【数学帮】工程问题的解题技巧（含答案解析）

工程问题的解题技巧 工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量之间的关系的问题，它的 基本数量关系是： 工作效率×工作时间=工作总量、 工作总量÷工作时间=工作效率、 工作总量÷工作效率=工作时间。 在工程问题中，通常情况下，我们把工作总量看作单位“ 1 ”，每天完成 总量的几分之几就是工作效率。 一项工程甲乙合作，36 天完成，乙丙两人合作，45 天完成，甲丙两人合作， 60 天完成，如果甲、乙、丙单独做，各需多少天？ 第 1页（共 18页） 【分析】根据题意可知：甲乙工作效率的和是 1÷ 乙丙工作效率的和 是 甲丙工作效率的和是： ．先求甲乙丙三人工作效率的 和： 然后用三人工作效率的和减掉甲乙工作效率的和就 是丙的工作效率，然后用工作总量除以工作效率就是工作时间，同理求甲、 乙所需工作时间即可． 解 丙 = 180（天） 甲 =90（天） 乙 【点评】本题主要考查简单的工程问题，关键利用工作总量、工作时间和 =60（天） 答：甲单独做需要 90 天，乙需要 60 天，丙需要 180 天． 工 作效率之间的关系做题． 第 2页（共 18页） 学科网（北京）股份有限公司 技巧 1 “转化法”解决工程问题 1 ．一项工程，甲乙两合作 6 天完成，甲独做 3 天完成全部工程的 ，乙独做几天可以完成全 部工程的一半？ 2 ．一件工作，甲做 9 天可以完成，乙做 6 天可以完成．现在甲先做了 3 天，余下的工作由甲 乙合作完成．余下的工作需要几天可以完成？ 第 3页（共 18页） 学科网（北京）股份有限公司 技巧 2“假设法”解决工程问题 3 ．一项工程，甲单独做要 30 天完成，乙单独做要 20 天完成．现两人合作，但中途乙休息了 几天，结果从开工到结束一共用了 18 天，请问乙休息了几天？ 4 ．一项工程，甲队单独做 20 天完成，乙队单独做 30 天完成．现在他们两队一起做，其间甲 队休息了 3 天，乙队休息了若干天．从开始到完成共用了 16 天，问乙队休息了多少天？ 技巧 3“按比分配法”解决工程问题 5 ．一项工程，甲、乙合作 6 天能完成 ，单独做，甲完成总工程的与乙完成总工程的所需时 间相等，甲、乙单独做各需要多少天完成？ 第 4页（共 18页） 学科网（北京）股份有限公司 1．一项工程每队单独做，甲要 15 天完成，乙要 10 天完成．如果两队合做，多少天可以完成？ 2 ．今有凫（fú) 起南海，七日至北海，雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？ （选自《九章算术》）（今译：野鸭从南海飞到北海要用 7 天，雁从北海到南海要用 9 天．现 在它们一起起飞，几天后相遇？） 3 ．服装厂接到一批订单，A 车间单独做需要 25 天完成，B 车间单独做需要 20 天完成．如果 两个车间同时做这批订单，多少天可以完成这批订单的一半？ 4．工程队修一条路，甲队单独修 12 天能修完，乙队单独修 8 天能修完，如果两队合作一起修， 修了全长的 ，已经修了多少天？ 第 5页（共 18页） 学科网（北京）股份有限公司 5 ．一项工程，甲乙合作需要 6 小时完成．先由甲独做 5 小时，又由乙单独做 3 小时，这是完 成了总工作量的 如果由甲全部单独完成需几时完成？ 6 ．一项工程，甲、乙合做要 6 天完成，如果甲先做 3 天，再由乙做 10 天，可以全部完成，乙 单独做要多少天完成？ 7 ．甲、乙两人合做一批零件，计划 6 小时做完，现在由乙先做 1.5 小时后，甲再加入合做， 完成任务比计划多用小时，已知甲每小时做 54 个零件，这批零件一共有多少个？ 8 ．一项工程，甲独做要 6 天完成，乙独做要 10 天完成，两队合作 3 天，剩下的由甲队独 做，还要多少天可以完成？ 第 6页（共 18页） 学科网（北京）股份有限公司 9 ．一项工程，甲、乙合作 8 天完成，如果让甲先独做 6 天，然后乙再独做 9 天完成任务．求 乙独做这项工程要多少天？ 10 ．一项工程，甲单独做要 12 天完成，乙 5 天可完成这项工程的 ，现在由甲乙两人合作，几 天完成全工程的？ 11．一项工程，乙单独做 20 天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替做也恰好用整 数天完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替做结果比上次交替做要多半天才能完 成．这项工程由甲单独做需要几天可以完成？ 第 7页（共 18页） 学科网（北京）股份有限公司 12 ．甲、乙、丙三人承包一项工程，发给三人工资共 18000 元，三人完成这项工程任务的具体 情况是：甲、乙合作 6 天完成了工程的 ，乙、丙合作 2 天完成余下工程的 最后三人合作 5 天完成了这项工作，如果按完成工作量的多少来付酬，每人应得工资多少元？ 13 ．一条公路，甲队独修 24 天可以完成，乙队独修 30 天可以完成。现先由甲、乙两队合修 4 天，再由丙队参加一起修 7 天后全部完成。如果三队同时开工修这条路，几天可以完成？ 第 8页（共 18页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案及解析 技巧 1 “转化法”解决工程问题 1 ．一项工程，甲乙两合作 6 天完成，甲独做 3 天完成全部工程的 乙独做几天可以完成全 部工程的一半？ 【分析】我们把一项工程的工作量看作单位“1” ，工作量的一半除以乙的工作效率，乙的工 作效率是 ÷3 ，工作量的一半即是 列式解答即可． 解 ， =7.5（天）； 答：乙独做 7.5 天可以完成全部工程的一半． 【点评】本题运用工作总量、工作效率、工作时间之间的关系进行解答即可． 2 ．一件工作，甲做 9 天可以完成，乙做 6 天可以完成．现在甲先做了 3 天，余下的工作由甲 乙合作完成．余下的工作需要几天可以完成？ 【分析】首先根据：工作量＝工作效率×工作时间，用甲的工作效率乘 3 ，求出甲先做了这 件工作的几分之几；然后用 1 减去甲 3 天完成的工作量，求出剩下这件工作的几分之几， 再用它除以甲乙的工作效率之和，求出余下的工作需要几天可以完成即可． 解 答：余下的工作需要天可以完成． 【点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作 量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率． 第 9页（共 18页） 学科网（北京）股份有限公司 技巧 2“假设法”解决工程问题 3 ．一项工程，甲单独做要 30 天完成，乙单独做要 20 天完成．现两人合作，但中途乙休息了 几天，结果从开工到结束一共用了 18 天，请问乙休息了几天？ 【分析】甲单独做要 30 天完成，将总工量当作单位“1” ，则甲每天完成全部的 结果从开 工到结束一共用了 18 天，这 18 天甲完成了全部的 所以乙完成了全部的 1 − ×18， 又乙每天完成全部的 根据分数除法的意义，乙共做了 天，然后用总天 数减去乙干的天数，即得乙休息了几天． 解 = 18 -8 = 10（天） 答：乙休息了 10 天． 【点评】首先根据已知条件求出乙完成的工作量是完成本题的关键． 4 ．一项工程，甲队单独做 20 天完成，乙队单独做 30 天完成．现在他们两队一起做，其间甲 队休息了 3 天，乙队休息了若干天．从开始到完成共用了 16 天，问乙队休息了多少天？ 【分析】甲队休息了 3 天，说明甲干了 13 天，然后假设乙没有休息干了 16 天，这样把甲 乙的工作量加在一起，一定会超过单位“1” ，超出的工作量就是乙休息的时间内的工作量， 除以乙的工作效率就是乙休息的天数． 解 =5.5（天）； 答；乙队休息了 5.5 天． 【点评】本题运用假设法进行解答，考查了学生思维创新的能力，解决问题的能力． 第 10页（共 18页） 学科网（北京）股份有限公司 技巧 3“按比分配法”解决工程问题 5 ．一项工程，甲、乙合作 6 天能完成 单独做，甲完成总工程的与乙完成总工程的所需时 间相等，甲、乙单独做各需要多少天完成？ 【分析】分析题目，用除法先求出甲、乙的工效和；结合“甲完成总工程的与乙完成总工程 的所需时间相等”可得 ÷ 甲效= ÷ 乙效；接下来可得甲效：乙效＝2 ：3 ，结合比的应用求 出甲效，乙效，进而求出甲、乙单独做需要的天数。 【解答】解：甲、乙工效和： 甲效乙效 所以甲效：乙效＝2 ：3 甲效： 乙效： 甲队独做（天） 乙队独做（天） 答：甲单独做需要 18 天完成，乙单独做需要 12 天完成。 【点评】本题主要考查了简单的工程问题，用到工作总量、工作效率和工作时间的关系。 1．一项工程每队单独做，甲要 15 天完成，乙要 10 天完成．如果两队合做，多少天可以完成？ 【分析】把这项工程的量看作单位“1” ，先表示出甲和乙每天完成工作量占工作总量分率， 求出两人工作效率和，最后根据工作时间＝工作总量÷工作效率即可解答． 解 =6（天） 答：6 天可以完成． 【点评】正确运用等量关系式：工作时间＝工作总量÷工作效率解决问题，是本题考查知识 第 11页（共 18页） 学科网（北京）股份有限公司 点． 2 ．今有凫（fú) 起南海，七日至北海，雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？ （选自《九章算术》）（今译：野鸭从南海飞到北海要用 7 天，雁从北海到南海要用 9 天．现 在它们一起起飞，几天后相遇？） 【分析】把从南海到北海的路程看成单位“1” ，野鸭的速度就是 雁的速度就是 用 1 除 以两种鸟的速度和，即可求出相遇的时间． 解 答：天后相遇． 【点评】本题类似于工程问题，先表示出两鸟的速度，再根据相遇时间＝总路程÷速度和求 解． 3 ．服装厂接到一批订单，A 车间单独做需要 25 天完成，B 车间单独做需要 20 天完成．如果 两个车间同时做这批订单，多少天可以完成这批订单的一半？ 【分析】首先根据工作效率＝工作量÷ 工作时间，根据工作时间＝工作量÷ 工作效率，用 除以甲、乙的工作效率和，即可求出时间． 解 答：5天可以完成这批订单的一半． 【点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即： 工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率， 由此进行解答即可． 4．工程队修一条路，甲队单独修 12 天能修完，乙队单独修 8 天能修完，如果两队合作一起修， 修了全长的 ，已经修了多少天？ 【分析】首先根据工作效率＝工作量÷工作时间，分别用 1 除以两队单独修需要的天数，求 出两队的工作效率各是多少；然后根据工作时间＝工作量÷工作效率，用除以两队的工作效 第 12页（共 18页） 学科网（北京）股份有限公司 率之和，求出如果甲乙两队合作，几天可以修完这条路的即可． 解 =3（天） 答：已经修了 3 天． 【点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作 量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率，解 答此题的关键是求出两队的工作效率之和是多少． 5 ．一项工程，甲乙合作需要 6 小时完成．先由甲独做 5 小时，又由乙单独做 3 小时，这是完 成了总工作量的 ，如果由甲全部单独完成需几时完成？ 【分析】把这项工程的总量看作单位“1”，把“甲独做 5 小时，又由乙单独做 3 小时”看作“甲 乙合做 3 小时，又由甲单独做 2 小时” ，则甲单独做 2 小时完成了总工作量的 ， 用除法求出甲的工作效率，再根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”即可求出甲全部单独完 成需几时完成． 解 = 10（小时） 答：如果由甲全部单独完成需 10 小时完成． 【点评】此题是较难的工程问题，根据题干得出甲的工作效率是解决本题的关键． 6 ．一项工程，甲、乙合做要 6 天完成，如果甲先做 3 天，再由乙做 10 天，可以全部完成，乙 单独做要多少天完成？ 【分析】首先根据题意，可得甲先做 3 天，再由乙做 10 天，可以看作甲、乙合做 3 天，乙 再单独做 7（ 10 -3 ＝7）天；然后根据工作量＝工作效率×工作时间，用甲、乙的工作效率 之和乘 3，求出甲、乙合做 3 天完成了这项工程的几分之几，并求出乙单独做 7 天完成了这 项工程的几分之几，再用它除以 7，求出乙的工作效率是多少；最后根据工作时间＝工作量 ÷工作效率，用 1 除以乙的工作效率，求出乙单独做要多少天完成即可． 第 13页（共 18页） 学科网（北京）股份有限公司 解 = 14（天） 答：乙单独做要 14 天完成． 【点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作 量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率，解 答此题的关键是求出乙的工作效率是多少． 7 ．甲、乙两人合做一批零件，计划 6 小时做完，现在由乙先做 1.5 小时后，甲再加入合做， 完成任务比计划多用小时，已知甲每小时做 54 个零件，这批零件一共有多少个？ 【分析】首先根据题意，可得甲 1.5 小时做的零件的个数等于两人小时做的零件的个数的 和，根据工作效率＝工作量÷工作时间，用甲 1.5 小时做的零件的个数除以 求出两人的工 作效率的和是多少，再用它乘两人合作完成需要的时间，求出这批零件一共有多少个即可． 解 = 135×6 =810（个） 答：这批零件一共有 810 个． 【点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作 量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率，解 答此题的关键是求出甲、乙每小时一共做多少个零件． 8 ．一项工程，甲独做要 6 天完成，乙独做要 10 天完成，两队合作 3 天，剩下的由甲队独 做，还要多少天可以完成？ 【分析】把总工作量看作单位“1” ，则甲的工作效率为 乙的工作效率为 先求出甲乙 3 小时的工作量之和，进而求出余下的工作量用余下的工作量除以甲的工作效率，从而解决 问题． 解 第 14页（共 18页） 学科网（北京）股份有限公司 = 1.2（天） 答：还要 1.2 天可以完成． 【点评】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，搞清所求的 问题与条件之间的关系，选择正确的数量关系解答． 9 ．一项工程，甲、乙合作 8 天完成，如果让甲先独做 6 天，然后乙再独做 9 天完成任务．求 乙独做这项工程要多少天？ 【分析】可以看做甲乙共干了 6 天，乙独干了（9 -6）天，求出乙干了 3 天的工作量，除 以 3 就是乙的工作效率，进一步求出乙独干的天数． 【解答】解：1÷ [（1 -6÷ 8）÷（9 -6）]， = 12（天）； 答：乙独做这项工程要 12 天． 【点评】本题是一道简单的工效问题，考查了学生的应变能力及转化能力． 10 ．一项工程，甲单独做要 12 天完成，乙 5 天可完成这项工程的 ，现在由甲乙两人合作，几 天完成全工程的？ 【分析】首先根据甲单独做要 12 天完成，乙 5 天可完成这项工程的 ，工作效率＝工作量÷ 工作时间，求出甲乙的工作效率，然后根据工作时间＝工作量÷工作效率求出甲乙两人合作， 几天完成全工程的即可． 解 =5（天） 第 15页（共 18页） 学科网（北京）股份有限公司 答：甲乙两人合作，几天完成全工程的． 【点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作 量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率． 11．一项工程，乙单独做 20 天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替做也恰好用整 数天完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替做结果比上次交替做要多半天才能完 成．这项工程由甲单独做需要几天可以完成？ 【分析】根据两种轮流交替做的情况可得出：当甲先做时，用的时间就少，而乙先做时， 用的时间就多．据此可得第一种情况甲乙的工作顺序是：甲，乙，甲，乙 … 甲（最后一天 是甲做的，若是乙做的，则第二种情况不会出现多做半天的时间）；而第二种情况甲乙的 工作顺序就是：乙，甲，乙，甲… 乙，甲，乙，把两种情况对照可得：甲一天的工作效率 = 乙一天的工作效率+ 甲半天工作效率，即甲半天工作效率＝乙一天工作效率，也就是说甲 的工作效率是乙工作效率的 2 倍，把这项工程的量看作单位“1” ，先表示出乙的工作效率， 再求出甲的工作效率，最后根据工作时间＝工作总量÷工作效率即可解答． 【解答】解：依据分析可得甲的工作效率是乙工作效率的 2 倍 = 10（天） 答：这项工程由甲单独做需要 10 天可以完成． 【点评】根据题干表达的意义求出甲与乙工作效率关系，是解答本题的关键． 12 ．甲、乙、丙三人承包一项工程，发给三人工资共 18000 元，三人完成这项工程任务的具体 情况是：甲、乙合作 6 天完成了工程的 ，乙、丙合作 2 天完成余下工程的 最后三人合作 5 天完成了这项工作，如果按完成工作量的多少来付酬，每人应得工资多少元？ 【分析】根据题意可知，甲、乙两人的工作效率之和为 乙、丙两人的工作效率之和为 甲、乙、丙三人的工作效率之和为 甲的工作效率为 乙的工作效率为 第 16页（共 18页） 学科网（北京）股份有限公司 丙的工作效率为 则甲完成的工程量为 乙完成的工作量为 丙完成的工作量为 三人所完成的工作量之比为 所以，甲应得 元，乙应得 元， 丙应得 元． 【解答】解：甲、乙两人的工作效率之和为 乙、丙两人的工作效率之和为 甲、乙、丙三人的工作效率之和为 则甲的工作效率为 乙的工作效率为 丙的工作效率为 甲完成的工程量为 乙完成的工作量为 丙完成的工作量为 三人所完成的工作量之比为：： =33：91：56； 所以，甲应得 元， 乙应得 元， 丙应得 元． 答：甲应得 3300 元，乙应得 9100 元，丙应得 5600 元． 【点评】此题的解答把工作总量看作单位“1” ，分别求出甲、乙、丙的工作效率和各完成工 作量的几分之几，再根据一个数乘分数的意义解答即可． 13 ．一条公路，甲队独修 24 天可以完成，乙队独修 30 天可以完成。现先由甲、乙两队合修 4 天，再由丙队参加一起修 7 天后全部完成。如果三队同时开工修这条路，几天可以完成？ 第 17页（共 18页） 学科网（北京）股份有限公司 【分析】先根据工作效率＝工作总量÷工作时间，求出甲队的工作效率和乙队的工作效率； 再求出甲、乙合作 4 天完成的工作量；然后求出三队合修每天完成的工作量；最后用工作 总量除以三队合修的工作效率和就是完成的工作时间，据此解答即可。 【解答】解：根据题意列式计算可得： 由分析可得： （天） 答：10 天可以完成。 【点评】本题考查了工程问题的计算，理解工作总量、工作效率、工作时间的关系可解答 问题。 第 18页（共 18页） 学科网（北京）股份有限公司 $$