1.1 三角形中的线段和角(第2课时 三角形的中线、角平分线、高)课件-2025-2026学年八年级数学上册（苏科版2024）

苏科版（2024）八年级数学上册 第一章 三角形 第2课时 三角形的中线、角平分线、高 1.1 三角形中的线段和角 目录 02 03 05 06 04 典型例题（含课本例题） 知识点讲解 情景导入 课堂小结与布置作业 课堂练习（分层练习） 01 学习目标 学习目标 1、掌握三角形的中线、角平分线、高的定义及性质。（重点） 2.运用三角形三线特征及其三线交点的规律解决实际问题。 （难点） 新课导入 知识回顾 1、三角形三边关系： 三角形的         两边之和大于第三边。两边之差<第三边<两边之和 2、三角形边、角关系： 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大.（大角对大边，大边对大角） 任意 知识点讲解 讨论：如图，橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A处，另一端从点B出发沿BC方向（或从点C出发沿CB方向）移动。在这个过程中，橡皮筋（线段）的位置不断变化，你认为其中有哪些位置是特殊的？请与同学交流。 可以看看角的变化. 可以看看线段的变化. 橡皮筋的另一端落在BC的中点上 橡皮筋平分∠BAC 橡皮筋与BC所在直线垂直 定义与概念 在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫作三角形的中线.在图1-6中，点D在BC上，BD=CD，线段AD是△ABC 的中线. 在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线例如，在图1-7中，点E在BC上，∠BAE=∠CAE，线段AE是△ABC的角平分线. 总结归纳 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线.简称三角形的高.例如，在图1-8中，AH上BC，垂足为H，线段AH是△ABC的边BC上的高. 尝试 如图1-9，过点A分别画出△ABC的中线、角平分线、高. 三角形的中线、角平分线、高各有几条？ 三角形的中线有几条？ A B C 【分析】 取BC中点D，取AC中点E，取AB中点F， 连接AD、BE、CF， ∴中线有3条：线段AD、线段BE、线段CF。 E D F 以锐角三角形为例： 以直角三角形为例： A B C E D F 以钝角三角形为例： A B C E D F 三角形的角平分线线有几条？ A B C 以锐角三角形为例： E D F 【分析】 取∠BAC的角平分线交BC于点D， 取∠ABC的角平分线交AC于点E， 取∠ACB的角平分线交AB于点F， ∴角平分线有3条：线段AD、线段BE、线段CF。 以直角三角形为例： A B C 以钝角三角形为例： A B C E D F E D F 三角形的高有几条？ A B C 以锐角三角形为例： 【分析】 过A作AD⊥BC交BC于点D， 过B作BE⊥AC交AC于点E， 过C作CF⊥AB交AB于点F， ∴高有3条：线段AD、线段BE、线段CF。 E D F 以直角三角形为例： A B C 以钝角三角形为例： A B C E (D) (F) D E F 观察下列3个图，回答问题： (1)三角形有几条高？(2)三角形的高位于三角形何处？ 【分析】三角形有3条高，锐角三角形的高都位于三角形内部； 直角三角形有2条高位于三角形边上，1条高位于三角形内部； 钝角三角形有2条高位于三角形外部，1条高位于三角形内部。 A B C E D F A B C E (D) (F) A B C D E F 典型例题 典型例题 例1.（课本例题）如图1-10，AD是△ABC的中线.求证:△ABD和△ADC的面积相等. 证明：如图1-11，过点A作AH⊥BC，垂足为H. AH是△ADC的高，也是△ABD 的高. 因为AD是△ABC的中线，所以BD=DC. 又因为S△ABD= BD・AH，S△ADC= DC・AH, 所以 S△ABD =S△ADC. 总结归纳 方法点拨 解答有关三角形中线的周长和面积问题，需要熟记三角形中线的定义，并能把周长的差转化为线段的差，求三角形的面积需利用“中线等分面积”. 例2.如图1.1-5，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，连接EF，EF交AD于点O. 求证：DO是△DEF的角平分线. 解题秘方：根据三角形的角平分线的定义进行证明. 典型例题 证明：如图1.1 -5，∵ AD是△ABC的角平分线，∴∠1＝∠2 . ∵ DE∥AB，DF∥AC，∴∠3＝∠1，∠4＝∠2. ∴∠3＝∠4 .∴ DO是△DEF的角平分线. 总结归纳 解题通法 本题在证明过程中，先利用三角形的角平分线的定义，得出相等的角，再结合相关条件推出新的相等的角，最后由三角形的角平分线的定义证明是三角形的角平分线.它经历了定义→条件→定义的过程，这就是定义法. 例3.[月考·无锡江阴市]如图1.1-6，在△ABC中，边AB上的高线画法正确的是( ) 典型例题 解题秘方：紧扣“三角形的高”的定义进行识别. 解：A选项中，AH是边BC上的高线；C选项中，AH没有过顶点C，不是边AB上的高线；D选项中，BH是边AC上的高线. 所以选项A，C，D都不符合题意. B 总结归纳 找三角形某边上的高的方法： 1. 找出该边所对的顶点； 2.过此顶点作该边所在直线的垂线，垂线段为该边上的高. 如：作△ABC中边BC上的高，找边BC所对的顶点A，过点A作BC所在直线的垂线(E为垂足)，垂线段AE即为边BC上的高. 拓展提升 取一张长方形透明纸，在透明纸上画一个三角形，折出所画三角形的三条角平分线，你有什么发现? 探究 三条角平分线相交于一点. 三角形的中线、高也有这样的性质吗？ 观察下列3个图，你还能发现什么？ A B C E D F A B C E D F A B C E D F 【分析】三角形的中线交于一点，且交点位于三角形内部。 【拓展】三角形中线的交点叫做三角形的重心。 观察下列3个图，回答问题： (1)三角形有几条角平分线？ (2)三角形的角平分线位于三角形何处？ 【分析】三角形有3条角平分线，且角平分线都位于三角形内部。 A B C E D F A B C E D F A B C E D F 观察下列3个图，你还能发现什么？ A B C E D F A B C E (D) (F) A B C D E F 【分析】锐角三角形的3条高交于一点，且交点位于三角形内部； 直角三角形的3条高交于一点，且交点位于三角形直角顶点； 钝角三角形的3条高并未交于一点。 如图，延长BE、CF、DA，你发现了什么？ A B C D E F 【分析】钝角三角形的3条高所在直线交于一点，且交点位于三角形外部。 【拓展】三角形的高所在直线交于一点，交点叫做三角形的垂心。 课堂练习 基础 知识点1 三角形的中线 （第1题图） 1.［2025湖北武汉期末］如图,有一个厚薄均匀的三角形硬纸板， 在硬纸板上选一点，并钻一个小孔，穿过小孔系一条线将硬纸板吊 起，若三角形硬纸板处于平衡状态，则这一点可能是( ) A A.点 B.点 C.点 D. 点 【解析】 三角形硬纸板处于平衡状态， 这个点为三角形的重心.由题图可知点 最可能为该三角形的重心.故选A. 基础题 32 （第2题图） 2.［2025安徽合肥期中］如图，在中，是边 上的中 线，是的中点，连接,，若的面积为 ， 则阴影部分的面积是( ) B A. B. C. D.条件不足，无法求出 【解析】是边上的中线，， .又 ，是的中点， ， , ， .故选B. 基础题 33 3.［2025广西贺州期中］如图，在中，是边上的中线， 的周长 比的周长多3，与的长度之和为13，则 的长度为___. 8 （第3题图） 【解析】是边上的中线，，的周长 的周长 ，即 .① 又 ， 由得，解得 .故答案为8. 基础题 34 知识点2 三角形的角平分线 （第4题图） 4.［2025河南周口期末］若是 的角平分线（如图所示）， 则下列结论不正确的是( ) C A.平分 B. C. D. 【解析】是的角平分线，平分 ， ， ，故选项A、B、D正确；不能得 到 ，故选项C错误.故选C. 基础题 35 5.［2025辽宁沈阳期中］三角形的三条角平分线的交点一定在三角形的( ) A A.内部 B.外部 C.一边上 D.不确定 【解析】如图，三角形的三条角平分线的交点一定在三角形的内部.故选A. 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 基础题 36 （第6题图） 6.［2025山东烟台期末］如图，将折叠，使边落在 边 上，展开后得到折痕，则是 的__________. 角平分线 【解析】如图.由折叠的性质可知,是 的角平分线. 基础题 37 知识点3 三角形的高 7.［2025江苏无锡期末］用一块含 角的直角三角板画的边 上的高， 则下列三角板的摆放位置正确的是( ) D A. B. C. D. 【解析】选项A画的是 边上的高，故不符合题意；选项B、C画的不是任何边上 的高，故不符合题意；选项D画的是 边上的高,故符合题意.故选D. 基础题 38 （第8题图） 8.［2025广东惠州期中］如图，在 中，关于高的说 法正确的是( ) A A.线段是边上的高 B.线段是 边上的高 C.线段是边上的高 D.线段是 边上的高 【解析】由题图知，，， 线段是 边上的高，线 段是边上的高，线段是 边上的高，故A选项符合题意.故选A. 基础题 39 9.［2025北京西城区期中］在中， ，三角形的高与高 所在 直线交于点，点在的外部，以下对 的描述正确的是( ) D A.是锐角 B. 是直角 C.是钝角 D. 是锐角或钝角 【解析】 三角形的高与高所在直线交于点，点在 的外部， 是钝角三角形. ，与 一个是锐角，一个是钝角，具体 哪个角是钝角无法确定，故选D. 基础题 40 （第10题图） 10.［2025河南信阳质检］如图，在中， ， ，垂足分别为点和点，与交于点，连接 并 延长交于点，若，，，则 ____________. 【解析】在中，，，与交于点 ， 的延长线交于点， ， ，， ， ， .故答案为 . 基础题 关键点拨：三角形三条高所在的直线交于一点. 41 11.下列说法：①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条高所在的 直线必交于一点；③三角形的三条中线必交于一点；④三角形的三条角平分线必交 于一点.其中正确的有( ) D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 提升题 12.如图，在中，是边上的高， 是的角平分线.若 ，则 _______.（用含有 的代数式表示） 42 13. （1）已知是的边上的高， ， ，则 __________； 或 （2）等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为 两部分，等腰三角 形的周长为21，则它的腰长为______. 6或8 提升题 43 14.［2025南京玄武区期末］如图，一张三角形纸片， ，的平分 线相交于点，将纸片沿折叠，使点恰好落在点 处.若， 则 _____. 提升题 44 15.如图，在中，， 是高， 平分交，于点， . （1）求 的度数； 解：， ， ， ， ，即 . （2）求证： ； 证明：平分， ， ， ， ，， . 提升题 45 （3）若，，，， 的面积分别表示 为,,，且，则 ___. 5 [解析] 点拨：，即 ， ， 即， ， ，即 . 提升题 46 16. 三角形的中线、角平分线、高是三角形的重要线段， 我们知道，三角形的三条高所在直线交于同一点.请应用这个结论解决 以下问题： （1）如图①，中， ，则 的三条高所在直线交于点___. 拓展题 47 （2）请仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图 过程，实线表示画图结果）. ①如图②，中， ，已知两条高， ，请你画出 的第三条高 ； 解：如图①， 即为所作. 拓展题 48 课堂小结 本节课同学们学到了什么？ 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线； 在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线； 在三角形中，从一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。 【注意点】 中线、角平分线、高都是线段，不是直线！！！ 布置作业 作业题 教科书第8页练习 第1，2，3题 课本练习 1. 如图，在△ABC中，点D在BC上，且∠BAD=∠CAD,E是AC的中点，BE，AD相交于点F.指出图中三角形的角平分线和中线. 【解析】解：AD是△ABC的角平分线，AF是△ABE的角平分线； BE是△ABC的中线，DE是△ADC的中线． 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在BC上,DE ⊥AB，垂足为E.指出图中DE,AC分别是哪些三角形的高. 课本练习 解：∵∠C = 90° ∴AC是△ABC，△ACD，△ABD的高 ∵DE⊥AB ∴DE是△ABD，△ADE，△BDE的高 课本练习 3.如图，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，AF是高. 填 空: (1)BD=_____= ; (2)∠BAE=__ = ； (3) ∠AFB=______= °； (4)S△ABC = . CD BC ∠CAE ∠BAC． ∠AFC 90 2S△ABE 习题 1.下列长度的三条线段能否组成三角形?为什么? (1)8，8，12;(2)7，8，15;(3) 5，9，16. 2.如图，点A，B，C，D,E为格点，以这五个格点中的三点为顶点画三角形，一共可以画多少个?其中，哪些是直角三角形、钝角三角形、锐角三角形?哪些是等腰三角形? 【解析】解：如图，一共可以画9个三角形，△ABE，△CDE是直角三角形，△BCD、△ADE，△BDE是锐角三角形，△CDE是等腰三角形． 解：能，不能，不能 习题 3.如图，在△ABC中，AB<AC. (1)比较∠B，∠C的大小，并说明理由; (2)若AH⊥BC，比较∠BAH与∠CAH的大小，并说明理由. 解：(1)∠B>∠C， 理由:在△ABC中AB<AC，根据大边对大角，∠B>∠C (2)∠BAH<∠CAH， 理由:作AH⊥BC，则∠BAH=90°-∠B,∠CAH=90°-∠C，因∠B>∠C，故∠BAH < ∠CAH。 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在AC，AB上，∠DBE=30°，∠BED=70°. (1)分别写出图中的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形; (2)分别比较BE，BD的大小，AD，AE的大小，并说明理由， 习题 解：（1）锐角三角形有△BDE， 直角三角形有△ACB，△BCD， 钝角三角形有△AED （2）BE＞BD，因为∠BDE＞∠BED 习题 5.如图，△ABC是锐角三角形. (1)按要求画图:过点A画BC的垂线，垂足为D;过点A画AB的垂线，交BC的延长线于点E. (2)在所画图中，哪些三角形是直角三角形、钝角三角形?AD是哪些三角形的高? D E 解：（2）直角三角形有 △ADB，△ADE，△BAE 钝角三角形有△ACE。 AD是△ABC，△ABD，△ACD的高 习题 6.如图，BD是△ABC的角平分线，∠1=25°，∠2=50°.求证:ED//BC. 证明：∵BD是△ABC的角平分线，∠1=25° ∴∠ABC=50° ∵∠2=50° ∴∠ABC=∠2 ∴ED//BC. 习题 7.如图，AD是△ABC的角平分线，点E，F分别在AB，AC上，且DE// AC， DF//AB.求证:∠1=∠2. 证明:∵DE∥AC,DF∥AB, ∴∠1=∠CAD,∠2=∠BAD. 又AD平分BAC， ∴∠CAD=∠BAD, ∴∠1=∠2. 8.如图，AD是△ABC的角平分线，E是BC延长线上的一点，∠EAC=∠B. 求证:∠ADE=∠DAE. 习题 证明:∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD. 根据三角形外角的性质，得∠ADE=∠B+∠BAD.又∠EAC =B，∴∠ADE=∠EAC+∠CAD， 即∠ADE=∠DAE. 习题 9.你能把一个三角形分成面积相等的4个三角形吗?试画出相应的图形，并证明你的结论. 10.如图，P是△ABC内的一点，连接PA，PB.求证:AP+BP<AC+BC. 证明:延长AP交BC于点D。 在△ACD中，AC+CD>AD， 在△BDP中，BD+DP>BP 两式相加得:AC+CD+BD+DP>AD+BP 即:AC+ BC>AP+ BP ∴AP+ BP < AC+ BC D 感谢观看 $$