精品解析：天津市南开区2024-2025学年高一下学期期末阶段性质量监测数学试题

2024—2025学年度第二学期阶段性质量监测 高一年级数学学科 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共100分，考试时间100分钟. 参考公式： ·锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高. ·如果事件，互斥，那么. ·如果事件，相互独立，那么. 一､选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【详解】由，则. 故选：A 2. 某校高一年级重点班有250人，普通班有1050人，按比例分配分层随机抽样，从高一年级抽取130人调查学生的数学平均成绩，则从重点班中抽取的人数为（ ） A. 27人 B. 26人 C. 25人 D. 24人 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，结合分层抽样定义，即可求解． 【详解】由题意可知，从重点班中抽取的人数为：人． 故选：C． 3. 在中，已知角、、的对边分别为、、，且满足，则角为（ ） A B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理计算可得. 【详解】因为，即， 由余弦定理， 又，所以. 故选：C 4. 已知，，则x，y满足的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】所有的样本点为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)， (3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共12个． 满足的样本点有(2，3)，(3，2)，(4，1)，共3个， 所以所求事件概率． 故选：B 5. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量夹角求解即得. 【详解】由，得， ， 则， 因，故. 故选：B 6. 已知表示两条不同直线，a表示平面，则下列选项正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面以及平面与平面的位置关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，若，，则或者异面，或者相交，故A错误， 对于B，若，，则，故B正确， 对于C，若，，则或者，故C错误， 对于D，若，，则，D正确， 故选：BD 7. 1000名高一学生参加数学质量监测，从中随机抽取200名学生的成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法中，正确的个数是（ ） ①频率分布直方图中的值为0.005 ②估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80 ③估计这200名学生竞赛成绩的众数为78 ④估计总体中成绩落在内的学生人数为150 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先根据频率之和为1可得，进而可得每组的频率，再结合统计相关知识逐项分析判断. 【详解】对于①：因为，可得，故①正确； 可知每组的频率依次为. 对于②：前三组频率和为， 所以这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80，故②正确； 对于③：因为的频率最大，所以这200名学生竞赛成绩的众数为75，故③错误； 对于④：总体中成绩落在内的学生人数为，故④正确. 故选：C. 8. 在正三棱柱中，面ABC，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别取的中点，可得是异面直线与所成角即为与所成角（或其补角），在中，由余弦定理求解即可. 【详解】分别取的中点， 连接，所以， 所以异面直线与所成角即为与所成角（或其补角）， 即，设，所以， ， 所以在中，所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 9. 已知，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知，可得点为的外心，四边形为菱形，则在上的投影向量为. 【详解】如图，依题意可得点为的外心， 因为，所以， 所以，则四边形为菱形， 设，则， 因为，所以在上的投影向量为. 故选：A. 10. 已知，分别是圆柱上､下底面圆的直径，且，.，O分别为上､下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥的体积为18，则该圆柱的侧面积为（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形分析得三棱锥的体积为两个全等四棱锥减去两个全等三棱锥，利用锥体体积代入计算求，再利用圆柱的侧面积． 【详解】分别过作圆柱的母线，连接，设圆柱的底面半径为 则三棱锥的体积为两个全等四棱锥减去两个全等三棱锥 即，则 圆柱的侧面积为 故选：D． 二､填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分. 11. 若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先化简得出复数，再应用加法运算结合模长公式计算求解. 【详解】因为，则， 则. 故答案为：. 12. 已知事件和事件互斥，若且，则_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】先求出，再根据互斥事件的和事件概率加法公式求解. 【详解】因为随机事件A和B互斥，且， 所以， 而， 所以. 故答案为： 13. 如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的面积为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据斜二测法，由直观图可作出原图形，再求面积即可. 【详解】根据题意可作出原图形， ，，，， ， 故答案为：2. 14. 记样本、、…、的平均数为，样本、、…、的平均数为（）.若样本、、…、、、、…、的平均数为，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据平均数公式运算求解即可. 【详解】因为样本、、…、的平均数为，可得， 样本、、…、的平均数为，可得， 又因为样本、、…、、、、…、的平均数为 ， 且，整理得，即. 故答案为：. 15. 如图，在中，已知，，为线段上一动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，得， ，利用向量的数量积公式结合二次函数的性质即可求解. 【详解】设，则，由图可得， 所以， 则，所以当时，的最小值为， 故答案为： 三､解答题：本大题共5个小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知为虚数单位，复数． （1）当实数取何值时，是纯虚数； （2）当时，复数是关于的方程的一个根，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用纯虚数的定义列方程组求解即可； （2）当时，，再将其代入方程，利用复数相等列方程组，解得参数即可. 【小问1详解】 若复数z是纯虚数，则， 解得， 所以得. 【小问2详解】 当时，， 把代入方程， 得， 整理得，， 所以，解得. 17. 甲､乙､丙三人进行投篮比赛，已知甲投中的概率是，甲，丙都未投中的概率是，乙.丙都投中的概率是.若三人是否投中互不影响， （1）求乙，丙各自投中的概率： （2）求甲､乙､丙三人中恰有2人投中的概率. 【答案】（1）乙､丙两人各自命中的概率分别 （2） 【解析】 【分析】（1）设乙､丙两人各自命中的概率分别为，由题意得到方程组，求出； （2）由独立事件乘法公式、互斥事件加法公式即可求解. 【小问1详解】 设乙､丙两人各自命中的概率分别为， 故，，解得， 故乙､丙两人各自命中的概率分别； 【小问2详解】 甲､乙､丙三人中2人命中的概率为 ， 故甲､乙､丙三人中恰有2人命中的概率为. 18. 已知， （1）若，求的值； （2）若，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可求出，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，代入计算可得； （2）首先求出，，的坐标，再由向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【小问1详解】 因为，且， 所以，所以， 则. 【小问2详解】 当时， 所以， ， 因为， 所以，解得. 19. 在中，角的对边分别是.已知. （1）求： （2）若. （i）求： （ii）求. 【答案】（1）或； （2）（i）；（ii）或. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解. （2）（i）利用正弦定理直接求解；（ii）利用同角的三角函数公式及和角的余弦公式、二倍角公式求解. 【小问1详解】 在中，由正弦定理及， 得， 故， 又，则，而， 所以或. 【小问2详解】 （i）由，得，则，由（1）得， 由正弦定理，得. （ii）， 由（i）知，， 当时，， 因此； 当时，， 因此， 所以或. 20. 如图，四棱锥中，是菱形，，，分别为和的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若，求直线与平面夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位线性质得线线平行，即可证线面平行； （2）运用等腰三角形和等边三角形三线合一的性质证出两组线线垂直，从而得到线面垂直，线面垂直可直接推出面面垂直； （3）解法一：由正四面体的性质求出点C到平面PAD的距离，即可求解；解法二：建立空间直角坐标系，算出直线的方向向量和平面的法向量，代入线面所成角的正弦公式即可. 【小问1详解】 四边形是菱形，则是中点的同时也是中点， 分别为的中点， 是的中位线，， 平面，平面， 平面. 【小问2详解】 ，是中点，等腰三角形三线合一，， ，，是等边三角形， 是中点，等边三角形三线合一，， ，平面， 平面， 平面， 故平面平面. 【小问3详解】 解法一：由题意，, 所以三棱锥为正四面体，设棱长为2， 则， 设交于点O，连接PO， 则点O为底面中心，平面ABD， 由正三角形的性质可得，所以, 由正四面体的性质可得点B到平面PAD的距离也为， 又平面APD，平面APD，所以平面APD， 所以点C到平面PAD的距离也为， 所以直线与平面夹角的正弦值 解法二：由（2）可知，故以为原点，为轴，为轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 设，易知，，，，，，，， 再设，由，，，可得： ，解得， 即，， 设平面法向量， ，，， 解得， 设直线与平面夹角为， ， 故直线与平面夹角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期阶段性质量监测 高一年级数学学科 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共100分，考试时间100分钟. 参考公式： ·锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高. ·如果事件，互斥，那么. ·如果事件，相互独立，那么. 一､选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. 10 D. 2. 某校高一年级重点班有250人，普通班有1050人，按比例分配分层随机抽样，从高一年级抽取130人调查学生的数学平均成绩，则从重点班中抽取的人数为（ ） A. 27人 B. 26人 C. 25人 D. 24人 3. 在中，已知角、、的对边分别为、、，且满足，则角为（ ） A B. C. D. 或 4. 已知，，则x，y满足的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知表示两条不同直线，a表示平面，则下列选项正确是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 1000名高一学生参加数学质量监测，从中随机抽取200名学生的成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法中，正确的个数是（ ） ①频率分布直方图中值为0.005 ②估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80 ③估计这200名学生竞赛成绩的众数为78 ④估计总体中成绩落在内的学生人数为150 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 在正三棱柱中，面ABC，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，分别是圆柱上､下底面圆的直径，且，.，O分别为上､下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥的体积为18，则该圆柱的侧面积为（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 18 二､填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分. 11 若，则__________. 12. 已知事件和事件互斥，若且，则_____________. 13. 如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的面积为_________． 14. 记样本、、…、的平均数为，样本、、…、的平均数为（）.若样本、、…、、、、…、的平均数为，则的值为______. 15. 如图，在中，已知，，为线段上一动点，则的最小值为______． 三､解答题：本大题共5个小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知为虚数单位，复数． （1）当实数取何值时，是纯虚数； （2）当时，复数是关于的方程的一个根，求实数的值． 17. 甲､乙､丙三人进行投篮比赛，已知甲投中的概率是，甲，丙都未投中的概率是，乙.丙都投中的概率是.若三人是否投中互不影响， （1）求乙，丙各自投中的概率： （2）求甲､乙､丙三人中恰有2人投中的概率. 18. 已知， （1）若，求的值； （2）若，且，求的值． 19. 在中，角的对边分别是.已知. （1）求： （2）若. （i）求： （ii）求. 20. 如图，四棱锥中，是菱形，，，分别为和的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若，求直线与平面夹角正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$