专题01 数轴的六类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版2024七年级上册

专题01 数轴的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、用数轴上的点表示有理数 类型二、利用数轴比较有理数的大小 类型三、数轴上两点之间的距离 类型四、数轴上的折叠问题 类型五、数轴上的动点问题 类型六、数轴上的规律探究问题 压轴专练 类型一、用数轴上的点表示有理数 1.数轴的概念与三要素：数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。原点是数轴的基准点，确定0的位置；正方向一般规定向右为正；单位长度根据实际需求选取，用于衡量数的大小。三要素缺一不可，它们共同构成数轴，为有理数的表示提供基础框架。 2.有理数在数轴上的表示方法：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。正有理数在原点右侧，负有理数在原点左侧，数值大小决定点到原点的距离。例如，+3在原点右侧3个单位长度处，-2在原点左侧2个单位长度处 ，0用原点表示。 3.数轴上点与有理数的关系：数轴上的点与有理数并非一一对应，有理数能在数轴找到对应点，但数轴上还存在无理数对应的点。利用数轴可直观比较有理数大小，右边的点表示的数总比左边的大，方便理解有理数的顺序与数量关系。 例1．画出数轴并标出表示下列各数的点． 【变式1-1】画出合适的数轴，分别把下列各数在数轴上表示出来，并比较大小用“<”把各数连接起来．   ，3 ， 0 ， ， ， 【变式1-2】把下列各数在数轴上表示出来，并用“”号从小到大重新排列． ，，，3，． 【变式1-3】在数轴上标出表示下列各数的点，并按从小到大的顺序用“”号把这些数连接起来 ，0，，， 类型二、利用数轴比较有理数的大小 1.数轴比较大小的基本原理：数轴上的点从左到右，对应的数逐渐增大。这是因为数轴以向右为正方向，正方向代表数值增大的趋势，所以有理数在数轴上的位置决定了其大小关系，这种直观的几何表示将抽象的数的大小比较转化为点的位置关系判断。 2.具体比较方法：正数在原点右侧，负数在原点左侧，所以正数大于0，0大于负数，正数大于负数；同为正数时，离原点越远的点表示的数越大，例如3在2右侧，则3＞2；同为负数时，离原点越远的点表示的数反而越小，如-2在-1左侧，则-2＜-1。 3.应用与意义：通过数轴比较有理数大小，能更直观理解数的顺序和相对大小关系，解决大小比较、排序等问题。同时，这种方法为后续学习实数大小比较、不等式解集表示等知识奠定基础，将数与形紧密结合，提升数学思维能力。 例2．若有理数、在数轴上的位置如图所示，则、的大小关系为 ．（填“”或“”） 【变式2-1】有理数，在数轴上的对应点位置如图所示． 用“”连接，，，，五个数： ． 【变式2-2】有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，判断下列各式与的大小． （1） ， ， ． （2） ， ， ． 【变式2-3】如图，数轴上的点，对应有理数，，有以下四个结论：；；；，其中正确的是 填写序号 类型三、数轴上两点之间的距离 1. 距离定义与原理：数轴上两点之间的距离，指两点所表示的数差的绝对值，体现了数与形的结合。其本质是两点对应有理数在数轴上位置间隔的单位长度数量，通过绝对值运算消除方向影响，确保距离为非负值。 2. 计算方法：设数轴上两点表示的数分别为a和b，则两点间距离d = |a - b| 。无论a、b正负及大小关系如何，均可套用此公式。例如，求表示3与-2的两点距离，d=|3 - (-2)| = |5| = 5；当a、b中有0时，如0与4，距离为|0 - 4| = 4 。 3. 应用场景：常用于求解数轴上动点问题、绝对值方程等。在实际问题中，可借助距离公式确定位置关系，如计算行程问题中的位置间隔，或根据已知距离条件求未知点表示的数，深化对数轴性质和绝对值概念的理解与运用。 例3．已知数轴上A点为，点B由点A向右移动6个单位长度，点C距离点B两个单位，则点C在数轴上对应的数为 ． 【变式3-1】在数轴上，点A表示的数是，与A距离3个单位长度的点表示的数是 ． 【变式3-2】在一条可以折叠的数轴上，点、表示的数分别为和3，（如图1）以点为折点，将此数轴向右对折，折叠后若A，两点间的距离为1，则点表示的数为 ． 【变式3-3】已知数轴上两点对应的数分别为，若在数轴上找一点，使得点的距离为4，再在数轴上找一点D，使得点B,D的距离为1，则的距离为 ． 类型四、数轴上的折叠问题 1. 确定对称中心：折叠后重合的两点所连线段的中点对应的数，即为折叠点（对称中心）。通过计算两点数值和的一半，能得出对称中心对应的数，这是解决折叠问题的基础。 2. 计算对应点数值：已知某点与对称中心，根据对称关系，利用对称中心与已知点的距离，可求出该点折叠后的对应点数值。若已知点在对称中心左侧，对应点在右侧且与对称中心距离相同，反之亦然。 3. 解决数量关系问题：折叠问题常涉及线段长度、点表示的数之间的数量关系。结合对称性质与数轴上两点间距离公式（两点数值差的绝对值），建立方程求解未知量 ，是突破此类问题的核心方法。 例4．小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为10（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为 ． 【变式4-1】长方形纸片上有一数轴，剪下个单位长度（从到）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 【变式4-2】操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 折叠纸面，使表示的点与1表示的点重合，回答以下问题： ①2表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上、两点之间距离为9（在的左侧），且、两点经折叠后重合，则点表示的数为： ． 【变式4-3】在课后延时服务中，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图． 操作一： (1)折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示 ___________的点重合． 操作二： (2)折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，解答以下问题： ①表示5的点与在数轴上表示的点重合，求点表示的数． ②若数轴上，两点之间的距离为9（点在点的左侧），且，两点折叠后重合，求，两点表示的数． 类型五、数轴上的动点问题 1.基本概念与表示方法：数轴上的动点指在数轴上按特定规律运动的点，通常用含未知数的代数式表示其位置。设动点初始位置表示的数为a，运动速度为v，运动时间为t，若向右运动，动点位置表示的数为a + vt；向左运动则为a - vt ，这是解决动点问题的基础。 2.核心问题类型：常涉及求动点相遇、相距特定距离、到达指定位置等问题。如求两动点相遇时间，需根据两者运动后位置相同列方程；求相距固定距离，利用两点间距离公式列绝对值方程求解；到达指定位置则根据终点数值建立等式，均围绕动点位置表达式构建方程。 3.解题策略与技巧：关键是把握动点运动规律，结合数轴上两点距离公式，通过“数”与“形”结合建立方程或不等式。同时注意运动方向、起始位置和条件限制，分情况讨论多种可能性，检验答案是否符合实际运动场景，从而准确解决问题。 例5．如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 【变式5-1】如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： (1)将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是______； (2)怎样移动A，B，C中的两个点，才能使三个点表示相同的数？ 【变式5-2】如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，可以看出，终点表示的数是．参照图中所给的信息，完成填空：已知，都是数轴上的点． (1)若点表示数，将点向右移动个单位长度至点，则点表示的数是_________； (2)若点表示数，将点先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数是_________； 【变式5-3】如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答问题： (1)将A点向左移动5个单位长度，这是的点表示的数是___________； (2)怎样移动A、B、C的其中个点，才能使点C恰好是线段的中点？请写出三种移动的方法． 方法一（移动A点）：___________， 方法二（移动B点）：___________， 方法三（移动C点）：___________． 类型六、数轴上的规律探究问题 1.数字排列规律：观察数轴上数字的分布，分析其等差、等比或周期性规律。如相邻数差值固定的等差数列（如2，4，6，8… 相邻数差为2）；等比数列则后一项与前一项比值恒定；周期性规律表现为数字每隔固定间隔重复出现，需结合数轴单位长度与点的位置确定规律通项公式。 2.图形与点的关系规律：研究数轴上点构成的图形特征，如多个点组成线段、多边形等，通过分析点坐标与图形边长、面积的关系，推导数量变化规律。例如等间距分布的点形成线段，线段数量、长度随点数变化存在特定关系，可借助代数方法归纳总结。 3.操作与变化规律：针对数轴上点的移动、标记、对称等操作，探究每次操作后点的位置、对应数字的变化规律。如点每次按倍数关系移动，或经对称变换后，需记录操作前后数据，对比分析变化趋势，用代数式表示一般性规律，解决拓展延伸问题。 例6．在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 【变式6-1】在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 【变式6-2】在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，我们称点是点的“相关点”，已知数轴上的相关点为，点的相关点为，点的相关点为，这样依次得到点、、、，…，．若点在数轴表示的数是，则点在数轴上表示的数是 ． 【变式6-3】如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点，第2次从点A向右移动6个单位长度至点，第3次从点向左移动9个单位长度至点，…，按照这种移动方式进行下去，则在数轴上表示的数为 ，如果点与原点的距离大于20，那么n的最小值是 ． 一、单选题 1．在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 2．在数轴上，表示有理数a，b的点的位置如图所示，把个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且，下列推断正确的是（    ） A．原点一定在点A左侧 B．原点一定在点A右侧 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 4．如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，，，，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2024将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 5．在数轴上有A，B，C三点，其中点A表示的数是2，点B表示的数是，如果其中一点为另外两点形成的线段的中点，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或8或2 C．或8或1 D．或或8 二、填空题 6．如图所示，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，墨迹盖住的整数共有 个． 7．已知数轴上点为，点由点向右移动8个而得，点距离点两个单位，则点在数轴上对应的数为 ． 8．如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式：①；②；③．其中正确式子的序号是 ． 9．如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是，8．若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒，当点Q遇到点P时，两点都立即以原来的速度向相反的方向运动，当点P到达点A时，两点同时停止运动．当 秒时，． 10．点的初始位置位于数轴上的原点，现对点做如下移动：第次从原点向右移动个单位长度至点，第次从点向左移动个单位长度至点，第次从点向右移动个单位长度至点，第次从点向左移动个单位长度至点……依次类推． （1）移动次后该点对应的数为 ； （2）这样移动次后该点到原点的距离为，则 ． 三、解答题 11．画数轴 (1)将下列各数在数轴上表示出来 ，0，，， (2)将上列各数用“”连接起来 12．如图，以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B；C刚好对应着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10．设点A，B，C所表示的数的和是m，该数轴的原点为O，向右为正方向． (1)若点A所表示的数是，则点所表示的数是_______； (2)若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点O对应直尺上的刻度为_______； (3)若点B，O之间的距离为4，求m的值． 13．数轴上不重合的三个点，若其中一点到另外两点的距离的比值为，则称这个点是另外两点的n阶伴侣点．如图，O是点A、B的1阶伴侣点；O是点A、C的2阶伴侣点；O也是点B、C的2阶伴侣点． (1)如图，C是点A、B的______阶伴侣点； (2)若数轴上两点M、N分别表示和4，则M、N的阶伴侣点所表示的数是多少？ 14．，分别是数轴上两个不同点，所表示的有理数，且，，，两点在数轴上的位置如图所示： (1)试确定数，； (2)若点在数轴上，点到点的距离是点到点距离的，求点表示的数； (3)点从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，依次操作次后，求点表示的数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数轴的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、用数轴上的点表示有理数 类型二、利用数轴比较有理数的大小 类型三、数轴上两点之间的距离 类型四、数轴上的折叠问题 类型五、数轴上的动点问题 类型六、数轴上的规律探究问题 压轴专练 类型一、用数轴上的点表示有理数 1.数轴的概念与三要素：数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。原点是数轴的基准点，确定0的位置；正方向一般规定向右为正；单位长度根据实际需求选取，用于衡量数的大小。三要素缺一不可，它们共同构成数轴，为有理数的表示提供基础框架。 2.有理数在数轴上的表示方法：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。正有理数在原点右侧，负有理数在原点左侧，数值大小决定点到原点的距离。例如，+3在原点右侧3个单位长度处，-2在原点左侧2个单位长度处 ，0用原点表示。 3.数轴上点与有理数的关系：数轴上的点与有理数并非一一对应，有理数能在数轴找到对应点，但数轴上还存在无理数对应的点。利用数轴可直观比较有理数大小，右边的点表示的数总比左边的大，方便理解有理数的顺序与数量关系。 例1．画出数轴并标出表示下列各数的点． 【答案】见解析 【分析】本题考查在数轴上表示有理数、化简多重符号、绝对值的性质，熟练掌握用在数轴上表示有理数的方法是解题的关键．先根据化简多重符号的方法和绝对值的性质进行化简，进而在数轴上表示即可． 【详解】解：， 如图，在数轴上表示各数如下： 【变式1-1】画出合适的数轴，分别把下列各数在数轴上表示出来，并比较大小用“<”把各数连接起来．   ，3 ， 0 ， ， ， 【答案】见解析， 【分析】本题考查用数轴上的点表示数，利用数轴比较有理数的大小．利用数形结合的思想是解题关键． 先化简绝对值和化简多重符号，再根据数轴的特点，在数轴上将各数表示出来即可．根据数轴上右边上点表示的数总大于左边上点表示的数即可比较大小． 【详解】解： ， ，， 各数在数轴上表示如图： ∴． 【变式1-2】把下列各数在数轴上表示出来，并用“”号从小到大重新排列． ，，，3，． 【答案】数轴见解析， 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数，根据数轴上点特点把各数表示在数轴上，并用“”连接即可，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点． 【详解】解：，，， 如图所示： 用“”按从小到大的顺序连接起来为：． 【变式1-3】在数轴上标出表示下列各数的点，并按从小到大的顺序用“”号把这些数连接起来 ，0，，， 【答案】有理数表示在数轴上见详解， 【分析】本题主要考查绝对值化简，多重符号化简，乘方运算，有理数与数轴上点的对应，掌握以上知识，运用数轴比较大小的方法是解题的关键． 根据绝对值的性质化简，多重符号的化简，乘方的运算化简，再把有理数表示在数轴上，最后根据数轴比较大小的方法即可求解． 【详解】解：，，，， 表示在数轴上，如图所示， ∴． 类型二、利用数轴比较有理数的大小 1.数轴比较大小的基本原理：数轴上的点从左到右，对应的数逐渐增大。这是因为数轴以向右为正方向，正方向代表数值增大的趋势，所以有理数在数轴上的位置决定了其大小关系，这种直观的几何表示将抽象的数的大小比较转化为点的位置关系判断。 2.具体比较方法：正数在原点右侧，负数在原点左侧，所以正数大于0，0大于负数，正数大于负数；同为正数时，离原点越远的点表示的数越大，例如3在2右侧，则3＞2；同为负数时，离原点越远的点表示的数反而越小，如-2在-1左侧，则-2＜-1。 3.应用与意义：通过数轴比较有理数大小，能更直观理解数的顺序和相对大小关系，解决大小比较、排序等问题。同时，这种方法为后续学习实数大小比较、不等式解集表示等知识奠定基础，将数与形紧密结合，提升数学思维能力。 例2．若有理数、在数轴上的位置如图所示，则、的大小关系为 ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了数轴的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据数轴上各数的位置得出，容易得出结论； 【详解】解：根据题意由数轴得：， ∴， 故答案为：； 【变式2-1】有理数，在数轴上的对应点位置如图所示． 用“”连接，，，，五个数： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数比较大小，解题的关键在于掌握数轴上数的大小特点，利用数轴找出，所在位置，再根据数轴上的数从左到右依次增大，即可解题． 【详解】解：结合数轴找出，所在位置，如下图所示： 利用数轴特点可知，， 故答案为：． 【变式2-2】有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，判断下列各式与的大小． （1） ， ， ． （2） ， ， ． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，有理数的乘法，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据数轴上原点右边的点表示的数总比原点大，原点左边的数总比原点小，即可求解； （2）根据有理数的乘法法则即可求解． 【详解】（1）解：根据数轴可得：，，， 故答案为：，，； （2），，， ，，， 故答案为：，，． 【变式2-3】如图，数轴上的点，对应有理数，，有以下四个结论：；；；，其中正确的是 填写序号 【答案】 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识．利用数轴知识解答． 【详解】解：由数轴图可知，，， ，． 正确，错误， 错误， 错误， ．正确的是 故答案为∶ 类型三、数轴上两点之间的距离 1. 距离定义与原理：数轴上两点之间的距离，指两点所表示的数差的绝对值，体现了数与形的结合。其本质是两点对应有理数在数轴上位置间隔的单位长度数量，通过绝对值运算消除方向影响，确保距离为非负值。 2. 计算方法：设数轴上两点表示的数分别为a和b，则两点间距离d = |a - b| 。无论a、b正负及大小关系如何，均可套用此公式。例如，求表示3与-2的两点距离，d=|3 - (-2)| = |5| = 5；当a、b中有0时，如0与4，距离为|0 - 4| = 4 。 3. 应用场景：常用于求解数轴上动点问题、绝对值方程等。在实际问题中，可借助距离公式确定位置关系，如计算行程问题中的位置间隔，或根据已知距离条件求未知点表示的数，深化对数轴性质和绝对值概念的理解与运用。 例3．已知数轴上A点为，点B由点A向右移动6个单位长度，点C距离点B两个单位，则点C在数轴上对应的数为 ． 【答案】5或1 【分析】本题考查了数轴，掌握平移的关键在于点对应的数的大小变化和平移的规律． 数轴上的点平移时和数的大小变化规律：左减右加． 【详解】解：∵A点为，点B由点A向右移动6个单位长度， ∴B 是， ∵点C距离点B两个单位， ∴①当点C在点B的右边时：； ②当点C在点B的左边时：； ∴点C在数轴上对应的数为5或1， 故答案为：5或1. 【变式3-1】在数轴上，点A表示的数是，与A距离3个单位长度的点表示的数是 ． 【答案】或0 【分析】本题考查数轴上两点间距离相关知识，解题关键是分所求点在已知点左侧和右侧两种情况进行讨论计算． 根据数轴上两点间距离的定义，分左侧和右侧两种情况解答即可． 【详解】解：①该点在点A右侧 ∵在数轴上，右边的数比左边的数大，点表示的数是 ∴当所求点在点右侧时，该点比大 ， ∴这个数为 ． ②该点在已点A左侧 ∵在数轴上，左边的数比右边的数小， ∴该点比小 ， ∴这个数为 ． 综上所述：或0， 故答案为：或0． 【变式3-2】在一条可以折叠的数轴上，点、表示的数分别为和3，（如图1）以点为折点，将此数轴向右对折，折叠后若A，两点间的距离为1，则点表示的数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示的有理数，先根据A，B点表示的数求出线段长，再分两种情况讨论：并根据折叠后的长求出的长，进而确定点C表示的有理数． 【详解】解：∵点A，B点表示的数分别是， ∴． 当折叠后点A在点B的右边，且， ∴， 解得， ∴点C表示的数是； 当折叠后点A在点B的左边，且， ∴， 解得， ∴点C表示的数是． 所以点C表示的数是或． 故答案为：或． 【变式3-3】已知数轴上两点对应的数分别为，若在数轴上找一点，使得点的距离为4，再在数轴上找一点D，使得点B,D的距离为1，则的距离为 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，根据题意可分别确定点C与点D表示的数，进而可确定这两个点间的距离，即可解答． 【详解】解：数轴上对应的数为，点的距离为4， 对应的数为或， 数轴上对应的数为，点B,D的距离为1， 对应的数为或， 的距离为或或或， 故答案为：或或或． 类型四、数轴上的折叠问题 1. 确定对称中心：折叠后重合的两点所连线段的中点对应的数，即为折叠点（对称中心）。通过计算两点数值和的一半，能得出对称中心对应的数，这是解决折叠问题的基础。 2. 计算对应点数值：已知某点与对称中心，根据对称关系，利用对称中心与已知点的距离，可求出该点折叠后的对应点数值。若已知点在对称中心左侧，对应点在右侧且与对称中心距离相同，反之亦然。 3. 解决数量关系问题：折叠问题常涉及线段长度、点表示的数之间的数量关系。结合对称性质与数轴上两点间距离公式（两点数值差的绝对值），建立方程求解未知量 ，是突破此类问题的核心方法。 例4．小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为10（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，数轴上两点的中点计算公式，先根据题意求出折叠点为，再由数轴上A、B两点之间的距离为10（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，得到点A在折叠点的左边，且到折叠点的距离为5，据此利用数轴上两点距离计算公式即可求出答案． 【详解】解：∵折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示的点重合， ∴折叠点为， ∵数轴上A、B两点之间的距离为10（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合， ∴点A在折叠点的左边，且到折叠点的距离为5， ∴点A表示的数为， 故答案为：． 【变式4-1】长方形纸片上有一数轴，剪下个单位长度（从到）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 【答案】或或 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键．设三条线段的长分别是，，，由题意可得，求出，再分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解即可． 【详解】解：三条线段的长度之比为， 设三条线段的长分别是，，， 到的距离是， ， 解得， 三条线段的长分别为，，， 当时，折痕点表示的数是； ②当时，折痕点表示的数是； ③当时，折痕点表示的数是； 综上所述：折痕处对应的点表示的数可能或或． 故答案为：或或． 【变式4-2】操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 折叠纸面，使表示的点与1表示的点重合，回答以下问题： ①2表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上、两点之间距离为9（在的左侧），且、两点经折叠后重合，则点表示的数为： ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，用数轴上的点表示有理数，熟练掌握两点间的距离是解答本题的关键． ①先求出折痕表示的数，进而可求出与2重合的数； ②由、两点经折叠后重合可知表示的点是线段的中点，据此其求解即可． 【详解】①折痕表示的数为， 与2重合的数是． 故答案为：； ②∵、两点经折叠后重合， ∴表示的点是线段的中点， ∵数轴上、两点之间距离为9（在的左侧），， ∴点表示的数为：． 故答案为：． 【变式4-3】在课后延时服务中，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图． 操作一： (1)折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示 ___________的点重合． 操作二： (2)折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，解答以下问题： ①表示5的点与在数轴上表示的点重合，求点表示的数． ②若数轴上，两点之间的距离为9（点在点的左侧），且，两点折叠后重合，求，两点表示的数． 【答案】(1)2 (2)①，② 【分析】本题考查了数轴的简单应用，解决数轴中的折叠问题，关键是找到折痕经过的数轴上表示的点． （1）根据表示1的点与表示的点重合，可得其中点为原点，则与2重合； （2）根据表示的点与表示3的点重合，可得其中点为表示1的点，再根据互相重合的两个点到中点的距离相等即可求解． 【详解】（1）解：表示1的点与表示的点重合， 折痕经过原点， 表示的点与表示2的点重合． 故答案为：2； （2）解：表示的点与表示3的点重合， ， 折痕经过表示1的点， ①， 点表示的数为； ②， ． ，两点表示的数分别为，5.5． 类型五、数轴上的动点问题 1.基本概念与表示方法：数轴上的动点指在数轴上按特定规律运动的点，通常用含未知数的代数式表示其位置。设动点初始位置表示的数为a，运动速度为v，运动时间为t，若向右运动，动点位置表示的数为a + vt；向左运动则为a - vt ，这是解决动点问题的基础。 2.核心问题类型：常涉及求动点相遇、相距特定距离、到达指定位置等问题。如求两动点相遇时间，需根据两者运动后位置相同列方程；求相距固定距离，利用两点间距离公式列绝对值方程求解；到达指定位置则根据终点数值建立等式，均围绕动点位置表达式构建方程。 3.解题策略与技巧：关键是把握动点运动规律，结合数轴上两点距离公式，通过“数”与“形”结合建立方程或不等式。同时注意运动方向、起始位置和条件限制，分情况讨论多种可能性，检验答案是否符合实际运动场景，从而准确解决问题。 例5．如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 【答案】(1)6 (2)2 (3)6或10或22 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，在数轴上表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； （3）分三种情况，点在还没达到原点，点Q到点A的距离为4；到达原点后返回未经过点A，与点A的距离为，返回经过点A后，与点A的距离为，再计算时间，即可得到点运动的路程，即可解答． 【详解】（1）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为6； （2）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动 ∴当时，点运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为2； （3）解：当点到点A的距离为4时， 分两种情况讨论： ①点向左运动还没达到原点时， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∵， ∴ 运动时间为（秒）， ∴； ∴； ②点向右运动时且还没经过点时， ∵， ∴， 运动时间为（秒）， ∴； ∴； ③点向右运动时且经过点后， ∵， ∴， 运动时间为（秒）， ∴； ∴； 综上，点P到点Q的距离为6或10或22． 【变式5-1】如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： (1)将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是______； (2)怎样移动A，B，C中的两个点，才能使三个点表示相同的数？ 【答案】(1) (2)当点B，C移动到点A的位置时，点B向右移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，C移动到点B的位置时，点A向左移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，B移动到点C的位置时，点A向左移动个单位长度，点B向左移动个单位长度． 【分析】本题主要考查用数轴表示有理数、数轴上的动点问题等知识点，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）根据数轴上的点的移动规则“左移减，右移加”列式计算即可； （2）根据点在数轴上的位置，写出一种移动方法即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是4， ∴将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是． 故答案为：． （2）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是0，点C表示的数是， ∴当点B，C移动到点A的位置时，点B向右移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，C移动到点B的位置时，点A向左移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，B移动到点C的位置时，点A向左移动个单位长度，点B向左移动个单位长度． 【变式5-2】如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，可以看出，终点表示的数是．参照图中所给的信息，完成填空：已知，都是数轴上的点． (1)若点表示数，将点向右移动个单位长度至点，则点表示的数是_________； (2)若点表示数，将点先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数是_________； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了数轴上动点平移问题，解题关键是掌握数轴上点往右移几就加几，往左移几就减几． （1）根据点表示的数是，向右平移了个单位长度，则平移后的点表示的数为； （2）根据点表示的数是，将点先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数为． 【详解】（1）解：根据题意可得：点表示的数为， 故答案为：； （2）解：根据题意可得：点表示的数为， 故答案为：． 【变式5-3】如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答问题： (1)将A点向左移动5个单位长度，这是的点表示的数是___________； (2)怎样移动A、B、C的其中个点，才能使点C恰好是线段的中点？请写出三种移动的方法． 方法一（移动A点）：___________， 方法二（移动B点）：___________， 方法三（移动C点）：___________． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数、数轴上两点之间、数轴上点的平移是距离等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据平移特点列式计算即可； （2）根据三种方法，分别运用平移法则解答即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为4， ∴将点A向左移动5个单位长度，这时的点表示的数是． 故答案为：． （2）解：当点A移动时，此时只需将A向左移动8个单位即可． 当点B移动时，此时只需将B向左移动8个单位即可． 当点C移动时，此时只需要将C向右移动4个单位即可． 类型六、数轴上的规律探究问题 1.数字排列规律：观察数轴上数字的分布，分析其等差、等比或周期性规律。如相邻数差值固定的等差数列（如2，4，6，8… 相邻数差为2）；等比数列则后一项与前一项比值恒定；周期性规律表现为数字每隔固定间隔重复出现，需结合数轴单位长度与点的位置确定规律通项公式。 2.图形与点的关系规律：研究数轴上点构成的图形特征，如多个点组成线段、多边形等，通过分析点坐标与图形边长、面积的关系，推导数量变化规律。例如等间距分布的点形成线段，线段数量、长度随点数变化存在特定关系，可借助代数方法归纳总结。 3.操作与变化规律：针对数轴上点的移动、标记、对称等操作，探究每次操作后点的位置、对应数字的变化规律。如点每次按倍数关系移动，或经对称变换后，需记录操作前后数据，对比分析变化趋势，用代数式表示一般性规律，解决拓展延伸问题。 例6．在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 【答案】1013 【分析】本题考查了数轴上点运动规律探索，正确理解题意、得到规律是关键； 根据前4个点的运动规律可得：第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是，进而求解． 【详解】解：因为第一次点向左移动1个单位长度到达点，点表示的数是， 第二次将点向右移动2个单位长度到达点，点表示的数是1， 第三次将点向左移动3个单位长度到达点，点表示的数是， 第四次将点向右移动4个单位长度到达点，点表示的数是2， …， 所以第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是， 所以当时，点表示的数是，与原点的距离是1013； 故答案为：1013. 【变式6-1】在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上点的运动规律问题，根据数轴上运动时“右加左减”计算即可． 【详解】解：∵，， ∴第113秒时，点在数轴上所对应的数是， 故答案为：． 【变式6-2】在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，我们称点是点的“相关点”，已知数轴上的相关点为，点的相关点为，点的相关点为，这样依次得到点、、、，…，．若点在数轴表示的数是，则点在数轴上表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数的规律探索，计算出、、、，，这六个点表示的数，找到规律是，2，依次循环，由此即可求解． 【详解】解：点在数轴表示的数是，则点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是2，点在数轴表示的数是，……，由此得：三个数，2，依次循环； 而，则点在数轴上表示的数是2； 故答案为：2． 【变式6-3】如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点，第2次从点A向右移动6个单位长度至点，第3次从点向左移动9个单位长度至点，…，按照这种移动方式进行下去，则在数轴上表示的数为 ，如果点与原点的距离大于20，那么n的最小值是 ． 【答案】 7 13 【分析】此题考查规律型：数字变化类，认真观察、仔细思考，找出点表示的数的变化规律是解题关键． 序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到表示的数为，表示的数为，则可判断点与原点的距离不小于20时，n的最小值是． 【详解】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点，则表示的数，； 第2次从点向右移动6个单位长度至点，则表示的数为； 第3次从点向左移动9个单位长度至点，则表示的数为； 第4次从点向右移动12个单位长度至点，则表示的数为； 第5次从点向左移动15个单位长度至点，则表示的数为； …； 则表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为， 表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为， 所以点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是． 故答案为：7；13． 一、单选题 1．在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴表示数，数轴上两点的距离，分两种情况或，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点表示的数是， ∴到点距离4个单位的点表示的数是：或， ∴到点距离4个单位的点表示的数是或， 故选：B． 2．在数轴上，表示有理数a，b的点的位置如图所示，把个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴的性质以及有理数的大小比较，解题的关键是根据数轴上点的位置判断出a，b的正负性和绝对值大小关系． 先根据数轴判断a，b的正负性与绝对值大小．再根据相反数的性质得到的正负性，最后比较的大小． 【详解】从数轴可知，，且， 根据相反数的性质，的相反数的相反数， 所以， 故选：C． 3．有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且，下列推断正确的是（    ） A．原点一定在点A左侧 B．原点一定在点A右侧 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，根据越在数轴的右边的数越大，运用，得，则原点一定在中点左侧，即可作答． 【详解】解：∵，且从数轴得， ∴，， ∴原点一定在中点左侧， 故选：C． 4．如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，，，，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2024将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，正方形滚动一周的长度为4，从到2024共滚动2026个单位长度，由，即可作出判断． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴正方形的周长为4， ∴正方形滚动一周的长度为4， ∵正方形的起点在处， ∴， ∵， ∴数轴上的数2020将与正方形上的点C重合， 故选：C． 5．在数轴上有A，B，C三点，其中点A表示的数是2，点B表示的数是，如果其中一点为另外两点形成的线段的中点，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或8或2 C．或8或1 D．或或8 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的基本性质和数轴上两点间的距离计算，本题的解题关键是数轴上两点间的距离计算，根据数轴的基本性质和数轴上两点间的距离即可求解． 【详解】解：、、是数轴上三点，且点表示的数是，点表示的数为1， 设点表示的数为， 当其中一点是另外两点构成的线段中点， ①为线段的中点， 的值为：； ②为线段的中点， 的值为：； ③为线段的中点， 的值为：； 则点C表示的数是或或8， 故选：D． 二、填空题 6．如图所示，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，墨迹盖住的整数共有 个． 【答案】7 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，根据数轴找到所有被盖住的整数即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，被盖住的整数有，共7个整数， 故答案为：7． 7．已知数轴上点为，点由点向右移动8个而得，点距离点两个单位，则点在数轴上对应的数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴、两点间的距离，了解数轴上点的移动规律是解题的关键．先求得点表示的数，然后分2种情况讨论，第一种是当在左侧，第二种是在右侧，分别得出答案． 【详解】解：已知数轴上点为，点由点向右移动8个而得， 点为： 当在左侧，点距离点两个单位，那么点为：； 当在右侧，点距离点两个单位，那么点为：． 故答案为：或． 8．如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式：①；②；③．其中正确式子的序号是 ． 【答案】②③/③② 【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，有理数加法和乘法．根据数a、b在数轴上的位置可确定数a、b与1及的大小关系，从而可确定、、、及的符号，进而确定式子的符号，逐一作出判断． 【详解】解：①，，则，故该项不正确； ②，，则，故该项正确； ③，，则，，即，故该项正确； 则只有②③正确． 故答案为：②③． 9．如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是，8．若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒，当点Q遇到点P时，两点都立即以原来的速度向相反的方向运动，当点P到达点A时，两点同时停止运动．当 秒时，． 【答案】3或5 【分析】本题主要考查了数轴上的动点．熟练掌握数轴上点表示的数，两点间的距离，是解题的关键． 相遇前点P表示的数，点Q表示的数，，，根据，解得；相遇后，点P表示的数，点Q表示的数t，，，得． 【详解】解：∵A，B两点表示的数分别是，8， ∴点P表示的数为：，点Q表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得； 相遇时间是， 相遇点表示的数为：， 相遇后，点P表示的数为：，点Q表示的数为， ∴，， ∴， 解得． ∴或． 故答案为：3或5． 10．点的初始位置位于数轴上的原点，现对点做如下移动：第次从原点向右移动个单位长度至点，第次从点向左移动个单位长度至点，第次从点向右移动个单位长度至点，第次从点向左移动个单位长度至点……依次类推． （1）移动次后该点对应的数为 ； （2）这样移动次后该点到原点的距离为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上点的运动规律，解决本题的关键是根据数轴上点的运动规律分别求出每次移动后点所对应的数，根据点所对应的数求出点到原点的距离． （1）根据数轴上点的运动规律依次计算出移动后点所对应的数即可得到结果； （2）根据（1）中的规律依次写出移动后点所对应的数，根据第次移动后点所对应的数写出的值． 【详解】（1）解：第次移动后点对应的数为：， 第次移动后点对应的数为：， 第次移动后点对应的数为：， 第次移动后点对应的数为：， 第次移动后点对应的数为：， 故答案为：； （2）根据（1）中的规律可知： 第次移动后点所对应的数为：， 第次移动后点所对应的数为：， 第次移动后点所对应的数为：， 第次移动后点所对应的数为：， 第次移动后点所对应的数为：， 移动次后该点到原点的距离为． 故答案为： ． 三、解答题 11．画数轴 (1)将下列各数在数轴上表示出来 ，0，，， (2)将上列各数用“”连接起来 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，是解题的关键． （1）数轴表示，有理数的乘方，绝对值的化简，先化简计算，后再数轴上表示； （2）利用数轴从左到右比较大小即可； 【详解】（1）解：∵，，，， 数轴表示如下： （2）由（1）可得：． 12．如图，以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B；C刚好对应着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10．设点A，B，C所表示的数的和是m，该数轴的原点为O，向右为正方向． (1)若点A所表示的数是，则点所表示的数是_______； (2)若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点O对应直尺上的刻度为_______； (3)若点B，O之间的距离为4，求m的值． 【答案】(1)5 (2)6 (3)或8 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，有理数的加减法运算，数形结合是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离进行计算即可求解； （2）根据的距离，得出点A表示是的数为，点C表示的数为4，由图中点C所在的位置为10，即可得出原点O对应直尺上的刻度为； （3）分当O在点B的左边和右边两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上的点A，B，C对应着直尺上的刻度2，8和10， ∴， ∵点A所表示的数是， ∴点C所表示的数是， 故答案为：5； （2）解：∵，点A，C所表示的数互为相反数， ∴则点A表示是的数为，点C表示的数为4， ∵图中点C所在的位置为10， ∴数轴的原点O对应直尺上的刻度为， 故答案为：6； （3）解：∵点B，O之间的距离为4，点B对着直尺上的刻度8， ①当O在点B的左边时，即点O对着直尺上的刻度4， ∴B点表示的数为4， ∵， ∴此时点A表示的数为，点C表示的数为6， ∴； ②当O在点B的右边时，即点O对着直尺上的刻度12， ∴B点表示的数为， ∵， ∴此时点A表示的数为，点C表示的数为， ∴， 综上，m的值为或8． 13．数轴上不重合的三个点，若其中一点到另外两点的距离的比值为，则称这个点是另外两点的n阶伴侣点．如图，O是点A、B的1阶伴侣点；O是点A、C的2阶伴侣点；O也是点B、C的2阶伴侣点． (1)如图，C是点A、B的______阶伴侣点； (2)若数轴上两点M、N分别表示和4，则M、N的阶伴侣点所表示的数是多少？ 【答案】(1)3 (2)，，， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离， 对于（1），根据“伴侣点”的定义即可求解； 对于（2），分三种情况讨论可求M、N的阶伴侣点所表示的数. 【详解】（1）解：， ∴. 则点C是点A，B的3阶伴侣点. 故答案为：3. （2）解：， M、N的阶伴侣点在的左边时，所表示的数为； M、N的阶伴侣点在和4中间时，所表示的数为或；M、N的阶伴侣点在4的右边时，所表示的数为. 综上所述，M、N的阶伴侣点所表示的数为，，，. 14．，分别是数轴上两个不同点，所表示的有理数，且，，，两点在数轴上的位置如图所示： (1)试确定数，； (2)若点在数轴上，点到点的距离是点到点距离的，求点表示的数； (3)点从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，依次操作次后，求点表示的数． 【答案】(1)，； (2)点表示的数为或 (3) 【分析】本题主要考查数轴上两点间的距离公式及点的平移性质，根据题意运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据绝对值的定义结合由数轴得出a，b的符号即可得； （2）分以下两种情况：点C在A，B之间、点C在点B右侧，利用两点间距离公式列方程求解； （3）根据平移的性质可知，P点表示的数为，计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵由数轴可知，， ∴；. （2）解：①若C点在B点的右侧，则， ∴， ∴点C表示的数为：， ②若C点在A，B点之间，则， ∴， ∴点C表示的数为：． 综上，C点表示的数为或； （3）解： ． 表示的数为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$