专题01 平方根与立方根的五类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版2024八年级上册

专题01 平方根与立方根的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用算术平方根的非负性解题 类型二、求算术平方根的整数部分和小数部分 类型三、与算术平方根有关的规律探索题 类型四、与立方根有关的规律探索题 类型五、平方根与立方根的综合 压轴专练 类型一、利用算术平方根的非负性解题 1. 明确非负性性质：算术平方根具有双重非负性，即≥0（a≥0），被开方数a是非负数，算术平方根本身也是非负数。这是解题的核心依据，任何基于算术平方根的等式或不等式，都必须满足该性质。 2. 常见应用场景：在方程+ =0中，因为两个非负的算术平方根相加为0，则每一项都为0，即x - 2 = 0且y + 3 = 0，从而求解未知数；在函数y=中，根据被开方数非负确定自变量x的取值范围x≥ 。 3. 解题注意事项：分析题目时，要全面考虑所有算术平方根的非负条件；求解后需检验所得结果是否满足被开方数非负的前提，避免增根。同时，善于将其他非负量（如绝对值、平方数）与算术平方根结合，利用“若几个非负数和为0，则每个非负数为0”的性质综合解题。 例1. 若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 【变式1-1】若与互为相反数，求 ． 【变式1-2】已知， ，则 的值为 ． 【变式1-3】已知，求的算术平方根 ． 类型二、求算术平方根的整数部分和小数部分 1.确定整数部分：通过比较法，找出与被开方数相邻的两个完全平方数。例如求的整数部分，由于16<17<25，即<<，所以4<<5，从而确定的整数部分是4。这种方法的关键在于快速找到合适的完全平方数进行大小比较。 2.计算小数部分：根据“一个数 = 整数部分 + 小数部分”，可知小数部分 = 该数 - 整数部分。如已确定的整数部分是4，那么它的小数部分就是-4 。 3.应用与拓展：在实际问题中，可利用算术平方根整数与小数部分的结果进行估算和近似计算；对于复合根式，同样先确定整体的整数部分，再计算小数部分，并且在计算过程中要注意根式的运算规则和性质，确保结果的准确性。 例2. 若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 【变式2-1】的整数部分是 ．小数部分是 ． 【变式2-2】已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【变式2-3】已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为 ． 类型三、与算术平方根有关的规律探索题 1. 观察数据特征：对含有算术平方根的数列、算式或图形，需观察被开方数的变化规律，如递增、递减的模式，是等差、等比或特殊规律；分析算术平方根与其他数字间的运算关系，以及系数、指数的变化特征，从局部到整体把握数据共性，为规律探索提供方向。 2. 归纳总结规律：从简单、特殊的例子入手，通过计算、对比和推理，尝试用代数式或语言描述规律。利用不完全归纳法，总结数字、符号、根式结构的变化趋势，形成一般性结论，并通过更多实例验证规律的普适性，确保结论可靠。 3. 应用与拓展规律：将总结的规律用于计算未知项、预测后续变化或解决拓展问题。应用时注意规律适用的条件和范围，结合算术平方根的性质与运算法则进行计算，还可逆向思考规律的变形与应用，提升对规律探索问题的综合解题能力。 例3. 按要求填空： （1）填表并观察规律： 0.0004 0.04 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______． a 【变式3-1】（1）填表并观察规律： a 0.0064 0.64 64 6400 ___________ ___________ ___________ ___________ （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则___________； ②已知，则___________． （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【变式3-2】先填写表，通过观察后再回答问题∶ a … 1 … … x 1 y … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题∶ ①已知，则________； ②已知，若，用含m的式子表示b，则________； (3)试比较与a的大小． 【变式3-3】观察表格并回答下列问题．      … 0.0001 0.01 1 100 10000 …      … 0.01      1      100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求m的值． 类型四、与立方根有关的规律探索题 1. 观察数据特征：针对涉及立方根的数列、算式，重点观察被开方数的变化规律，如相邻数差值、倍数关系或特殊数列特征；分析立方根与系数、指数等的关联，留意正负号变化规律。例如，观察数列中被开方数是否为立方数序列，或存在特定运算逻辑，为寻找规律奠定基础。 2. 归纳总结规律：从简单特殊情形出发，通过计算对比，用代数式或文字概括规律。利用不完全归纳法，总结立方根运算中数字、符号及运算形式的共性。如发现被开方数扩大n3倍时，立方根扩大n倍等规律，并代入更多数据验证，确保结论准确。 3. 应用拓展规律：运用总结的规律计算未知项、推导后续变化。应用时明确规律适用条件，结合立方根性质和运算法则求解。同时，思考规律在不同题型中的变形应用，如结合方程、几何问题等，提升综合运用能力。 例4. 观察下列规律回答问题： (1)_______，_______； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______； (3)根据规律写出与a的大小情况． 【变式4-1】根据立方根的意义填空： _____，_____，______，_____，_____． 观察上述结果，猜想对于实数等于什么？对于式子（是整数）的化简，你有怎样的认识？ 【变式4-2】（1）填表： a 0.001 1 1000 1000000 1 10 由表你发现了：被开方数的小数点向右(或左)移动 位，其立方根的小数点向右(或左)移动 位； （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ； ②已知，则 ． （3）用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积为立方米，需要多大面积的铁皮？ 【变式4-3】观察下列规律回答问题： (1)_______，_______； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______； (3)根据规律写出与a的大小情况． 类型五、平方根与立方根的综合 1. 明确概念与性质差异：平方根中，正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根；立方根中，任何实数都有唯一的立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根是0。需准确区分两者性质，避免混淆。 2. 掌握运算规则与关系：平方根运算需注意双重结果（正数情况），立方根运算则按实数性质直接求解。对于综合问题，常需结合两者运算规则，如化简含平方根与立方根的混合根式时，分别依据对应性质计算，注意运算顺序与符号处理。 3. 实际应用与解题策略：在方程求解中，若同时出现平方根与立方根，需根据等式关系逐步化简；在实际问题里，如体积与面积转换问题，结合平方根和立方根的意义建模。解题时要检验结果是否符合两者的非负性或唯一性要求，确保答案准确性。 例5. 已知的算术平方根是3，的立方根是4，求： (1)a、b的值； (2)的平方根． 【变式5-1】已知的平方根是，的立方根是2，． (1)求a、b、c的值； (2)求的算术平方根． 【变式5-2】已知a的算术平方根为3，ab的立方根为，b和c是互为相反数． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【变式5-3】已知表示9的算术平方根，的立方根是2，d是的小数部分． (1)求a、b、c、d的值； (2)求的平方根． 一、单选题 1．已知：，则的值为（    ） A．0 B．4 C．12 D．16 2．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．1 C． D． 二、填空题 4．若，则的值是 ． 5．（1）已知，则 ； （2）已知，，则 ． 6．已知的平方根是，的算术平方根是4，c是的小数部分．则的值为 ． 三、解答题 7．已知的平方根是，的立方根是3，求： (1)a和b； (2)的算术平方根． 8．求值 (1)已知的算术平方根是的立方根是2，求的值； (2)已知一个正数的两个平方根分别是和，求的值． 9．已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求这个正数； (2)若和满足，求的平方根． 10．已知的立方根是，的算术平方根是2，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 11．已知的两个平方根分别是，的立方根为2． (1)求的平方根； (2)若的算术平方根是3，求的立方根． 12．我们知道，是一个介于和之间的无限不循环小数．其整数部分是，我们可以用来表示的小数部分，请解答下列问题： (1)填空：的小数部分为___________；的整数部分为___________； (2)已知的小数部分为， 的小数部分为，求的值． 13．按要求填空： （1）填表并观察规律： a 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 14．（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 15．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平方根与立方根的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用算术平方根的非负性解题 类型二、求算术平方根的整数部分和小数部分 类型三、与算术平方根有关的规律探索题 类型四、与立方根有关的规律探索题 类型五、平方根与立方根的综合 压轴专练 类型一、利用算术平方根的非负性解题 1. 明确非负性性质：算术平方根具有双重非负性，即≥0（a≥0），被开方数a是非负数，算术平方根本身也是非负数。这是解题的核心依据，任何基于算术平方根的等式或不等式，都必须满足该性质。 2. 常见应用场景：在方程+ =0中，因为两个非负的算术平方根相加为0，则每一项都为0，即x - 2 = 0且y + 3 = 0，从而求解未知数；在函数y=中，根据被开方数非负确定自变量x的取值范围x≥ 。 3. 解题注意事项：分析题目时，要全面考虑所有算术平方根的非负条件；求解后需检验所得结果是否满足被开方数非负的前提，避免增根。同时，善于将其他非负量（如绝对值、平方数）与算术平方根结合，利用“若几个非负数和为0，则每个非负数为0”的性质综合解题。 例1. 若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值、加减消元法 【分析】本题主要考查非负数的性质，平方根，解二元一次方程组．先根据平方和被开方数的非负性得出，，联立求出x和y的值，再求平方根即可． 【详解】解：，，且与互为相反数， ，， 联立，解得， ， 的平方根为． 故答案为：． 【变式1-1】若与互为相反数，求 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】根据算术平方根的非负性和绝对值的非负性列方程求解，即可求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得出答案． 【详解】解：与互为相反数， ， 又，， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相反数的应用，利用算术平方根的非负性解题，绝对值非负性，解一元一次方程，代数式求值等知识点，熟练掌握几个非负数的和为时这几个非负数都为是解题的关键． 【变式1-2】已知， ，则 的值为 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查算术平方根的非负性，代入求值，先根据算术平方根的非负性得到，然后计算出m，n的值，代入计算即可． 【详解】解：由题可得，解得， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】已知，求的算术平方根 ． 【答案】5 【知识点】求一个数的算术平方根、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键；由题意易得，则有，然后可求x、y的值，进而代入求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴，即， ∴， ∴， ∴的算术平方根是5； 故答案为5． 类型二、求算术平方根的整数部分和小数部分 1.确定整数部分：通过比较法，找出与被开方数相邻的两个完全平方数。例如求的整数部分，由于16<17<25，即<<，所以4<<5，从而确定的整数部分是4。这种方法的关键在于快速找到合适的完全平方数进行大小比较。 2.计算小数部分：根据“一个数 = 整数部分 + 小数部分”，可知小数部分 = 该数 - 整数部分。如已确定的整数部分是4，那么它的小数部分就是-4 。 3.应用与拓展：在实际问题中，可利用算术平方根整数与小数部分的结果进行估算和近似计算；对于复合根式，同样先确定整体的整数部分，再计算小数部分，并且在计算过程中要注意根式的运算规则和性质，确保结果的准确性。 例2. 若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 【答案】 【分析】根据首先确定的值，则小数部分即可确定． 【详解】解：， ， 则． 故答案是：3，． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是确定无理数的整数部分即可解决问题． 【变式2-1】的整数部分是 ．小数部分是 ． 【答案】 3 【分析】根据算术平方根的整数部分和小数部分求解的方法直接进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分为； 故答案为3，． 【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个算术平方根的整数部分和小数部分是解题的关键． 【变式2-2】已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【答案】 【分析】根据的取值范围，根据整数部分和小数部分的定义，即可求解， 本题考查了，求算术平方根的整数部分和小数部分，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：∵的整数部分是，小数部分是，， ∴，， 故答案为：，． 【变式2-3】已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为 ． 【答案】． 【分析】先求出介于哪两个整数之间，即可求出它的整数部分，再用减去它的整数部分求出它的小数部分，再代入即可. 【详解】∵9＜13＜16， ∴3＜＜4， ∴a=3，b=﹣3， ∴2a﹣b=2×3﹣（﹣3）=6﹣+3=． 故答案为． 【点睛】此题考查的是带根号的实数的整数部分和小数部分的求法，利用平方找到它的取值范围是解决此题的关键. 类型三、与算术平方根有关的规律探索题 1. 观察数据特征：对含有算术平方根的数列、算式或图形，需观察被开方数的变化规律，如递增、递减的模式，是等差、等比或特殊规律；分析算术平方根与其他数字间的运算关系，以及系数、指数的变化特征，从局部到整体把握数据共性，为规律探索提供方向。 2. 归纳总结规律：从简单、特殊的例子入手，通过计算、对比和推理，尝试用代数式或语言描述规律。利用不完全归纳法，总结数字、符号、根式结构的变化趋势，形成一般性结论，并通过更多实例验证规律的普适性，确保结论可靠。 3. 应用与拓展规律：将总结的规律用于计算未知项、预测后续变化或解决拓展问题。应用时注意规律适用的条件和范围，结合算术平方根的性质与运算法则进行计算，还可逆向思考规律的变形与应用，提升对规律探索问题的综合解题能力。 例3. 按要求填空： （1）填表并观察规律： 0.0004 0.04 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______． 【答案】（1）见解析；（2）； 【分析】本题考查了数字类规律探究，算术平方根，根据解题过程找出一般规律是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据计算找出规律即可得到答案． 【详解】解：（1），，，， 填表如下： a （2）由以上解答过程发现：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，则它的算术平方根扩大或缩小10倍， ； ， ， ∵， ． 【变式3-1】（1）填表并观察规律： a 0.0064 0.64 64 6400 ___________ ___________ ___________ ___________ （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则___________； ②已知，则___________． （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【答案】（1）0.08，0.8，8，80；（2）①5800；②0.001225；（3）求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的 【分析】本题考查算术平方根中的规律探究： （1）根据算术平方根的定义，填表即可； （2）根据表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的，进行求解即可； （3）根据表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的，作答即可． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.0064 0.64 64 6400 0.08 0.8 8 80 （2）①，则：； 故答案为：5800； ②已知，则； 故答案为：0.001225； （3）由表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的． 【变式3-2】先填写表，通过观察后再回答问题∶ a … 1 … … x 1 y … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题∶ ①已知，则________； ②已知，若，用含m的式子表示b，则________； (3)试比较与a的大小． 【答案】(1)，； (2)①；②； (3)见解析 【分析】本题考查了求算术平方根及算术平方根的规律： （1）根据算术平方根定义直接求解即可得到答案； （2）①根据表格得到算术平方根的规律被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍求解即可得到答案；②根据表格得到算术平方根的规律被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍求解即可得到答案； （3）分，，，四类讨论即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意得， ，， 故答案为：，； （2）解：由表格及（1）得， 被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍， ①∵， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴， 故答案为：； （3）解：当时， ， 当时， ， 当，时， ． 【变式3-3】观察表格并回答下列问题．      … 0.0001 0.01 1 100 10000 …      … 0.01      1      100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求m的值． 【答案】(1)0.1，10 (2)①0.245；②600 【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键． （1）利用算术平方根的定义即可得出答案； （2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案． 【详解】（1）根据算术平方根的定义得， 故答案为：0.1，10； （2）解：①由根据题意，由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， 所以由可知， 故答案为：0.245； ②∵， ∴根据表格中数据总结规律可知，0.03464的小数点向右移动了3位得到34.64， ∴由上述表格可知被开方数0.0012小数点需要向右移动6个单位得到2m， 解得，， 所以的值为600． 类型四、与立方根有关的规律探索题 1. 观察数据特征：针对涉及立方根的数列、算式，重点观察被开方数的变化规律，如相邻数差值、倍数关系或特殊数列特征；分析立方根与系数、指数等的关联，留意正负号变化规律。例如，观察数列中被开方数是否为立方数序列，或存在特定运算逻辑，为寻找规律奠定基础。 2. 归纳总结规律：从简单特殊情形出发，通过计算对比，用代数式或文字概括规律。利用不完全归纳法，总结立方根运算中数字、符号及运算形式的共性。如发现被开方数扩大n3倍时，立方根扩大n倍等规律，并代入更多数据验证，确保结论准确。 3. 应用拓展规律：运用总结的规律计算未知项、推导后续变化。应用时明确规律适用条件，结合立方根性质和运算法则求解。同时，思考规律在不同题型中的变形应用，如结合方程、几何问题等，提升综合运用能力。 例4. 观察下列规律回答问题： (1)_______，_______； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______； (3)根据规律写出与a的大小情况． 【答案】(1)0.01，100 (2) (3)当或时，；当或或时，；当或时， 【知识点】与立方根有关的规律探索、求一个数的立方根 【分析】此题考查了立方根的求解与规律归纳能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算、归纳． （1）根据立方根的概念进行求解、归纳； （2）运用（1）题规律进行求解； （3）根据题目中求立方根的结果进行规律归纳． 【详解】（1）解：（1）；； 按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位， 故答案为：0.01、100； （2）已知，若，用含的代数式表示，则， 故答案为：； （3），，，，， 与的大小情况为： 当或时，； 当或或时，； 当或时，． 【变式4-1】根据立方根的意义填空： _____，_____，______，_____，_____． 观察上述结果，猜想对于实数等于什么？对于式子（是整数）的化简，你有怎样的认识？ 【答案】2，，0，，；；当为偶数时，；当为奇数时， 【分析】此题考查立方根的定义及性质，求一个数的立方根，探究实数的计算规律，正确求出一个数的立方根是解题的关键． 先根据立方根定义填空，以此总结出的结果；对于式子（是整数）需要分为偶数和奇数进行讨论，得到偶次方根和奇次方根的结果． 【详解】解：；；；；， 则对于实数； 对于式子（是整数）， 当为偶数时，； 当为奇数时，． 【变式4-2】（1）填表： a 0.001 1 1000 1000000 1 10 由表你发现了：被开方数的小数点向右(或左)移动 位，其立方根的小数点向右(或左)移动 位； （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ； ②已知，则 ． （3）用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积为立方米，需要多大面积的铁皮？ 【答案】（1）填表见解析，三，一；（2）①；②；（3）需要大约平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义，先将表格填完整，根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （2）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可； （3）设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：填表： a 0.001 1 1000 1000000 1 10 规律：数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位； （2）解：①∵， ∴； ②∵ ∴； （3）解：设正方体的棱长为米，则， ， （平方米）， 答：需要大约平方米的铁皮． 【变式4-3】观察下列规律回答问题： (1)_______，_______； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______； (3)根据规律写出与a的大小情况． 【答案】(1)0.01，100 (2) (3)当或时，；当或或时，；当或时， 【分析】此题考查了立方根的求解与规律归纳能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算、归纳． （1）根据立方根的概念进行求解、归纳； （2）运用（1）题规律进行求解； （3）根据题目中求立方根的结果进行规律归纳． 【详解】（1）解：（1）；； 按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位， 故答案为：0.01、100； （2）已知，若，用含的代数式表示，则， 故答案为：； （3），，，，， 与的大小情况为： 当或时，； 当或或时，； 当或时，． 类型五、平方根与立方根的综合 1. 明确概念与性质差异：平方根中，正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根；立方根中，任何实数都有唯一的立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根是0。需准确区分两者性质，避免混淆。 2. 掌握运算规则与关系：平方根运算需注意双重结果（正数情况），立方根运算则按实数性质直接求解。对于综合问题，常需结合两者运算规则，如化简含平方根与立方根的混合根式时，分别依据对应性质计算，注意运算顺序与符号处理。 3. 实际应用与解题策略：在方程求解中，若同时出现平方根与立方根，需根据等式关系逐步化简；在实际问题里，如体积与面积转换问题，结合平方根和立方根的意义建模。解题时要检验结果是否符合两者的非负性或唯一性要求，确保答案准确性。 例5. 已知的算术平方根是3，的立方根是4，求： (1)a、b的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2)的平方根是 【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根和立方根的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义，准确计算． （1）根据的算术平方根是，的立方根是，得出，，求出结果即可； （2）把，代入求出，然后求出的平方根即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是，的立方根是， ∴，， 解得：，； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根是． 【变式5-1】已知的平方根是，的立方根是2，． (1)求a、b、c的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根，算术平方根及其非负性，代数式求值，正确求出a、b、c的值是解题关键． （1）根据平方根、立方根，以及算术平方根的非负性求解即可； （2）根据（1）所得结果，求出，进而得出算术平方根即可． 【详解】（1）解：的平方根是，的立方根是2，， ，，， ，，； （2）解：由（1）可知，，，， ， 的算术平方根是5． 【变式5-2】已知a的算术平方根为3，ab的立方根为，b和c是互为相反数． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根和相反数，代数式求值，掌握相关概念和运算法则是解题关键 （1）根据算术平方根、立方根、相反数的定义求解即可； （2）先将a、b、c的值代入代数式，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：a的算术平方根为3，ab的立方根为，b和c是互为相反数， ，，， ，； （2）解：由（1）可知，，，； ， 的平方根是． 【变式5-3】已知表示9的算术平方根，的立方根是2，d是的小数部分． (1)求a、b、c、d的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的估算．熟练掌握平方根，立方根的定义，以及无理数的估算方法，是解题的关键． （1）根据平方根，立方根的定义，求出的值，无理数的估算求出c的值； （2）将的值代入代数式，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵表示9的算术平方根， ∴， ∴， ∵的立方根是2， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴的整数部分为3， ∴； （2）解：由（1） ∴， ∴的平方根是． 一、单选题 1．已知：，则的值为（    ） A．0 B．4 C．12 D．16 【答案】C 【分析】此题考查了算术平方根非负数的性质，代数式求值， 根据算术平方根非负数的性质，两个非负数的和为0，则每个非负数均为0．由此可解出x和y的值，再代入计算． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了被开方数的变化与算术平方根之间的变化规律，熟练掌握小数点移动的规律是解答本题的关键．当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 3．若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键． 先估算的大小后即可求得，的值，然后代入中计算即可． 【详解】解：， ， ， 则，， 那么， 故选：D． 二、填空题 4．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，根据绝对值、完全平方及二次根式的非负性可得，，，求出的值再代入代数式计算即可求解，掌握几个非负数的和为时，这几个非负数都为是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：，，，且， ，，， ，，， ， 故答案为：． 5．（1）已知，则 ； （2）已知，，则 ． 【答案】 0.2646 6.69 【分析】本题考查算术平方根，立方根，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）根据算术平方根的性质即可求得答案； （2）根据立方根的性质即可求得答案． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：； （2）， ， 故答案为：6.69． 6．已知的平方根是，的算术平方根是4，c是的小数部分．则的值为 ． 【答案】 【分析】利用平方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a，b，c的值；再代入计算即可求解． 【详解】解：∵的平方根是，的算术平方根是4， ∴，， 故，， ∵c是的小数部分，， ∴， 将，，代入得： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题 7．已知的平方根是，的立方根是3，求： (1)a和b； (2)的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了算术平方根、平方根和立方根的综合应用，熟记相关定义即可． （1）平方根是，的立方根是3，即可求解； （2）根据即可求解； 【详解】（1）解： 的平方根是， ， 的立方根是3， ， 将代入，解得； （2）解： ，， ， 的算术平方根是， 的算术平方根是 8．求值 (1)已知的算术平方根是的立方根是2，求的值； (2)已知一个正数的两个平方根分别是和，求的值． 【答案】(1) (2)x的值为9 【分析】（1）利用算术平方根和立方根的概念即可求得a和b的值,再求得的值； （2）根据一个正数有两个平方根且它们互为相反数，列方程求解得到a的值，即可确定正数x的值． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：； ∴ （2）由题意可得：， 解得：， ∴x的值为9． 【点睛】本题考查算术平方根和立方根，理解算术平方根，平方根，立方根的概念列出相应的方程是解题关键． 9．已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求这个正数； (2)若和满足，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是平方根和立方根，掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数是解题的关键． （1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答； （2）根据绝对值的非负性可得b，根据平方的非负性可得c，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：一个正数的两个不相等的平方根是与． ，   ， ． （2）， ；，   ，， ，   的平方根是． 10．已知的立方根是，的算术平方根是2，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查平方根和立方根的综合问题，求无理数的整数部分等知识，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）先用的立方根是，求出a，结合的算术平方根是2求出b，由c是的整数部分求出c即可； （2）将（1）中的结论代入中求值，继而求出它的平方根． 【详解】（1）解： 的立方根是， ， ． 的算术平方根是2， ， ， ．， ∵， ∴， 又∵c是的整数部分， ． 综上所述：，，； （2），，， ， ， 的平方根是． 11．已知的两个平方根分别是，的立方根为2． (1)求的平方根； (2)若的算术平方根是3，求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方根和立方根的意义求出字母的值，再求的平方根即可； （2）求出的值，再求的立方根即可． 【详解】（1）解：∵的两个平方根分别是，的立方根为2． ∴，， 解得，，， ， ∵， ∴的平方根是． （2）解：∵的算术平方根是3， ∴，     ∵， ∴， ， ∵， ∴的立方根是． 【点睛】本题考查了平方根和立方根，解题关键是根据平方根和立方根的意义求出字母的值，会熟练求一个数的平方根和立方根． 12．我们知道，是一个介于和之间的无限不循环小数．其整数部分是，我们可以用来表示的小数部分，请解答下列问题： (1)填空：的小数部分为___________；的整数部分为___________； (2)已知的小数部分为， 的小数部分为，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查估算无理数的大小，实数的混合运算，理解题意是解题的关键． （1）估算的大小，即可得出小数部分和整数部分； （2）估算，得出，，进而求得的值，代入代数式，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴的小数部分为 ∵ ∴的整数部分为 故答案为：，． （2）解：∵ ∴， ∵的小数部分为， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵的小数部分为， ∴， ∴． 13．按要求填空： （1）填表并观察规律： a 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______； （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 4 400 2 20 【答案】（1）见解析 （2），68 （3）求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律问题，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据（1）可得规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位，由此即可得； （3）根据（1）解题过程找出规律即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，，， 填表如下： a 0.0004 0.04 4 400 0.02 0.2 2 20 （2）解：由（1）可知，求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位， ∵， ∴被开方数的小数点向右移动2位得到580，则它的算术平方根的小数点向右移动1位，即； ∵，， ∴将被开方数的小数点向右移动4位即可得到， ∴； 故答案为：，68． （3）解：从以上问题的解决过程中，发现的规律：求一个数的算术平方根时，当被开方数的小数点向左（或右）每移动2位，则它的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位． 14．（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义填表即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 （2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位； （3）①， ， 介于整数12和13之间； ②， ； ③设正方体的棱长为a米，则， 由②知， ； ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 15．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】(1) (2)3 (3)，或， 【分析】本题考查求一个负数的立方根，算术平方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据算术平方根的性质，立方根的性质，算术平方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 【详解】（1）解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； （2）解：∵， ∴和 互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：∵，即， ∴或1 解得：或 ∵与互为相反数，即， ∴，即， ∴当时，； 当，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$