1.1 三角形中的线段和角(第1课时 三角形的边和角)课件-2025-2026学年八年级数学上册（苏科版2024）

苏科版(2024)八年级数学上册 第一章 三角形 1.1 三角形中的线段和角 第1课时 三角形的边和角 目录 02 03 05 06 04 典型例题(含课本例题) 知识点讲解 情景导入 课堂小结与布置作业 课堂练习(分层练习) 01 学习目标 学习目标 1、理解三角形任意两边之和大于第三边。(重点) 2、在同一个三角形中,较大的边所对的角也比较大.并能运用该规律解决生活中的实际问题。(难点) 3、经历摆三角形、画三角形、测量三角形的三边长度的过程, 激发学生对数学的探究兴趣。享受成功的喜悦。 新课导入 我们已经知道三角形的三个内角之和为180 ,那么三角形的三条边之间有什么关系呢? 三角形内角和定理 文字语言 几何语言 图形 三角形三个内角 的和等于180 在 ABC中, ∠A+∠B+∠C=180 知识回顾 知识点讲解 2cm、3cm、6cm ∵2cm+3cm<6cm, ∴无法构成三角形。 6cm 3cm 2cm 能否画出以下列长度的线段为边的三角形?为什么? 尝试 3cm、4cm、7cm ∵3cm+4cm=7cm, ∴无法构成三角形。 7cm 4cm 3cm 尝试 能否画出以下列长度的线段为边的三角形?为什么? a b c 当 b+c < a 时 不能构成三角形 a b c 当 b+c=a 时 不能构成三角形 a b c 只有当 b+c>a 时 三条线段能构成三角形 三角形的三边具有什么关系呢? 1112小 小学里我们学过,三角形两边之和大于第三边。 何证明这个结论呢? 如图1-1,因为BA+AC是连接B,C两点的折线长度,BC是连接B,C两点的线段长度, 根据基本事实“两点之间的所有连线中,线段最短”,可知BA+AC>BC. 同理,AC+CB>AB,AB +BC > AC.于是,我们得到: 三角形的任意两边之和大于第三边。 讨论 三角形的任意两边之差与第三边有何关系?你能证明吗? 【分析】 ∵AB+AC>BC,AC+BC>AB,AB+BC>AC, ∴AB>BC-AC,AC>AB-BC,AB>AC-BC。 A B C 【总结】三角形的任意两边之差小于第三边。 定义与概念 1112小 三角形的三边关系:三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边 典型例题 经典例题 例1.下列长度的三条线段(或满足三条线段长度的比)能组成三角形的有哪些? (1)6 cm,8 cm,10 cm; (2)5 cm,8 cm,2 cm; (3)长度之比为4∶5∶6; (4)a+1,a+2,a+3(a>0) 解题秘方:紧扣“三角形的三边关系”进行判断. 解:(1)∵ 6 cm+8 cm> 10 cm , ∴长度为6 cm ,8 cm ,10 cm 的三条线段能组成三角形. (2)∵ 5 cm+2 cm< 8 cm , ∴长度为5 cm ,8 cm ,2 cm 的三条线段不能组成三角形. 经典例题 (3)设这三条线段的长度分别为4x,5x,6x(x>0). ∵ 4x+5x>6x, ∴长度之比为4∶5∶6 的三条线段能组成三角形. 例1.下列长度的三条线段(或满足三条线段长度的比)能组成三角形的有哪些? (1)6 cm,8 cm,10 cm; (2)5 cm,8 cm,2 cm; (3)长度之比为4∶5∶6; (4)a+1,a+2,a+3(a>0) (4)∵ a+1+a+2=2a+3 ,当a>0 时,2a+3 >a+3, ∴长度为a+1,a+2,a+3(a>0)的三条线段能组成三角形. 综上可知,能组成三角形的有(1)(3)(4). 总结归纳 123123 12133 应用 【判断三条线段能否围成三角形】 如果任意两条线段的长度之和大于第三条线段的长度,那么这三条线段能围成三角形; 精简版——只要较短两条线段长度之和大于第三条线段的长度,那么这三条线段能围成三角形。 典型例题 经典例题 例2(课本例题)如图1-2,在 ABC中,点D在边BC上. 求证:AC+CB>AD +DB. 证明:在 ACD中,AC +CD>AD(三角形两边之和大于第三边), ∴AC +CD+DB>AD +DB(不等式的性质). 即AC+CB>AD +DB. 知识点讲解 问题 如图1-3,在 ABC中,AB>AC,我们可以通过折纸的方式比较∠B和∠C的大小. 把AC沿∠A的平分线AD翻折,如图1-4,因为AB>AC, 所以点C落在边AB上的点C′处.所以∠AC′D=∠C. 由∠AC′D=∠B+∠BDC’,可得∠AC′D>∠B,所以∠C>∠B. 我们已经知道了三角形的三个角之间的关系、三条边之间的关系,那么三角形的边和角之间有什么关系呢? 定义与概念 1112小 在同一个三角形中,较大的角所对的边也比较大. 可以简称为“大角对大边”. 在同一个三角形中,较大的边所对的角也比较大. 可以简称为“大边对大角” 典型例题 经典例题 例3.如图1.1-3,在 ABC中,AC>AB,∠A> ∠B,则下列判断正确的是( ) A. ∠A>∠B>∠C B. ∠B>∠A>∠C C. AC>BC>AB D. AC>AB>BC 解题秘方:根据“在同一个三角形中,大边对大角,大角对大边”进行判断. 解:因为AC>AB,所以∠B>∠C. 因为∠A>∠B,所以∠A>∠B>∠C,BC>AC. 所以BC>AC>AB. A 总结归纳 123123 12133 应用 在同一个三角形中,利用“大边对大角”得出角的大小关系,再由不等式的传递性得到三个角的大小关系.同理可得三边的大小关系. 特别提醒 “同一个”不能省略,如果去掉这个前提,结论就不成立了. 课堂练习 知识点1 三角形的三边关系 1.[2025江苏苏州调研]满足下列条件的三条线段,, 能组成三角形的是 ( ) C A. B., C.,, D.,, 基础题 27 【解析】根据三角形的三边关系可知,任意两边之和大于第三边,任意两边之差 小于第三边. A 设,,分别为,,,则有 ,故不能组成三角形 B 将代入,得,,即 ,故不能组 成三角形 C 符合三角形的三边关系,故能组成三角形 D ,故不能组成三角形 28 2.[2025山西太原期中]王老师有长度分别为, 的两根小棒(如图),如果要把 其中的一根剪成两段,那么在下列选项的剪法中,三根小棒一定能围成三角形的 是( ) B A.将长为的小棒正中间剪一刀 B.将长为 的小棒正中间剪一刀 C.将长为的小棒任意剪一刀 D.将长为 的小棒任意剪一刀 【解析】, 由三角形三边关系得到将长为 的小棒正中间剪一刀,三根 小棒一定能围成三角形.故选B. 29 3.[2025安徽马鞍山期中]三角形的三边长分别为5,7,,则第三边长 的取值 范围是_. 【解析】由题意得第三边长的取值范围是,即 ,故答 案为 . 4.[2025贵州遵义期中]若,,为的三边长,则 _0(填“ ”“ ”或“ ”). 【解析】,,是的三边长,,, , ,,故答案为 . 30 5.[2025上海浦东新区期中]如图,四边形中,是 与的交点,试说明:与的和小于四边形 的周长. 【解】在中,,在 中, ,在中,,在 中, , , 与的和小于四边形 的周长. , , 31 6. [2025北京海淀区质检]如图,为 内任意一点.证明: . 【证明】延长交于点.在中,.在 中, ,, . 同理得, , ,即 . 32 知识点2 三角形的边和角之间的关系 7. 在中,已知 , ,则边,, 中,最长的 是( ) A A. B. C. D.无法确定 【解析】在中, , 中,最大的角是 所对的边是, 最长的是 . 33 8.如图,在中,,为延长线上一点, ,分别交的延 长线、的延长线于,.求证: . 【证明】,.又, , , ,, . 34 易错点 忽略三角形三边关系而致错 9.[2025江苏南京调研]若等腰三角形两边长分别为4,9,则其周长为_. 22 【解析】①若4是腰长,则底边长是9,但是 ,故不能构成三角形,舍去. ②若4是底边长,则腰长是9, ,符合三角形三边关系,成立.故等腰三角 形的周长为 . 易错题 易错警示 对于等腰三角形不能确定哪条边是腰或底边时,要分情况讨论,还要注意判断分 情况后的三条线段能否构成三角形. 35 10.如图,在中, ,, ,点在 边上(不与,两点重合),连接 ,则 的长可能是( ) C A.6 B.5.5 C.4.5 D.3 提升题 11.如图,用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框,不计 螺丝大小,其中相邻两颗螺丝的距离依次为3,4,6,8,且 相邻两根木条的夹角均可以调整,若调整木条的夹角时不破 坏此木框,则任意两颗螺丝的距离的最大值是( ) B A.7 B.10 C.11 D.14 36 12.[2025扬州邗江区月考]已知三角形的三条边长均为整数,其中有一条边长是3, 但它不是最短边,这样的三角形共有_个. 4 13. 定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形 叫作“倍长三角形”.若 是“倍长三角形”,有两条边的长分别为2和3,则第三条 边的长为_. 1.5或4 37 14.如图所示,小明欲从地去 地,有三条路可 走:;; . (1)在没有其他因素影响的情况下,我们可以肯 定小明走①,理由是_; 两点之间,线段最短 (2)小明绝对不会走③,因为③路程最长,即 , 你能说明其原因吗? 解:延长交于点,, , , ,即 . 38 15.(1)如图①,设三角形的三边长分别为 , ,,试说明 ; 解:, , , ,即 . 拓展题 39 (2)如图②,设四边形的四边长依次为,, ,,两条 对角线分别长, ,试说明 . 解:,, , , ,即 , 所以 . 40 课堂小结 本节课同学们学到了什么? 1、三角形三边关系: 三角形的 两边之和大于第三边。 两边之差<第三边<两边之和 2、三角形边、角关系: 在同一个三角形中,较大的边所对的角也比较大.(大角对大边,大边对大角) 任意 布置作业 作业题 教科书第6页练习 第1,2,3题 课本练习 1.下列长度的三条线段能否组成三角形?为什么? (1)1,4,7;(2)3,5,8;(3)5,6,9. 2.如图,在 ABC中,∠C=90 ,比较AB和BC的大小,并说明理由. 解:(1)1+4=5<7,不能组成三角形; (2)3+5=8,不能组成三角形; (3)5+6=11>9,能组成三角形 解:AB>BC根据大角对大边. 3.如图,在 ABC中,∠B=90 ,点D在BC 上,比较AC和AD 的大小,并说明理由。 解:∵在 ADC中∠ADC>∠C ∴AC>AD根据大角对大边. 感谢观看 $$