第10章 数的开方（单元测试·提升卷）数学华东师大版2024八年级上册

2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第10章 数的开方·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．2025年是农历乙巳蛇年，下列对2025的说法正确的是（   ） A．2025的相反数是2025 B．2025的绝对值是2025 C．2025的倒数是2025 D．2025的平方根是2025 【答案】B 【详解】本题考查相反数、绝对值、倒数及平方根的概念，需根据相反数、绝对值、倒数及平方根的概念逐一判断各选项，即可作答． 【分析】解：A、2025的相反数是-2025，故A选项不符合题意； B、2025的绝对值为2025，故B选项符合题意； C、2025的倒数为，故C选项不符合题意； D、2025的平方根为（因），故D选项不符合题意； 故选：B． 2．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的运算，平方根和立方根的性质，解题的关键是掌握相应的运算法则，依次对各选项进行计算即可判断． 【详解】A．不能进行合并，故，故A错误，不符合题意； B．，故B错误，不符合题意； C．，故C错误，不符合题意； D．，故D正确，符合题意； 故选：D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值，算术平方根，有理数的乘方，解题的关键是求出和的值． 根据绝对值和算术平方根的非负性，解得和的值，代入计算即可． 【详解】解：，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∴ 故选：． 4．下列判断：①的平方根是；②与互为相反数；③，则；④0.1的算术平方根是0.01，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查平方根、立方根、算术平方根及非负性，根据平方根和算术平方根的定义逐项判断解答即可． 【详解】解：①的平方根是，故①错误； ②与相反数，故②正确； ③，则且，解得，，即，故③正确； 0.1的算术平方根是，故④错误； 综上分析可知，正确的是②③，有个， 故选：B． 5．如图，在数轴上表示，的对应点分别为、，点是的中点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴与实数，数轴上两点间的距离，解题的关键是会用数轴上的数表示两点间的距离． 由已知易得点与点之间的距离，用点对应的数减去即可． 【详解】解：∵在数轴上表示、的对应点分别为、， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点表示的数是，点在点左边， ∴点表示的数是， 故选：． 6．在数轴上有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，则的平方根为（   ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根的定义，绝对值和算术平方根的非负性，先根据非负数的性质和相反数的定义求出，，得出，最后根据平方根定义求出结果即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， ∴， ∵14的平方根为， ∴的平方根为． 故选：A 7．阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算，由新定义的二阶行列式运算公式，代值求解即可得到答案，读懂题意，掌握不等式解法是解决问题的关键． 【详解】解：根据二阶行列式的运算法则， 计算行列式：， ， ， 解得， 故选：A． 8．有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴，实数的混合运算，立方根，算术平方根，绝对值，熟练根据数轴得出相关式子或字母的正负是解题的关键．先利用数轴得出，，，再利用立方根，算术平方根，绝对值进行化简求值即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴， 故选：B． 9．如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（）行的数据的个数是解题的关键． 观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出行的数据的个数，再加上得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可。 【详解】前行的数据的个数为， 所以，第10行从左到右数第7个数的被开方数是， 所以，第10行从左向右数第7个数是． 故选B． 10．我们用表示不大于a的最大整数；用表示大于a的最小整数．下列说法： ①，； ②如果，则满足条件的所有正整数x只有7和8； ③已知x，y满足方程组，则x，y的取值范围，． 其中正确的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查新定义的运算，解二元一次方程组，一元一次不等式，熟练掌握新定义运算法则，解方程组，是解题的关键． 按照题目所给的新定义逐一判断即可解题． 【详解】∵表示不大于2.5的最大整数， ∴， ∴正确； ∵表示大于的最小整数， ∴， 故①正确； ②若， 则， 解得， 即 ∴满足的正整数为7和8， 故②正确； ③解方程组： 设， 则方程组变为， 由第二式，得， 代入第一式，得， 解得， 则； ∴， 故的范围为， 但题目中写，排除，错误； ，但题目中写，错误； 故③错误． 综上，正确的个数为2． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．若x，y为实数，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值与算术平方根的非负性，解题的关键是利用“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”这一性质． 根据绝对值和算术平方根的非负性，求出、的值，再代入计算． 【详解】解：由题意可得：且， 由，可得，解得， 由，可得，解得， 把代入， 则， 所以． 综上，的值是． 故答案为：． 12．已知一个正数的两个平方根分别是和，则 【答案】3 【分析】本题考查了平方根，一元一次方程的应用；根据一个正数的两个平方根互为相反数列式计算即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， 故答案为：3． 13．若的值是有理数，则a的最小偶数值是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的概念、求一个数的算术平方根，根据有理数的概念和算术平方根的求法进行判断即可． 【详解】∵的值是有理数，且为最小的偶数， ∴，此时是有理数， 故答案为：． 14．对于任意实数、，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义可知的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，解一元一次不等式，先理解，再得出，因为，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．有一个数值转换器，设定的输入值为0到100的整数，流程如图；当输出值为时，输入的x值是 ． 【答案】2或64 【分析】本题主要考查了求立方根，求算术平方根，无理数的定义，根据题意可得只有取算术平方根的结果是无理数时，输出的结果才会是；当第一次取算术平方根后的结果为无理数时，则；当第一次取算术平方根后的结果为有理数时，那么取立方根的结果为有理数，若第二次取算术平方根的结果为时，则取立方根的结果为，则可推出x的值；若第三次取算术平方根的结果为时，可推出第一次取立方根的结果为，符合题意，据此可得答案． 【详解】解： 若取立方根后所得的结果为无理数，那么输出的结果不可能为， ∴只有取算术平方根的结果是无理数时，输出的结果才会是； 当第一次取算术平方根后的结果为无理数时，则； 当第一次取算术平方根后的结果为有理数时，那么取立方根的结果为有理数， 若第二次取算术平方根的结果为时，则取立方根的结果为， ∴第一次取算术平方根的结果为， ∴； 若第三次取算术平方根的结果为时，则第二次取立方根的结果为， ∴第二次取算术平方根的结果为，则第一次取立方根的结果为，不符合题意； 综上所述，或， 故答案为：2或64． 16．已知的整数部分，的小数部分，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，以及估算无理数的大小，求出x、y的值是解决问题的关键．由，可得，再根据x为的整数部分，y为的小数部分，确定x、y的值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． ∵，x为的整数部分，y为的小数部分， ∴，． ∴． 故答案为：． 17．有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若a和b是有理数，，则．已知m和n是有理数． （1）若，则的算术平方根为 ； （2）若，其中是x的平方根，则x的值为 ． 【答案】 3 4 【分析】本题考查了实数的运算，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据题意可得，，从而可得，，然后代入式子中，再根据算术平方根的定义求解即可； （2）根据已知易得，从而可得，进而可得：，然后利用平方根的意义，即可解答． 【详解】解：（1）∵，m和n是有理数， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的算术平方根为3， 故答案为：3； （2）∵， ∴， ∴， ∵m和n是有理数， ∴， 解得：， ∵m，n是x的平方根， ∴， 故答案为：4． 18．对于一个四位自然数，它的各个位置上的数字不同且都不为0．若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称为“凤鸣数”．如：四位数8642，，，是“凤鸣数”．若四位自然数是“凤鸣数”，则这个数是 ；一个“凤鸣数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．若能被3整除，则满足条件的的最大的数是 ． 【答案】 7421 9863 【分析】①根据“凤鸣数”的定义可得，，求出m，n的值即可得这个数；②先根据题中新定义得到，进而，若M最大，只需千位数字a取最大，即，再根据能被3整除可得b最大为8，再根据定义求出d、c的值即可求解． 【详解】解：根据题意，若四位自然数是“凤鸣数”, 则， ， ∴这个数是7421； 根据题意，，，， 则， 即， ， ， ， 若M最大，只需千位数字a取最大，即， ∴， ∵能被3整除， ∴b最大为8， 又， ，， ∴满足条件的M的最大值为9863． 故答案为：7421，9863． 【点睛】本题是一道新定义题，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除等知识，理解新定义是解答的关键． 三、解答题（共7小题，共78分） 19．（10分） 计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化立方根，算术平方根，再算加减； （2）先化简绝对值和立方根，算术平方根，再算加减； 【详解】（1）解： ；（5分） （2）解： ；（10分） 20．（10分）已知x的其中一个平方根是4，的平方根是． (1)求x，y的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)，； (2)3 【分析】本题主要考查平方根、立方根，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义． （1）根据平方根和立方根的定义知，，据此求解可得； （2）将、的值代入，求立方根即可． 【详解】（1）解：根据题意知： ，， 则，；（5分） （2）∵，， ∴， 的立方根为， ∴的立方根3．（10分） 21．（10分）把一个长、宽、高分别为的长方体铁块熔化后铸成一个正方体铁块（不计损耗），这个正方体的棱长是多少分米（结果保留小数点后两位）？ 【答案】 【分析】本题考查了几何体的体积，根据题意列出方程是解题关键． 先根据长方体体积公式算出长方体铁块体积，因为熔化后铸造成正方体体积不变，再根据正方体体积公式求其棱长． 设正方形的边长为，根据题意列出算式即可． 【详解】解：设正方形的边长为， 由题意可得：，（5分） 解得， 故答案为：．（10分） 22．（12分）对于三个互不相等的数a、b、c，我们用符号来表示其中最大的数和最小的数．规定表示这三个数中最小的数，表示这三个数中最大的数．例如：． (1) ， ． (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了新定义、解一元一次不等式组等知识点，理解新定义是解题的关键． （1）先分别比较有理数的大小，再根据新定义求解即可； （2）根据新定义列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴． 故答案为：，．（6分） （2）解：∵， ∴， 解得：．（12分） 23．（12分）综合与实践． (1)【初步操作】如图1，把两个面积为的小正方形沿对角线剪开，拼成一个面积为的大正方形，可得小正方形的对角线长（大正方形的边长）为________； (2)【类比操作】把长为2、宽为1的两个小长方形沿对角线剪开，拼成如图2所示的一个大正方形（内部空白是一个小正方形），仿照上面的探究方法求小长方形的对角线长； (3)【计算拓展】若3是的一个平方根，的立方根是2，为图2中小正方形边长的小数部分，请计算的平方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，求一个数的平方根，根据立方根和平方根求原数，实数的运算，无理数的估算等等， 熟知相关知识是解题的关键． （1）根据正方形面积计算公式求解即可； （2）大正方形面积等于四个小长方形面积加上中间的小正方形面积，则，解方程即可得到答案； （3）根据平方根和立方根的定义求出a、b的值，再根据（2）所求求出c的值，进而求出的值，最后根据平方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为，即小正方形的对角线的长为；（4分） （2）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴小长方形的对角线长为；（8分） （3）解：∵3是的一个平方根，的立方根是2， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为图2中小正方形边长的小数部分， ∴， ∴， ∴的平方根为．（12分） 24．（12分）解答题，在学习第八章《估算》后，某 数学爱好小组探索的近似值的过程如下：    ∵＜＜， ∴＜＜， ∵面积为的正方形的边长是， 设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又，∴， 当时，可忽略，得，解得， ∴ (1)仿照上述方法，探究的近似值（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到）； (2)结合上述具体实例，已知非负整数，，，若，且，直接写出的近似值（用含有，的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，解一元一次方程，理解题意并作出分析是解题关键． （1）先判断，设，画出示意图，得，当时，可忽略，可得，求得，即可求解； （2）设，正方形的面积为，当较小时，省略，可得，结合题意的，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 整数部分的值为． 面积为的正方形的边长是，且， 设，其中，画出示意图，如图所示，    根据示意图，可得图中正方形的面积， 又∵， ∴， 当时，可忽略，得，解得：， ∴．（6分） （2）解：如图，设，    正方形的面积为：， ∵， 当较小时，省略，得：，则， ∴， ．（12分） 25．（12分）【数学材料】 “对数”是数学中的一个重要概念，通过将对数运算转化为指数运算的逆运算，进而简化了复杂运算，更方便地处理一些数学问题．如果（且），那么叫作以为底的的对数，记作，其中叫作对数的底． 【初步运用】 （1）请把下列算式改写成对数的形式： ，对数的形式为______；，对数的形式为______； （2）若，则______；，则______； 【理解应用】 （3）若，若，求的值． 【问题解决】 （4）如图①，两条线段的长分别是，且，若化简的值． 【答案】（1），；（2）3，；（3）当，时，，当，时，；（4）的值为 【分析】本题考查定义新运算，立方根，算术平方根的化简； （1）根据对数的定义求解即可； （2）根据对数的定义，把对数形式换成乘方形式求解即可； （3）根据对数的定义，把对数形式换成乘方形式求解即可； （4）根据对数的定义，把对数形式换成乘方形式，再结合数轴化简算术平方根即可． 【详解】解：（1）∵， ∴对数的形式为； ∵， ∴对数的形式为； 故答案为：，；（3分） （2）若，则，解得； 若，则，解得（负数舍去）， 故答案为：3，；（6分） （3）∵， ∴， 解得或， ∵， ∴， 当，时，，； 当，时，，；（9分） （4）∵， ∴，，，， ∴， ∵由图形可得， ∴ ．（12分） 学科网（北京）股份有限公司19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第10章 数的开方·能力提升（参考答案） 样稿说明： （1）分小题的题目需要给出每小题得分点； （2）分点/步骤作答的题目需要给出各点/步骤的赋分； （3）答案要准确、无误； （4）题目序号与考试卷保持一致，禁用自动编号。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D B B C A A B B C 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11． 12．3 13． 14． 15．2或64 16． 17． 3 4 18． 7421 9863 三、解答题（共7小题，共78分） 19．（10分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化立方根，算术平方根，再算加减； （2）先化简绝对值和立方根，算术平方根，再算加减； 【详解】（1）解： ；（5分） （2）解： ；（10分） 20．（10分） 【答案】(1)，； (2)3 【分析】本题主要考查平方根、立方根，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义． （1）根据平方根和立方根的定义知，，据此求解可得； （2）将、的值代入，求立方根即可． 【详解】（1）解：根据题意知： ，， 则，；（5分） （2）∵，， ∴， 的立方根为， ∴的立方根3．（10分） 21．（10分） 【答案】 【分析】本题考查了几何体的体积，根据题意列出方程是解题关键． 先根据长方体体积公式算出长方体铁块体积，因为熔化后铸造成正方体体积不变，再根据正方体体积公式求其棱长． 设正方形的边长为，根据题意列出算式即可． 【详解】解：设正方形的边长为， 由题意可得：，（5分） 解得， 故答案为：．（10分） 22．（12分） 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了新定义、解一元一次不等式组等知识点，理解新定义是解题的关键． （1）先分别比较有理数的大小，再根据新定义求解即可； （2）根据新定义列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴． 故答案为：，．（6分） （2）解：∵， ∴， 解得：．（12分） 23．（12分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，求一个数的平方根，根据立方根和平方根求原数，实数的运算，无理数的估算等等， 熟知相关知识是解题的关键． （1）根据正方形面积计算公式求解即可； （2）大正方形面积等于四个小长方形面积加上中间的小正方形面积，则，解方程即可得到答案； （3）根据平方根和立方根的定义求出a、b的值，再根据（2）所求求出c的值，进而求出的值，最后根据平方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为，即小正方形的对角线的长为；（4分） （2）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴小长方形的对角线长为；（8分） （3）解：∵3是的一个平方根，的立方根是2， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为图2中小正方形边长的小数部分， ∴， ∴， ∴的平方根为．（12分） 24．（12分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，解一元一次方程，理解题意并作出分析是解题关键． （1）先判断，设，画出示意图，得，当时，可忽略，可得，求得，即可求解； （2）设，正方形的面积为，当较小时，省略，可得，结合题意的，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 整数部分的值为． 面积为的正方形的边长是，且， 设，其中，画出示意图，如图所示，    根据示意图，可得图中正方形的面积， 又∵， ∴， 当时，可忽略，得，解得：， ∴．（6分） （2）解：如图，设，    正方形的面积为：， ∵， 当较小时，省略，得：，则， ∴， ．（12分） 25．（12分） 【答案】（1），；（2）3，；（3）当，时，，当，时，；（4）的值为 【分析】本题考查定义新运算，立方根，算术平方根的化简； （1）根据对数的定义求解即可； （2）根据对数的定义，把对数形式换成乘方形式求解即可； （3）根据对数的定义，把对数形式换成乘方形式求解即可； （4）根据对数的定义，把对数形式换成乘方形式，再结合数轴化简算术平方根即可． 【详解】解：（1）∵， ∴对数的形式为； ∵， ∴对数的形式为； 故答案为：，；（3分） （2）若，则，解得； 若，则，解得（负数舍去）， 故答案为：3，；（6分） （3）∵， ∴， 解得或， ∵， ∴， 当，时，，； 当，时，，；（9分） （4）∵， ∴，，，， ∴， ∵由图形可得， ∴ ．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第10章 数的开方·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．2025年是农历乙巳蛇年，下列对2025的说法正确的是（   ） A．2025的相反数是2025 B．2025的绝对值是2025 C．2025的倒数是2025 D．2025的平方根是2025 2．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．下列判断：①的平方根是；②与互为相反数；③，则；④0.1的算术平方根是0.01，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在数轴上表示，的对应点分别为、，点是的中点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 6．在数轴上有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，则的平方根为（   ） A． B． C．7 D． 7．阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如若，则（  ） A． B． C． D． 8．有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，化简：（   ） A． B． C． D． 9．如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 10．我们用表示不大于a的最大整数；用表示大于a的最小整数．下列说法： ①，； ②如果，则满足条件的所有正整数x只有7和8； ③已知x，y满足方程组，则x，y的取值范围，． 其中正确的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．若x，y为实数，且，则的值是 ． 12．已知一个正数的两个平方根分别是和，则 13．若的值是有理数，则a的最小偶数值是 ． 14．对于任意实数、，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义可知的解集为 ． 15．有一个数值转换器，设定的输入值为0到100的整数，流程如图；当输出值为时，输入的x值是 ． 16．已知的整数部分，的小数部分，则的值为 ． 17．有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若a和b是有理数，，则．已知m和n是有理数． （1）若，则的算术平方根为 ； （2）若，其中是x的平方根，则x的值为 ． 18．对于一个四位自然数，它的各个位置上的数字不同且都不为0．若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称为“凤鸣数”．如：四位数8642，，，是“凤鸣数”．若四位自然数是“凤鸣数”，则这个数是 ；一个“凤鸣数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．若能被3整除，则满足条件的的最大的数是 ． 三、解答题（共7小题，共78分） 19．（10分） 计算： (1)； (2) 20．（10分）已知x的其中一个平方根是4，的平方根是． (1)求x，y的值； (2)求的立方根． 21．（10分）把一个长、宽、高分别为的长方体铁块熔化后铸成一个正方体铁块（不计损耗），这个正方体的棱长是多少分米（结果保留小数点后两位）？ 22．（12分）对于三个互不相等的数a、b、c，我们用符号来表示其中最大的数和最小的数．规定表示这三个数中最小的数，表示这三个数中最大的数．例如：． (1) ， ． (2)若，求的取值范围． 23．（12分）综合与实践． (1)【初步操作】如图1，把两个面积为的小正方形沿对角线剪开，拼成一个面积为的大正方形，可得小正方形的对角线长（大正方形的边长）为________； (2)【类比操作】把长为2、宽为1的两个小长方形沿对角线剪开，拼成如图2所示的一个大正方形（内部空白是一个小正方形），仿照上面的探究方法求小长方形的对角线长； (3)【计算拓展】若3是的一个平方根，的立方根是2，为图2中小正方形边长的小数部分，请计算的平方根． 24．（12分）解答题，在学习第八章《估算》后，某 数学爱好小组探索的近似值的过程如下：    ∵＜＜， ∴＜＜， ∵面积为的正方形的边长是， 设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又，∴， 当时，可忽略，得，解得， ∴ (1)仿照上述方法，探究的近似值（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到）； (2)结合上述具体实例，已知非负整数，，，若，且，直接写出的近似值（用含有，的式子表示）． 25．（12分）【数学材料】 “对数”是数学中的一个重要概念，通过将对数运算转化为指数运算的逆运算，进而简化了复杂运算，更方便地处理一些数学问题．如果（且），那么叫作以为底的的对数，记作，其中叫作对数的底． 【初步运用】 （1）请把下列算式改写成对数的形式： ，对数的形式为______；，对数的形式为______； （2）若，则______；，则______； 【理解应用】 （3）若，若，求的值． 【问题解决】 （4）如图①，两条线段的长分别是，且，若化简的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第10章 数的开方·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．2025年是农历乙巳蛇年，下列对2025的说法正确的是（   ） A．2025的相反数是2025 B．2025的绝对值是2025 C．2025的倒数是2025 D．2025的平方根是2025 2．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．下列判断：①的平方根是；②与互为相反数；③，则；④0.1的算术平方根是0.01，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，在数轴上表示，的对应点分别为、，点是的中点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 6．在数轴上有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，则的平方根为（   ） A． B． C．7 D． 7．阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如若，则（  ） A． B． C． D． 8．有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，化简：（   ） A． B． C． D． 9．如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 10．我们用表示不大于a的最大整数；用表示大于a的最小整数．下列说法： ①，； ②如果，则满足条件的所有正整数x只有7和8； ③已知x，y满足方程组，则x，y的取值范围，． 其中正确的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．若x，y为实数，且，则的值是 ． 12．已知一个正数的两个平方根分别是和，则 13．若的值是有理数，则a的最小偶数值是 ． 14．对于任意实数、，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义可知的解集为 ． 15．有一个数值转换器，设定的输入值为0到100的整数，流程如图；当输出值为时，输入的x值是 ． 16．已知的整数部分，的小数部分，则的值为 ． 17．有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若a和b是有理数，，则．已知m和n是有理数． （1）若，则的算术平方根为 ； （2）若，其中是x的平方根，则x的值为 ． 18．对于一个四位自然数，它的各个位置上的数字不同且都不为0．若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称为“凤鸣数”．如：四位数8642，，，是“凤鸣数”．若四位自然数是“凤鸣数”，则这个数是 ；一个“凤鸣数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，．若能被3整除，则满足条件的的最大的数是 ． 三、解答题（共7小题，共78分） 19．（10分） 计算： (1)； (2) 20．（10分）已知x的其中一个平方根是4，的平方根是． (1)求x，y的值； (2)求的立方根． 21．（10分）把一个长、宽、高分别为的长方体铁块熔化后铸成一个正方体铁块（不计损耗），这个正方体的棱长是多少分米（结果保留小数点后两位）？ 22．（12分）对于三个互不相等的数a、b、c，我们用符号来表示其中最大的数和最小的数．规定表示这三个数中最小的数，表示这三个数中最大的数．例如：． (1) ， ． (2)若，求的取值范围． 23．（12分）综合与实践． (1)【初步操作】如图1，把两个面积为的小正方形沿对角线剪开，拼成一个面积为的大正方形，可得小正方形的对角线长（大正方形的边长）为________； (2)【类比操作】把长为2、宽为1的两个小长方形沿对角线剪开，拼成如图2所示的一个大正方形（内部空白是一个小正方形），仿照上面的探究方法求小长方形的对角线长； (3)【计算拓展】若3是的一个平方根，的立方根是2，为图2中小正方形边长的小数部分，请计算的平方根． 24．（12分）解答题，在学习第八章《估算》后，某 数学爱好小组探索的近似值的过程如下：    ∵＜＜， ∴＜＜， ∵面积为的正方形的边长是， 设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又，∴， 当时，可忽略，得，解得， ∴ (1)仿照上述方法，探究的近似值（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到）； (2)结合上述具体实例，已知非负整数，，，若，且，直接写出的近似值（用含有，的式子表示）． 25．（12分）【数学材料】 “对数”是数学中的一个重要概念，通过将对数运算转化为指数运算的逆运算，进而简化了复杂运算，更方便地处理一些数学问题．如果（且），那么叫作以为底的的对数，记作，其中叫作对数的底． 【初步运用】 （1）请把下列算式改写成对数的形式： ，对数的形式为______；，对数的形式为______； （2）若，则______；，则______； 【理解应用】 （3）若，若，求的值． 【问题解决】 （4）如图①，两条线段的长分别是，且，若化简的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$