专题01 有理数（专项训练）数学苏科版2024七年级上册

专题01 有理数（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、绝对值与相反数、倒数 1 题型二、有理数的大小比较 1 题型三、数轴上的点与有理数的对应 2 题型四、有理数的混合运算 3 题型五、有理数的简便运算 4 题型六、有理数运算的实际应用 5 题型七、有理数的分类 7 题型八、数轴上点的运动问题（难点） 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、绝对值与相反数、倒数 1．（2025·四川眉山·中考真题）2025的相反数是（   ） A．2025 B． C． D． 2．（2025·安徽合肥·三模）的相反数是（ ） A． B． C． D． 3．（2025·河北邯郸·二模）与的关系是（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．积为 4．（2025·安徽六安·三模）的绝对值为（   ） A．5 B． C． D． 5．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）的倒数是（   ） A． B． C． D． 题型二、有理数的大小比较 6．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）把有理数、、0、用“”连接正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级上·广东河源·期中）在，，，这四个数中，最小的数是（   ） A． B．0 C． D． 8．（2025·江西宜春·模拟预测）下列有理数中，最小的数是（   ） A． B． C．2 D．0 9．（2025·吉林白城·模拟预测）下列各数中，比小的数是（    ） A． B． C．0 D．1 10．（2025·贵州·二模）下列各数中，比大的数是（   ） A． B． C． D． 题型三、数轴上的点与有理数的对应 11．（2025·河南商丘·二模）如图，数轴上点与点表示的数是一对相反数，则与原点距离最近的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 12．（2025·广东东莞·模拟预测）已知数位于数轴上原点的左边，则数到原点的距离表示正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（2025·山东德州·二模）如图，若数轴上点A表示的数是，则点B表示的数为（   ） A． B．0 C．2 D．4 14．（2025九年级下·河南安阳·学业考试）如图，数轴上点P所表示的数可能为（   ） A． B． C．0 D． 15．（24-25·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在直线的位置是（    ）． A．点左边 B．点与点之间 C．点与点之间 D．点右边 题型四、有理数的混合运算 16．（24-25七年级上·广东江门·期中）计算． (1) (2) 17．（24-25七年级上·青海西宁·期中）计算． (1)； (2)． 18．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 19．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）计算： (1) (2) 20．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1)； (2)． 题型五、有理数的简便运算 21．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）用简便方法计算下列各题： (1) (2) (3) 22．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）学习有理数的乘法后，老师在黑板上给同学们出了这样一道题． 计算：，看谁算得又快又对． 请你利用简便方法计算． 23．（24-25七年级上·河南周口·期中）用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 24．（2025·河北唐山·二模）利用运算律计算有时可以更简便． 例1：； 例2：． 请你参考示例，用运算律简便计算． (1)； (2)． 25．（2024七年级上·全国·专题练习）运用运算律进行简便运算： (1)； (2)． 题型六、有理数运算的实际应用 26．（24-25七年级下·江苏·阶段练习）“十·一”黄金周期间，麦积山风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数） 日 期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 单位：万人 若9月30日的游客人数记为1万人，请解答下列问题 (1)10月2日的游客人数是 _____万人 ． (2)这七天内游客人数最多的是_____日，游客数为_____万人． (3)请计算这七天总共有多少游客去麦积山风景区？ 27．（2025七年级下·江苏·专题练习）小王在网店上销售文具，计划每天销售100千克，但实际每天销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周文具的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 文具销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)小王第一周销售文具最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ (2)小王第一周实际销售文具的总量是多少千克？ (3)若文具售价为8元/千克，包装及快递费为3元/千克，则小王这一周文具销售收入共多少元？ 28．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）一只小虫从某点P出发，在一条直线上来回爬行，假定把向右爬行记为正数，向左爬行记为负数，则爬行的记录（单位：厘米）依次为，，，，，，． (1)通过计算说明小虫最后是否回到起点P处； (2)如果小虫爬行的速度为0.5厘米/秒，那么小虫共爬行了多长时间? 29．（2025·河北邢台·二模）出租车往返于A，B两个城市，A市在B市的正北方向，在A，B两城市沿线有若干个村庄．某天出租车从A市出发前往B市，再从B市返回A市，规定向北行驶为正．出租车当天行驶的记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)通过计算，说明出租车离A市多远？ (2)在A，B两个城市之间距A市6千米处有一个加油站，该出租车经过加油站________次； (3)若出租车每行驶1千米耗油0.07升，则该出租车一天共耗油多少升？ 30．（24-25七年级上·广东广州·期中）有筐白菜，以每筐千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的纪录如下： 回答下列问题： (1)这筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重______千克； (2)这筐白菜中，最重的与最轻的相差______千克； (3)这筐白菜一共重多少千克？ 题型七、有理数的分类 31．（24-25七年级上·河南商丘·期中）把下列各数填在相应的集合中：15，，，，，，，171，0，，， 正数集合 负分数集合 非负整数集合 有理数集合 32．（24-25七年级上·福建厦门·阶段练习）把下列各数的序号填在相应的集合里：     ①，②0.2，③ ，④0，⑤ ， ⑥，⑦，⑧． 整数集合：{ __________________ }； 负分数集合：{ __________________ }； 正有理数集合：{ __________________ }． 33．（24-25七年级上·青海西宁·期中）将下列各数填入合适的集合内． ． 正数集合： 正有理数集合： 整数集合： 分数集合： 34．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）把下列各数填在相应的集合中： 正有理数数集合：｛ ……｝ 负分数集合：｛ ……｝ 非负整数集合：｛ ……｝ 有理数集合：｛ ……｝ 35．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）把下列各数填在相应的集合里：，0，，，，，， （1）整数集合｛ ｝ （2）非负数集合｛ ｝ （3）有理数集合｛ ｝ 题型八、数轴上点的运动问题（难点） 36．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 37．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： (1)将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是______； (2)怎样移动A，B，C中的两个点，才能使三个点表示相同的数？ 38．（24-25七年级上·吉林·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．通过研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图①，若数轴上点A，点B表示的数分别为，则两点之间的距离． 【问题情境】如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动4个单位长度到达点A，再向右移动5个单位长度到达点B，然后再向右移动6个单位长度到达点C． 【问题探究】根据以上信息，请你解答下列问题． (1)请你在图②中表示出三点的位置． (2)两点之间的距离_______． (3)若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点M，点N从点B，点C分别以每秒2个单位长度，每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．设移动时间为t秒． ①在数轴上，点P表示的数为_______，点M表示的数为_______，点N表示的数为_______．（含t的式子表示） ②在点移动的过程中，求出的值． 39．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，数轴上有三个点，，，表示的数分别是，，3，请回答：    (1)若，两点的距离与，两点的距离相等，则需将点向左移动_________个单位长度；（其中点不与点重合） (2)若移动，，三点中的两点，使三个点表示的数相同，移动方法有___________种，其中移动所走的距离之和最小的是____________个单位长度； (3)若有两只小青蛙，，它们在数轴上的点表示的数分别为非零整数，，且，求两只青蛙，之间的最小距离． 40．（24-25七年级上·北京·期中）对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再把所得数对应的点沿数轴向右平移个单位长度，得到点，称这样的操作为点的“变换”，对数轴上的点，，，进行“变换”后得到的点分别为，，，． (1)当，时． ①若点表示的数为，则它的对应点表示的数为 ； ②数轴上的点表示的数为，若点到点的距离是点到点的距离的倍，则点表示的数为 ； (2)当时，若点表示的数为，点表示的数为，则的值为 ； (3)若点到点的距离是点到点的距离的倍，则的值为 ． 1．（24-25九年级下·湖南永州·期中）下列四个数中，结果是负数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·福建漳州·模拟预测）下列四个数中，是负数的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川成都·模拟预测）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁铁岭·二模）数轴上表示的点与下列各数对应的点中，距离是1个单位长度的数是（） A． B．1 C．或 D．0或 5．（21-22七年级上·湖北武汉·阶段练习）若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 6．（24-25七年级上·广东广州·期中）比较大小：（1） ，（2） ；（3） （填“”、“”或“”）． 7．（24-25六年级上·山东东营·期中）计算 (1)； (2)． (3)； (4)． 8．（21-22七年级上·山东滨州·期中）计算下列各题（能用简便计算的要用简便计算）： ① ② ③99×（－4）－×24          ④ 9．（24-25七年级上·广东东莞·期末）某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护．某天早晨他们从A地出发，晚上最终到达B地，约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：）如表所示． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)汽车在巡视过程中，第______次离A地最远； (2)B地在A地的哪个方向，B地与A地相距多少千米？ (3)如果汽车行驶平均耗油0.3L，那么这天汽车共耗油多少升？ 10．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）【定义新知】：在数轴上，点和点分别表示数和，可以用绝对值表示点两点间的距离，即．在数轴上互不重合的三个点中，如果，那么点叫做两个点的“伴点”． 例如：如图1，数轴上点分别表示， 因为，， 所以，, 所以，点是点的“3伴点”； 因为，， 所以，， 所以，点是点的“4伴点”． 【初步应用】：如图2，数轴上点分别表示． （1）点是点的“ ____ 伴点”；点 ____ 是点的“6伴点”（只能填写图2中表示的字母）； （2）若点是点的“3伴点”，求点在数轴上表示的数． 【综合应用】： （3）在【初步应用】中的条件下（如图2所示），若点以每秒1个单位的速度向右运动，同时点以每秒2个单位的速度向左运动，当运动秒时，是的“7伴点”，请直接写出的值． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 有理数（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、绝对值与相反数、倒数 1 题型二、有理数的大小比较 2 题型三、数轴上的点与有理数的对应 4 题型四、有理数的混合运算 6 题型五、有理数的简便运算 9 题型六、有理数运算的实际应用 12 题型七、有理数的分类 16 题型八、数轴上点的运动问题（难点） 19 B综合攻坚・能力跃升 题型一、绝对值与相反数、倒数 1．（2025·四川眉山·中考真题）2025的相反数是（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，熟知相反数的概念是关键； 根据相反数的定义，数值相同但符号相反的两个数互为相反数即可得到答案. 【详解】解：相反数的定义为：一个数的相反数是在其前面添加负号所得的数； 2025是正数，其相反数为；选项中B符合相反数的定义； A是原数，C和D分别为倒数和负倒数，均不符合题意； 故选B. 2．（2025·安徽合肥·三模）的相反数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值和求一个数的相反数，先计算，再根据只有符号不同的两个数互为相反数可得答案． 【详解】解：，则的相反数是， 故选：D． 3．（2025·河北邯郸·二模）与的关系是（    ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．积为 【答案】A 【分析】此题考查了绝对值和化简多重符号，首先化简绝对值和多重符号，然后比较即可． 【详解】解：， ∴与的关系是相等． 故选：A． 4．（2025·安徽六安·三模）的绝对值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，正确记忆相关知识点是解题关键．根据一个负数的绝对值是它的相反数作答即可． 【详解】解：的绝对值是． 故选：B． 5．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键； 乘积是1的两数互为倒数，据此解答即可； 【详解】解：的倒数是， 故选：D． 题型二、有理数的大小比较 6．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期中）把有理数、、0、用“”连接正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的比较大小，关键是掌握有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 根据有理数大小比较方法解答即可． 【详解】解：∵，， ∵ ∴． 故选：B． 7．（23-24七年级上·广东河源·期中）在，，，这四个数中，最小的数是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握“两个负数的大小比较”是解本题的关键． 有理数的大小比较：正数大于0，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小，根据有理数的大小比较的方法比较四个数的大小，从而可得答案． 【详解】解：，，， ， ， 故选：D． 8．（2025·江西宜春·模拟预测）下列有理数中，最小的数是（   ） A． B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的绝对值、相反数和有理数的大小比较，熟练掌握有理数的基本知识是解题的关键； 先化简，再进行大小比较即可. 【详解】解：， 因为， 所以最小的数是，即； 故选：A. 9．（2025·吉林白城·模拟预测）下列各数中，比小的数是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴比小的数是， 故选：A 10．（2025·贵州·二模）下列各数中，比大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的比较大小，解题的关键是熟练掌握有理数比较大小的法则． 根据，即可得到答案． 【详解】解：，， ， 故选：A． 题型三、数轴上的点与有理数的对应 11．（2025·河南商丘·二模）如图，数轴上点与点表示的数是一对相反数，则与原点距离最近的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，绝对值，相反数定义，根据点与点表示的有理数互为相反数标出原点，然后根据绝对值的定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点与点表示的有理数互为相反数， ∴原点的位置大约在点，如图， ∴绝对值最小的数的点是点，即到原点距离最近的是点， 故选：． 12．（2025·广东东莞·模拟预测）已知数位于数轴上原点的左边，则数到原点的距离表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴表示数，解题关键是明确数轴上正数与负数的位置． 先根据数的位置，确定数表示的数是负数，所以它到原点的距离就是它的相反数，以此求解． 【详解】解：∵数位于数轴上原点的左边，数轴上原点的左边的数表示的是负数， ∴， ∴数到原点的距离是， 故选： B． 13．（2025·山东德州·二模）如图，若数轴上点A表示的数是，则点B表示的数为（   ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】A 【分析】该题考查了数轴和有理数减法，根据两点的距离是4个单位长度解答即可． 【详解】解：若数轴上点A表示的数是， 则点B表示的数为， 故选：A． 14．（2025九年级下·河南安阳·学业考试）如图，数轴上点P所表示的数可能为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数比较大小，根据数轴可得点P所表示的数要大于负2，小于负1，再证明即可得到答案． 【详解】解：由题意得，点P所表示的数要大于负2，小于负1， ∵，且， ∴， ∴数轴上点P所表示的数可能为， 故选：A． 15．（24-25·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在直线的位置是（    ）． A．点左边 B．点与点之间 C．点与点之间 D．点右边 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，根据判断即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴在直线的位置是在点与点之间． 故选：C． 题型四、有理数的混合运算 16．（24-25七年级上·广东江门·期中）计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键， （1）先利用负数指数幂的运算法则化简，再进行计算即可得到答案； （2）先利用乘法分配律，再利用整式加减法运算法则计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 17．（24-25七年级上·青海西宁·期中）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键． （1）根据先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里的，即可解答； （2）根据先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里的，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2） ． 18．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算； （1）先把减法化为加法，再计算即可； （2）先把除法化为乘法，再计算即可； （3）把分母相同的两数先加，再进一步的计算即可； （4）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 19．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)30 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）先算乘除，再算加减即可求出答案； （2）先算绝对值、乘方和括号里面的，再算乘除，最后算加减即可求出答案． 【详解】（1）解： ； （2） ． 20．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则． （1）先算乘除，再算加减，据此计算求解即可； （2）先计算乘方运算，然后计算小括号内的运算，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 题型五、有理数的简便运算 21．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）用简便方法计算下列各题： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，乘法运算，掌握运算法则，正确计算是解题的关键． （1）利用交换律和结合律计算，再进行加减计算； （2）先利用乘法分配律得到，再进行剩余部分计算； （3）直接利用乘法分配律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 22．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）学习有理数的乘法后，老师在黑板上给同学们出了这样一道题． 计算：，看谁算得又快又对． 请你利用简便方法计算． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的乘法，主要是对乘法分配律的应用．把转化为，再利用乘法分配律简便计算即可求解． 【详解】解： ． 23．（24-25七年级上·河南周口·期中）用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）根据有理数加减运算和加法运算律即可求解； （）先把除法转化为乘法，然后根据有理数乘法分配律即可求解； （）根据有理数乘法运算律即可求解； （）利用加法分配律逆运算即可求解； 本题考查了有理数的混合运算，有理数的运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 24．（2025·河北唐山·二模）利用运算律计算有时可以更简便． 例1：； 例2：． 请你参考示例，用运算律简便计算． (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)2 【分析】本题主要考查了有理数的简便运算，灵活运用加法运算律和乘法运算律成为解题的关键． （1）直接运用有理数的加法结合律进行简便运算即可； （2）运用加法交换律和乘法结合律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 25．（2024七年级上·全国·专题练习）运用运算律进行简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查有理数的乘法，灵活运用乘法运算律是解题的关键． （）运用乘法结合律进行简算即可得到答案； （）运用乘法分配律计算乘法后，再进行加减运算即可版答案； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型六、有理数运算的实际应用 26．（24-25七年级下·江苏·阶段练习）“十·一”黄金周期间，麦积山风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数） 日 期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 单位：万人 若9月30日的游客人数记为1万人，请解答下列问题 (1)10月2日的游客人数是 _____万人 ． (2)这七天内游客人数最多的是_____日，游客数为_____万人． (3)请计算这七天总共有多少游客去麦积山风景区？ 【答案】(1)3.2 (2)3，3.6 (3)19.4万人 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数加减运算的应用，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． （1）根据正负数的意义列式计算即可得解； （2）分别求出这7天的游客人数，然后解答即可； （3）将这七天游客人数相加即可． 【详解】（1）解：10月2日的游客人数是：（万人）． 故答案为：． （2）解：1日游客数为：（万人）， 2日游客数为：（万人）， 3日游客数为：（万人）， 4日游客数为：（万人）， 5日游客数为：（万人）， 6日游客数为：（万人）， 7日游客数为：（万人）， 所以，游客人数最多的是3日，游客数为万人． 故答案为：． （3）解：七天游客总数：（万人）． 答：这七天总共有万人游客去麦积山风景区． 27．（2025七年级下·江苏·专题练习）小王在网店上销售文具，计划每天销售100千克，但实际每天销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周文具的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 文具销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)小王第一周销售文具最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ (2)小王第一周实际销售文具的总量是多少千克？ (3)若文具售价为8元/千克，包装及快递费为3元/千克，则小王这一周文具销售收入共多少元？ 【答案】(1)小王第一周销售文具最多的一天比最少的一天多销售20千克 (2)小王第一周实际销售文具的总量是718千克 (3)小王这一周文具销售收入共3590元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，涉及了有理数的混合运算，注意计算的准确性． （1）用周六文具的销量减去周五文具的销量即可； （2）计算即可求解； （3）收入=（售价－运费）×总量，据此即可求解． 【详解】（1）解：根据表格可知，实际每天销售量最多超过13千克，实际每天销售量最少低7千克， 所以（千克）， 答：小王第一周销售文具最多的一天比最少的一天多销售20千克． （2）解：小王第一周实际销售文具的总量： （千克）， 答：小王第一周实际销售文具的总量是718千克． （3）解：小王这一周文具销售收入共： （元）， 答：小王这一周文具销售收入共3590元． 28．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）一只小虫从某点P出发，在一条直线上来回爬行，假定把向右爬行记为正数，向左爬行记为负数，则爬行的记录（单位：厘米）依次为，，，，，，． (1)通过计算说明小虫最后是否回到起点P处； (2)如果小虫爬行的速度为0.5厘米/秒，那么小虫共爬行了多长时间? 【答案】(1)小虫回到了起点P； (2)108秒 【分析】本题考查了正数和负数的知识，掌握正数和负数的含义是关键． （1）把记录到得所有的数字相加，看结果是否为0即可， （2）记录到得所有的数字的绝对值的和，除以0.5即可． 【详解】（1）解∶． 小虫能回到起点P； （2）解∶ (秒) 答∶小虫共爬行了108秒. 29．（2025·河北邢台·二模）出租车往返于A，B两个城市，A市在B市的正北方向，在A，B两城市沿线有若干个村庄．某天出租车从A市出发前往B市，再从B市返回A市，规定向北行驶为正．出租车当天行驶的记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)通过计算，说明出租车离A市多远？ (2)在A，B两个城市之间距A市6千米处有一个加油站，该出租车经过加油站________次； (3)若出租车每行驶1千米耗油0.07升，则该出租车一天共耗油多少升？ 【答案】(1)4千米 (2)6 (3)升 【分析】此题考查了正负数的实际应用，有理数的运算的实际应用，解题的关键是正确列式． （1）将出租车当天行驶的记录相加即可求解； （2）根据出租车当天行驶的记录结合在A，B两个城市之间距A市6千米处有一个加油站求解即可； （3）首先求出行驶的总路程，然后乘以1千米耗油量即可求解． 【详解】（1）（千米） ∴说明出租车离A市多远4千米； （2）∵出租车从A市出发前往B市，规定向北行驶为正 ∴向南行驶为负 ∴由可得，当出租车向南行驶8千米时，第一次经过加油站； ∵ ∴此时离A市南边1千米，故第二次经过加油站； ∵ ∴此时离A市南边10千米，故第三次经过加油站； ∵ ∴此时离A市南边4千米，故第四次经过加油站； ∴此时离A市南边17千米，故第五次经过加油站； ∴此时离A市南边4千米，故第六次经过加油站； 综上所述，出租车经过加油站6次； （3） （升） ∴该出租车一天共耗油升． 30．（24-25七年级上·广东广州·期中）有筐白菜，以每筐千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的纪录如下： 回答下列问题： (1)这筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重______千克； (2)这筐白菜中，最重的与最轻的相差______千克； (3)这筐白菜一共重多少千克？ 【答案】(1) (2)5 (3)千克 【分析】本题考查了有理数的运算在实际中的应用，体现了正负数的意义，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，确定具有相反意义的量． （1）与标准重量比较，绝对值越小的越接近标准重量； （2）最重的与最轻的相减即可求解； （3）用25乘以8的积，加上图中八个数的和即可求解． 【详解】（1）解：该组数据中，的绝对值最小，最接近千克的标准， 这筐白菜重千克． 故答案为； （2）（千克） 故答案为； （3） （千克） 答：这筐白菜一共重千克． 题型七、有理数的分类 31．（24-25七年级上·河南商丘·期中）把下列各数填在相应的集合中：15，，，，，，，171，0，，， 正数集合 负分数集合 非负整数集合 有理数集合 【答案】见解析 【分析】此题考查有理数的分类，注意解题技巧，正整数、负整数在对应的正数、负数里面找，注意不是有理数．根据正数、负分数、有理数的意义直接把数据分类即可． 【详解】解：正数集合…； 负分数集合…； 非负整数集合…； 有理数集合… 32．（24-25七年级上·福建厦门·阶段练习）把下列各数的序号填在相应的集合里：     ①，②0.2，③ ，④0，⑤ ， ⑥，⑦，⑧． 整数集合：{ __________________ }； 负分数集合：{ __________________ }； 正有理数集合：{ __________________ }． 【答案】①④⑧；③⑤⑦；②⑧ 【分析】本题考查了实数的分类，按照实数的分类填写，实数分为有理数和无理数，无理数是无限不循环小数，有理数分为整数和分数，整数分为正整数，0和负整数，分数分为正分数和负分数，掌握有理数的概念和实数的分类方法是解题的关键． 【详解】解：①，②0.2，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧中， 整数集合①，④0，⑧； 负分数集合③，⑤，⑦； 正有理数集合②0.2，⑧， 故答案为：①④⑧；③⑤⑦；②⑧． 33．（24-25七年级上·青海西宁·期中）将下列各数填入合适的集合内． ． 正数集合： 正有理数集合： 整数集合： 分数集合： 【答案】；；； 【分析】本题考查了实数的分类，解决本题的关键是熟记有理数的分类． 根据正数、正有理数、整数、分数的定义即可解答． 【详解】解：正数集合： 正有理数集合： 整数集合： 分数集合： 34．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）把下列各数填在相应的集合中： 正有理数数集合：｛ ……｝ 负分数集合：｛ ……｝ 非负整数集合：｛ ……｝ 有理数集合：｛ ……｝ 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，化简多重符号，根据有理数的分类逐一填写即可． 【详解】解： 正有理数数集合：｛，……｝ 负分数集合：｛，，……｝ 非负整数集合：｛，……｝ 有理数集合：｛，，，，，，……｝ 35．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）把下列各数填在相应的集合里：，0，，，，，， （1）整数集合｛ ｝ （2）非负数集合｛ ｝ （3）有理数集合｛ ｝ 【答案】（1），0，，（2）0，，，（3），0，，，，， 【分析】本题考查的是有理数的分类，有理数的概念，熟知有理数的分类是解题的关键． （1）根据整数的定义解答即可； （2）根据非负数的定义解答即可； （3）根据有理数的定义解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴（1）整数集合｛，0，，｝ （2）非负数集合｛0，，，｝ （3）有理数集合｛，0，，，，，｝ 故答案为：（1），0，，（2）0，，， （3），0，，，，，． 题型八、数轴上点的运动问题（难点） 36．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 【答案】(1)6 (2)2 (3)6或10或22 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，在数轴上表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； （3）分三种情况，点在还没达到原点，点Q到点A的距离为4；到达原点后返回未经过点A，与点A的距离为，返回经过点A后，与点A的距离为，再计算时间，即可得到点运动的路程，即可解答． 【详解】（1）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为6； （2）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动 ∴当时，点运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为2； （3）解：当点到点A的距离为4时， 分两种情况讨论： ①点向左运动还没达到原点时， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∵， ∴ 运动时间为（秒）， ∴； ∴； ②点向右运动时且还没经过点时， ∵， ∴， 运动时间为（秒）， ∴； ∴； ③点向右运动时且经过点后， ∵， ∴， 运动时间为（秒）， ∴； ∴； 综上，点P到点Q的距离为6或10或22． 37．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： (1)将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是______； (2)怎样移动A，B，C中的两个点，才能使三个点表示相同的数？ 【答案】(1) (2)当点B，C移动到点A的位置时，点B向右移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，C移动到点B的位置时，点A向左移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，B移动到点C的位置时，点A向左移动个单位长度，点B向左移动个单位长度． 【分析】本题主要考查用数轴表示有理数、数轴上的动点问题等知识点，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）根据数轴上的点的移动规则“左移减，右移加”列式计算即可； （2）根据点在数轴上的位置，写出一种移动方法即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是4， ∴将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是． 故答案为：． （2）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是0，点C表示的数是， ∴当点B，C移动到点A的位置时，点B向右移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，C移动到点B的位置时，点A向左移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，B移动到点C的位置时，点A向左移动个单位长度，点B向左移动个单位长度． 38．（24-25七年级上·吉林·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．通过研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图①，若数轴上点A，点B表示的数分别为，则两点之间的距离． 【问题情境】如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动4个单位长度到达点A，再向右移动5个单位长度到达点B，然后再向右移动6个单位长度到达点C． 【问题探究】根据以上信息，请你解答下列问题． (1)请你在图②中表示出三点的位置． (2)两点之间的距离_______． (3)若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点M，点N从点B，点C分别以每秒2个单位长度，每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．设移动时间为t秒． ①在数轴上，点P表示的数为_______，点M表示的数为_______，点N表示的数为_______．（含t的式子表示） ②在点移动的过程中，求出的值． 【答案】(1)见解析 (2)11 (3)①，，；② 【分析】本题主要考查数轴和及整式加减，熟练掌握数轴上两点间距离公式是解题关键． （1）根据题意画出数轴即可； （2）利用数轴上两点间距离公式求解即可； （3）①点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，可得秒时，点表示的数为，同理可得点、点的代数式； ②根据两点之间的距离公式得、，再代入求解即可． 【详解】（1）解：一个点从数轴上的原点开始，先向左移动4个单位长度到达点A，再向右移动5个单位长度到达点B，然后再向右移动6个单位长度到达点C． 即：点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， 、、三点如图所示： （2）由（1）可得点A表示的数为，点C表示的数为， ∴． 故答案为： （3）①点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，可得秒时，点表示的数为， 点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．可得秒时，点表示的数为， 点N从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．可得秒时，点表示的数为． ②由①得，， ， ∴ 39．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，数轴上有三个点，，，表示的数分别是，，3，请回答：    (1)若，两点的距离与，两点的距离相等，则需将点向左移动_________个单位长度；（其中点不与点重合） (2)若移动，，三点中的两点，使三个点表示的数相同，移动方法有___________种，其中移动所走的距离之和最小的是____________个单位长度； (3)若有两只小青蛙，，它们在数轴上的点表示的数分别为非零整数，，且，求两只青蛙，之间的最小距离． 【答案】(1)3 (2)3，7 (3)1 【分析】（1）根据题意，得A、B两点之间的距离为，C、B两点间的距离，设与点B的距离为2，得，结合距离为，解答即可． （2）利用分类思想，分相同数，，3三种情况解答即可． （3）根据它们在数轴上的点表示的数分别为非零整数，，且，得到或，分类计算即可． 【详解】（1）解：∵数轴上有三个点，，，表示的数分别是，，3， ∴A、B两点之间的距离为，C、B两点间的距离， 设与点B的距离为2， 则， 解得， 故当点C平移到原点时，符合题意， 此时距离为， 故需将点向左移动向左平移3个单位长度， 故答案为：3． （2）解：有三种方法： ①相同数为A表示的数时，移动B，C，把点B向左移动2个单位长度，把点C向左平移7个单位长度，移动距离之和为； ②相同数为B表示的数时，移动A，C，把点A向右平移2个单位长度，把点C向左平移5个单位长度，移动距离之和为； ③相同数为C表示的数时，移动A，B，把点A向右平移7个单位长度，把点B向左平移5个单位长度，移动距离之和为. ∴移动所走的距离和最小是7个单位长度， 故答案为3，7． （3）解：∵两只小青蛙，，它们在数轴上的点表示的数分别为非零整数，，且， ∴， ∴或， 当时，， ①时，此时两点距离为； ②时，此时两点距离为； ③时，此时两点距离为； ④时，此时两点距离为； 当时，， ①时，此时两点距离为； ②时，此时两点距离为； ③时，此时两点距离为； ④时，此时两点距离为； 故两只青蛙，之间的最小距离为1． 【点睛】本题考查了数轴表示有理数，数轴上的平移，数轴上的两点间距离，绝对值的求解，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 40．（24-25七年级上·北京·期中）对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再把所得数对应的点沿数轴向右平移个单位长度，得到点，称这样的操作为点的“变换”，对数轴上的点，，，进行“变换”后得到的点分别为，，，． (1)当，时． ①若点表示的数为，则它的对应点表示的数为 ； ②数轴上的点表示的数为，若点到点的距离是点到点的距离的倍，则点表示的数为 ； (2)当时，若点表示的数为，点表示的数为，则的值为 ； (3)若点到点的距离是点到点的距离的倍，则的值为 ． 【答案】(1)①；②或 (2) (3) 【分析】本题考查了新概念“变换”、数轴上两点间的距离、绝对值，熟练掌握数轴上两点间的距离是解题的关键． （1）①由，即可得出对应点表示的数；②设点表示的数为，则点表示的数为，由，解方程即可得； （2）由题意得，解方程即可得； （3）设点、表示的数分别为、，则点、表示的数分别为、，则，解方程即可得． 【详解】（1）解：①，，点表示的数为， 点表示的数为， 故答案为：； ②设点表示的数为，则点表 示 的 数 为 ， 点表示的数为， ，， ， ， 解得：或， 即点表示的数为或， 故答案为：或； （2）根据题意可得：， 解得：， 故答案为：； （3）设点、表示的数分别为、，则点、表示的数分别为、， ，， ， ， 解得：， 故答案为：． 1．（24-25九年级下·湖南永州·期中）下列四个数中，结果是负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【详解】解：A．，是负数，符合题意； B．，是正数，不符合题意； C．，是正数，不符合题意； D．，是正数，不符合题意； 故选：A． 2．（2025·福建漳州·模拟预测）下列四个数中，是负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数．先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【详解】A．，结果为正数，不是负数； B．，结果为正数，不是负数； C．，结果为负数，符合题意； D．，结果为正数，不是负数； 故选：C． 3．（2025·四川成都·模拟预测）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数比较大小的实际应用，比较四个数值的绝对值大小，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴最接近标准的是D足球； 故选D． 4．（2025·辽宁铁岭·二模）数轴上表示的点与下列各数对应的点中，距离是1个单位长度的数是（） A． B．1 C．或 D．0或 【答案】C 【分析】此题考查了数轴的两点间的距离，绝对值方程，关键是理解数轴上两点间的距离的含义； 设所求数为x，依据数轴两点距离公式列出绝对值方程，根据绝对值定求解即可。 【详解】解：设所求的数为x， ∵数轴上一点为，它与的距离是个单位长度， ∴，即． 当时，解方程可得； 当时，解方程可得． ∴距离表示的点是个单位长度的数是或． 故选：C． 5．（21-22七年级上·湖北武汉·阶段练习）若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 【答案】C 【分析】分线段的端点在整点上和不在整点上两种情况讨论，据此得出规律即可解答本题． 【详解】解：依题意得：①当线段的端点在整点上时，覆盖11个数； ②当线段的端点不在整点，即在两个整点之间时覆盖10个数． 故选：C． 6．（24-25七年级上·广东广州·期中）比较大小：（1） ，（2） ；（3） （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是： （1）根据正数大于负数即可判断； （2）根据两个负数比较，绝对值大的反而小即可判断； （3）先化简，然后根据正数大于负数即可判断． 【详解】解：（1）， 故答案为： （2）∵，，， ∴>， 故答案为：； （3）∵，，， ∴ 故答案为：． 7．（24-25六年级上·山东东营·期中）计算 (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用乘法分配律展开，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算乘方和括号内减法，再计算乘法和绝对值，最后计算加减法即可； （3）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可； （4）先将除法化为乘法，并将带分数化为假分数，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 8．（21-22七年级上·山东滨州·期中）计算下列各题（能用简便计算的要用简便计算）： ① ② ③99×（－4）－×24          ④ 【答案】①－20；②-3（或-3.75）；③373（或373.5）；④－8 【分析】①根据有理数乘法的分配律求解即可； ②首先同分母分数相加减，然后再根据有理数的加减运算法则求解即可； ③根据有理数乘法的分配律求解即可； ④先算乘方和绝对值，然后根据有理数的加减混合运算法则求解即可． 【详解】① = = =-20； ② =-（）-（） =-4-7 =-3（或-3.75） ③ 99×（－4）－×24 =（100）×4 =（100 =399 =373（或373.5） ④ =4×（2）9 =4+69 =8 【点睛】此题考查了含乘方的有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算法则和简便运算方法． 9．（24-25七年级上·广东东莞·期末）某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护．某天早晨他们从A地出发，晚上最终到达B地，约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：）如表所示． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)汽车在巡视过程中，第______次离A地最远； (2)B地在A地的哪个方向，B地与A地相距多少千米？ (3)如果汽车行驶平均耗油0.3L，那么这天汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)五 (2)B地在A地的南方，B地与A地相距5千米 (3)这天汽车共耗油 【分析】本题考查了正负数在实际生活中的应用、绝对值的应用、有理数的乘法与加减法的应用，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． （1）分别求出汽车每次离A地的距离，然后进行判定即可； （2）根据解析（1）中求出的结果进行判断即可； （2）先将汽车的行驶记录的绝对值求和，再乘以，即可得． 【详解】（1）解：第一次离A地， 第二次离A地， 第三次离A地， 第四次离A地， 第五次离A地， 第六次离A地， 第七次离A地， ∴汽车在巡视过程中，第五次离A地最远，最远距离为， 故答案为：五； （2）解：根据解析（1）可知：B地在A地的南方，B地与A地相距； （3）解：因为， 所以共耗油， 答：这天汽车共耗油． 10．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）【定义新知】：在数轴上，点和点分别表示数和，可以用绝对值表示点两点间的距离，即．在数轴上互不重合的三个点中，如果，那么点叫做两个点的“伴点”． 例如：如图1，数轴上点分别表示， 因为，， 所以，, 所以，点是点的“3伴点”； 因为，， 所以，， 所以，点是点的“4伴点”． 【初步应用】：如图2，数轴上点分别表示． （1）点是点的“ ____ 伴点”；点 ____ 是点的“6伴点”（只能填写图2中表示的字母）； （2）若点是点的“3伴点”，求点在数轴上表示的数． 【综合应用】： （3）在【初步应用】中的条件下（如图2所示），若点以每秒1个单位的速度向右运动，同时点以每秒2个单位的速度向左运动，当运动秒时，是的“7伴点”，请直接写出的值． 【答案】（1）2，D；（2）点在数轴上表示的数为；（3）的值为 【分析】本题考查新定义，涉及数轴上点表示有理数、两点之间距离及一元一次方程等知识，读懂题意，理解“伴点”是解决问题的关键． （1）由阅读材料，理解“伴点”定义求解即可得到答案； （2）由阅读材料，理解“伴点”定义，分类讨论，列绝对值方程，化为一元一次方程求解即可得到答案； （3）由阅读材料，理解“伴点”定义，分类讨论，列绝对值方程，化为一元一次方程求解即可得到答案． 【详解】解：（1）由阅读材料中的“伴点”可知， 分别表示， ， ，则点是点的“伴点”； 分别表示， ， ，则点是点的“伴点”； 故答案为：2，D； （2）设点表示的数是， 分别表示， ， 点是点的“3伴点”， 则分两种情况： 当时， ，则或， 解得或； 当时， ，则或， 解得或； 综上所述，点在数轴上表示的数为； （3）点分别表示， 当点以每秒1个单位的速度向右运动，同时点以每秒2个单位的速度向左运动，当运动秒时，点表示的数为；点表示的数为； ， 是的“7伴点”， 则分两种情况： 当时， ，则或， 解得或； 当时， ，则或， 解得或； 综上所述，的值为． 32 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $$