第2章 有理数（知识清单）数学苏科版2024七年级上册

第二章 有理数 知识点1：正数与负数 1.引入正数和负数两个概念是为了表示两个 的量： 例如： （1） 表示海拔高度超过海平面的用 表示，海拔高度低于海平面的用 表示； （2） 表示温度高于0摄氏度用 表示，温度低于0摄氏度用 表示； （3） 表示盈利的钱数用 表示，亏损的钱数用 表示。 2.表示两个相反意义的量，哪个用正数表示，哪个用负数表示，是人为规定的，一般表示高的，上涨的，等量用 表示，相反的用 表示。 3.正数：像+1、2、1.2、、π等 的数，叫做正数； 4.负数：像-1、-2、－1.2、－π等 的数，叫做负数． 知识点2：有理数的概念及分类 1. 有理数的概念： 和 统称为有理数。 2. 有理数的四种表现形式：整数、分数、有限小数、无限循环小数。判断一个数是不是有理数，只要看看这个数是不是这四种就行了，如果是这四种中一个，那这个数一定是有理数；如果不是这四种中的任何一种，那它一定不是有理数。 3. 有理数的分类方法： （1）按概念分类： （2）按正负分类： 　 知识点3：数轴的概念、画法、数轴上的点与有理数的关系 1.数轴是规定了 ， ， 的直线。 2.数轴的三要素： ， ， 。 3.数轴的画法 （1）第一步：画一条 （通常画成水平的）； （2）第二步：在这条直线上描上一个点作为 ，用这个点表示 ； （3）第三步：在这条直线的 画上 ，用来表示 ； （4）第四步：根据实际需要，选取适当的长度作为 ，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 这样，数轴就画好了。 4.有理数可以用数轴上的一个点表示，但数轴上的点表示的数并不都是有理数。 （1）一般地，数轴上原点右边的点表示 ，左边的点表示 ；反过来也对，即正数用数轴上原点 的点表示，负数用原点 的点表示，零用 表示． （2）任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点表示的数不一定都是有理数，还可以表示其他数（无理数），比如等． 知识点4：有理数的大小比较 1.可以将有理数a，b都画在数轴上，这样两个数就可以用两个点表示，两个数的大小关系就转化为两个点的左右位置关系，显然数轴上两个点的位置关系分为三种： 两个数a,b的大小关系 两个点的位置关系 2.有理数的大小比较方法： （1）在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大（可以类比人的右手力量大于左手形象记忆）； （2）正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。 3. 对于有理数 a，b，下列三种关系有且只有一种成立: ,, 4.有理数的大小关系可以借助数轴转化为点的位置关系。 ，说明，画在数轴上对应的点的位置关系是在的 ， ，说明，画在数轴上对应的点的位置关系是在的 ， 所以，一定在的 ，即。 同理，我们可以得到如果,那么就有。 5.有理数的大小关系与自然数一样也具有传递性： （1）如果,那么就有。 （2）如果,那么就有。 知识点5：绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与 的距离叫做数a的绝对值。 2.绝对值的表示方法：数a的绝对值记作 . 3.绝对值的代数意义： （1）一个正数的绝对值是 ； （2）一个负数的绝对值是它的 ； （3）0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： 4.绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是表示这个数的点到 的 ，离原点的距离越远，绝对值 ；离原点的距离越近，绝对值 ． 的几何意义：数轴上表示数的点到原点的距离。 5.绝对值的性质：非负性，即任何一个数的绝对值总是 或0即 6.利用绝对值比较两个有理数的大小： 两数同号 同为正号：绝对值大的数 同为负号：绝对值大的反而 两数异号 正数 负数 －数为0 正数与0：正数 0 负数与0：负数 0 知识点6：相反数 1.相反数的定义：只有 不同的两个数互为相反数；0的相反数是 ，即： 不同， 相同的两个数互为相反数。 2.相反数的表示方法：的相反数为。 3.相反数的性质： （1）和的关系：若两数互为相反数，则；反之，若，则两数互为相反数。 （2）位置关系：互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离 . 4.多重符号的化简问题： 多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定： 若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-1)]}=1 ； 若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-1)]}=-1 . 知识点7：有理数的加法 1.有理数的加法法则：（分类讨论的数学思想） （1）同号两数相加，取 的符号，并把 相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值 的加数的符号，并用较大的绝对值 较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 名师点拨：如何利用加法法则进行加法运算？ （1）判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则；； （2）确定和的符号(是“+”还是“－”)． （3）求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)． 2.加法运算律： （1）加法交换律： （2）加法结合律： 名师点拨： （1）加法运算律的作用：简化运算，凑整十整百，凑同分母的，同号的数； （2）交换加数的位置时，不要忘记符号． 知识点8：有理数的减法 1.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的 ，即有：． 名师点拨： （1）将减法转化为加法时，注意“两变”，一变是 ；二变是把减数变为它的 ”． （2）灵活使用减法法则，比较熟练的同学也可以不按步骤，直接写结果，提高效率。 知识点9：有理数的加减混合运算 1.做有理数的加减混合运算题目时的步骤： （1）观察问题中包含的运算，思考能否使用加法运算律，能用则用，简化运算； （2）将加减法统一成加法运算； （3）利用加法运算法则解决问题。 知识点10：有理数的乘法 1.有理数的乘法法则： （1）两数相乘， ，并把 相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 名师点拨： （1）不为0的两数相乘，先定符号，再把绝对值相乘． （2）当乘数中有负数时，必须用括号括起来，如5与-3的乘积，应列为5×(-3)，不应该写成5×-3． 2. 有理数的乘法法则的推广：（乘法的符号法则） （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由 的个数决定： 当负因数有奇数个时，积为负； 当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 名师点拨： （1）几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0． 3. 有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等：即：． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 即：． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． 即：． 名师点拨： （1）利用交换律时，要连同符号一起交换，符号也是乘数的一部分． （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，运算是恒等变形，可以从前到后，也可以从后到前，也就是可以正用，也可以逆用． 4.倒数的概念： 的两个数互为倒数． 名师点拨： （1）“互为倒数”的两个数是一种关系，必须成对出现.如-2的倒数是，不能说是倒数； （2）0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； （3）互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)因此，正数的倒数必定还是正数；负数的倒数必定还是负数． 知识点11：有理数的除法 1. 有理数除法法则： 法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的 ，即。 法则2：两数相除， ，并把绝对值 ．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 名师点拨： （1）0不能当除数； （2）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 2.有理数的乘除混合运算： 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 3.有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 知识点12：乘方 1.乘方的定义：求 的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做 ． 即有：. 底数：在中，叫做底数， 指数：n叫做指数. 1. 特别地，当指数=2时，一般成为 ；当指数=3时，一般成为 。 名师点拨： （1）乘方与幂是不同的，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果． （2）当底数是以下几种情况时，要用括号括起来： 底数是负数、底数是分数、底数不是单独的一个数而是含有运算的式子。 （3）一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写． 2.乘方的符号法则： （1） 的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 ； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）任何一个数的 都是非负数，即． 名师点拨： （1）有理数的乘方运算，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值． （2）计算幂时，可以转化成乘法计算。 知识点13：科学记数法 1.科学记数法的定义： 把一个绝对值大于10的数表示成的形式（其中l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法. 名师点拨： （1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样； （2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1. 知识点14：有理数的混合运算 1.有理数的混合运算顺序：（三原则） (1)先 ，再 ，最后 ； (2)同级运算，从 到 进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 名师点拨： （1）有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方是第三级运算； （2）在含有多重括号的混合运算中，一般都按从里向外的顺序进行，特别时候也可以从从外向里． （3）运算前要认真审题，看能否使用运算律，能用的可以简化计算，提高正确率 一、有理数的定义与分类 1.正数与负数： 错误：认为“带负号的数就是负数，带正号的数就是正数”。 注意：我们不能说带“+”的数是正数，带“-”的数是负数；判断一个数是正数还是负数必须化成最简形式与0进行大小比较，比0大的才是正数，比0小的是负数，不能只从形式上简单判断。 2.根据绝对值求数 错误：绝对值是2的数只有2。 注意：一个数的绝对值只有一个结果，而反之根据绝对值写出原来的数一般会有两个结果（0除外）．例如，绝对值为3的数有3和-3两个。 二、数轴上点的对应关系 错误：认为“数轴上的点都是表示有理数”． 注意：每一个有理数都能在数轴上找到唯一对应的点，反之不成立，数轴上的点不一定都表示有理数，如对应点，但它不是有理数． 三、比较有理数的大小 1.负数大小比较 错误：认为“-3比-2大，因为3>2”． 规则：负数比较时，绝对值大的反而小，所以 -3 < -2−3<−2． 2. 负数与0比较 错误：认为“0是最小的数”． 注意：在小学没学负数之前，确实0是最小的数，但在有理数范围内，没有最小的数． 四、多重符号的化简 错误：认为． 注意：这两种多重符号化简是不一样的，读法不同，意义不同，结果不同． 表示的绝对值的相反数，结果为，所以上面这个式子前半是正确的； 表示的相反数，结果是2，所以学习数学重在理解，切不可死记硬背所谓的规律口诀，理解基础上再记忆一些规律才有用。 题型01 正数与负数 1．下列算式中，运算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各数中，是负数的是（   ） A． B． C． D． 3．在，，，0，中，负数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列说法中正确的有（        ） ①一定是负数；②若，则这个数一定是负数；③一个负数减去一个正数，差一定为负数；④0可以是非负整数，也可以是非正整数；⑤负数的平方为正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．下列各数中，是负数的是（    ） A． B． C． D． 题型02根据一个数的绝对值求这个数 1．一个数的绝对值等于8，这个数的等于 ． 2．如果一个负数的绝对值是6，那么这个数是 ． 3．已知一个数的绝对值是1，则这个数是 ． 4．绝对值等于6.5的数是 ． 5．如果一个数的绝对值为，那么这个数是 ． 题型03数轴上的点与有理数的对应关系 1．下列说法中正确的有（    ） （1）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远； （2）符号相反的数互为相反数； （3）整数和分数统称为有理数； （4）一个有理数的绝对值必为正数； （5）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法错误的是（   ） A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B．在数轴上表示3和的两个点之间的距离是5 C．数轴上存在可以表示的点 D．数轴上表示的点一定在原点的左边 3．下面结论正确的是（   ） A．几个有理数相乘，负因数个数为奇数，则乘积为负数 B．数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数 C．平方等于它本身的数只有1 D．绝对值等于其本身的有理数是非负数 4．下列说法正确的是（　　） A．有的有理数不能在数轴上表示出来 B．数轴上的某一点可以表示两个不同的有理数 C．数轴上的点只能表示整数 D．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 5．下列说法中，正确的有（    ） ①任何数都不等于它的相反数  ②有理数分为正有理数和负有理数  ③任意一个有理数都可以用数轴上的点表示  ④几个有理数相乘，积的符号是由负因数的个数决定 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型04负数的大小比较 1．用“”“”填空： ． 2．在中，最小的数是 ． 3．比较大小： （填“”或“”） 4．比较大小： （填“”，“”，“=”）． 5．比较大小： （填“”、“”、“”）． 题型05 负数与0的比较 1．下列各数：，，，，中，最小的数是 ． 2．下列各数中，比0小的是（    ） A．6 B． C． D． 3．比较两数的大小： 0． 4．用“”或“”符号填空： 0． 5．比较大小： 0（填“＞”、“=”、“＜”）． 题型06 多重符号化简 1． ； ． 2．比较大小： ． 3．在比较大小： （填“>”“<”或“”) 4．化简：= ，= ． 5．化简 ． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 有理数 知识点1：正数与负数 1.引入正数和负数两个概念是为了表示两个相反意义的量： 例如： （1） 表示海拔高度超过海平面的用正数表示，海拔高度低于海平面的用负数表示； （2） 表示温度高于0摄氏度用正数表示，温度低于0摄氏度用负数表示； （3） 表示盈利的钱数用正数表示，亏损的钱数用负数表示。 2.表示两个相反意义的量，哪个用正数表示，哪个用负数表示，是人为规定的，一般表示高的，上涨的，等量用正数表示，相反的用负数表示。 3.正数：像+1、2、1.2、、π等大于0的数，叫做正数； 4.负数：像-1、-2、－1.2、－π等小于0的数，叫做负数． 知识点2：有理数的概念及分类 1. 有理数的概念：整数和分数统称为有理数。 2. 有理数的四种表现形式：整数、分数、有限小数、无限循环小数。判断一个数是不是有理数，只要看看这个数是不是这四种就行了，如果是这四种中一个，那这个数一定是有理数；如果不是这四种中的任何一种，那它一定不是有理数。 3. 有理数的分类方法： （1）按概念分类： （2）按正负分类： 　 知识点3：数轴的概念、画法、数轴上的点与有理数的关系 1.数轴是规定了原点，正方向，单位长度的直线。 2.数轴的三要素：原点，正方向，单位长度。 3.数轴的画法 （1）第一步：画一条直线（通常画成水平的）； （2）第二步：在这条直线上描上一个点作为原点，用这个点表示0； （3）第三步：在这条直线的右末端画上箭头，用来表示正方向； （4）第四步：根据实际需要，选取适当的长度作为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 这样，数轴就画好了。 4.有理数可以用数轴上的一个点表示，但数轴上的点表示的数并不都是有理数。 （1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示． （2）任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点表示的数不一定都是有理数，还可以表示其他数（无理数），比如等． 知识点4：有理数的大小比较 1.可以将有理数a，b都画在数轴上，这样两个数就可以用两个点表示，两个数的大小关系就转化为两个点的左右位置关系，显然数轴上两个点的位置关系分为三种： 两个数a,b的大小关系 两个点的位置关系 2.有理数的大小比较方法： （1）在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大（可以类比人的右手力量大于左手形象记忆）； （2）正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。 3. 对于有理数 a，b，下列三种关系有且只有一种成立: ,, 4.有理数的大小关系可以借助数轴转化为点的位置关系。 ，说明，画在数轴上对应的点的位置关系是在的右边， ，说明，画在数轴上对应的点的位置关系是在的右边， 所以，一定在的右边，即。 同理，我们可以得到如果,那么就有。 5.有理数的大小关系与自然数一样也具有传递性： （1）如果,那么就有。 （2）如果,那么就有。 知识点5：绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 2.绝对值的表示方法：数a的绝对值记作|a|. 3.绝对值的代数意义： （1）一个正数的绝对值是它本身； （2）一个负数的绝对值是它的相反数； （3）0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： 4.绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． 的几何意义：数轴上表示数的点到原点的距离。 5.绝对值的性质：非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0即 6.利用绝对值比较两个有理数的大小： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 知识点6：相反数 1.相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0，即：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数。 2.相反数的表示方法：的相反数为。 3.相反数的性质： （1）和的关系：若两数互为相反数，则；反之，若，则两数互为相反数。 （2）位置关系：互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等. 4.多重符号的化简问题： 多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定： 若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-1)]}=1 ； 若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-1)]}=-1 . 知识点7：有理数的加法 1.有理数的加法法则：（分类讨论的数学思想） （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 名师点拨：如何利用加法法则进行加法运算？ （1）判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则；； （2）确定和的符号(是“+”还是“－”)． （3）求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)． 2.加法运算律： （1）加法交换律： （2）加法结合律： 名师点拨： （1）加法运算律的作用：简化运算，凑整十整百，凑同分母的，同号的数； （2）交换加数的位置时，不要忘记符号． 知识点8：有理数的减法 1.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：． 名师点拨： （1）将减法转化为加法时，注意“两变”，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”． （2）灵活使用减法法则，比较熟练的同学也可以不按步骤，直接写结果，提高效率。 知识点9：有理数的加减混合运算 1.做有理数的加减混合运算题目时的步骤： （1）观察问题中包含的运算，思考能否使用加法运算律，能用则用，简化运算； （2）将加减法统一成加法运算； （3）利用加法运算法则解决问题。 知识点10：有理数的乘法 1.有理数的乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 名师点拨： （1）不为0的两数相乘，先定符号，再把绝对值相乘． （2）当乘数中有负数时，必须用括号括起来，如5与-3的乘积，应列为5×(-3)，不应该写成5×-3． 2. 有理数的乘法法则的推广：（乘法的符号法则） （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定： 当负因数有奇数个时，积为负； 当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 名师点拨： （1）几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0． 3. 有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等：即：． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 即：． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． 即：． 名师点拨： （1）利用交换律时，要连同符号一起交换，符号也是乘数的一部分． （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，运算是恒等变形，可以从前到后，也可以从后到前，也就是可以正用，也可以逆用． 4.倒数的概念： 乘积是1的两个数互为倒数． 名师点拨： （1）“互为倒数”的两个数是一种关系，必须成对出现.如-2的倒数是，不能说是倒数； （2）0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； （3）互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)因此，正数的倒数必定还是正数；负数的倒数必定还是负数． 知识点11：有理数的除法 1. 有理数除法法则： 法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。 法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 名师点拨： （1）0不能当除数； （2）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 2.有理数的乘除混合运算： 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 3.有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 知识点12：乘方 1.乘方的定义：求相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 即有：. 底数：在中，叫做底数， 指数：n叫做指数. 1. 特别地，当指数=2时，一般成为平方；当指数=3时，一般成为立方。 名师点拨： （1）乘方与幂是不同的，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果． （2）当底数是以下几种情况时，要用括号括起来： 底数是负数、底数是分数、底数不是单独的一个数而是含有运算的式子。 （3）一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写． 2.乘方的符号法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即． 名师点拨： （1）有理数的乘方运算，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值． （2）计算幂时，可以转化成乘法计算。 知识点13：科学记数法 1.科学记数法的定义： 把一个绝对值大于10的数表示成的形式（其中l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法. 名师点拨： （1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样； （2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1. 知识点14：有理数的混合运算 1.有理数的混合运算顺序：（三原则） (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 名师点拨： （1）有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方是第三级运算； （2）在含有多重括号的混合运算中，一般都按从里向外的顺序进行，特别时候也可以从从外向里． （3）运算前要认真审题，看能否使用运算律，能用的可以简化计算，提高正确率 一、有理数的定义与分类 1.正数与负数： 错误：认为“带负号的数就是负数，带正号的数就是正数”。 注意：我们不能说带“+”的数是正数，带“-”的数是负数；判断一个数是正数还是负数必须化成最简形式与0进行大小比较，比0大的才是正数，比0小的是负数，不能只从形式上简单判断。 2.根据绝对值求数 错误：绝对值是2的数只有2。 注意：一个数的绝对值只有一个结果，而反之根据绝对值写出原来的数一般会有两个结果（0除外）．例如，绝对值为3的数有3和-3两个。 二、数轴上点的对应关系 错误：认为“数轴上的点都是表示有理数”． 注意：每一个有理数都能在数轴上找到唯一对应的点，反之不成立，数轴上的点不一定都表示有理数，如对应点，但它不是有理数． 三、比较有理数的大小 1.负数大小比较 错误：认为“-3比-2大，因为3>2”． 规则：负数比较时，绝对值大的反而小，所以 -3 < -2−3<−2． 2. 负数与0比较 错误：认为“0是最小的数”． 注意：在小学没学负数之前，确实0是最小的数，但在有理数范围内，没有最小的数． 四、多重符号的化简 错误：认为． 注意：这两种多重符号化简是不一样的，读法不同，意义不同，结果不同． 表示的绝对值的相反数，结果为，所以上面这个式子前半是正确的； 表示的相反数，结果是2，所以学习数学重在理解，切不可死记硬背所谓的规律口诀，理解基础上再记忆一些规律才有用。 题型01 正数与负数 1．下列算式中，运算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正负数的定义、有理数的乘方运算、化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】本题考查有理数的运算，涉及相反数、绝对值、乘方的运算规则，需逐一计算各选项的结果，判断是否为负数，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，是正数，故不符合题意； B、，是正数，故不符合题意； C、，是负数，故符合题意； D、，是正数，故不符合题意； 故选：C． 2．下列各数中，是负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算、正负数的定义、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了正数和负数，根据相反数的定义，有理数的乘方，绝对值的性质化简，再根据负数的定义对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A、，是正数，故本选项错误； B、，是正数，故本选项错误； C、是负数，故本选项正确； D、，是正数，故本选项错误． 故选：C． 3．在，，，0，中，负数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】化简多重符号、有理数的乘方运算、正负数的定义、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值和相反数，有理数的乘方，有理数的分类，掌握相关知识点是解题关键．先化简各数，再根据小于0的数是负数作答即可． 【详解】解：，，， 负数有、、，共3个， 故选：C． 4．下列说法中正确的有（        ） ①一定是负数；②若，则这个数一定是负数；③一个负数减去一个正数，差一定为负数；④0可以是非负整数，也可以是非正整数；⑤负数的平方为正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】正负数的定义、求一个数的绝对值、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了正负数的定义，绝对值，乘方，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：当时，则为非负数，故①不符合题意； 当，则这个数一定为非负数，故②不符合题意； 当一个负数减去一个正数，差一定为负数，故③符合题意； 0可以是非负整数，也可以是非正整数，故④符合题意； 负数的平方为正数，故⑤符合题意； 故选：C 5．下列各数中，是负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数的乘方运算、求一个数的绝对值、化简多重符号、正负数的定义 【分析】本题考查正负数的判断，先求出绝对值，进行有理数的乘方运算，化简多重符号，化简后，根据小于0的数为负数，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是负数，不符合题意； B、，是负数，符合题意； C、，不是负数，不符合题意； D、，不是负数，不符合题意； 故选B． 题型02根据一个数的绝对值求这个数 1．一个数的绝对值等于8，这个数的等于 ． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】根据绝对值的性质进行解答． 【详解】解：，， ， 一个数的绝对值等于8，这个数的等于， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 2．如果一个负数的绝对值是6，那么这个数是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】根据绝对值的定义和题意，可以求得这个数是几，本题得以解决． 【详解】解：∵， ∴如果一个负数的绝对值是6，那么这个数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值，解答本题的关键是明确绝对值的定义，利用绝对值的知识解答． 3．已知一个数的绝对值是1，则这个数是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】绝对值的性质进行求解即可． 【详解】解：∵互为相反数的两个数的绝对值相等， ∴绝对值是1的数有两个，分别为1和． 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的，解题关键是如何根据已知条件，去掉绝对值． 4．绝对值等于6.5的数是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】根据绝对值的性质即可得． 【详解】解：因为， 所以绝对值等于的数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题关键． 5．如果一个数的绝对值为，那么这个数是 ． 【答案】 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：如果一个数的绝对值为，那么这个数是， 故答案为：． 题型03数轴上的点与有理数的对应关系 1．下列说法中正确的有（    ） （1）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远； （2）符号相反的数互为相反数； （3）整数和分数统称为有理数； （4）一个有理数的绝对值必为正数； （5）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】有理数的定义、用数轴上的点表示有理数、相反数的定义、绝对值的几何意义 【分析】根据绝对值的意义，可判断（1）（4）；根据相反数的意义，可判断（2）；根据有理数的意义，可判断（3）；根据有理数与数轴的关系，可判断（5）． 【详解】解：（1）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远是正确的； （2）只有符号不同的两个数互为相反数数，原来的说法是错误的， （3）整数和分数统称为有理数是正确的； （4）一个有理数的绝对值必为非负数，原来的说法是错误的； （5）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示是正确的． 故说法中正确的有3个． 故选C． 【点睛】本题考查了有理数，任何数的绝对值都是非负数，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 2．下列说法错误的是（   ） A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B．在数轴上表示3和的两个点之间的距离是5 C．数轴上存在可以表示的点 D．数轴上表示的点一定在原点的左边 【答案】D 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴，数轴上两点间距离，直接利用数轴的性质分别分析得出答案即可． 【详解】解：A、所有的有理数都可以用数轴上的点表示，说法正确，故选项A不合题意； B、在数轴上表示3和的两个点之间的距离是，说法正确，故选项B不合题意； C、数轴上存在可以表示的点，故原说法正确，选项C不合题意； D、可以表示正数，因此数轴上表示的点不一定在原点的左边，说法错误，故选项D符合题意． 故选：D． 3．下面结论正确的是（   ） A．几个有理数相乘，负因数个数为奇数，则乘积为负数 B．数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数 C．平方等于它本身的数只有1 D．绝对值等于其本身的有理数是非负数 【答案】D 【知识点】用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义、多个有理数的乘法运算、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘法、数轴、有理数的乘方、绝对值，熟练掌握各运算法则和性质是解题关键．根据有理数的乘法、数轴、有理数的乘方、绝对值的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、几个非零有理数相乘，负因数个数为奇数，则乘积为负数，则此项结论错误，不符合题意； B、数轴上的每一个点均表示一个确定的数，但不一定是有理数，则此项结论错误，不符合题意； C、平方等于它本身的数有0和1，则此项结论错误，不符合题意； D、绝对值等于其本身的有理数是非负数，则此项结论正确，符合题意； 故选：D． 4．下列说法正确的是（　　） A．有的有理数不能在数轴上表示出来 B．数轴上的某一点可以表示两个不同的有理数 C．数轴上的点只能表示整数 D．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 【答案】D 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查了数轴的意义，根据所有有理数都可以用数轴上的点表示，且数轴上的一个点只能表示一个有理数对此判断即可． 【详解】解：．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，原说法错误，故该选项不符合题意； ．数轴上的一个点只能表示一个有理数，原说法错误，故该选项不符合题意； ．数轴上的点能表示所有的有理数，原说法错误，故该选项不符合题意； ．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，原说法正确，故该选项符合题意； 故选：D． 5．下列说法中，正确的有（    ） ①任何数都不等于它的相反数  ②有理数分为正有理数和负有理数  ③任意一个有理数都可以用数轴上的点表示  ④几个有理数相乘，积的符号是由负因数的个数决定 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】有理数的分类、用数轴上的点表示有理数、相反数的定义、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的分类、相反数、数轴及有理数乘法运算法则，熟练掌握以上知识点是解题关键． 根据相反数定义判断①，根据有理数的分类判断②，根据有理数与数轴的关系判断③，根据有理数的乘法法则判断④，由此可解． 【详解】解：0的相反数等于0，故①错误； 有理数分为正有理数、0和负有理数，故②错误； 任意一个有理数都可以用数轴上的点表示，故③正确； 几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，故④错误； 综上可知，说法正确的有1个， 故选：A． 题型04负数的大小比较 1．用“”“”填空： ． 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题的关键．两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此即可解答． 【详解】解：，，， ， 故答案为：． 2．在中，最小的数是 ． 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 利用有理数大小的比较方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数是：． 故答案为：． 3．比较大小： （填“”或“”） 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题关键是掌握有理数大小比较法则：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【详解】解：，，， ， 故答案为：． 4．比较大小： （填“”，“”，“=”）． 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【分析】先计算绝对值，比较绝对值的大小，后解答即可． 本题考查了负数的大小比较，熟练掌握比较原则是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴． 故答案为：． 5．比较大小： （填“”、“”、“”）． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】本题考查了比较两个负数的大小，两个负数，绝对值大的反而小，解决本题的关键是先求出两个负数的绝对值，根据它们的绝对值的大小关系，比较这两个负数的大小． 【详解】解：，， 又， ， 故答案为：． 题型05 负数与0的比较 1．下列各数：，，，，中，最小的数是 ． 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数大小的比较，掌握有理数大小比较的方法是解题的关键．首先根据有理数大小的比较方法按顺序从大到小排列，然后可求解． 【详解】解： ∴最小的数是． 故答案为：． 2．下列各数中，比0小的是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的比较大小，解题的关键是：熟练掌握有理数比较大小的法则． 根据0比所有的负数大，比所有的正数小，即可求解． 【详解】解：负数正数， 则比0小的是， 故选：B． 3．比较两数的大小： 0． 【答案】< 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查有理数比较大小，熟练掌握比较有理数大小法则“正数大于零，零大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小”是解题的关键． 根据零大于负数求解即可． 【详解】解： 故答案为：<． 4．用“”或“”符号填空： 0． 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查比较有理数的大小，根据负数小于0，即可得出结果． 【详解】解：； 故答案为：． 5．比较大小： 0（填“＞”、“=”、“＜”）． 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据0大于一切负数，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 题型06 多重符号化简 1． ； ． 【答案】 5 【知识点】化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了相反数、绝对值等知识点，掌握运用相反数的定义去括号的方法成为解题的关键． 分别根据相反数、绝对值的定义求解即可． 【详解】解：，． 故答案为：5，． 2．比较大小： ． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、求一个数的绝对值、化简多重符号 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，先计算绝对值和化简多重符号，再根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小进行求解即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 3．在比较大小： （填“>”“<”或“”) 【答案】 【知识点】有理数大小比较、求一个数的绝对值、化简多重符号 【分析】本题考查化简多重符号，去绝对值，有理数大小比较，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先化简多重符号，去绝对值，得到，，有理数大小比较的法则：正数大于一切负数，据此判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 4．化简：= ，= ． 【答案】 8 / 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、化简多重符号 【分析】本题考查的是相反数的定义，即只有符号不同的两个数叫做互为相反数．同时还考查了绝对值的意义，理解相关概念是解题关键． 【详解】解：，， 故答案为：8；． 5．化简 ． 【答案】 【知识点】化简多重符号 【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义化简多重符号即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$