专题01 数轴的六类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版2024七年级上册

专题01 数轴的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、用数轴上的点表示有理数 类型二、利用数轴比较有理数的大小 类型三、数轴上两点之间的距离 类型四、数轴上的折叠问题 类型五、数轴上的动点问题 类型六、数轴上的规律探究问题 压轴专练 类型一、用数轴上的点表示有理数 1.数轴的概念与三要素：数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。原点是数轴的基准点，确定0的位置；正方向一般规定向右为正；单位长度根据实际需求选取，用于衡量数的大小。三要素缺一不可，它们共同构成数轴，为有理数的表示提供基础框架。 2.有理数在数轴上的表示方法：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。正有理数在原点右侧，负有理数在原点左侧，数值大小决定点到原点的距离。例如，+3在原点右侧3个单位长度处，-2在原点左侧2个单位长度处 ，0用原点表示。 3.数轴上点与有理数的关系：数轴上的点与有理数并非一一对应，有理数能在数轴找到对应点，但数轴上还存在无理数对应的点。利用数轴可直观比较有理数大小，右边的点表示的数总比左边的大，方便理解有理数的顺序与数量关系。 例1．已知5个数分别为0，，，， (1)将题中5个数在数轴上表示出来； (2)将题中5个数按从小到大的顺序用“”连接起来． 【变式1-1】（1）请你在数轴上表示下列有理数：，，，，． （2）将上列各数用“”号连接起来：_________． 【变式1-2】已知下列有理数： (1)中，底数是_______，指数是_______． (2)在数轴上表示出这些有理数，并找出一对相反数． (3)把这些有理数用“＜”号连接起来． 【变式1-3】有理数：，0，，，，． (1)将上面各数在数轴上表示出来，并用“”连接起来； (2)将上面的数填入相应的圈内． 类型二、利用数轴比较有理数的大小 1.数轴比较大小的基本原理：数轴上的点从左到右，对应的数逐渐增大。这是因为数轴以向右为正方向，正方向代表数值增大的趋势，所以有理数在数轴上的位置决定了其大小关系，这种直观的几何表示将抽象的数的大小比较转化为点的位置关系判断。 2.具体比较方法：正数在原点右侧，负数在原点左侧，所以正数大于0，0大于负数，正数大于负数；同为正数时，离原点越远的点表示的数越大，例如3在2右侧，则3＞2；同为负数时，离原点越远的点表示的数反而越小，如-2在-1左侧，则-2＜-1。 3.应用与意义：通过数轴比较有理数大小，能更直观理解数的顺序和相对大小关系，解决大小比较、排序等问题。同时，这种方法为后续学习实数大小比较、不等式解集表示等知识奠定基础，将数与形紧密结合，提升数学思维能力。 例2．数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】，两数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，点A表示的有理数是，则，，1的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知三个数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 类型三、数轴上两点之间的距离 1. 距离定义与原理：数轴上两点之间的距离，指两点所表示的数差的绝对值，体现了数与形的结合。其本质是两点对应有理数在数轴上位置间隔的单位长度数量，通过绝对值运算消除方向影响，确保距离为非负值。 2. 计算方法：设数轴上两点表示的数分别为a和b，则两点间距离d = |a - b| 。无论a、b正负及大小关系如何，均可套用此公式。例如，求表示3与-2的两点距离，d=|3 - (-2)| = |5| = 5；当a、b中有0时，如0与4，距离为|0 - 4| = 4 。 3. 应用场景：常用于求解数轴上动点问题、绝对值方程等。在实际问题中，可借助距离公式确定位置关系，如计算行程问题中的位置间隔，或根据已知距离条件求未知点表示的数，深化对数轴性质和绝对值概念的理解与运用。 例3．如果直线上点到原点（表示0的点）的距离为2，点到原点的距离为7，那么点与点的距离可能是 ． 【变式3-1】在数学超市课上，李老师出了这样一道题：点是数轴上一点，一只蚂蚁从点出发爬了个单位长度到了表示的数的点，则点所表示的数是 ． 【变式3-2】如图，数轴上点、所表示的数分别为、、、两点分别从、两点出发同时以1个单位长度／秒的速度在数轴上运动，、分别是与的中点，当运动时间为3秒时，、两点之间的距离是 ． 【变式3-3】一条数轴，从数轴上面剪下6个单位长度（从到4）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ． 类型四、数轴上的折叠问题 1. 确定对称中心：折叠后重合的两点所连线段的中点对应的数，即为折叠点（对称中心）。通过计算两点数值和的一半，能得出对称中心对应的数，这是解决折叠问题的基础。 2. 计算对应点数值：已知某点与对称中心，根据对称关系，利用对称中心与已知点的距离，可求出该点折叠后的对应点数值。若已知点在对称中心左侧，对应点在右侧且与对称中心距离相同，反之亦然。 3. 解决数量关系问题：折叠问题常涉及线段长度、点表示的数之间的数量关系。结合对称性质与数轴上两点间距离公式（两点数值差的绝对值），建立方程求解未知量 ，是突破此类问题的核心方法。 例4．【操作探究】已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 【操作一】 （1）折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合； 【操作二】 （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，那么表示5的点与表示______的点重合，此时若数轴上两点（在的左侧）之间的距离为9，且两点经折叠后重合，则，两点表示的数分别是多少？ 【变式4-1】已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面．    (1)若表示的点与表示1的点重合，则表示3的点与表示 的点重合； (2)若表示1的点与表示的点重合，回答下列问题： ①表示0的点与表示 的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为8，在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数多少？ 【变式4-2】已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面． (1)若表示的点与表示2的点重合，则表示1的点与表示___________的点重合； (2)若表示1的点与表示的点重合，回答下列问题： ①表示3的点与表示___________的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为12，（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数多少？ 【变式4-3】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和点建立起一一对应的关系，揭示了代数与几何之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，小安在一张长方形纸条上画了一条数轴，然后进行了实践探究： (1)折叠纸条，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示___________的点重合． (2)在数轴上A，B两点之间的距离为2024（点A在点B的左侧），折叠纸条，使表示6的点与表示的点重合．此时A，B两点也重合，则点A表示的数是___________． (3)定义：P，Q为数轴上任意两点，若折叠纸条使点P，Q重合，折痕与数轴的交点为点M，则称点M为点P和点Q的“叠点”． 点C，D，O在数轴上，点C是数轴上最大的负整数点，点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7．折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”．若存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，．求点F到“叠点”E的距离． 类型五、数轴上的动点问题 1.基本概念与表示方法：数轴上的动点指在数轴上按特定规律运动的点，通常用含未知数的代数式表示其位置。设动点初始位置表示的数为a，运动速度为v，运动时间为t，若向右运动，动点位置表示的数为a + vt；向左运动则为a - vt ，这是解决动点问题的基础。 2.核心问题类型：常涉及求动点相遇、相距特定距离、到达指定位置等问题。如求两动点相遇时间，需根据两者运动后位置相同列方程；求相距固定距离，利用两点间距离公式列绝对值方程求解；到达指定位置则根据终点数值建立等式，均围绕动点位置表达式构建方程。 3.解题策略与技巧：关键是把握动点运动规律，结合数轴上两点距离公式，通过“数”与“形”结合建立方程或不等式。同时注意运动方向、起始位置和条件限制，分情况讨论多种可能性，检验答案是否符合实际运动场景，从而准确解决问题。 例5．如图，在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． (1)将A，B，C三点所表示的数在如图所示的数轴上表示出来； (2)根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度所到达的点？ (3)如果移动点A，B，C中的两个点，使得三个点重合，你有几种移动方法？请分别求出移动的长度之和． 【变式5-1】已知，动点A在数轴上以不变的速度向右运动，同时，动点B在数轴上以不变的速度向左运动，运动规律如下表： 运动时间（s） 0 1 4 9 …… 点A表示的数 2 ____ ____ …… 点B表示的数 ____ ___ …… (1)补全表格中的数据； (2)当运动时间为时，求之间的距离． 【变式5-2】已知点M、N在数轴上，点M对应的数是，点N在点M的右边，且距点M为4个单位长度．    (1)直接写出点N所对应的有理数； (2)点P是数轴上一动点，请直接写出点P到点M和点N的距离和的最小值； (3)若点P到点M、N的距离之和是6个单位长度： ①求点P所对应的有理数是多少？ ②如果点Q从点N出发，沿数轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，t秒后P、Q两点相距4个单位长度，求t． 【变式5-3】【阅读材料】若数轴上点、点表示的数分别为，（），则、两点间的距离可表示为，记作． 【解决问题】一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动10个单位长度到达点． (1)请画出数轴，并在数轴上标出、两点的位置； (2)若动点，分别从点，同时出发，沿数轴向左运动．已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为秒（）． ①用含的代数式表示：秒时，点表示的数为______，点表示的数为______； ②为何值时，点表示的数与点表示的数互为相反数？ ③为何值时，，两点之间的距离为4？ 类型六、数轴上的规律探究问题 1.数字排列规律：观察数轴上数字的分布，分析其等差、等比或周期性规律。如相邻数差值固定的等差数列（如2，4，6，8… 相邻数差为2）；等比数列则后一项与前一项比值恒定；周期性规律表现为数字每隔固定间隔重复出现，需结合数轴单位长度与点的位置确定规律通项公式。 2.图形与点的关系规律：研究数轴上点构成的图形特征，如多个点组成线段、多边形等，通过分析点坐标与图形边长、面积的关系，推导数量变化规律。例如等间距分布的点形成线段，线段数量、长度随点数变化存在特定关系，可借助代数方法归纳总结。 3.操作与变化规律：针对数轴上点的移动、标记、对称等操作，探究每次操作后点的位置、对应数字的变化规律。如点每次按倍数关系移动，或经对称变换后，需记录操作前后数据，对比分析变化趋势，用代数式表示一般性规律，解决拓展延伸问题。 例6．在数轴上，点O表示原点，现将点从O点开始沿数轴如下移动，第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点，当时，这时点与原点的距离是 个单位． 【变式6-1】数轴上有A对应的数是，一只蚂蚁从点A出发，第一次先沿数轴负方向爬2个单位，第二次沿正方向爬4个单位，第三次沿负方向爬6个单位，第四次沿正方向爬8个单位，按此规律，当蚂蚁爬完100次时，停在了点B处．如图，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，且，则点C表示的数是 ． 【变式6-2】在数轴上，表示的点开始移动，第1次先从点向左移动1个单位至点，第2次从向右移动2个单位至点；第3次从点向左移动3个单位至点，第4次从点向右移动4个单位至点；按此规律移动，则点在数轴上表示的数是 ． 【变式6-3】一电子跳蚤落在数轴上的某点k0处，第一次从k0向左跳1个单位到k1，第二次从k1向右跳2个单位到k2，第三次由k2处向左跳3个单位到k3，第四次由k3向右跳4个单位k4…，按以上规律： （1）若k0处为原点，那第10次时，跳蚤落在数轴上的点表示的数是多少？第2019次呢？ （2）若跳了100次后，电子跳蚤落在数轴上的点表示的数是0，则k0表示的数是多少？ 一、单选题 1．在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 2．在数轴上，表示有理数a，b的点的位置如图所示，把个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且，下列推断正确的是（    ） A．原点一定在点A左侧 B．原点一定在点A右侧 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 4．如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，，，，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2024将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 5．在数轴上有A，B，C三点，其中点A表示的数是2，点B表示的数是，如果其中一点为另外两点形成的线段的中点，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或8或2 C．或8或1 D．或或8 二、填空题 6．已知数轴上点为，点由点向右移动8个而得，点距离点两个单位，则点在数轴上对应的数为 ． 7．如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式：①；②；③．其中正确式子的序号是 ． 8．如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是，8．若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒，当点Q遇到点P时，两点都立即以原来的速度向相反的方向运动，当点P到达点A时，两点同时停止运动．当 秒时，． 9．点的初始位置位于数轴上的原点，现对点做如下移动：第次从原点向右移动个单位长度至点，第次从点向左移动个单位长度至点，第次从点向右移动个单位长度至点，第次从点向左移动个单位长度至点……依次类推． （1）移动次后该点对应的数为 ； （2）这样移动次后该点到原点的距离为，则 ． 10.长方形纸片上有一数轴，剪下个单位长度（从到）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 三、解答题 11．画数轴 (1)将下列各数在数轴上表示出来 ，0，，， (2)将上列各数用“”连接起来 12．如图，以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B；C刚好对应着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10．设点A，B，C所表示的数的和是m，该数轴的原点为O，向右为正方向． (1)若点A所表示的数是，则点所表示的数是_______； (2)若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点O对应直尺上的刻度为_______； (3)若点B，O之间的距离为4，求m的值． 13．数轴上不重合的三个点，若其中一点到另外两点的距离的比值为，则称这个点是另外两点的n阶伴侣点．如图，O是点A、B的1阶伴侣点；O是点A、C的2阶伴侣点；O也是点B、C的2阶伴侣点． (1)如图，C是点A、B的______阶伴侣点； (2)若数轴上两点M、N分别表示和4，则M、N的阶伴侣点所表示的数是多少？ 14．，分别是数轴上两个不同点，所表示的有理数，且，，，两点在数轴上的位置如图所示： (1)试确定数，； (2)若点在数轴上，点到点的距离是点到点距离的，求点表示的数； (3)点从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，依次操作次后，求点表示的数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数轴的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、用数轴上的点表示有理数 类型二、利用数轴比较有理数的大小 类型三、数轴上两点之间的距离 类型四、数轴上的折叠问题 类型五、数轴上的动点问题 类型六、数轴上的规律探究问题 压轴专练 类型一、用数轴上的点表示有理数 1.数轴的概念与三要素：数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。原点是数轴的基准点，确定0的位置；正方向一般规定向右为正；单位长度根据实际需求选取，用于衡量数的大小。三要素缺一不可，它们共同构成数轴，为有理数的表示提供基础框架。 2.有理数在数轴上的表示方法：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。正有理数在原点右侧，负有理数在原点左侧，数值大小决定点到原点的距离。例如，+3在原点右侧3个单位长度处，-2在原点左侧2个单位长度处 ，0用原点表示。 3.数轴上点与有理数的关系：数轴上的点与有理数并非一一对应，有理数能在数轴找到对应点，但数轴上还存在无理数对应的点。利用数轴可直观比较有理数大小，右边的点表示的数总比左边的大，方便理解有理数的顺序与数量关系。 例1．已知5个数分别为0，，，， (1)将题中5个数在数轴上表示出来； (2)将题中5个数按从小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了绝对值、用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数大小等知识，将各数准确表示在数轴上是解题关键． （1）首先化简，然后根据数轴的定义和性质，将各数在数轴上表示出来即可； （2）在数轴上表示的有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数，结合数轴比较各数大小即可． 【详解】（1）解：，， 在数轴上表示出来，如图所示； （2）解：由各点在数轴上的位置可知： ． 【变式1-1】（1）请你在数轴上表示下列有理数：，，，，． （2）将上列各数用“”号连接起来：_________． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据绝对值，有理数的乘方，多重符号的化简整理各数，再利用有理数与数轴对应的关系在数轴上表示各有理数； （2）根据各有理数在数轴上的位置比较大小，即可解题． 【详解】解：（1）因为，，， 则在数轴上表示有理数如下图所示： （2）由数轴可知：． 故答案为：． 【点睛】本题考查化简绝对值，有理数的乘方，多重符号的化简，在数轴上表示有理数，以及利用数轴比较大小，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 【变式1-2】已知下列有理数： (1)中，底数是_______，指数是_______． (2)在数轴上表示出这些有理数，并找出一对相反数． (3)把这些有理数用“＜”号连接起来． 【答案】(1)， (2)数轴见解析，与1是相反数 (3) 【分析】（1）根据乘方的意义解答即可； （2）先化简乘方、多重符号，然后在数轴上准确找出各数对应的点； （3）从数轴上按照从左到右的顺序用“<”号把这些数连接起来即可． 【详解】（1）解：中，底数是，指数是3． 故答案为：，3； （2）解：， 如图，与1是相反数，      （3）． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方、化简多重符号、数轴、有理数大小比较等知识点，准确在数轴上找出各数对应的点是解题的关键． 【变式1-3】有理数：，0，，，，． (1)将上面各数在数轴上表示出来，并用“”连接起来； (2)将上面的数填入相应的圈内． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【分析】本题主要考查了利用数轴比较有理数大小比较，绝对值与相反数，有理数的分类，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点． （1）根据数轴上点的特点把各数表示在数轴上，并根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果即可； （2）根据有理数的分类解答即可． 【详解】（1）解：，，，， 如图所示： ， 故． （2）解：如图所示： 类型二、利用数轴比较有理数的大小 1.数轴比较大小的基本原理：数轴上的点从左到右，对应的数逐渐增大。这是因为数轴以向右为正方向，正方向代表数值增大的趋势，所以有理数在数轴上的位置决定了其大小关系，这种直观的几何表示将抽象的数的大小比较转化为点的位置关系判断。 2.具体比较方法：正数在原点右侧，负数在原点左侧，所以正数大于0，0大于负数，正数大于负数；同为正数时，离原点越远的点表示的数越大，例如3在2右侧，则3＞2；同为负数时，离原点越远的点表示的数反而越小，如-2在-1左侧，则-2＜-1。 3.应用与意义：通过数轴比较有理数大小，能更直观理解数的顺序和相对大小关系，解决大小比较、排序等问题。同时，这种方法为后续学习实数大小比较、不等式解集表示等知识奠定基础，将数与形紧密结合，提升数学思维能力。 例2．数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数，熟练掌握利用数轴比较有理数的大小的方法是解题的关键． 比较有理数的大小的法则：数轴上右边点表示的数大于左边点表示的数．观察数轴得出，即可逐一判断． 【详解】解：由数轴可知，， 故选：C． 【变式2-1】，两数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上有理数的位置，计算判断即可． 本题考查了数轴上表示有理数，借助数轴进行数或式子的大小比较，熟练掌握数轴上大小比较的原则是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， ∴A错误，不符合题意； B错误，不符合题意；      C错误，不符合题意；     D正确，符合题意； 故选D． 【变式2-2】如图，点A表示的有理数是，则，，1的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用数轴比较有理数的大小，根据点在数轴上的位置，结合数轴上的数左边比右边的大，进行比较即可． 【详解】解：由图可知：， 所以， ∴． 故选A． 【变式2-3】已知三个数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，根据数轴可知，，据此逐项判断即可，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：根据数轴可知，， 则、，原选项结论错误，不符合题意； 、，原选项结论错误，不符合题意； 、，原选项结论错误，不符合题意； 、，原选项结论正确，符合题意； 故选：． 类型三、数轴上两点之间的距离 1. 距离定义与原理：数轴上两点之间的距离，指两点所表示的数差的绝对值，体现了数与形的结合。其本质是两点对应有理数在数轴上位置间隔的单位长度数量，通过绝对值运算消除方向影响，确保距离为非负值。 2. 计算方法：设数轴上两点表示的数分别为a和b，则两点间距离d = |a - b| 。无论a、b正负及大小关系如何，均可套用此公式。例如，求表示3与-2的两点距离，d=|3 - (-2)| = |5| = 5；当a、b中有0时，如0与4，距离为|0 - 4| = 4 。 3. 应用场景：常用于求解数轴上动点问题、绝对值方程等。在实际问题中，可借助距离公式确定位置关系，如计算行程问题中的位置间隔，或根据已知距离条件求未知点表示的数，深化对数轴性质和绝对值概念的理解与运用。 例3．如果直线上点到原点（表示0的点）的距离为2，点到原点的距离为7，那么点与点的距离可能是 ． 【答案】5或9 【分析】本题考查了数轴上两点之间距离的计算，掌握两点之间距离的计算是关键． 根据题意，分类讨论：当两点在原地同侧时；当两点在原点异侧时；由两点之间距离的计算即可求解． 【详解】解：当两点在原地同侧时，； 当两点在原点异侧时，或； ∴点与点的距离可能是5或9， 故答案为：5或9 ． 【变式3-1】在数学超市课上，李老师出了这样一道题：点是数轴上一点，一只蚂蚁从点出发爬了个单位长度到了表示的数的点，则点所表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴的动点问题，准确计算是解题的关键． 根据题意，分两种情况讨论即可求解； 【详解】解：从数轴上点出发向左爬了个单位长度到了表示的数的点，则点表示的数是； 从数轴上点出发向右爬了个单位长度到了表示的数的点，则点表示的数是； 综上所述，点所表示的数是或； 故答案为：或 【变式3-2】如图，数轴上点、所表示的数分别为、、、两点分别从、两点出发同时以1个单位长度／秒的速度在数轴上运动，、分别是与的中点，当运动时间为3秒时，、两点之间的距离是 ． 【答案】3或6或9 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，线段的中点，根据题意利用分类讨论思想解题是关键． 分①点P，Q同时向右，同时向左，点P向左点Q向右，点P向右点Q向左四种情况，结合数轴上两点间的距离和线段中点的定义计算求解． 【详解】解：①当点P，Q同时向右运动时， 当运动时间为3秒时，点P表示的数为1，点Q表示的数为7，此时， ∵、分别是与的中点， ∴，， ∴、两点之间的距离是； ②当点P，Q同时向左运动时， 当运动时间为3秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为1，此时， ∵、分别是与的中点， ∴，， ∴、两点之间的距离是； ③当P向左，点Q向右运动时， 当运动时间为3秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为7，此时， ∵、分别是与的中点， ∴，， ∴、两点之间的距离是； ④当P向右，点Q向左运动时， 当运动时间为3秒时，点P表示的数为1，点Q表示的数为1，此时， ∵、分别是与的中点， ∴，， ∴、两点之间的距离是； 综上，、两点之间的距离是3或6或9， 故答案为：3或6或9. 【变式3-3】一条数轴，从数轴上面剪下6个单位长度（从到4）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ． 【答案】或1或 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键．设三条线段的长分别是，，，由题意可得，求出，再分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解即可． 【详解】解：∵三条线段的长度之比为， ∴设三条线段的长分别是，，， ∵到4的距离是6， ， ， 三条线段的长分别为，，3， ①当时，折痕点表示的数是； ②当时，折痕点表示的数是； ③当时，折痕点表示的数是； 综上所述：折痕处对应的点表示的数可能或1或． 故答案为：或1或． 类型四、数轴上的折叠问题 1. 确定对称中心：折叠后重合的两点所连线段的中点对应的数，即为折叠点（对称中心）。通过计算两点数值和的一半，能得出对称中心对应的数，这是解决折叠问题的基础。 2. 计算对应点数值：已知某点与对称中心，根据对称关系，利用对称中心与已知点的距离，可求出该点折叠后的对应点数值。若已知点在对称中心左侧，对应点在右侧且与对称中心距离相同，反之亦然。 3. 解决数量关系问题：折叠问题常涉及线段长度、点表示的数之间的数量关系。结合对称性质与数轴上两点间距离公式（两点数值差的绝对值），建立方程求解未知量 ，是突破此类问题的核心方法。 例4．【操作探究】已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 【操作一】 （1）折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合； 【操作二】 （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，那么表示5的点与表示______的点重合，此时若数轴上两点（在的左侧）之间的距离为9，且两点经折叠后重合，则，两点表示的数分别是多少？ 【答案】（1）2；（2），点表示的数为，点表示的数为 【分析】本题考查了数轴说两点之间的距离，轴对称的性质，利用轴对称性质是解答关键． （1）利用轴对称的性质解答即可； （2）利用轴对称的性质求得折痕处对应的数，再利用轴对称的性质解答即可；利用轴对称的性质可得两点距离折痕处的距离分别为，结合数轴解答即可． 【详解】解：（1）由题意可得：对称中心是原点， 示的点与数2表示的点重合； （2）表示的点与3表示的点重合， 对称中心是1表示的点， 5表示的点与数表示的点重合， 数轴上A、两点之间的距离为9（在的左侧）， 点A表示的数是， 点表示的数是． 【变式4-1】已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面．    (1)若表示的点与表示1的点重合，则表示3的点与表示 的点重合； (2)若表示1的点与表示的点重合，回答下列问题： ①表示0的点与表示 的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为8，在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数多少？ 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】此题考查数轴上的点和数之间的对应关系，结合数轴，找到折痕是解决问题的关键． （1）根据对称的知识，若表示的点与1表示的点重合，则折痕是原点，从而找到3的对称点； （2）由表示1的点与表示的点重合，可确定折痕是表示的点，则： ①表示0的点与表示的点重合； ②由题意可得、两点距离折痕的距离为4，据此求解． 【详解】（1）解：表示的点与1表示的点重合， 折痕在原点处， 表示3的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）解：①表示1的点与表示的点重合， 折痕在处， 表示0的点与表示的点重合， 故答案为：； ②若数轴上、两点之间的距离为在的左侧）， 则点表示的数是， 点表示的数是． 所以、两点表示的数分别是，2． 【变式4-2】已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面． (1)若表示的点与表示2的点重合，则表示1的点与表示___________的点重合； (2)若表示1的点与表示的点重合，回答下列问题： ①表示3的点与表示___________的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为12，（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数多少？ 【答案】(1) (2)①；②、两点表示的数分别是，5 【分析】此题考查数轴上的点和数之间的对应关系， （1）根据对称的知识，若表示的点与表示2的点重合，则对称中心是原点，从而找到1的对称点； （2）由表示1的点与表示的点重合，可确定对称中心是表示的点，则： ①表示3的点与对称中心距离为4，与左侧与对称中心距离为的点重合； ②由题意可得、两点距离对称中心的距离为6，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵表示的点与表示2的点重合， ∴对称中心是原点， ∴表示1的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）解：∵表示1的点与表示的点重合， ∴对称中心是表示的点， ①表示3的点与表示表示的点重合， 故答案为：； ②若数轴上、两点之间的距离为在的左侧），且、两点经折叠后重合， ∴且、两点到的距离相等都为， 则点表示的数是，点表示的数是． ∴、两点表示的数分别是，5． 【变式4-3】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和点建立起一一对应的关系，揭示了代数与几何之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，小安在一张长方形纸条上画了一条数轴，然后进行了实践探究： (1)折叠纸条，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示___________的点重合． (2)在数轴上A，B两点之间的距离为2024（点A在点B的左侧），折叠纸条，使表示6的点与表示的点重合．此时A，B两点也重合，则点A表示的数是___________． (3)定义：P，Q为数轴上任意两点，若折叠纸条使点P，Q重合，折痕与数轴的交点为点M，则称点M为点P和点Q的“叠点”． 点C，D，O在数轴上，点C是数轴上最大的负整数点，点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7．折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”．若存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，．求点F到“叠点”E的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数与数轴；熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键． （1）利用中点坐标公式求出折痕点，再求解即可； （2）①利用中点坐标公式求出折痕点，设A点表示的数是x，则B点表示的数是，根据中点坐标公式求出x，即可求解； （3）根据题意分别求得表示的数，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵1表示的点和表示的点重合， ∴折叠点对应的数是0， ∴表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）解：∵表示的点和表示的点重合， ∴折叠的点表示的数是， 设点表示的数是，则B点表示的数是， ∴， 解得， ∴点A表示的数， 故答案为：； （3）解：∵点C是数轴上最大的负整数点， ∴点C表示的数是， ∵点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7， ∴点D表示的数是， ∵折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”． ∴点E表示的数是； ∵存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，． ∴，即点F表示的数是， ∴点F到“叠点”E的距离为． 类型五、数轴上的动点问题 1.基本概念与表示方法：数轴上的动点指在数轴上按特定规律运动的点，通常用含未知数的代数式表示其位置。设动点初始位置表示的数为a，运动速度为v，运动时间为t，若向右运动，动点位置表示的数为a + vt；向左运动则为a - vt ，这是解决动点问题的基础。 2.核心问题类型：常涉及求动点相遇、相距特定距离、到达指定位置等问题。如求两动点相遇时间，需根据两者运动后位置相同列方程；求相距固定距离，利用两点间距离公式列绝对值方程求解；到达指定位置则根据终点数值建立等式，均围绕动点位置表达式构建方程。 3.解题策略与技巧：关键是把握动点运动规律，结合数轴上两点距离公式，通过“数”与“形”结合建立方程或不等式。同时注意运动方向、起始位置和条件限制，分情况讨论多种可能性，检验答案是否符合实际运动场景，从而准确解决问题。 例5．如图，在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C． (1)将A，B，C三点所表示的数在如图所示的数轴上表示出来； (2)根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度所到达的点？ (3)如果移动点A，B，C中的两个点，使得三个点重合，你有几种移动方法？请分别求出移动的长度之和． 【答案】(1)见解析 (2)向左爬了4个单位长度 (3)见解析 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数形结合是解答本题的关键． （1）在数轴上表示出点，再写出点表示的数即可； （2）根据C点与原点的位置关系求解即可； （3）根据A，B，C在数轴上的位置，分3种情况求解即可．． 【详解】（1）解：如图， （2）根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬了4个单位长度； （3）解：共有3种移动方法： ①移动A、B两点到C， A向左移动8个单位到C，B向左移动10个单位到C，； ②移动A、C两点到B， A向右移动2个单位到B，C向右移动10个单位到B，； ③移动B、C两点到A， B向左移动2个单位到A，C向右移动8个单位到A，． 【变式5-1】已知，动点A在数轴上以不变的速度向右运动，同时，动点B在数轴上以不变的速度向左运动，运动规律如下表： 运动时间（s） 0 1 4 9 …… 点A表示的数 2 ____ ____ …… 点B表示的数 ____ ___ …… (1)补全表格中的数据； (2)当运动时间为时，求之间的距离． 【答案】(1)；；； (2) 【分析】本题考查了数轴，运用数形结合和方程思想是解题的关键． （1）根据路程，速度和时间的关系求解即可； （2）根据两点之间的距离公式求解即可． 【详解】（1）由表格可知，点初始时在数字处， 点A的移动速度为， 秒时的数字为， 秒时的数字为， 点B的移动速度为， 点向左移动，秒时数字为， 秒时数字为， 秒时的数字为， （2）点A的移动速度为，点B的移动速度为， 当运动时间为时，点A表示的数为，点B表示的数为， 所以之间的距离为． 【变式5-2】已知点M、N在数轴上，点M对应的数是，点N在点M的右边，且距点M为4个单位长度．    (1)直接写出点N所对应的有理数； (2)点P是数轴上一动点，请直接写出点P到点M和点N的距离和的最小值； (3)若点P到点M、N的距离之和是6个单位长度： ①求点P所对应的有理数是多少？ ②如果点Q从点N出发，沿数轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，t秒后P、Q两点相距4个单位长度，求t． 【答案】(1)1 (2)4 (3)①或；②或或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离及用数轴表示有理数： （1）根据两点间的距离得点N表示的有理数； （2）点P在和1之间时得点P到点M和点N的距离和的最小值； （3）①利用分类讨论思想：当点P在点M的左侧时和当点P在点N的右侧时，利用两点间的距离公式即可；②分三种情况：当点P表示的有理数是时：点Q未追上点P时和当点Q超过点P时及当点P表示的有理数是2时，利用数量间的关系即可求解； 掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得： ， 则点N所对应的有理数为1． （2）点P到点M和点N的距离和， 即：点P到和到1的距离和， 则点P到点M和点N的距离和的最小值，即点P在和1之间时， 即：点P到点M和点N的距离和的最小值为：． （3）①设点P所表示的有理数为， 由题意得：点P只能在点M的左侧或点N的右侧， 当点P在点M的左侧时： ， 解得：， 当点P在点N的右侧时： ， 解得：， 综上所述，点P所对应的有理数是或； ②由①得：点P所对应的有理数是或， 当点P表示的有理数是时， 分两种情况： 点Q未追上点P时： ， 解得：； 当点Q超过点P时： ， 解得：； 当点P表示的有理数是2时， ， 解得：， 综上所述，或或． 【变式5-3】【阅读材料】若数轴上点、点表示的数分别为，（），则、两点间的距离可表示为，记作． 【解决问题】一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动10个单位长度到达点． (1)请画出数轴，并在数轴上标出、两点的位置； (2)若动点，分别从点，同时出发，沿数轴向左运动．已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为秒（）． ①用含的代数式表示：秒时，点表示的数为______，点表示的数为______； ②为何值时，点表示的数与点表示的数互为相反数？ ③为何值时，，两点之间的距离为4？ 【答案】(1)见解析 (2)①，；②；③或． 【分析】本题考查的是数轴的定义及数轴上两点之间的距离公式，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）根据题意画出数轴，即可解答； （2）①用含的代数式表示即可； ②根据相反数的意义列式计算即可求解； ③根据题意列出绝对值方程即可求解． 【详解】（1）解：如图： ； （2）解：①秒时，点表示的数为，点表示的数为； 故答案为：，； ②由题意得：， 解得：； ③由题意得：，即， ∴或， 解得：或． 类型六、数轴上的规律探究问题 1.数字排列规律：观察数轴上数字的分布，分析其等差、等比或周期性规律。如相邻数差值固定的等差数列（如2，4，6，8… 相邻数差为2）；等比数列则后一项与前一项比值恒定；周期性规律表现为数字每隔固定间隔重复出现，需结合数轴单位长度与点的位置确定规律通项公式。 2.图形与点的关系规律：研究数轴上点构成的图形特征，如多个点组成线段、多边形等，通过分析点坐标与图形边长、面积的关系，推导数量变化规律。例如等间距分布的点形成线段，线段数量、长度随点数变化存在特定关系，可借助代数方法归纳总结。 3.操作与变化规律：针对数轴上点的移动、标记、对称等操作，探究每次操作后点的位置、对应数字的变化规律。如点每次按倍数关系移动，或经对称变换后，需记录操作前后数据，对比分析变化趋势，用代数式表示一般性规律，解决拓展延伸问题。 例6．在数轴上，点O表示原点，现将点从O点开始沿数轴如下移动，第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点，当时，这时点与原点的距离是 个单位． 【答案】 【分析】本题是一道与数轴有关的规律型试题．观察发现奇数次移动为向左移动，偶数次移动为向右移动，然后再观察每两次平移，点A实际移动的距离，然后计算，即可解答． 【详解】解：观察发现奇数次移动为向左移动，偶数次移动为向右移动； 第一次向左平移一个单位，第二次向右平移两个单位，实际向右平移个单位； 第三次向左平移三个单位，第四次向右平移四个单位，实际向右平移个单位； 即每2次向右平移1个单位； 则第1002次A点距原点距离为：． 即当时，点与原点的距离是个单位． 故答案为：． 【变式6-1】数轴上有A对应的数是，一只蚂蚁从点A出发，第一次先沿数轴负方向爬2个单位，第二次沿正方向爬4个单位，第三次沿负方向爬6个单位，第四次沿正方向爬8个单位，按此规律，当蚂蚁爬完100次时，停在了点B处．如图，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，且，则点C表示的数是 ． 【答案】53 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题关键． 根据题意得，发现蚂蚁前两次爬行后的位置变化是：沿正方向爬行了2个单位，第三次和第四次爬行后的位置变化也是沿正方向爬行2个单位，得出蚂蚁爬行完100次后的位置变化时，沿正方向爬行了100个单位，即可确定点B的对应的数为，根据数轴得出长，即可得出结果． 【详解】解：根据题意得，发现蚂蚁前两次爬行后的位置变化是：沿正方向爬行了2个单位，第三次和第四次爬行后的位置变化也是沿正方向爬行2个单位， ∴蚂蚁爬行完100次后的位置变化时，沿正方向爬行了100个单位， ∴点B的对应的数为：， ∴ ∴点C表示的数是， 故答案为：53． 【变式6-2】在数轴上，表示的点开始移动，第1次先从点向左移动1个单位至点，第2次从向右移动2个单位至点；第3次从点向左移动3个单位至点，第4次从点向右移动4个单位至点；按此规律移动，则点在数轴上表示的数是 ． 【答案】 【分析】奇数次移动是左移，偶数次移动是右移，第次移动个单位．每左移右移各一次后，点右移个单位，故第次右移后，点向右移动个单位，第次左移个单位，即可求解． 【详解】解：第次移动个单位，第次左移个单位， 每左移右移各一次后，点右移个单位， 所以表示的数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查数轴上点的移动规律，确定每次移动方向和距离的规律，以及相邻两次移动后的实际距离和方向是解答此题的关键． 【变式6-3】一电子跳蚤落在数轴上的某点k0处，第一次从k0向左跳1个单位到k1，第二次从k1向右跳2个单位到k2，第三次由k2处向左跳3个单位到k3，第四次由k3向右跳4个单位k4…，按以上规律： （1）若k0处为原点，那第10次时，跳蚤落在数轴上的点表示的数是多少？第2019次呢？ （2）若跳了100次后，电子跳蚤落在数轴上的点表示的数是0，则k0表示的数是多少？ 【答案】（1）第10次时，跳蚤落在数轴上的点表示的数是5，第2019次时，跳蚤落在数轴上的点表示的数是﹣1010；（2）-50 【分析】（1）根据题意，可以写出前几次跳蚤落在数轴上的点表示的数，然后即可得到第10次和第2019次对应的数； （2）根据题意，可以鞋出前几次跳蚤落在数轴上的点表示的数，然后再根据跳了100次后，电子跳蚤落在数轴上的点表示的数是0，即可得到k0表示的数． 【详解】解：（1）由题意可得， 第一次跳蚤落在数轴上的点表示的数是﹣1， 第二次跳蚤落在数轴上的点表示的数是1， 第三次跳蚤落在数轴上的点表示的数是﹣2， 第四次跳蚤落在数轴上的点表示的数是2， …， ∴第10次时，跳蚤落在数轴上的点表示的数是5，第2019次时，跳蚤落在数轴上的点表示的数是﹣（2019+1）÷2＝﹣1010， 即第10次时，跳蚤落在数轴上的点表示的数是5，第2019次时，跳蚤落在数轴上的点表示的数是﹣1010； （2）由题意可得， 第一次跳蚤落在数轴上的点表示的数是k0﹣1， 第二次跳蚤落在数轴上的点表示的数是k0+1， 第三次跳蚤落在数轴上的点表示的数是k0﹣2， 第四次跳蚤落在数轴上的点表示的数是k0+2， …， 则第100次跳蚤落在数轴上的点表示的数是k0+50， ∵跳了100次后，电子跳蚤落在数轴上的点表示的数是0， ∴k0+50＝0， 解得k0＝﹣50， 即k0表示的数是﹣50． 【点睛】本题考查数字的变化类规律、数轴，解答本题的关键是明确题意，找出规律，求出相应的数字． 一、单选题 1．在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴表示数，数轴上两点的距离，分两种情况或，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点表示的数是， ∴到点距离4个单位的点表示的数是：或， ∴到点距离4个单位的点表示的数是或， 故选：B． 2．在数轴上，表示有理数a，b的点的位置如图所示，把个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴的性质以及有理数的大小比较，解题的关键是根据数轴上点的位置判断出a，b的正负性和绝对值大小关系． 先根据数轴判断a，b的正负性与绝对值大小．再根据相反数的性质得到的正负性，最后比较的大小． 【详解】从数轴可知，，且， 根据相反数的性质，的相反数的相反数， 所以， 故选：C． 3．有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且，下列推断正确的是（    ） A．原点一定在点A左侧 B．原点一定在点A右侧 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，根据越在数轴的右边的数越大，运用，得，则原点一定在中点左侧，即可作答． 【详解】解：∵，且从数轴得， ∴，， ∴原点一定在中点左侧， 故选：C． 4．如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，，，，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2024将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，正方形滚动一周的长度为4，从到2024共滚动2026个单位长度，由，即可作出判断． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴正方形的周长为4， ∴正方形滚动一周的长度为4， ∵正方形的起点在处， ∴， ∵， ∴数轴上的数2020将与正方形上的点C重合， 故选：C． 5．在数轴上有A，B，C三点，其中点A表示的数是2，点B表示的数是，如果其中一点为另外两点形成的线段的中点，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或8或2 C．或8或1 D．或或8 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的基本性质和数轴上两点间的距离计算，本题的解题关键是数轴上两点间的距离计算，根据数轴的基本性质和数轴上两点间的距离即可求解． 【详解】解：、、是数轴上三点，且点表示的数是，点表示的数为1， 设点表示的数为， 当其中一点是另外两点构成的线段中点， ①为线段的中点， 的值为：； ②为线段的中点， 的值为：； ③为线段的中点， 的值为：； 则点C表示的数是或或8， 故选：D． 二、填空题 6．已知数轴上点为，点由点向右移动8个而得，点距离点两个单位，则点在数轴上对应的数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴、两点间的距离，了解数轴上点的移动规律是解题的关键．先求得点表示的数，然后分2种情况讨论，第一种是当在左侧，第二种是在右侧，分别得出答案． 【详解】解：已知数轴上点为，点由点向右移动8个而得， 点为： 当在左侧，点距离点两个单位，那么点为：； 当在右侧，点距离点两个单位，那么点为：． 故答案为：或． 7．如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式：①；②；③．其中正确式子的序号是 ． 【答案】②③/③② 【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，有理数加法和乘法．根据数a、b在数轴上的位置可确定数a、b与1及的大小关系，从而可确定、、、及的符号，进而确定式子的符号，逐一作出判断． 【详解】解：①，，则，故该项不正确； ②，，则，故该项正确； ③，，则，，即，故该项正确； 则只有②③正确． 故答案为：②③． 8．如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是，8．若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒，当点Q遇到点P时，两点都立即以原来的速度向相反的方向运动，当点P到达点A时，两点同时停止运动．当 秒时，． 【答案】3或5 【分析】本题主要考查了数轴上的动点．熟练掌握数轴上点表示的数，两点间的距离，是解题的关键． 相遇前点P表示的数，点Q表示的数，，，根据，解得；相遇后，点P表示的数，点Q表示的数t，，，得． 【详解】解：∵A，B两点表示的数分别是，8， ∴点P表示的数为：，点Q表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得； 相遇时间是， 相遇点表示的数为：， 相遇后，点P表示的数为：，点Q表示的数为， ∴，， ∴， 解得． ∴或． 故答案为：3或5． 9．点的初始位置位于数轴上的原点，现对点做如下移动：第次从原点向右移动个单位长度至点，第次从点向左移动个单位长度至点，第次从点向右移动个单位长度至点，第次从点向左移动个单位长度至点……依次类推． （1）移动次后该点对应的数为 ； （2）这样移动次后该点到原点的距离为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上点的运动规律，解决本题的关键是根据数轴上点的运动规律分别求出每次移动后点所对应的数，根据点所对应的数求出点到原点的距离． （1）根据数轴上点的运动规律依次计算出移动后点所对应的数即可得到结果； （2）根据（1）中的规律依次写出移动后点所对应的数，根据第次移动后点所对应的数写出的值． 【详解】（1）解：第次移动后点对应的数为：， 第次移动后点对应的数为：， 第次移动后点对应的数为：， 第次移动后点对应的数为：， 第次移动后点对应的数为：， 故答案为：； （2）根据（1）中的规律可知： 第次移动后点所对应的数为：， 第次移动后点所对应的数为：， 第次移动后点所对应的数为：， 第次移动后点所对应的数为：， 第次移动后点所对应的数为：， 移动次后该点到原点的距离为． 故答案为： ． 10.长方形纸片上有一数轴，剪下个单位长度（从到）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 【答案】或或 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键．设三条线段的长分别是，，，由题意可得，求出，再分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解即可． 【详解】解：三条线段的长度之比为， 设三条线段的长分别是，，， 到的距离是， ， 解得， 三条线段的长分别为，，， 当时，折痕点表示的数是； ②当时，折痕点表示的数是； ③当时，折痕点表示的数是； 综上所述：折痕处对应的点表示的数可能或或． 故答案为：或或． 三、解答题 11．画数轴 (1)将下列各数在数轴上表示出来 ，0，，， (2)将上列各数用“”连接起来 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，是解题的关键． （1）数轴表示，有理数的乘方，绝对值的化简，先化简计算，后再数轴上表示； （2）利用数轴从左到右比较大小即可； 【详解】（1）解：∵，，，， 数轴表示如下： （2）由（1）可得：． 12．如图，以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B；C刚好对应着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10．设点A，B，C所表示的数的和是m，该数轴的原点为O，向右为正方向． (1)若点A所表示的数是，则点所表示的数是_______； (2)若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点O对应直尺上的刻度为_______； (3)若点B，O之间的距离为4，求m的值． 【答案】(1)5 (2)6 (3)或8 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，有理数的加减法运算，数形结合是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离进行计算即可求解； （2）根据的距离，得出点A表示是的数为，点C表示的数为4，由图中点C所在的位置为10，即可得出原点O对应直尺上的刻度为； （3）分当O在点B的左边和右边两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上的点A，B，C对应着直尺上的刻度2，8和10， ∴， ∵点A所表示的数是， ∴点C所表示的数是， 故答案为：5； （2）解：∵，点A，C所表示的数互为相反数， ∴则点A表示是的数为，点C表示的数为4， ∵图中点C所在的位置为10， ∴数轴的原点O对应直尺上的刻度为， 故答案为：6； （3）解：∵点B，O之间的距离为4，点B对着直尺上的刻度8， ①当O在点B的左边时，即点O对着直尺上的刻度4， ∴B点表示的数为4， ∵， ∴此时点A表示的数为，点C表示的数为6， ∴； ②当O在点B的右边时，即点O对着直尺上的刻度12， ∴B点表示的数为， ∵， ∴此时点A表示的数为，点C表示的数为， ∴， 综上，m的值为或8． 13．数轴上不重合的三个点，若其中一点到另外两点的距离的比值为，则称这个点是另外两点的n阶伴侣点．如图，O是点A、B的1阶伴侣点；O是点A、C的2阶伴侣点；O也是点B、C的2阶伴侣点． (1)如图，C是点A、B的______阶伴侣点； (2)若数轴上两点M、N分别表示和4，则M、N的阶伴侣点所表示的数是多少？ 【答案】(1)3 (2)，，， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离， 对于（1），根据“伴侣点”的定义即可求解； 对于（2），分三种情况讨论可求M、N的阶伴侣点所表示的数. 【详解】（1）解：， ∴. 则点C是点A，B的3阶伴侣点. 故答案为：3. （2）解：， M、N的阶伴侣点在的左边时，所表示的数为； M、N的阶伴侣点在和4中间时，所表示的数为或；M、N的阶伴侣点在4的右边时，所表示的数为. 综上所述，M、N的阶伴侣点所表示的数为，，，. 14．，分别是数轴上两个不同点，所表示的有理数，且，，，两点在数轴上的位置如图所示： (1)试确定数，； (2)若点在数轴上，点到点的距离是点到点距离的，求点表示的数； (3)点从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，依次操作次后，求点表示的数． 【答案】(1)，； (2)点表示的数为或 (3) 【分析】本题主要考查数轴上两点间的距离公式及点的平移性质，根据题意运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据绝对值的定义结合由数轴得出a，b的符号即可得； （2）分以下两种情况：点C在A，B之间、点C在点B右侧，利用两点间距离公式列方程求解； （3）根据平移的性质可知，P点表示的数为，计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵由数轴可知，， ∴；. （2）解：①若C点在B点的右侧，则， ∴， ∴点C表示的数为：， ②若C点在A，B点之间，则， ∴， ∴点C表示的数为：． 综上，C点表示的数为或； （3）解： ． 表示的数为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$