专题01 数轴的六类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024七年级上册

专题01 数轴的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、用数轴上的点表示有理数 类型二、利用数轴比较有理数的大小 类型三、数轴上两点之间的距离 类型四、数轴上的折叠问题 类型五、数轴上的动点问题 类型六、数轴上的规律探究问题 压轴专练 类型一、用数轴上的点表示有理数 1.数轴的概念与三要素：数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。原点是数轴的基准点，确定0的位置；正方向一般规定向右为正；单位长度根据实际需求选取，用于衡量数的大小。三要素缺一不可，它们共同构成数轴，为有理数的表示提供基础框架。 2.有理数在数轴上的表示方法：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。正有理数在原点右侧，负有理数在原点左侧，数值大小决定点到原点的距离。例如，+3在原点右侧3个单位长度处，-2在原点左侧2个单位长度处 ，0用原点表示。 3.数轴上点与有理数的关系：数轴上的点与有理数并非一一对应，有理数能在数轴找到对应点，但数轴上还存在无理数对应的点。利用数轴可直观比较有理数大小，右边的点表示的数总比左边的大，方便理解有理数的顺序与数量关系。 例1．已知有理数：，，，0，． (1)这些有理数中，整数有________个，负数有________个； (2)请补充完整数轴，并把上述各数所表示的点画在数轴上； (3)请把以上有理数按从小到大的顺序用“<”连接起来． 【变式1-1】在如图所示的数轴上表示下列各数，并用“”将这些数连接起来： ，，，，0． 【变式1-2】请在数轴上画出表示各数的点，并用“”连接起来． ，0，，，， 【变式1-3】已知有理数：，0，，，，．回答下列问题： (1)上述六个有理数中，互为相反数的一组是______； (2)将上述六个有理数表示在如图所示的数轴上； (3)将上述六个有理数按从小到大的顺序排列，并用“”连接． 类型二、利用数轴比较有理数的大小 1.数轴比较大小的基本原理：数轴上的点从左到右，对应的数逐渐增大。这是因为数轴以向右为正方向，正方向代表数值增大的趋势，所以有理数在数轴上的位置决定了其大小关系，这种直观的几何表示将抽象的数的大小比较转化为点的位置关系判断。 2.具体比较方法：正数在原点右侧，负数在原点左侧，所以正数大于0，0大于负数，正数大于负数；同为正数时，离原点越远的点表示的数越大，例如3在2右侧，则3＞2；同为负数时，离原点越远的点表示的数反而越小，如-2在-1左侧，则-2＜-1。 3.应用与意义：通过数轴比较有理数大小，能更直观理解数的顺序和相对大小关系，解决大小比较、排序等问题。同时，这种方法为后续学习实数大小比较、不等式解集表示等知识奠定基础，将数与形紧密结合，提升数学思维能力。 例2．若有理数、在数轴上的位置如图所示，则、的大小关系为 ．（填“”或“”） 【变式2-1】有理数，在数轴上的对应点位置如图所示． 用“”连接，，，，五个数： ． 【变式2-2】有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，判断下列各式与的大小． （1） ， ， ． （2） ， ， ． 【变式2-3】如图，数轴上的点，对应有理数，，有以下四个结论：；；；，其中正确的是 填写序号 类型三、数轴上两点之间的距离 1. 距离定义与原理：数轴上两点之间的距离，指两点所表示的数差的绝对值，体现了数与形的结合。其本质是两点对应有理数在数轴上位置间隔的单位长度数量，通过绝对值运算消除方向影响，确保距离为非负值。 2. 计算方法：设数轴上两点表示的数分别为a和b，则两点间距离d = |a - b| 。无论a、b正负及大小关系如何，均可套用此公式。例如，求表示3与-2的两点距离，d=|3 - (-2)| = |5| = 5；当a、b中有0时，如0与4，距离为|0 - 4| = 4 。 3. 应用场景：常用于求解数轴上动点问题、绝对值方程等。在实际问题中，可借助距离公式确定位置关系，如计算行程问题中的位置间隔，或根据已知距离条件求未知点表示的数，深化对数轴性质和绝对值概念的理解与运用。 例3．已知数轴上A点为，点B由点A向右移动6个单位长度，点C距离点B两个单位，则点C在数轴上对应的数为 ． 【变式3-1】在数轴上，点A表示的数是，与A距离3个单位长度的点表示的数是 ． 【变式3-2】在一条可以折叠的数轴上，点、表示的数分别为和3，（如图1）以点为折点，将此数轴向右对折，折叠后若A，两点间的距离为1，则点表示的数为 ． 【变式3-3】已知数轴上两点对应的数分别为，若在数轴上找一点，使得点的距离为4，再在数轴上找一点D，使得点B,D的距离为1，则的距离为 ． 类型四、数轴上的折叠问题 1. 确定对称中心：折叠后重合的两点所连线段的中点对应的数，即为折叠点（对称中心）。通过计算两点数值和的一半，能得出对称中心对应的数，这是解决折叠问题的基础。 2. 计算对应点数值：已知某点与对称中心，根据对称关系，利用对称中心与已知点的距离，可求出该点折叠后的对应点数值。若已知点在对称中心左侧，对应点在右侧且与对称中心距离相同，反之亦然。 3. 解决数量关系问题：折叠问题常涉及线段长度、点表示的数之间的数量关系。结合对称性质与数轴上两点间距离公式（两点数值差的绝对值），建立方程求解未知量 ，是突破此类问题的核心方法。 例4．小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为10（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为 ． 【变式4-1】长方形纸片上有一数轴，剪下个单位长度（从到）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 【变式4-2】操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 折叠纸面，使表示的点与1表示的点重合，回答以下问题： ①2表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上、两点之间距离为9（在的左侧），且、两点经折叠后重合，则点表示的数为： ． 【变式4-3】在课后延时服务中，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图． 操作一： (1)折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示 ___________的点重合． 操作二： (2)折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，解答以下问题： ①表示5的点与在数轴上表示的点重合，求点表示的数． ②若数轴上，两点之间的距离为9（点在点的左侧），且，两点折叠后重合，求，两点表示的数． 类型五、数轴上的动点问题 1.基本概念与表示方法：数轴上的动点指在数轴上按特定规律运动的点，通常用含未知数的代数式表示其位置。设动点初始位置表示的数为a，运动速度为v，运动时间为t，若向右运动，动点位置表示的数为a + vt；向左运动则为a - vt ，这是解决动点问题的基础。 2.核心问题类型：常涉及求动点相遇、相距特定距离、到达指定位置等问题。如求两动点相遇时间，需根据两者运动后位置相同列方程；求相距固定距离，利用两点间距离公式列绝对值方程求解；到达指定位置则根据终点数值建立等式，均围绕动点位置表达式构建方程。 3.解题策略与技巧：关键是把握动点运动规律，结合数轴上两点距离公式，通过“数”与“形”结合建立方程或不等式。同时注意运动方向、起始位置和条件限制，分情况讨论多种可能性，检验答案是否符合实际运动场景，从而准确解决问题。 例5．如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 【变式5-1】如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： (1)将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是______； (2)怎样移动A，B，C中的两个点，才能使三个点表示相同的数？ 【变式5-2】如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，可以看出，终点表示的数是．参照图中所给的信息，完成填空：已知，都是数轴上的点． (1)若点表示数，将点向右移动个单位长度至点，则点表示的数是_________； (2)若点表示数，将点先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数是_________； 【变式5-3】如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答问题： (1)将A点向左移动5个单位长度，这是的点表示的数是___________； (2)怎样移动A、B、C的其中个点，才能使点C恰好是线段的中点？请写出三种移动的方法． 方法一（移动A点）：___________， 方法二（移动B点）：___________， 方法三（移动C点）：___________． 类型六、数轴上的规律探究问题 1.数字排列规律：观察数轴上数字的分布，分析其等差、等比或周期性规律。如相邻数差值固定的等差数列（如2，4，6，8… 相邻数差为2）；等比数列则后一项与前一项比值恒定；周期性规律表现为数字每隔固定间隔重复出现，需结合数轴单位长度与点的位置确定规律通项公式。 2.图形与点的关系规律：研究数轴上点构成的图形特征，如多个点组成线段、多边形等，通过分析点坐标与图形边长、面积的关系，推导数量变化规律。例如等间距分布的点形成线段，线段数量、长度随点数变化存在特定关系，可借助代数方法归纳总结。 3.操作与变化规律：针对数轴上点的移动、标记、对称等操作，探究每次操作后点的位置、对应数字的变化规律。如点每次按倍数关系移动，或经对称变换后，需记录操作前后数据，对比分析变化趋势，用代数式表示一般性规律，解决拓展延伸问题。 例6．在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 【变式6-1】在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 【变式6-2】在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，我们称点是点的“相关点”，已知数轴上的相关点为，点的相关点为，点的相关点为，这样依次得到点、、、，…，．若点在数轴表示的数是，则点在数轴上表示的数是 ． 【变式6-3】如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点，第2次从点A向右移动6个单位长度至点，第3次从点向左移动9个单位长度至点，…，按照这种移动方式进行下去，则在数轴上表示的数为 ，如果点与原点的距离大于20，那么n的最小值是 ． 一、单选题 1．数轴上，把表示的点沿着数轴移动个单位长度得到的点所表示的数是（　　） A． B． C． D．或 2．墨迹污染小红在写作业时，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据图中的数据，请确定墨水遮盖住的整数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若在正方形的四个顶点处依次标上“振”“兴”“中”“华”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“中”“华”对应的数分别为和，如图．现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚，例如：第一次翻滚后“振”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（  ） A．振 B．兴 C．中 D．华 5．如图所示的数轴上，点表示的数为，点表示的数为10．若一动点从点以每秒1个单位长度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒4个单位长度沿数轴向左匀速运动，设运动的时间为秒，当两点之间的距离为5个单位长度时，的值为（    ） A．1 B．3或5 C．3 D．1或5 二、填空题 6．如图，小明同学借助刻度尺画了一条数轴，其中原点落在示数7的刻度线上，表示数字1的点落在示数9的刻度线上，则这条数轴上表示数字的点对应刻度尺的示数为 ． 7．如图，在一条可以折叠的数轴上，A、B两点表示的数分别是 ，3，以点C为折点，将此数轴向右对折，若A、B两点重合，则C点表示的数是 ．    8．数轴上点 对应的数为 6，点 是数轴上一点，且 ，动点 从原点出发，以每秒 1 个单位的速度沿数轴正方向匀速运动，当 运动至 中点时，运动时间为 s． 9．如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离是 ． 10．电影《哈利•波特》中，小哈利波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，给观众留下深刻的印象．若站台分别位于，处，若P站台到A站台的距离是到B站台距离的2倍，则P站台用类似电影的方法可称为“ 站台”． 三、解答题 11．已知下列各数：0，，，，，，． (1)把这些数中符合要求的数分别填入如图所示的集合圈中，并标注重叠部分集合的名称； (2)画出数轴，把它们分别在数轴上表示出来，并用“”连接起来． 12．如图，数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离都相等，已知点A表示的数是，点H表示的数是2． (1)表示原点的是点____________，点E表示的有理数是____________； (2)已知B，C两点间的距离为m，B，D两点间的距离为n．计算B，C，D三点对应的数的和，直接写出的值； (3)已知数轴上有两点M，N，满足点M到点F距离为3，点N到点F的距离为6，则点M，N之间的距离为多少？ 13．一点从数轴上表示的点A开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位到达点；第二次从点先向左移动3个单位，再向右移动4个单位到达点C；第三次从点C先向左移动5个单位，再向右移动6个单位… (1)第一次移动后这个点在数轴上表示的数为 ；点与点间的距离为 ． (2)第二次移动后这个点在数轴上表示的数为 ；点A与点C间的距离为 ． (3)若第n次移动后到达N点则这个点在数轴上表示的数为 ；点与点间的距离为 ． (4)若第次移动后这个点在数轴上表示的数为78，求m的值． 14．如图1，点Z将线段分成和两部分．若或，则称点Z是线段的“分”点． 【理解定义】                                             （1）若线段，Z是线段的“分”点，且，则 ； 【解决问题】 如图2，有一张半径为个单位长度的圆形纸片，将该纸片边上的某点与数轴上表示1的点重合，并把该纸片沿数轴向右无滑动地滚动1周，使该点到达点D的位置． （2）若不重合的两点M、N均为线段的“分”点，求线段的长度； （3）在图2中，点P从点O出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动；同时，点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，运动时间为t秒．在点P、D、Q三个点中，当点D和P分别为其余两点所构成线段的“分”点时，直接写出t的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数轴的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、用数轴上的点表示有理数 类型二、利用数轴比较有理数的大小 类型三、数轴上两点之间的距离 类型四、数轴上的折叠问题 类型五、数轴上的动点问题 类型六、数轴上的规律探究问题 压轴专练 类型一、用数轴上的点表示有理数 1.数轴的概念与三要素：数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。原点是数轴的基准点，确定0的位置；正方向一般规定向右为正；单位长度根据实际需求选取，用于衡量数的大小。三要素缺一不可，它们共同构成数轴，为有理数的表示提供基础框架。 2.有理数在数轴上的表示方法：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。正有理数在原点右侧，负有理数在原点左侧，数值大小决定点到原点的距离。例如，+3在原点右侧3个单位长度处，-2在原点左侧2个单位长度处 ，0用原点表示。 3.数轴上点与有理数的关系：数轴上的点与有理数并非一一对应，有理数能在数轴找到对应点，但数轴上还存在无理数对应的点。利用数轴可直观比较有理数大小，右边的点表示的数总比左边的大，方便理解有理数的顺序与数量关系。 例1．已知有理数：，，，0，． (1)这些有理数中，整数有________个，负数有________个； (2)请补充完整数轴，并把上述各数所表示的点画在数轴上； (3)请把以上有理数按从小到大的顺序用“<”连接起来． 【答案】(1)3，3； (2)见解析 (3)． 【分析】本题考查有理数的乘方，数轴上的点表示有理数，有理数的大小比较，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先化简各数，再进行分类即可； （2）把有理数在数轴上表示出来即可； （3）根据数轴上表示的有理数，从左到右，有小于号连接即可． 【详解】（1）解：，，0，是整数，有3个； ，，，，是负数，有3个， 故答案是：3,3； （2）解：如图所示： （3）解：． 【变式1-1】在如图所示的数轴上表示下列各数，并用“”将这些数连接起来： ，，，，0． 【答案】见解析， 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小、利用数轴上的点表示有理数、有理数的乘方、绝对值，先将各个数进行计算，再表示在数轴上，比较即可得解． 【详解】解：∵，，，， 在数轴上表示为： ∴． 【变式1-2】请在数轴上画出表示各数的点，并用“”连接起来． ，0，，，， 【答案】数轴见解析， 【分析】此题考查了在数轴上表示有理数和借助数轴比较有理数的大小．先化简需要化简的各数，再把各数表示在数轴上，最后用“”连接起来即可． 【详解】解：，，， 在数轴上表示各数如下： 用“”连接起来如下： ． 【变式1-3】已知有理数：，0，，，，．回答下列问题： (1)上述六个有理数中，互为相反数的一组是______； (2)将上述六个有理数表示在如图所示的数轴上； (3)将上述六个有理数按从小到大的顺序排列，并用“”连接． 【答案】(1)与 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查的是化简双重符号，求解绝对值，在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小． （1）先化简双重符号，求解绝对值，再利用相反数的定义可得答案； （2）在数轴上的点表示各有理数即可； （3）利用数轴右边点表示的数大于左边点表示的数，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴互为相反数的一组数是与； 故答案为：与； （2）解：如图所示： ； （3）解：由（2）数轴可知： ． 类型二、利用数轴比较有理数的大小 1.数轴比较大小的基本原理：数轴上的点从左到右，对应的数逐渐增大。这是因为数轴以向右为正方向，正方向代表数值增大的趋势，所以有理数在数轴上的位置决定了其大小关系，这种直观的几何表示将抽象的数的大小比较转化为点的位置关系判断。 2.具体比较方法：正数在原点右侧，负数在原点左侧，所以正数大于0，0大于负数，正数大于负数；同为正数时，离原点越远的点表示的数越大，例如3在2右侧，则3＞2；同为负数时，离原点越远的点表示的数反而越小，如-2在-1左侧，则-2＜-1。 3.应用与意义：通过数轴比较有理数大小，能更直观理解数的顺序和相对大小关系，解决大小比较、排序等问题。同时，这种方法为后续学习实数大小比较、不等式解集表示等知识奠定基础，将数与形紧密结合，提升数学思维能力。 例2．若有理数、在数轴上的位置如图所示，则、的大小关系为 ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了数轴的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据数轴上各数的位置得出，容易得出结论； 【详解】解：根据题意由数轴得：， ∴， 故答案为：； 【变式2-1】有理数，在数轴上的对应点位置如图所示． 用“”连接，，，，五个数： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数比较大小，解题的关键在于掌握数轴上数的大小特点，利用数轴找出，所在位置，再根据数轴上的数从左到右依次增大，即可解题． 【详解】解：结合数轴找出，所在位置，如下图所示： 利用数轴特点可知，， 故答案为：． 【变式2-2】有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，判断下列各式与的大小． （1） ， ， ． （2） ， ， ． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，有理数的乘法，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据数轴上原点右边的点表示的数总比原点大，原点左边的数总比原点小，即可求解； （2）根据有理数的乘法法则即可求解． 【详解】（1）解：根据数轴可得：，，， 故答案为：，，； （2），，， ，，， 故答案为：，，． 【变式2-3】如图，数轴上的点，对应有理数，，有以下四个结论：；；；，其中正确的是 填写序号 【答案】 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识．利用数轴知识解答． 【详解】解：由数轴图可知，，， ，． 正确，错误， 错误， 错误， ．正确的是 故答案为∶ 类型三、数轴上两点之间的距离 1. 距离定义与原理：数轴上两点之间的距离，指两点所表示的数差的绝对值，体现了数与形的结合。其本质是两点对应有理数在数轴上位置间隔的单位长度数量，通过绝对值运算消除方向影响，确保距离为非负值。 2. 计算方法：设数轴上两点表示的数分别为a和b，则两点间距离d = |a - b| 。无论a、b正负及大小关系如何，均可套用此公式。例如，求表示3与-2的两点距离，d=|3 - (-2)| = |5| = 5；当a、b中有0时，如0与4，距离为|0 - 4| = 4 。 3. 应用场景：常用于求解数轴上动点问题、绝对值方程等。在实际问题中，可借助距离公式确定位置关系，如计算行程问题中的位置间隔，或根据已知距离条件求未知点表示的数，深化对数轴性质和绝对值概念的理解与运用。 例3．已知数轴上A点为，点B由点A向右移动6个单位长度，点C距离点B两个单位，则点C在数轴上对应的数为 ． 【答案】5或1 【分析】本题考查了数轴，掌握平移的关键在于点对应的数的大小变化和平移的规律． 数轴上的点平移时和数的大小变化规律：左减右加． 【详解】解：∵A点为，点B由点A向右移动6个单位长度， ∴B 是， ∵点C距离点B两个单位， ∴①当点C在点B的右边时：； ②当点C在点B的左边时：； ∴点C在数轴上对应的数为5或1， 故答案为：5或1. 【变式3-1】在数轴上，点A表示的数是，与A距离3个单位长度的点表示的数是 ． 【答案】或0 【分析】本题考查数轴上两点间距离相关知识，解题关键是分所求点在已知点左侧和右侧两种情况进行讨论计算． 根据数轴上两点间距离的定义，分左侧和右侧两种情况解答即可． 【详解】解：①该点在点A右侧 ∵在数轴上，右边的数比左边的数大，点表示的数是 ∴当所求点在点右侧时，该点比大 ， ∴这个数为 ． ②该点在已点A左侧 ∵在数轴上，左边的数比右边的数小， ∴该点比小 ， ∴这个数为 ． 综上所述：或0， 故答案为：或0． 【变式3-2】在一条可以折叠的数轴上，点、表示的数分别为和3，（如图1）以点为折点，将此数轴向右对折，折叠后若A，两点间的距离为1，则点表示的数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示的有理数，先根据A，B点表示的数求出线段长，再分两种情况讨论：并根据折叠后的长求出的长，进而确定点C表示的有理数． 【详解】解：∵点A，B点表示的数分别是， ∴． 当折叠后点A在点B的右边，且， ∴， 解得， ∴点C表示的数是； 当折叠后点A在点B的左边，且， ∴， 解得， ∴点C表示的数是． 所以点C表示的数是或． 故答案为：或． 【变式3-3】已知数轴上两点对应的数分别为，若在数轴上找一点，使得点的距离为4，再在数轴上找一点D，使得点B,D的距离为1，则的距离为 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，根据题意可分别确定点C与点D表示的数，进而可确定这两个点间的距离，即可解答． 【详解】解：数轴上对应的数为，点的距离为4， 对应的数为或， 数轴上对应的数为，点B,D的距离为1， 对应的数为或， 的距离为或或或， 故答案为：或或或． 类型四、数轴上的折叠问题 1. 确定对称中心：折叠后重合的两点所连线段的中点对应的数，即为折叠点（对称中心）。通过计算两点数值和的一半，能得出对称中心对应的数，这是解决折叠问题的基础。 2. 计算对应点数值：已知某点与对称中心，根据对称关系，利用对称中心与已知点的距离，可求出该点折叠后的对应点数值。若已知点在对称中心左侧，对应点在右侧且与对称中心距离相同，反之亦然。 3. 解决数量关系问题：折叠问题常涉及线段长度、点表示的数之间的数量关系。结合对称性质与数轴上两点间距离公式（两点数值差的绝对值），建立方程求解未知量 ，是突破此类问题的核心方法。 例4．小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为10（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，数轴上两点的中点计算公式，先根据题意求出折叠点为，再由数轴上A、B两点之间的距离为10（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，得到点A在折叠点的左边，且到折叠点的距离为5，据此利用数轴上两点距离计算公式即可求出答案． 【详解】解：∵折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示的点重合， ∴折叠点为， ∵数轴上A、B两点之间的距离为10（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合， ∴点A在折叠点的左边，且到折叠点的距离为5， ∴点A表示的数为， 故答案为：． 【变式4-1】长方形纸片上有一数轴，剪下个单位长度（从到）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 【答案】或或 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键．设三条线段的长分别是，，，由题意可得，求出，再分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解即可． 【详解】解：三条线段的长度之比为， 设三条线段的长分别是，，， 到的距离是， ， 解得， 三条线段的长分别为，，， 当时，折痕点表示的数是； ②当时，折痕点表示的数是； ③当时，折痕点表示的数是； 综上所述：折痕处对应的点表示的数可能或或． 故答案为：或或． 【变式4-2】操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 折叠纸面，使表示的点与1表示的点重合，回答以下问题： ①2表示的点与数 表示的点重合； ②若数轴上、两点之间距离为9（在的左侧），且、两点经折叠后重合，则点表示的数为： ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，用数轴上的点表示有理数，熟练掌握两点间的距离是解答本题的关键． ①先求出折痕表示的数，进而可求出与2重合的数； ②由、两点经折叠后重合可知表示的点是线段的中点，据此其求解即可． 【详解】①折痕表示的数为， 与2重合的数是． 故答案为：； ②∵、两点经折叠后重合， ∴表示的点是线段的中点， ∵数轴上、两点之间距离为9（在的左侧），， ∴点表示的数为：． 故答案为：． 【变式4-3】在课后延时服务中，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图． 操作一： (1)折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示 ___________的点重合． 操作二： (2)折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，解答以下问题： ①表示5的点与在数轴上表示的点重合，求点表示的数． ②若数轴上，两点之间的距离为9（点在点的左侧），且，两点折叠后重合，求，两点表示的数． 【答案】(1)2 (2)①，② 【分析】本题考查了数轴的简单应用，解决数轴中的折叠问题，关键是找到折痕经过的数轴上表示的点． （1）根据表示1的点与表示的点重合，可得其中点为原点，则与2重合； （2）根据表示的点与表示3的点重合，可得其中点为表示1的点，再根据互相重合的两个点到中点的距离相等即可求解． 【详解】（1）解：表示1的点与表示的点重合， 折痕经过原点， 表示的点与表示2的点重合． 故答案为：2； （2）解：表示的点与表示3的点重合， ， 折痕经过表示1的点， ①， 点表示的数为； ②， ． ，两点表示的数分别为，5.5． 类型五、数轴上的动点问题 1.基本概念与表示方法：数轴上的动点指在数轴上按特定规律运动的点，通常用含未知数的代数式表示其位置。设动点初始位置表示的数为a，运动速度为v，运动时间为t，若向右运动，动点位置表示的数为a + vt；向左运动则为a - vt ，这是解决动点问题的基础。 2.核心问题类型：常涉及求动点相遇、相距特定距离、到达指定位置等问题。如求两动点相遇时间，需根据两者运动后位置相同列方程；求相距固定距离，利用两点间距离公式列绝对值方程求解；到达指定位置则根据终点数值建立等式，均围绕动点位置表达式构建方程。 3.解题策略与技巧：关键是把握动点运动规律，结合数轴上两点距离公式，通过“数”与“形”结合建立方程或不等式。同时注意运动方向、起始位置和条件限制，分情况讨论多种可能性，检验答案是否符合实际运动场景，从而准确解决问题。 例5．如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 【答案】(1)6 (2)2 (3)6或10或22 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，在数轴上表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； （3）分三种情况，点在还没达到原点，点Q到点A的距离为4；到达原点后返回未经过点A，与点A的距离为，返回经过点A后，与点A的距离为，再计算时间，即可得到点运动的路程，即可解答． 【详解】（1）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为6； （2）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动 ∴当时，点运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为2； （3）解：当点到点A的距离为4时， 分两种情况讨论： ①点向左运动还没达到原点时， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∵， ∴ 运动时间为（秒）， ∴； ∴； ②点向右运动时且还没经过点时， ∵， ∴， 运动时间为（秒）， ∴； ∴； ③点向右运动时且经过点后， ∵， ∴， 运动时间为（秒）， ∴； ∴； 综上，点P到点Q的距离为6或10或22． 【变式5-1】如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： (1)将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是______； (2)怎样移动A，B，C中的两个点，才能使三个点表示相同的数？ 【答案】(1) (2)当点B，C移动到点A的位置时，点B向右移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，C移动到点B的位置时，点A向左移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，B移动到点C的位置时，点A向左移动个单位长度，点B向左移动个单位长度． 【分析】本题主要考查用数轴表示有理数、数轴上的动点问题等知识点，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）根据数轴上的点的移动规则“左移减，右移加”列式计算即可； （2）根据点在数轴上的位置，写出一种移动方法即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是4， ∴将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是． 故答案为：． （2）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是0，点C表示的数是， ∴当点B，C移动到点A的位置时，点B向右移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，C移动到点B的位置时，点A向左移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，B移动到点C的位置时，点A向左移动个单位长度，点B向左移动个单位长度． 【变式5-2】如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，可以看出，终点表示的数是．参照图中所给的信息，完成填空：已知，都是数轴上的点． (1)若点表示数，将点向右移动个单位长度至点，则点表示的数是_________； (2)若点表示数，将点先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数是_________； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了数轴上动点平移问题，解题关键是掌握数轴上点往右移几就加几，往左移几就减几． （1）根据点表示的数是，向右平移了个单位长度，则平移后的点表示的数为； （2）根据点表示的数是，将点先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数为． 【详解】（1）解：根据题意可得：点表示的数为， 故答案为：； （2）解：根据题意可得：点表示的数为， 故答案为：． 【变式5-3】如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答问题： (1)将A点向左移动5个单位长度，这是的点表示的数是___________； (2)怎样移动A、B、C的其中个点，才能使点C恰好是线段的中点？请写出三种移动的方法． 方法一（移动A点）：___________， 方法二（移动B点）：___________， 方法三（移动C点）：___________． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数、数轴上两点之间、数轴上点的平移是距离等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据平移特点列式计算即可； （2）根据三种方法，分别运用平移法则解答即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为4， ∴将点A向左移动5个单位长度，这时的点表示的数是． 故答案为：． （2）解：当点A移动时，此时只需将A向左移动8个单位即可． 当点B移动时，此时只需将B向左移动8个单位即可． 当点C移动时，此时只需要将C向右移动4个单位即可． 类型六、数轴上的规律探究问题 1.数字排列规律：观察数轴上数字的分布，分析其等差、等比或周期性规律。如相邻数差值固定的等差数列（如2，4，6，8… 相邻数差为2）；等比数列则后一项与前一项比值恒定；周期性规律表现为数字每隔固定间隔重复出现，需结合数轴单位长度与点的位置确定规律通项公式。 2.图形与点的关系规律：研究数轴上点构成的图形特征，如多个点组成线段、多边形等，通过分析点坐标与图形边长、面积的关系，推导数量变化规律。例如等间距分布的点形成线段，线段数量、长度随点数变化存在特定关系，可借助代数方法归纳总结。 3.操作与变化规律：针对数轴上点的移动、标记、对称等操作，探究每次操作后点的位置、对应数字的变化规律。如点每次按倍数关系移动，或经对称变换后，需记录操作前后数据，对比分析变化趋势，用代数式表示一般性规律，解决拓展延伸问题。 例6．在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 【答案】1013 【分析】本题考查了数轴上点运动规律探索，正确理解题意、得到规律是关键； 根据前4个点的运动规律可得：第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是，进而求解． 【详解】解：因为第一次点向左移动1个单位长度到达点，点表示的数是， 第二次将点向右移动2个单位长度到达点，点表示的数是1， 第三次将点向左移动3个单位长度到达点，点表示的数是， 第四次将点向右移动4个单位长度到达点，点表示的数是2， …， 所以第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是， 所以当时，点表示的数是，与原点的距离是1013； 故答案为：1013. 【变式6-1】在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上点的运动规律问题，根据数轴上运动时“右加左减”计算即可． 【详解】解：∵，， ∴第113秒时，点在数轴上所对应的数是， 故答案为：． 【变式6-2】在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，我们称点是点的“相关点”，已知数轴上的相关点为，点的相关点为，点的相关点为，这样依次得到点、、、，…，．若点在数轴表示的数是，则点在数轴上表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数的规律探索，计算出、、、，，这六个点表示的数，找到规律是，2，依次循环，由此即可求解． 【详解】解：点在数轴表示的数是，则点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是2，点在数轴表示的数是，……，由此得：三个数，2，依次循环； 而，则点在数轴上表示的数是2； 故答案为：2． 【变式6-3】如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点，第2次从点A向右移动6个单位长度至点，第3次从点向左移动9个单位长度至点，…，按照这种移动方式进行下去，则在数轴上表示的数为 ，如果点与原点的距离大于20，那么n的最小值是 ． 【答案】 7 13 【分析】此题考查规律型：数字变化类，认真观察、仔细思考，找出点表示的数的变化规律是解题关键． 序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到表示的数为，表示的数为，则可判断点与原点的距离不小于20时，n的最小值是． 【详解】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点，则表示的数，； 第2次从点向右移动6个单位长度至点，则表示的数为； 第3次从点向左移动9个单位长度至点，则表示的数为； 第4次从点向右移动12个单位长度至点，则表示的数为； 第5次从点向左移动15个单位长度至点，则表示的数为； …； 则表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为， 表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为， 所以点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是． 故答案为：7；13． 一、单选题 1．数轴上，把表示的点沿着数轴移动个单位长度得到的点所表示的数是（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，掌握以上知识是解决本题的关键． 根据数轴上动点的运动知识，然后分类讨论即可求解． 【详解】解：当把表示的点沿数轴向负方向运动时，表示的数为：； 当把表示的点沿数轴向正方向运动时，表示的数为：； 故选：D． 2．墨迹污染小红在写作业时，不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据图中的数据，请确定墨水遮盖住的整数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了数轴上有理数大小比较的方法，根据有理数大小比较的方法，判断出和之间的整数有多少个即可． 【详解】解：和之间的整数有3个：、、， 所以被墨水遮盖住的整数有，共三个． 故选：C． 3．有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大，据此分析即可． 【详解】解：有数轴可知，，，，故A，B，C不正确，D正确． 故选D． 4．若在正方形的四个顶点处依次标上“振”“兴”“中”“华”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“中”“华”对应的数分别为和，如图．现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚，例如：第一次翻滚后“振”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（  ） A．振 B．兴 C．中 D．华 【答案】A 【分析】本题考查了图形变化的规律型问题，找出规律是解题的关键． 找出“振”“兴”“中”“华”四个字对应的数的规律，由此即可得． 【详解】解：由题意可知：“中”字是数字除以4余2的，“华”字是数字除以4余3的，“振”字是数字能被4整除的，“兴”字是数字除以4余1的， 因为， 所以数2024对应的字“振”， 故选：A． 5．如图所示的数轴上，点表示的数为，点表示的数为10．若一动点从点以每秒1个单位长度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒4个单位长度沿数轴向左匀速运动，设运动的时间为秒，当两点之间的距离为5个单位长度时，的值为（    ） A．1 B．3或5 C．3 D．1或5 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上点的运动规律，数轴上两点之间的距离公式，掌握数轴上点的运动规律是解题的关键． 根据数轴上点的运动规律及数轴上两点之间的距离公式即可解答． 【详解】解：设运动的时间为 秒， ∵点表示的数为，点表示的数为10， ∴根据题意可得：点表示的数为；点表示的数为， ∵的距离为5个单位长度， ∴， ∴或． 故选B． 二、填空题 6．如图，小明同学借助刻度尺画了一条数轴，其中原点落在示数7的刻度线上，表示数字1的点落在示数9的刻度线上，则这条数轴上表示数字的点对应刻度尺的示数为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴的表示方法是解题的关键．根据数轴上个单位长度表示，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：数轴上个单位长度表示， 故个单位长度表示， 则这条数轴上表示数字的点对应刻度尺的示数为， 故答案为：． 7．如图，在一条可以折叠的数轴上，A、B两点表示的数分别是 ，3，以点C为折点，将此数轴向右对折，若A、B两点重合，则C点表示的数是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，理解以点C为折点，将此数轴向右对折，若A、B两点重合，即点C为线段的中点是解题关键． 【详解】解：当点C为线段的中点时，以点C为折点，将此数轴向右对折，A、B两点重合， ∴C点表示的数是， 故答案为：， 8．数轴上点 对应的数为 6，点 是数轴上一点，且 ，动点 从原点出发，以每秒 1 个单位的速度沿数轴正方向匀速运动，当 运动至 中点时，运动时间为 s． 【答案】2 或 10 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，根据数轴上两点间的距离等于两点所表示的差的绝对值，也等于两点之间的线段长度，进行解答即可． 【详解】解：∵点对应的数为6，， ∴点对应的数为或， ∴当运动至中点时，点对应的数为2或者10， ∴运动时间为2秒或10秒． 故答案为：2或10． 9．如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离， 先根据规律得出各点表示的数，进而求出点2023次跳动的点表示的数，再求出的中点，然后根据两点之间的距离得出答案. 【详解】解：由题意可得， 点A1表示的数为， 点A2表示的数为， 点A3表示的数为， …， 点表示的数为， ∴点表示的数为. ∵的中点表示的数为， ∴2023次跳动后的点与的中点的距离是：. 故答案为：． 10．电影《哈利•波特》中，小哈利波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，给观众留下深刻的印象．若站台分别位于，处，若P站台到A站台的距离是到B站台距离的2倍，则P站台用类似电影的方法可称为“ 站台”． 【答案】或6 【分析】本题主要考查了数轴，解题关键是用几何方法借助数轴来求解．先根据两点间的距离公式得到的长度，再根据求得的长度，再用加上该长度即为所求． 【详解】站台分别位于，处 A站台与B站台之间的距离， A站台与P站台之间的距离， P站台是； 或A站台与P站台之间的距离， P站台是． 故P站台用类似电影的方法可称为“或6站台”． 故答案为：或6． 三、解答题 11．已知下列各数：0，，，，，，． (1)把这些数中符合要求的数分别填入如图所示的集合圈中，并标注重叠部分集合的名称； (2)画出数轴，把它们分别在数轴上表示出来，并用“”连接起来． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】此题考查了有理数的分类、在数轴上表示有理数和比较有理数的大小等知识 （1）化简各数后，利用有理数的分类解答即可； （2）把各数表示在数轴上，再按照从小到大把各数用“”连接起来即可． 【详解】（1）解：，，． 如图， （2）数轴如下： 12．如图，数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离都相等，已知点A表示的数是，点H表示的数是2． (1)表示原点的是点____________，点E表示的有理数是____________； (2)已知B，C两点间的距离为m，B，D两点间的距离为n．计算B，C，D三点对应的数的和，直接写出的值； (3)已知数轴上有两点M，N，满足点M到点F距离为3，点N到点F的距离为6，则点M，N之间的距离为多少？ 【答案】(1) (2) (3)点M，N之间的距离为3或9 【分析】本题考查数轴上点所表示的数以及两点间距离的计算，解题的关键是根据已知点确定数轴上的单位长度，进而确定各点表示的数，再依据距离公式求解． （1）先确定数轴上的单位长度，从而找出原点及点表示的数． （2）确定B，C，D三点表示的数，计算三点对应数的和并求出的值． （3）确定点M，N可能表示的数，分情况计算两点间的距离． 【详解】（1）已知点A表示的数是，点H表示的数是到H的距离为， 因为A到H之间有7个间隔，所以每个间隔的距离为． 从点向左数1个间隔到点，所以表示原点的是点． 点E在点A右侧3个间隔处，那么点E表示的数为， 故答案为：； （2）解：点在点右侧1个间隔处，所以点表示的数是， 点在点右侧2个间隔处，点表示的数是， 点D在点A右侧3个间隔处，点D表示的数是， 所以， ； （3）解：由题意可知F：， 因为点M到点F距离为3，所以点M表示的数是1或 因为点N到点F的距离为6，所以点N表示的数是或4． ；； ；； 综上，点M，N之间的距离为3或9． 13．一点从数轴上表示的点A开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位到达点；第二次从点先向左移动3个单位，再向右移动4个单位到达点C；第三次从点C先向左移动5个单位，再向右移动6个单位… (1)第一次移动后这个点在数轴上表示的数为 ；点与点间的距离为 ． (2)第二次移动后这个点在数轴上表示的数为 ；点A与点C间的距离为 ． (3)若第n次移动后到达N点则这个点在数轴上表示的数为 ；点与点间的距离为 ． (4)若第次移动后这个点在数轴上表示的数为78，求m的值． 【答案】(1)2；1 (2)3；2 (3) (4) 【分析】本题考查了数轴，数字的变化类—规律型，根据题意得出数轴上数字的变化规律是解题的关键． （1）点从数轴上表示的点先向左移动个单位，再向右移动个单位，等于向右移动个单位，移动后这个点表示的数为，； （2）第二次点先向左移动个单位，再向右移动个单位，等于向右移动个单位，移动后这个点表示的数为，； （3）根据题意得出规律：第次移动后点表示的数是，； （4）根据移动规律得出，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：点表示的数为， ， 故答案为：； （2）解：点表示的数为， ， 故答案为：； （3）解：点表示的数为， ， 故答案为：； （4）解：∵， ∴． 14．如图1，点Z将线段分成和两部分．若或，则称点Z是线段的“分”点． 【理解定义】                                             （1）若线段，Z是线段的“分”点，且，则 ； 【解决问题】 如图2，有一张半径为个单位长度的圆形纸片，将该纸片边上的某点与数轴上表示1的点重合，并把该纸片沿数轴向右无滑动地滚动1周，使该点到达点D的位置． （2）若不重合的两点M、N均为线段的“分”点，求线段的长度； （3）在图2中，点P从点O出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动；同时，点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，运动时间为t秒．在点P、D、Q三个点中，当点D和P分别为其余两点所构成线段的“分”点时，直接写出t的值． 【答案】（1）4；（2）；（3）， ，， 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，解一元一次方程， 对于（1），先设，则，根据题意得出方程，求出解即可； 对于（2），先求出点D表示的数，可得，再根据新定义得，，最后根据得出答案； 对于（3），设当运动时间为t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是， 再分两种情况：当点D是线段的“分”点时，当点P是线段的“分”点时，列出方程，求出解即可. 【详解】解：（1）设，则，根据题意，得 ， 解得， ∴； 故答案为：4； （2）∵点D表示的数是， ∴. ∵不重合的两点M，N均为线段的“分”点，假设点M在点N的左边， ∴，， ∴； （3）当运动时间为t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是， 当点D是线段的“分”点时， 或， 解得或； 当点P是线段的“分”点时， 或， 解得或. 所以，t的值为或或得或. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$