第10章 数的开方（复习讲义）数学华东师大版2024八年级上册

第10章 数的开方（复习讲义） 课程标准： 1 让学生经历数系的扩展过程，体验数学发展源于实践又作用于实际的辩证关系。 2 理解平方根、算术平方根、立方根等概念；认识平方与开平方、立方与开立方间的关系；会用平方、立方的概念求某些数的平方根与立方根，并用根号表示，会用计算器求一个非负数的算术平方根及任意一个数的立方根。 3 了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。 4 能估计某些无理数的大小，培养学生的数感与估计能力，会进行简单的实数运算。 中考考查的考点总结： 一、平方根的概念与性质 考点一：平方根的定义 考点二：算术平方根的定义 考点三：平方根的性质 二、立方根的概念与性质 考点四：立方根的定义 考点五：立方根的性质 三、开方的运算与应用 考点六：平方根与立方根的运算 考点七：开方在实际问题中的应用 四、与开方相关的其他考点 考点八：无理数的概念与表示 考点九：实数的大小比较 考点十：估算与精确计算 考点十一：开方与乘方的关系 考点十二：开方运算中的符号问题 章节 常考结论 易错点 平方根 非负数的平方根有两个值，互为相反数 忽略平方根的非负性，导致解集不完整 平方根与算术平方根的区别 混淆平方根与算术平方根的概念 立方根 任何实数的立方根只有一个值 计算立方根时忽略负数的情况 立方根与立方运算互为逆运算 在应用立方根与立方运算关系时出现错误 实数 实数集包括有理数和无理数 对无理数的概念理解不清 实数轴上点与实数一一对应 在实数轴上表示实数时出现错误 实数的运算律（加法、减法、乘法、除法、乘方） 在实数运算中忽略运算律的应用，导致计算错误 题型一 算术平方根的非负性 【例1】已知，则的值为（ ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式1-1】已知，一个非负数的两个平方根分别为和，则 ． 【变式1-2】（1）已知一个正数的两个平方根是与，求的值； （2）若，求xy的平方根． 题型二 估算算数平方根 【例2】一个正方形的面积是8，估计它的边长大小在（   ） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 【变式2-1】已知一个正方形的面积为24，那么与它的边长最接近的整数是 ． 【变式2-2】【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 题型三 （算术）平方根与立方根综合 【例3】如果是8的立方根，则的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【变式3-1】已知的立方根是2，的算术平方根是4，则的平方根是 ． 【变式3-2】已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求、的值； (2)直接写出的平方根． 题型四 算术平方根中的整数与小数部分 【例4】已知，且n是整数，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式4-1】若的整数部分是，小数部分为，则 ． 【变式4-2】已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 题型五 （算术）平方根与立方根的规律问题 【例5】用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知数列（，且为整数） （1）当时，数列中一共有 个有理数 （2）若数列中共有44个有理数，则的最大整数值为 ． 【变式5-2】（1）填表： a 0.001 1 1000 1000000 1 10 由表你发现了：被开方数的小数点向右(或左)移动 位，其立方根的小数点向右(或左)移动 位； （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ； ②已知，则 ． （3）用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积为立方米，需要多大面积的铁皮？ 题型六 实数在数轴上化简 【例6】实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（    ） A．0 B． C． D． 【变式6-1】如图，将有理数表示在数轴上，则化简的结果为 ． 【变式6-2】如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：． 题型七 实数中的规律 【例7】如图数阵是按一定规律排成的．规定：从上往下第a行，同时在该行，从左往右第b个数所在的位置用数对表示，如：数所在的位置可表示为，则数45所在的位置可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】观察下列各式：①；②；③根据以上等式规律，计算 ． 【变式7-2】【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：_______． (2)计算：． 题型八 程序下的实数运算 【例8】在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出的y值是（   ） A． B． C．2 D．8 【变式8-1】如图，有一个数值转化器，当输入的x运行3次后，输出的y是，则输入的数x为 ． 【变式8-2】一个数值转换器如图所示： (1)当输入的x值为16时，输出的y值是 ． (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为 ． (3)若输出的y值是，请直接写出两个满足要求的x的值 ． 题型九 实数中的新定义 【例9】我们把称为有理数的差倒数，如：2的差倒数是，-2的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里的等式右边是通常的四则运算，例如：，已知，若关于的不等式恰好有4个正整数解，则的取值范围是 ． 【变式9-2】阅读理解，规定：表示不大于的最大整数（即的整数部分）；表示的值（即的小数部分），例如： (1)计算： ； (2)解不等式； (3)解方程． 题型十 秦九韶——海伦公式 【例10】我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积.如果某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积S介于整数和n之间，那么n的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式10-1】我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若一个三角形的a、b、c、p为四个连续正整数，则此三角形的面积为 ． 【变式10-2】阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦——秦九韶公式”．完成以下问题：如图，在中，，，． （1）求的面积； （2）过点作，垂足为，求线段的长． 基础巩固通关测 1．实数，其中无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．的相反数是（    ） A．3 B． C． D． 3．下列说法正确的是（   ） A．是的立方根 B．9的立方根是3 C．是的算术平方根 D．16的平方根是4 4．的绝对值是 ． 5．蓄水池（如图）是用人工材料修建、具有防渗作用的蓄水设施．某地准备修建一个容积为的正方体蓄水池，则该正方体蓄水池的棱长为 ． 6．若，则 ． 7．计算：． 8．解下列方程． (1) (2) 9．已知的算术平方根是3，的立方根为． (1)求的值； (2)求的平方根． 10．如图表示一个运算程序，输入一个数a，按照此程序进行运算后输出的数为b． (1)按照此程序进行运算，若，求b的值；若，求a的值． (2)若a，b均为整数，且输出的结果b的范围为，求符合条件的a的值有几个． 能力提升进阶练 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点所表示的数为（   ）    A． B．1.8 C． D． 3．对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知：和是正数M的平方根，的立方根为，则的算术平方根 ． 5．已知实数，，在数轴上的位置如图所示：    化简的结果为 ． 6．对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ． 7．解答下列各题 (1)计算：； (2)求中的的值． 8．如图，点A表示的实数为，点A沿数轴向右移动了2个单位长度到达点B，设点B表示的实数为m． (1)实数m的值为_________； (2)求的值； (3)若数轴上的C，D两点分别表示实数c和d，且与互为相反数，求的平方根． 9．对于任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：，．根据上面的材料，请完成下列问题： (1)___________，___________； (2)若，求x的值． 10．对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”． 例如：∵，∴247是13的“和倍数”． 又如：∵，∴214不是“和倍数”． (1)判断357，441是否是“和倍数”？说明理由； (2)三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，求出满足条件的所有数A． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 数的开方（复习讲义） 课程标准： 1 让学生经历数系的扩展过程，体验数学发展源于实践又作用于实际的辩证关系。 2 理解平方根、算术平方根、立方根等概念；认识平方与开平方、立方与开立方间的关系；会用平方、立方的概念求某些数的平方根与立方根，并用根号表示，会用计算器求一个非负数的算术平方根及任意一个数的立方根。 3 了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。 4 能估计某些无理数的大小，培养学生的数感与估计能力，会进行简单的实数运算。 中考考查的考点总结： 一、平方根的概念与性质 考点一：平方根的定义 考点二：算术平方根的定义 考点三：平方根的性质 二、立方根的概念与性质 考点四：立方根的定义 考点五：立方根的性质 三、开方的运算与应用 考点六：平方根与立方根的运算 考点七：开方在实际问题中的应用 四、与开方相关的其他考点 考点八：无理数的概念与表示 考点九：实数的大小比较 考点十：估算与精确计算 考点十一：开方与乘方的关系 考点十二：开方运算中的符号问题 章节 常考结论 易错点 平方根 非负数的平方根有两个值，互为相反数 忽略平方根的非负性，导致解集不完整 平方根与算术平方根的区别 混淆平方根与算术平方根的概念 立方根 任何实数的立方根只有一个值 计算立方根时忽略负数的情况 立方根与立方运算互为逆运算 在应用立方根与立方运算关系时出现错误 实数 实数集包括有理数和无理数 对无理数的概念理解不清 实数轴上点与实数一一对应 在实数轴上表示实数时出现错误 实数的运算律（加法、减法、乘法、除法、乘方） 在实数运算中忽略运算律的应用，导致计算错误 题型一 算术平方根的非负性 【例1】已知，则的值为（ ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质得到，求解即可，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故选：B． 【变式1-1】已知，一个非负数的两个平方根分别为和，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性、绝对值的非负性，熟练掌握几个非负数的和为0，则每个非负数均为0，是解此题的关键． 根据一个非负数的平方根互为相反数，得出，根据绝对值及算术平方根的非负性，可得，求出a，b的值，再代入进行计算，即可得到答案． 【详解】解：∵一个非负数的两个平方根分别为和， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【变式1-2】（1）已知一个正数的两个平方根是与，求的值； （2）若，求xy的平方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查平方根的性质，算术平方根的性质，求一个数的平方根： （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，进行求解即可； （2）根据被开方数为非负数，求出的值，进而求出的值，代入代数式求出代数式的值，进而求出平方根即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根是与， ∴， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∴的平方根为． 题型二 估算算数平方根 【例2】一个正方形的面积是8，估计它的边长大小在（   ） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的定义和估算无理数的大小，由正方形的面积等于边长的平方，故根据已知的面积开方即可求出正方形的边长为，然后由可得的取值范围． 【详解】解：设正方形边长为， 由正方形的面积为8得：， 又， ， ， ， ， 即正方形的边长在2与3之间，故B正确． 故选：B． 【变式2-1】已知一个正方形的面积为24，那么与它的边长最接近的整数是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了算术平方根的故事，根据正方形面积计算公式可得该正方形的边长为，再估算出的范围即可得到答案． 【详解】解：∵一个正方形的面积为24， ∴该正方形的边长为， ∵， ∴， ∴该正方形的边长最接近的整数是5， 故答案为：5． 【变式2-2】【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 【答案】（1）；（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）设，其中，则仿照题意可得，比较小，将忽略不计，则，据此可得，则； （2）可求出，据此可得结论． 【详解】解：（1）设，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下； ∵，， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 题型三 （算术）平方根与立方根综合 【例3】如果是8的立方根，则的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的综合应用，熟练掌握算术平方根和立方根定义是解题的关键．根据是8的立方根，求出，再根据算术平方根定义求出结果即可． 【详解】解：∵是8的立方根， ∴， ∴的算术平方根是． 故选：C． 【变式3-1】已知的立方根是2，的算术平方根是4，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、平方根和算术平方根，先根据题意得出，，求出a、b的值，再计算的值，最后求其平方根即可． 【详解】∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴，， 解得， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 【变式3-2】已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求、的值； (2)直接写出的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、平方根、一元一次方程，熟练掌握立方根、算术平方根、平方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根和算术平方根的定义即可求解； （2）根据平方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：的立方根是，的算术平方根是3， ，， 解得：，． （2）解：， ， 的平方根是． 题型四 算术平方根中的整数与小数部分 【例4】已知，且n是整数，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据无理数的估算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，及， 又∵，且n为整数， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数估算方法是解答的关键． 【变式4-1】若的整数部分是，小数部分为，则 ． 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义由得到，则，，然后计算． 【详解】∵ ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根，估算无理数的大小，利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算． 【变式4-2】已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】先依据算术平方根和平方根的定义列出关于、的方程组求得、的值，然后估算出的大小，可求得的值，接下来，求得的值，最后求它的平方根即可． 【详解】解：由题意得：， ，． ， ． ． ． 的平方根是． 【点睛】本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义、估算算术平方根的整数部分，熟练掌握相关定义和方法是解题的关键． 题型五 （算术）平方根与立方根的规律问题 【例5】用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根，能够读懂题意，理解图表是解题的关键．根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，据此求解即可． 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∵， ∴， 故选：A． 【变式5-1】已知数列（，且为整数） （1）当时，数列中一共有 个有理数 （2）若数列中共有44个有理数，则的最大整数值为 ． 【答案】 3 2024 【分析】本题考查了有理数的定义，算术平方根的求解，含乘方有理数的混合运算，熟练掌握相关知识为解题关键 （1）当时，数列中的10个数，由，， 这个三个有理数即可得出结果； （2）根据，可得出． 【详解】解：（1）当时，数列中有，， 这个三个有理数， 故答案为：3； （2）， 数列中共有44个有理数，则的最大整数值为， 故答案为：2024． 【变式5-2】（1）填表： a 0.001 1 1000 1000000 1 10 由表你发现了：被开方数的小数点向右(或左)移动 位，其立方根的小数点向右(或左)移动 位； （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ； ②已知，则 ． （3）用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积为立方米，需要多大面积的铁皮？ 【答案】（1）填表见解析，三，一；（2）①；②；（3）需要大约平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义，先将表格填完整，根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （2）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可； （3）设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：填表： a 0.001 1 1000 1000000 1 10 规律：数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位； （2）解：①∵， ∴； ②∵ ∴； （3）解：设正方体的棱长为米，则， ， （平方米）， 答：需要大约平方米的铁皮． 题型六 实数在数轴上化简 【例6】实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根及绝对值的化简．根据数轴上点的位置，确定a、b的正负，判断的正负，再化简给出的代数式，合并后得结果． 【详解】解：由数轴知：， ∴ 原式 ． 故选：B． 【变式6-1】如图，将有理数表示在数轴上，则化简的结果为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴与算术平方根的计算，理解数轴上点的符号，掌握算术平方根的计算是关键． 根据数轴特点可得，由此得到，结合算术平方根，立方根的计算即可求解． 【详解】解：由数轴特点可得， ∴， ∴ 故答案为： ． 【变式6-2】如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：． 【答案】b 【分析】此题主要考查了实数运算以及实数与数轴，平方根，立方根的求解，化简绝对值，直接利用数轴得出，再化简求解． 【详解】解：由数轴可得：， 原式． 题型七 实数中的规律 【例7】如图数阵是按一定规律排成的．规定：从上往下第a行，同时在该行，从左往右第b个数所在的位置用数对表示，如：数所在的位置可表示为，则数45所在的位置可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，由题意得，第n行有n个数，且第k个数为，则可求出前n行一共有个数，数45是第2025个数，再确定数45在第64行，而偶数行是从左到右按照从小到大的顺序排列，据此可确定数45的位置，则可得到答案． 【详解】解：由题意得，第n行有n个数，且第k个数为， ∴前n行一共有个数， ∵， ∴数45是第2025个数， ∵， ∴数45在第64行， ∵奇数行从左到右是按照从大到小的顺序排列，偶数行是从左到右按照从小到大的顺序排列， ∴45在第64行第个数， ∴数45所在的位置可表示为， 故选：D． 【变式7-1】观察下列各式：①；②；③根据以上等式规律，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了与实数加减相关的规律探究问题，找到规律是解题的关键．利用题中的等式可得规律为：＝ ， 将变形后，符合规律，根据规律可得结果，然后进行加减运算即可． 【详解】解：根据题意，第n个等式为 ＝ ∴ ； 故答案为： ． 【变式7-2】【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ；；；… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：_______． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了与实数运算有关的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题意可得规律，的正整数，据此求解即可； （2）根据（1）的规律求解即可． 【详解】（1）解：； ； ； …； ∴，的正整数， ∴． （2）解： ． 题型八 程序下的实数运算 【例8】在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出的y值是（   ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，根据程序框图计算，直至结果是无理数即可． 【详解】解：输入x的值是64时， 则， 那么， 因此2的算术平方根为是无理数，输出y的值， 故选B． 【变式8-1】如图，有一个数值转化器，当输入的x运行3次后，输出的y是，则输入的数x为 ． 【答案】81 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，流程图和无理数，根据题意，逆推，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：81． 【变式8-2】一个数值转换器如图所示： (1)当输入的x值为16时，输出的y值是 ． (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为 ． (3)若输出的y值是，请直接写出两个满足要求的x的值 ． 【答案】(1) (2)0和1 (3)5和25（答案不唯一） 【分析】本题考查了算术平方根，正确理解转换器的运算法则、熟知算术平方根的定义是解题的关键； （1）根据转换器的运算程序求解即可； （2）0或1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，即可解答； （3）根据25的算术平方根是5，5的算术平方根是即可得到答案. 【详解】（1）解：当输入的x值为16时，取算术平方根，即，4是有理数， 第二次输入，取算术平方根，即，2是有理数， 第三次输入，取算术平方根，即，是无理数， 所以输出的y值是； 故答案为：； （2）解：∵0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数， ∴当和1时，始终输不出y的值； 故答案为：0和1； （3）解：25的算术平方根是5，5的算术平方根是， ∴满足要求的x的值可以是5和25； 故答案为：5和25（答案不唯一）. 题型九 实数中的新定义 【例9】我们把称为有理数的差倒数，如：2的差倒数是，-2的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据差倒数的定义，计算前几项发现数列呈现周期性循环，周期为3。进一步分析符号交替规律，确定每三个项的和交替为和，总项数为2025，可整除周期3，得到总和的表达式． 本题考查了新定义，有理数的混合计算，循环节，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：1. 计算数列前几项： ，，， 由此可知，循环节为3：． 2. 分析符号交替规律： 表达式为，符号按交替。每三个项为一组，符号模式依次为和，对应的和分别为： 第一组：， 第二组：， 每两组（6项）的和为，但总项数2025为奇数个周期（675组），最后一组为奇数组，和为． 3. 计算总和： 总组数组，奇数组（338组）和为，偶数组（337组）和为，总和为： 故选：D． 【变式9-1】对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里的等式右边是通常的四则运算，例如：，已知，若关于的不等式恰好有4个正整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，根据不等式的解集情况求参数，解一元一次不等式组，解二元一次方程组，根据新定义可得，解方程组可得，则可解不等式得到，再根据不等式恰好恰好有4个正整数解建立不等式组求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∵关于的不等式恰好有4个正整数解， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式9-2】阅读理解，规定：表示不大于的最大整数（即的整数部分）；表示的值（即的小数部分），例如： (1)计算： ； (2)解不等式； (3)解方程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，理解新定义运算是解题关键． （1）根据新定义运算法则计算即可； （2）将新定义运算得到数值代入一元一次不等式，求解即可； （3）设（为整数），则，，则原方程变为，，根据求出，再根据为整数确定取值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：； （2）解：，， 原不等式变为：， 解得； （3）解：设（为整数）， ， ， ， ， 原方程变为， 整理得：， ， 表示的小数部分， ， ， ， 又为整数， 或， 当时，， 当时，， 综上：原方程的解为或． 题型十 秦九韶——海伦公式 【例10】我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积.如果某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积S介于整数和n之间，那么n的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解本题的关键． 先计算三角形的面积为，再估算的范围可得：，从而可得答案． 【详解】解：三角形的三边长分别为2，3，3，则， ∴其面积 ， ∵， ∴n的值为3． 故选：C． 【变式10-1】我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若一个三角形的a、b、c、p为四个连续正整数，则此三角形的面积为 ． 【答案】6 【分析】不妨设，根据已知条件和三角形三边的关系证明，再由a、b、c、p为四个连续正整数得到，则，求出，则，由此代入公式求出面积即可． 【详解】解：不妨设， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵a、b、c、p为四个连续正整数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的应用，求一个数的算术平方根，正确求出a、b、c、p的值是解题的关键． 【变式10-2】阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦——秦九韶公式”．完成以下问题：如图，在中，，，． （1）求的面积； （2）过点作，垂足为，求线段的长． 【答案】（1）6；（2） 【分析】（1）利用阅读材料，先计算出p的值，然后根据海伦公式计算△ABC的面积； （2）利用面积法求CD的长． 【详解】（1）∵，，.    ∴， ∴ ∴的面积是6 （2）如图过点作，垂足为， ∵ ∴是的高 ∵ ∵ ∴. 【点睛】本题考查了求算术平方根和阅读理解能力，解题关键是理解题意，准确应用公式进行计算． 基础巩固通关测 1．实数，其中无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键，无理数是无限不循环小数，由此即可判定． 【详解】解：是有理数， 无理数有， 综上，无理数有个， 故选B． 2．的相反数是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数的定义，根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，因此，求的相反数只需改变其符号即可． 【详解】解：是一个正数，其相反数是在它前面添加负号，即． 故选：C． 3．下列说法正确的是（   ） A．是的立方根 B．9的立方根是3 C．是的算术平方根 D．16的平方根是4 【答案】A 【分析】本题考查立方根、平方根及算术平方根的定义，需逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A．，故是的立方根，选项A正确； B．，因此的立方根不是，故选项B错误，不符合题意； C．，其算术平方根为，而非，故选项C错误，不符合题意； D．的平方根为，而选项仅提到，遗漏负根，故选项D错误，不符合题意； 故选：A． 4．的绝对值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是求一个数的绝对值，解题关键是熟练掌握如何求一个数的绝对值． 根据绝对值的定义即可得解． 【详解】解：， ． 故答案为：． 5．蓄水池（如图）是用人工材料修建、具有防渗作用的蓄水设施．某地准备修建一个容积为的正方体蓄水池，则该正方体蓄水池的棱长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了立方根的应用，根据正方体的体积公式结合立方根定义，求出正方体蓄水池的棱长即可． 【详解】解：∵正方体蓄水池容积为， ∴正方体蓄水池的棱长为． 故答案为：5． 6．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负性的性质，代数式求值，几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，据此可求出a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根、立方根、负数的整数次幂、实数的绝对值是解题的关键． 根据相关运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 8．解下列方程． (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了平方根与立方根的定义，根据平方根与立方根的定义，解方程，即可求解． （1）先将的系数化为，再用平方根的定义解方程即可； （2）先移项，然后根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴或； （2）解： ∴ ∴ 解得：． 9．已知的算术平方根是3，的立方根为． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了平方根和立方根的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． （1）运用算术平方根和立方根知识求得a，b的值； （2）将a，b的值代入，再运用平方根知识进行求解． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是3， ∴， 解得， ∵的立方根为， ∴， 解得， （2）解：当时，， ∴16的平方根为． 10．如图表示一个运算程序，输入一个数a，按照此程序进行运算后输出的数为b． (1)按照此程序进行运算，若，求b的值；若，求a的值． (2)若a，b均为整数，且输出的结果b的范围为，求符合条件的a的值有几个． 【答案】(1)4； (2)4 【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数运算，解一元一次不等式组，正确理解题意是解题的关键． （1）当时，，当时，，据此代值计算即可； （2）当时，，则可推出不符合题意；当时，则，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； 当时，∵， ∴， ∴，不符合题意； 当时，， ∴； （2）解：当时，， ∵， ∴此时， ∴， ∴， ∴，不符合题意； 当时，， ∵， ∴， ∴， 又∵a、b都是整数， ∴符合条件的a的值有2，3，4，5，共4个． 能力提升进阶练 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根与立方根的基本概念及运算，熟练掌握平方根与立方根的基本概念及运算是解题的关键．根据平方根与立方根的基本概念及运算法则逐一验证即可． 【详解】A、因为，所以，所以A选项错误，不符合题意； B、因为，所以B选项错误，不符合题意； C、因为，所以C选项错误，不符合题意； D、因为，所以，所以D选项正确，符合题意． 故选：D． 2．如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点所表示的数为（   ）    A． B．1.8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的点与实数一一对应，求一个数的算术平方根，正确理解题意是解题的关键．设含角的三角板直角边为，由面积法即可求解三角板直角边为，即可表示数轴上点所表示的数． 【详解】解：设含角的三角板直角边为， 则， 则， ∵直角顶点与数轴上表示的点重合， ∴数轴上点所表示的数为， 故选：C． 3．对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了实数的新定义运算，解一元一次不等式组，根据新定义运算分类讨论是解题的关键．根据新定义运算法则，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴，故①正确， ②∵， 当时，， 当时，，即，故②不正确； ③不成立，例如，则，故③不正确； ④当即时， 则：， 解得：， ∴； 当，即时， 则：， 解得：， ∴， 综上所述，，故④正确， 故正确的有①和④，共2个， 故选：B． 4．已知：和是正数M的平方根，的立方根为，则的算术平方根 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了根据立方根求原数，平方根的定义，求一个数的算术平方根，根据和是正数M的平方根可得与相等或与互为相反数，据此求出a的值， 再由立方根的定义求出b的值，则可求出的值，最后根据算术平方根的定义即可求出答案． 【详解】解：当时，则， 当与不相等时， ∵和是正数M的平方根， ∴， ∴； 综上所述，或； ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴或， ∴的算术平方根是或， 故答案为；或． 5．已知实数，，在数轴上的位置如图所示：    化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴，二次根式的性质，绝对值的意义，利用数轴确定出的符号是解题的关键．利用数轴确定出，，的符号，再利用二次根式和绝对值的意义化简运算即可． 【详解】解：由数轴可得：，， 故答案为：． 6．对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ． 【答案】 2 11 【分析】本题主要考查了新定义，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据15除以3的余数为0可得第一次变换后的数为5，再根据5除以3的余数为2可得第二次变换后的数，同理可得第三次变换后的数； （2）第二次变换后的结果为1，那么第一次变换后的结果为3或或，再验证这三个数是否可经过变换后得1即可确定第一次变换后得到的数，据此根据第一次变换得到的数可推出n的三个值，再同理可验证符合题意的n，据此可得答案． 【详解】解；（1）∵， ∴15进行一次变换后得到的数为； ∵， ∴15进行二次变换后得到的数为； ∵， ∴15进行三次变换后得到的数为2， 故答案为：2； （2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为，此时符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 综上所述，第一次变换后所得的数为3， 当n除以3的余数为0时，则，符合题意； 当n除以3的余数为1时，则，不符合题意； 当n除以3的余数为2时，则，符合题意； ∴符合题意的n的值是9或2， ∴所有满足条件的n的值之和为， 故答案为；11． 7．解答下列各题 (1)计算：； (2)求中的的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，利用立方根解方程： （1）去绝对值，再进行加减运算即可； （2）移项，合并后，利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解：原式； （2）， ， ∴． 8．如图，点A表示的实数为，点A沿数轴向右移动了2个单位长度到达点B，设点B表示的实数为m． (1)实数m的值为_________； (2)求的值； (3)若数轴上的C，D两点分别表示实数c和d，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案； （2）由（1）可知，则可得出，，再利用绝对值的性质化简绝对值号，继而求得答案； （3）根据非负数的性质求出，，或，．的值，再代入，进而求其平方根． 【详解】（1）解： （2）解：因为，则，， 所以 （3）解：因为与互为相反数， 所以， 所以，， 解得，，或，． ①当，时，， 所以无平方根． ③当，时，， 所以的平方根为． 综上，的平方根为． 【点睛】本题考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 9．对于任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：，．根据上面的材料，请完成下列问题： (1)___________，___________； (2)若，求x的值． 【答案】(1)1；2； (2)， 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用已知的新定义进行分类讨论并列出方程，再计算求出x的值即可． 【详解】（1）， ， ； 故答案为：1；2； （2）若时，即时，则 ， 解得：， 若时，即时，则 ， 解得：，不合题意，舍去， ， 【点睛】此题考查了实数的新定义运算及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键． 10．对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”． 例如：∵，∴247是13的“和倍数”． 又如：∵，∴214不是“和倍数”． (1)判断357，441是否是“和倍数”？说明理由； (2)三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，求出满足条件的所有数A． 【答案】(1)357不是15“和倍数”，441是9的“和倍数”；理由见解析 (2)数A可能为732或372或516或156 【分析】（1）根据题目中给出的“和倍数”定义进行判断即可； （2）先根据三位数A是12的“和倍数”得出，根据，是最大的两位数，是最小的两位数，得出，（k为整数），结合得出，根据已知条件得出，从而得出或，然后进行分类讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴357不是15“和倍数”； ∵， ∴441是9的“和倍数”． （2）∵三位数A是12的“和倍数”， ∴， ∵， ∴在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数，最小的两位数， ∴， ∵为整数， 设（k为整数）， 则， 整理得：， 根据得：， ∵， ∴，解得， ∵“和倍数”是各数位上的数字均不为0的三位自然数， ∴， ∴， ∴， 把代入得： ， 整理得：， ∵，k为整数， ∴或， 当时，， ∵， ∴，， ，，，或，，， 要使三位数A是12的“和倍数”，数A必须是一个偶数， 当，，时，组成的三位数为或， ∵， ∴是12的“和倍数”， ∵， ∴是12的“和倍数”； 当，，时，组成的三位数为或， ∵， ∴不是12的“和倍数”， ∵， ∴不是12的“和倍数”； 当时，， ∵， ∴， ，，，组成的三位数为516或156， ∵， ∴是12的“和倍数”， ∵， ∴是12的“和倍数”； 综上分析可知，数A可能为732或372或516或156． 【点睛】本题主要考查了新定义类问题，数的整除性，列代数式，利用数位上的数字特征和数据的整除性，是解题的关键，分类讨论是解答本题的重要方法，本题有一定的难度． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$