； （2）先求出小李上午的总行车里程，再乘以每千米消耗天然气量即可求解； （3）8位乘客均有起步价，再求出超出部分的加价即可． 【详解】（1）解：， 即小李在九洲体育馆门口西侧处； （2）解：小李上午的总行车里程为， 则共消耗天然气立方米； （3）解：（元）， 答：小李这天上午共得车费58元． 15．观察下列各式： … … … … 探索以上式子的规律： (1)写出第6个等式； (2)试写出第n个等式（用含n的式子表示），并说明第n个等式成立； (3)简便运算： 【答案】(1) (2)，说明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了数字变化的规律、有理数的混合运算及列代数式，能根据所给等式发现是解题的关键． （1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． （2）结合（1）中发现的规律，并进行证明即可． （3）结合上面发现的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知，因为， ， ， …， 所以第n个等式可表示为： 当时， 第6个等式为： （2）解：由（1）知，第n个等式可表示为： 理由如下： 左边右边， 所以此等式成立． （3）解：原式 能力提升进阶练 一、单选题 1．（2025·甘肃平凉·中考真题）根据国家统计局的数据，2024年中国生产芯片约451420000000颗，彰显了中国芯片产业的强大实力数据451420000000用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，将大数用科学记数法表示时，需将其转换为的形式，其中，为整数．通过移动原数的小数点确定和的值．据此进行表示即可． 【详解】解：451420000000， 故选：C． 2．（2025·山东威海·中考真题）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解例题的计算方法，按照例题代入计算即可． 将二进制数转换为三进制数，需先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为三进制数． 【详解】∵二进制数的各位权值从右到左依次为， 对应数值为： ∴二进制数对应的十进制数为 11． 将十进制数 11 转换为三进制数，采用“除3取余法”： ，余数为2； ，余数为0； ，余数为1． 将余数倒序排列，得到三进制数为． 故选：A． 3．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）天天在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，输入一个有理数x，则可相应的输出一个结果y．若输入x的值为，则输出的结果y为（   ） A．7 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了程序流程图与有理数混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． 根据所给数值转换机列式计算即可， 【详解】解：依题意得： 第一次：把代入运算程序得∶ ， 第二次：把代入运算程序得∶ ， ∴输出的结果y为7， 故选：A． 4．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）对于任意数m，下列各式一定是正数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式的非负性及正数的判断．逐一分析各选项是否恒为正数即可． 【详解】选项A：，平方数非负，当时，值为0，非正数，排除． 选项B：，当时（如），结果为负数，排除． 选项C：，绝对值非负，当时，值为0，非正数，排除． 选项D：，因，故，无论取何值，结果恒为正数． 故选：D． 5．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，有理数的乘法，加减法计算，绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据数轴得到，即可判断每个选项． 【详解】解：由数轴可得：， ∴，，，， 故选：D． 6．（2025·新疆·模拟预测）根据市场研究机构最新预测，预计到2027年，芯片市场规模将是2023年市场规模的2倍以上，达到1194亿美元．数据1194亿用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：亿， 故选：C． 7．（24-25七年级上·云南临沧·期中）计算的结果是（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的混合运算的应用，掌握整体思想成为解题的关键． ，，，，则，；将原式可化为；设，则．，易得，进而完成解答． 【详解】设，，，，则，， ∴ ， ∵设，则．， ∴． ∴． 故选A． 二、填空题 8．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，解题的关键是掌握绝对值和平方数的非负性，即绝对值一定大于等于0，一个数的平方也一定大于等于0． 因为两个非负数的和为0，则这两个非负数分别为0，据此列出方程求解的值． 【详解】解：已知 根据非负数的性质：绝对值，一个数的平方， 当两个非负数的和为0时，只能是且， 对于，解方程可得：，移项得， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）下列说法：①若，则；②若，且，则；③若，则；④若，，，则．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了绝对值、有理数的计算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 针对每一选项逐一判断． 【详解】解：对于①：当时，无意义，故①错误，不符合题意； 对于②：∵， ∴同号， ∵， ∴，， ∴， ∴，故②正确，符合题意； 对于③：若， 则有四种情况， 1：如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 2如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 3如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 4如数轴所示， 此时， ∴，， ∴； 综上，若，则； 故③正确，符合题意； 对于④： ∵， ∴a、b、c中至少有一个负数， ∵， ∴同号， ∵， ∴a和b均为负数， ∴ 故④正确，符合题意； 综上，正确的有②③④； 故答案为：②③④． 10．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）若一对整数的和为一个两位数，且该两位数的个位数字与十位数字相同，这对整数的积是一个三位数，且该三位数的个位、十位和百位数字都相同，则这对整数可以是 （写出一对即可）． 【答案】3与74 【分析】本题考查了有理数的乘法，加法运算，正确理解题意是解题的关键． 先确定三位数的因数中一定有111，再根据可知这两个非零自然数中一定有一个数是3的倍数，而另一个数则是37的倍数，然后讨论分析即可． 【详解】解：一个百位数字、十位数字与个位数字相同的三位数一定是111的倍数， 所以它的因数中一定有111， 而， 由此可知这两个非零自然数中一定有一个数是3的倍数，而另一个数则是37的倍数， 因为两个非零自然数的和是一个十位数字与个位数字相同的两位数， 所以说明这两个非零自然数可能是一位数，也可能是两位数， 而在两位数中，37 的倍数只有37 和74，大于 37且十位数字与个位数字相同的两位数有44、55、66、77、88、99， 所以：经尝试发现 (18是3的倍数），， 因此，这两个自然数分别是37与18或3与74， 故答案为：3与74． 11．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果，那么 ．请你结合数轴与绝对值的知识求得的最小值为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，根据绝对值的意义解答①，由得式子表示到的距离与到的距离与到的距离的倍的和，可知，当在的位置时，距离之和最小，据此即可解答②，运用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∵， ∴式子表示到的距离与到的距离与到的距离的倍的和， 可知，当在的位置时，距离之和最小，最小值为， 故答案为：或，． 三、解答题 12．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）一只小虫从某点P出发，在一条直线上来回爬行，假定把向右爬行记为正数，向左爬行记为负数，则爬行的记录（单位：厘米）依次为，，，，，，． (1)通过计算说明小虫最后是否回到起点P处； (2)如果小虫爬行的速度为0.5厘米/秒，那么小虫共爬行了多长时间? 【答案】(1)小虫回到了起点P； (2)108秒 【分析】本题考查了正数和负数的知识，掌握正数和负数的含义是关键． （1）把记录到得所有的数字相加，看结果是否为0即可， （2）记录到得所有的数字的绝对值的和，除以0.5即可． 【详解】（1）解∶． 小虫能回到起点P； （2）解∶ (秒) 答∶小虫共爬行了108秒. 13．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（）； （）． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据有理数的运算法则进行计算． 根据加法交换律和结合律，把符号相同的数结合在一起，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算即可； 首先根据乘方的定义把算式中涉及到乘方的部分计算出来，可得：原式，再根据有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ； 解： 14．（24-25七年级下·河南信阳·期中）数轴上有两个点、，分别代表的整数是和，、满足． (1) ______， ______，点与点之间的距离是______． (2)点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向左运动，点、同时运动，设运动时间为秒，回答下列问题： ①秒时，点对应的数为______；用含的式子表示 ②当时，求点与点之间的距离用含的式子表示 【答案】(1)，，； (2)①；②． 【分析】本题考查了数轴、绝对值的非负性及乘方，解题的关键是： （1）根据绝对值的非负性及乘方可得，，，求出a，b的值即可求解； （2）①根据数轴上点移动的规律即可求解； ②根据数轴上点移动的规律得点B对应的数为，当点B与点A相遇时，根据可求得，进而可求解． 【详解】（1）解：， ，， ，， 点与点之间的距离是 ， 故答案为：，，； （2）解：①秒时，点对应的数为， 故答案为：； 点以每秒个单位长度的速度向左运动， 秒时，点对应的数为， 当点与点相遇时，则， 解得， 当时，点在点的右侧， ， 答：点与点之间的距离． 15．（24-25六年级上·上海·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖为一单）的部分记为“”，低于40单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量/单 (1)求外卖小哥这一周平均每天送餐多少单． (2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元．求外卖小哥这一周工资收入多少元． 【答案】(1)45 (2)1574元 【分析】（1）根据题意，得外卖小哥这一周平均每天送餐单数为：，解答即可． （2）先计算正常产量的工资，加上超产的奖励工资即可． 本题考查的是正负数的实际应用，平均数的计算，有理数的加法与乘法的实际应用，理解题意，正确的列代数式计算计算是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得外卖小哥这一周平均每天送餐单数为：（单）． 答：外卖小哥这一周平均每天送餐45单． （2）解：∵外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元：超过50单的部分，每单补贴8元． ∴本周工资为： （元）． 答：外卖小哥这一周工资收入1574元． 2 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$