精品解析：河北省雄安新区2023-2024学年高一下学期期末数学试卷

高一下学期期末调研考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 某地区有大型商店100家，中型商店300家，小型商店600家，要调查商店每日零售的情况，需要抽取一个容量为的样本进行调查，若采用按比例分层随机抽样的方法，其中大型商店和中型商店共抽取18家，则（ ） A. 36 B. 42 C. 45 D. 60 3. 设a，b表示空间中两条不同的直线，，，表示三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A 若，．则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 4. 若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态．已知，，与的夹角为，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两名射击运动员各射击6次的成绩如下： 甲 8 7 10 8 8 乙 10 7 7 9 8 若甲射击成绩的中位数等于乙射击成绩的平均数，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 在平行四边形中，，，则（ ） A. -6 B. 6 C. D. 7. 已知在正四棱台中，，若异面直线与所成角的余弦值为，则正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. “近水亭台草木欣，朱楼百尺回波濆”，位于济南大明湖畔的超然楼始建于元代，历代因战火及灾涝等原因，屡毁屡建.今天我们所看到的超然楼是2008年重建而成的，共有七层，站在楼上观光，可俯视整个大明湖的风景.如图，为测量超然楼的高度，选择C和一个楼房DE的楼顶为观测点，已知在水平地面上，超然楼和楼房都垂直于地面.已知，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则超然楼的高度（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若复数z满足，则 B. 为纯虚数 C D. 是方程的一个复数根 10. 某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”，“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”．甲从新开的一箱中任选2瓶购买，设事件A表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲中奖”，则（ ） A. 事件A和事件B是对立事件 B. 事件A和事件C是对立事件 C. D. 11. 已知分别是三个内角的对边，则下列选项正确的是（ ） A. 若为锐角三角形，则 B. 若，，，则有两解 C. 内切圆的半径 D. 若，则 12. 如图，在长方体中，，，为的中点，是上一点，是平面上一点，则（ ） A. 长方体的外接球的表面积为 B. C. 平面 D. 的最小值为 三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13. 某学校有3名男生和2名女生报名学科竞赛，计划从这5名同学中随机选择2人代表学校去参加比赛，则这2人性别相同的概率为________． 14. 设复数在复平面内对应的点为，若，则的最大值为_______． 15. 在中，角所对的边分别为，且，则______，若，是角的内角平分线，，则______． 16. 在数学探究活动课中，小华进行了如下探究:如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点A固定在地面上，使得AD，AB，AA1三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过BB1的中点，若AB=1，则该水平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面的面积为___. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 已知复数z满足，且z虚部为． （1）求z； （2）若，在复平面内对应的点分别为A，B，O为坐标原点，求． 18. 某中学为研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了100位同学的数学成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图，如图所示． （1）求直方图中的值； （2）请估计本次联考该校数学成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （3）请估计本次联考该校数学成绩的分位数． 19. 如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）证明：平面平面. 20. 袋中装有大小完全相同的6个红球，3个蓝球，其中有2个红球和1个蓝球上面标记了数字1，其他球标记了数字2. （1）每次有放回地任取1个小球，连续取两次，求取出的2个球恰有1个红球且两球的数字和为3的概率； （2）从袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个，记事件第一次取到的是红球，事件第二次取到了标记数字1的球，求，并判断事件与事件是否相互独立. 21. 在中，角所对的边分别为，__________． ①；②这两个条件中任选一个，补充在上面横线上，并加以解答． （1）求角； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分． 22. 如图，在四棱锥中，，，，△MAD等边三角形，平面平面ABCD，点N在棱MD上，直线平面ACN． （1）证明：． （2）设二面角的平面角为，直线CN与平面ABCD所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一下学期期末调研考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】复数的分子分母同乘分母的共轭复数，化简为的形式，即可推出结果. 【详解】，则所求复数对应的点为，位于第四象限． 故选：. 2. 某地区有大型商店100家，中型商店300家，小型商店600家，要调查商店每日零售的情况，需要抽取一个容量为的样本进行调查，若采用按比例分层随机抽样的方法，其中大型商店和中型商店共抽取18家，则（ ） A. 36 B. 42 C. 45 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用按比例分层抽样的定义直接计算作答. 【详解】根据分层随机抽样的定义可得，解得 ． 故选：C 3. 设a，b表示空间中两条不同的直线，，，表示三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，．则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面平行概念判断A，根据线面平行性质及面面垂直判定定理判断B，根据平面位置关系判断C，由面面平行判定定理判断D. 【详解】对A，若，．则或异面，故A错误； 对B，若，则必有∥，又，所以，，所以，故正确； 对C，若，，则或相交，故C错误； 对D，若，，，，由于可能平行不相交，故得不到，故D错误. 故选：B 4. 若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态．已知，，与的夹角为，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三力平衡得到，然后通过平方将向量式数量化得到，代入数据即可得到答案. 【详解】根据三力平衡得，即， 两边同时平方得， 即， 即， 解得. 故选：C. 5. 甲、乙两名射击运动员各射击6次的成绩如下： 甲 8 7 10 8 8 乙 10 7 7 9 8 若甲射击成绩的中位数等于乙射击成绩的平均数，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】首先得到甲射击成绩的中位数，再根据平均数公式计算可得. 【详解】对于甲的成绩，因为有个，且还有个，无论为何值，甲射击成绩的中位数一定是， 所以，解得. 故选：A 6. 在平行四边形中，，，则（ ） A. -6 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量线性运算将向量表示出来，然后利用向量的数量积运算律求解即可. 【详解】. 故选：A. 7. 已知在正四棱台中，，若异面直线与所成角的余弦值为，则正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得为异面直线与所成角，即可求出，连接、，过点作交于点，过点作交于点，即可求出棱台的高，从而求出棱台的体积. 【详解】如图在正四棱台中，， 所以为异面直线与所成角，又， 所以，，且，所以， 连接、，过点作交于点，过点作交于点， 则，， 所以，则， 即正四棱台的高， 所以棱台的体积. 故选：D 8. “近水亭台草木欣，朱楼百尺回波濆”，位于济南大明湖畔的超然楼始建于元代，历代因战火及灾涝等原因，屡毁屡建.今天我们所看到的超然楼是2008年重建而成的，共有七层，站在楼上观光，可俯视整个大明湖的风景.如图，为测量超然楼的高度，选择C和一个楼房DE的楼顶为观测点，已知在水平地面上，超然楼和楼房都垂直于地面.已知，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则超然楼的高度（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过作，得到，在中，由正弦定理得到，进而求得的长. 【详解】过作，交于点， 因为在点处测得点的仰角为，可得为等腰直角三角形，所以， 因为，所以， 在中，由正弦定理得， 又由， 所以， 则. 故选：D 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若复数z满足，则 B. 为纯虚数 C. D. 是方程的一个复数根 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的相关概念与运算逐项分析判断. 【详解】对于选项A：设复数，则， 若，则，可得，故A正确； 对于选项B：因为，不是纯虚数，故B错误； 对于选项C：设复数，则， 则，故C正确； 对于选项D：因为， 所以是方程的一个复数根，故D正确； 故选：ACD. 10. 某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”，“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”．甲从新开的一箱中任选2瓶购买，设事件A表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲中奖”，则（ ） A. 事件A和事件B是对立事件 B. 事件A和事件C是对立事件 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据对立事件判断A,B选项，根据事件的包含关系判断C,D选项. 【详解】因为表示“甲没有中奖或甲获得一等奖”，但甲可能获得二等奖，即事件A和事件B不是对立事件，A错误， 事件A表示“甲没有中奖”，事件C表示“甲中奖”，则事件A和事件C是互斥且和事件为全集，事件A和事件C是对立事件，B正确． 又因为，所以，C选项正确；，D选项错误； 故选：BC． 11. 已知分别是三个内角的对边，则下列选项正确的是（ ） A. 若为锐角三角形，则 B. 若，，，则有两解 C. 内切圆的半径 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据数量积的定义判断A，根据正弦定理判断B，利用面积公式及数量积的定义判断C，根据数量积的定义及锐角三角函数判断D. 【详解】对于A：因为，所以，则， 即为钝角，所以为钝角三角形，故A错误； 对于B：因为，，，由正弦定理，即， 所以，所以有两个解，所以有两解，故B正确； 对于C：， 又， 所以，所以， 所以，故C正确； 对于D：因为，又，所以， 所以，故D错误； 故选：BC 12. 如图，在长方体中，，，为的中点，是上一点，是平面上一点，则（ ） A. 长方体的外接球的表面积为 B. C. 平面 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设长方体的外接球的半径为，得到，可判定A正确；根据线面垂直的判定定理结合条件，可判定B错误；连接交连接，利用线面平行的判定定理，可判定C正确；根据平面，得到点到平面的距离等于点到平面的距离，结合，可判定D正确. 【详解】由长方体中，，， 设长方体的外接球的半径为 可得长方体的对角线长为，则，可得， 所以长方体的外接球的表面积为，所以A正确； 在长方体中，可得平面， 因为平面，所以 假设，且，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为在矩形中，与不垂直，所以假设不成立， 所以与不垂直，所以B错误； 连接交于点，连接，因为为中点，所以， 又因为平面，且平面，所以平面，所以C正确； 因为平面，且点在上的一动点， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离，设距离为， 因长方体中，，， 可得，所以，所以， 所以， 又由，可得，所以， 即的最小值为，所以D正确. 故选：ACD 三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13. 某学校有3名男生和2名女生报名学科竞赛，计划从这5名同学中随机选择2人代表学校去参加比赛，则这2人性别相同的概率为________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】利用古典概型的概率求解. 【详解】解：3名男生记为ABC，2名女生记为ab， 从中随机选2人有AB，AC，Aa，Ab, BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10种选法， 则选出性别相同的有AB，AC， BC，ab，4种取法， 所以这2人性别相同的概率为， 故答案为： 14. 设复数在复平面内对应的点为，若，则的最大值为_______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据复数几何意义分析可得：点组成的集合是圆心在原点O，半径的圆及其内部，结合圆的性质运算求解. 【详解】因为，则点组成的集合是圆心在原点O，半径的圆及其内部． 的坐标为． 所以的最大值为． 故答案为：7. 15. 在中，角所对的边分别为，且，则______，若，是角的内角平分线，，则______． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角可得，利用三角形的面积公式和，以及二倍角公式可得，从而得解. 【详解】设外接圆的半径为，由， 根据正弦定理，设外接圆半径为， 则，则，即， 由三角形的面积公式得， 所以， 即， ，则，即， 所以． 故答案为：1； 16. 在数学探究活动课中，小华进行了如下探究:如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点A固定在地面上，使得AD，AB，AA1三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过BB1的中点，若AB=1，则该水平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面的面积为___. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据三条棱与水平面所成角均相等，得出水面与平面A1BD平行，再根据特点得出截面为正六边形，然后可得答案. 【详解】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD，AB，AA1与平面A1BD所成角是相等的， 所以水平面平行于平面A1BD， 又水平面恰好经过BB1的中点，则水平面截正方体所得的截面是过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积. 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 已知复数z满足，且z的虚部为． （1）求z； （2）若，在复平面内对应的点分别为A，B，O为坐标原点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的平方运算及复数相等列方程求出实部即可得解； （2）由复数的几何意义求出点坐标，分别求出与即可得解. 【小问1详解】 设， 则， 所以，解得， 故. 【小问2详解】 由（1）知，，所以，故， ，所以，，且为锐角，即， 所以. 18. 某中学为研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了100位同学的数学成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图，如图所示． （1）求直方图中的值； （2）请估计本次联考该校数学成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （3）请估计本次联考该校数学成绩的分位数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，解得即可； （2）根据平均数公式计算可得； （3）根据百分位数计算规则计算可得. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得， 解得. 【小问2详解】 本次联考该校数学成绩的平均数为： . 【小问3详解】 成绩在的频率为， 的频率为， 的频率为， 因为，， 所以第分位数在之间，设为，则， 解得，所以本次联考该校数学成绩的分位数为. 19. 如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）证明：平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明为平行四边形，从而得到，即可得证； （2）首先证明平面，即可得到平面，从而得证. 【小问1详解】 取的中点，连接、，因为，分别为，的中点， 所以且，又三棱柱是正三棱柱，所以，， 所以且， 所以为平行四边形，所以，因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 在正三棱柱中为的中点， 所以，又平面，平面，所以， ，平面，所以平面， 又，所以平面，又平面， 所以平面平面. 20. 袋中装有大小完全相同的6个红球，3个蓝球，其中有2个红球和1个蓝球上面标记了数字1，其他球标记了数字2. （1）每次有放回地任取1个小球，连续取两次，求取出的2个球恰有1个红球且两球的数字和为3的概率； （2）从袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个，记事件第一次取到的是红球，事件第二次取到了标记数字1的球，求，并判断事件与事件是否相互独立. 【答案】（1） （2），事件与事件相互独立. 【解析】 【分析】（1）分部分类抽取，然后概率相加求解； （2）分别求取概率，然后验证的关系判断事件与事件是否相互独立. 【小问1详解】 第一次取到的是红球，第二次取到的是蓝球且两球的数字和为3，即抽到红1蓝2或者红2蓝1的概率：， 第一次取到的是蓝球，第二次取到的是红球且两球的数字和为3即抽到的是蓝2红1或者蓝1红2的概率， 则所求的概率为. 【小问2详解】 “第一次取到的是红球”的概率， “第二次取到了标记数字1的球”即取到的是数字2,1或者1,1，,概率， “第一次取到红球且第二次取到了标记数字1的球”即抽到的为红1数字1或者红2数字1，概率. 因为成立，所以事件与事件相互独立. 21. 在中，角所对的边分别为，__________． 在①；②这两个条件中任选一个，补充在上面横线上，并加以解答． （1）求角； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）选择条件①：由正弦定理、两角和的正弦公式及诱导公式可求出的值，从而可求角； 选择条件②：由正弦定理可得，根据两角差的正弦公式，结合角的范围即可求解； （2）由余弦定理可得，根据正弦定理求出的取值范围即可. 【小问1详解】 若选择条件①． 由正弦定理，得， 即， 因为，所以，所以， 则． 若选择条件②． 因为，由正弦定理可得， 即， 所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以． 【小问2详解】 由余弦定理，可得，则， 所以，则， 由正弦定理，得， 因为， 所以， 所以， 即的取值范围为． 22. 如图，在四棱锥中，，，，△MAD为等边三角形，平面平面ABCD，点N在棱MD上，直线平面ACN． （1）证明：． （2）设二面角的平面角为，直线CN与平面ABCD所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据相似以及线面平行的性质即可求解， （2）由面面垂直可得线面垂直，进而根据二面角以及线面角的定义，即可找到其平面角，利用三角形的边角关系，即可求解. 【小问1详解】 证明：连接BD交AC于O，连接ON． 因为，，所以根据相似的性质可得． 因为直线平面ACN，平面MBD，平面平面， 所以，则，所以． 【小问2详解】 取AD的中点E，AC的中点F，连接ME，EF，MF． 因为△MAD为等边三角形，所以不妨设， 则，． 因为平面平面ABCD，平面平面，平面, 所以平面ABCD，平面ABCD,所以，． 又因为E，F分别为AD，AC的中点，所以， 而，所以，又，平面MEF, 则平面MEF，平面MEF得， 所以∠MFE是二面角的平面角，即． 设，则，得． 过N作交AD于H，连接CH，由于平面ABCD，所以平面ABCD， 则∠NCH为直线CN与平面ABCD所成的角，即． ，，． 因为，所以， 则． 因为，所以． 故的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：第二问，根据线面角、二面角定义，应用几何法找到对应平面角，进而找到两角正切值相关边的关系并确定范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$