【数学帮】 三角找规律专题（含答案解析）

杨辉三角找规律专题（含答案解析） 一．选择题（共 7 小题） 1 ．如图，“杨辉三角 ”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一，从图中取一列数 1 ，3 ，6 ，10 ， … , 记 a1 ＝1 ，a2 ＝3 ＝1+2 ，a3 ＝6 ＝1+2+3 ，a4 ＝10 ， … , 那么 a9+a11 - ai ＝83 ，则 i 的值是 ( ) A ．13 B ．10 C ．8 D ．7 2 ．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，利用如图所示的“三角形 ”解释二项式（a+b）n 的展开式的各项系数，此“三角形 ”称为“杨辉三角 ”．如（a+b）3 ＝a3+3a2b+3ab2+b2 其展开式的系数 从左起依次是 1 ，3 ，3 ，1 ，请根据“杨辉三角 ”计算（a+b）8 的展开式中从左起第四项的系数为 ( ) A ．84 B ．56 C ．35 D ．28 3 ．我国古代许多关于数学的发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角 ”就是一例．如图，这个三角形的构 造法则：两腰上的数都是 1 ，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（ n 为正整数） 的 展开式（按 a 的次数由大到小的顺序排列） 的系数规律．例如，第四行的四个数 1 ，3 ，3 ，1 恰好对应着 （a+b）3 ＝a3+3a2b+3ab2+b3 展开式中的系数．请你猜想（a+b）5 的展开式中含 a3b2 项的系数是 ( ) A ．10 B ．12 C ．9 D ．8 4 ．如图是中国宋代的“贾宪三角 ”又称“杨辉三角 ”， 比欧洲的“ 帕斯卡三角 ”早近 600 年，它揭示了二 项式乘方展开式的系数规律 ．观察下列各式及其展开式，请猜想（a+b） 10 展开式中所有项的系数和是 ( ) A ．128 B ．256 C ．512 D ．1024 5 ．如图，在“杨辉三角 ”中，除每行两边的数都是 1 外，其余每个数都是其“肩上 ”的两个数字之和，例 如第 4 行的6 为第 3 行中两个 3 的和．若在“杨辉三角 ”中从第 2 行左边的 1 开始按“锯齿形 ”排列的 箭头所指的数依次构成一个数列：a1 ＝1 ，a2 ＝2 ．a3 ＝3 ，a4 ＝3 ，a5 ＝6 ，a6 ＝4 ，a7 ＝10 ，a8 ＝5… ，则 a99+a100 的值为 ( ) A ．1275 B ．1326 C ．1378 D ．1431 6 ．如表，被称为“杨辉三角 ”或“贾宪三角 ”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“ 1 ”，其余各 数都等于该数“两肩 ”上的数之和．表中两平行线之间的一列数： 1 ，3 ，6 ，10 ，15 ， … , 我们把第一个 数记为 a1 ，第二个数记为 a2 ，第三个数记为 a3 ， … , 第 n 个数记为 an ，则 a6+a199 的值为 ( ) A ．19900 B ．19915 C ．19921 D ．19934 7 ．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，下面的图表是他在《详解九章算术》 中记载的“杨辉三角 ”．此 图揭示了（a+b）n（ n 为非负整数） 的展开式的项数及各项系数的有关规律， 由此规律可解决如下问题： 假如今天是星期三，再过 7 天还是星期三，那么再过 821天是 ( ) A ．星期五 B ．星期四 C ．星期三 D ．星期二 二．填空题（共 9 小题） 8 ．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角 ”从图中取一列数： 1 ，3 ，6， 10 ， … , 记 a1 ＝1 ，a2 ＝3 ，a3 ＝6 ，a4 ＝10 ， … , 那么 a4+a11 - 2a10+10 的值是 ． 9 ．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角 ”，从图中取一列数： 1 ，3 ，6， 10 ， … , 分别记为 a1 ＝1 ，a2 ＝3 ，a3 ＝6 ，a4 ＝10 ， … , 那么 a11 的值是 ． 10 ．如图， 图 1 是“杨辉三角 ”数阵； 图 2 是（a+b）n 的展开式（按 b 的升幂排列）．若（1+x）45 的展开 式 按 x 的 升 幂 排 列 得 ： （ 1+x ） 45 ＝ a0+a1x+a2x2+ … +a45x45 ， 则 a2 = . 11 ．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用下图的三角形解释二项式（a+b）n 的展开式 的各项系数，此三角形称为“杨辉三角 ”. （a+b）0 1 （a+b）1 1 1 （a+b）2 1 2 1 （a+b）3 1 3 3 1 （a+b）4 1 4 6 4 1 （a+b）5 1 5 10 10 5 1 … 根据“杨辉三角 ”，请计算（a+b）8 的展开式中从左起第四项的系数为 . 12 ．如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角 ”，它的发现比西方要早五百年左右， 由此可 见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的!“杨辉三角 ”中有许多规律，如它的每一行的数字正 好对应了（a+b）n（n 为非负整数） 的展开式中 a 按次数从大到小排列的想的系数，例如，（a+b）2 ＝a2+2ab+b2 展开式中的系数 1 、2 、1 恰好对应图中第三行的数字；再如，（a+b）3 ＝a3+3a2b+3ab2+b3 展开式中的系 数 1 ，3 ，3 ， 1 恰好对应图中第四行的数字 ．请认真观察此图 ，写出（a+b） 4 的展开式 ，（a+b） 4 = , 这是个 次 项式. 13 ．如图是南宋数学家杨辉在《详解九章算法》 中出现的三角形状的数阵，又称为“杨辉三角形 ”．该三角 形 中 的 数 据 排 列 有 着 一 定 的 规 律 ． 按 此 规 律 排 列 下 去 ， 第 n 行 （ n ≥ 3 ） 的 左 边 第 3 个 数 是 ．（用含 n 的代数式表示） 14 ．如表被称为“杨辉三角 ”或“贾宪三角 ”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“ 1 ”，其余各数 都等于该数“两肩 ”上的数之和．表中两平行线之间的一列数： 1 ，3 ，6 ，10 ，15 ， … , 我们把第一个数记 为 a1 ，第二个数记为 a2 ，第三个数记为 a3 ， … , 第 n 个数记为 an ，则 a6 ＝ ，a200 = . 15 ．将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称莱布尼茨三角形，若用有 序实数对（m ，n），表示第 m 行，从左到右第 n 个数，如（4 ，2）表示分数 ，那么（8 ，2）表示的分 数是 ． 16 ．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角 ”．从图中取一列数： 1 ，3 ，6， 10 ， …… ；记 a1 ＝1 ，a2 ＝3 ，a3 ＝6 ，a4 ＝10 ， …… , 那么 a8+a11 - 2a10+16 的值是 ． 三．解答题（共 4 小题） 17 ．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角 ”就是一例．它给出了（a+b）n（ n 为正 整数） 的展开式（按 a 的次数由大到小的顺序排列） 的系数规律．例如（如图），在三角形中第三行的三 个数 1 ，2 ，1 ，恰好对应（a+b）2 ＝a2+2ab+b2 展开式中的系数. （1）根据上面的规律，写出（a+b）4 的展开式； （2）利用上面的规律计算：25 - 5 ×24+10×23 - 10×22+5×2 - 1 . 18 ．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角 ”就是一例 ．如图，这个三角形的构造 法则：两腰上的数都是 1 ，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（ n 为正整数） 的展 开式（按 a 的次数由大到小的顺序排列） 的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数 1 ，2 ，1 ，恰 好对应（a+b）2 ＝a2 +2ab+b2 展开式中的系数； 第四行的四个数 1 ，3 ，3 ， 1 ，恰好对应着（a+b）3 = a3+3a2b+3ab2+b2 展开式中的系数等等. （1 ）根据上面的规律，则（a+b）5 的展开式= . （2）（a+b）n 的展开式共有 项，系数和为 . （3）利用上面的规律计算：25 - 5 ×24+10×23 - 10×22+5×2 - 1 . （4）运用：若今天是星期二，经过 8100天后是星期 . 19 ．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角 ”就是一例，如图，这个三角形的构造 法则：两腰上的数都是 1 ，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（ n 为正整数） 的展 开式（按 a 的次数由大到小的顺序排列） 的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数 1 ，2 ，1 ，恰 好对应（a+b）2 ＝a2 +2ab+b2 展开式中的系数； 第四行的四个数 1 ，3 ，3 ， 1 ，恰好对应着（a+b）3 = a3+3a2b+3ab2+b3 展开式中的系数. （1）根据上面的规律，写出（a+b）5 的展开式： . （2）利用上面的规律计算：35 - 5 ×34+10×33 - 10×32+5×3 - 1 . （3）此外， “杨辉三角 ”还蕴含着很多数字规律，请你找一找，根据规律写出二项式（a+b）n（n＞3） 的展开式中 a2bn - 2 项的系数： . 20 ．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角 ”就是一例 ．下面我们依次对（a+b）n 展开式的各项系数进一步研究发现，当 n 取正整数时可以单独列成表中的形式： 例如，在三角形中第二行的三个数 1 ，2 ，1 ，恰好对应（a+b）2 ＝a2+2ab+b2 展开式中的系数， （1）根据表中规律，写出（a+b）5 的展开式； （2）多项式（a+b）n 的展开式是一个几次几项式？ 并预测第三项的系数； （3）请你猜想多项式（a+b）n（n 取正整数） 的展开式的各项系数之和（结果用含字母 n 的代数式表示）； （4）利用表中规律计算：25 - 5 ×24+10×23 - 10×22+5×2 - 1（不用表中规律计算不给分）. 杨辉三角找规律专题（含答案解析） 一．选择题（共 7 小题） 1 ．如图，“杨辉三角 ”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一，从图中取一列数 1 ，3 ，6 ，10 ， … , 记 a1 ＝1 ，a2 ＝3 ＝1+2 ，a3 ＝6 ＝1+2+3 ，a4 ＝10 ， … , 那么 a9+a11 - ai ＝83 ，则 i 的值是 ( ) A ．13 B ．10 C ．8 D ．7 【分析】 由已知数列得出 an＝1+2+3+…+n ＝ ，再求出 a9 、ai 、a11 的值，代入计算可得． 【解答】解： 由 a1 ＝1 ，a2 ＝3 ，a3 ＝6 ，a4 ＝10 ， … , 知 an＝1+2+3+…+n = , ∴a9 ＝ ＝45 、ai ＝ 、a11 ＝ ＝66， 则 a9+a11 - ai ＝83， 可得：45+66 - ＝83， 解得：i ＝7， 故选：D． 【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知数列得出 an ＝1+2+3+…+n = , 2 ．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，利用如图所示的“三角形 ”解释二项式（a+b）n 的展开式的各项系数，此“三角形 ”称为“杨辉三角 ”．如（a+b）3 ＝a3+3a2b+3ab2+b2 其展开式的系数 从左起依次是 1 ，3 ，3 ，1 ，请根据“杨辉三角 ”计算（a+b）8 的展开式中从左起第四项的系数为 ( ) A ．84 B ．56 C ．35 D ．28 【分析】根据“杨辉三角 ”的规律求出所求即可． 【解答】解：根据“杨辉三角 ”得： （a+b）7 的展开式中的系数分别为 1 ，7 ，21 ，35 ，35 ，21 ，7 ，1， （a+b）8 的展开式中的系数分别为 1 ，8 ，28 ，56 ，70 ，56 ，28 ，8 ，1， 则（a+b）8 的展开式中从左起第四项的系数为 56， 故选：B . 【点评】 此题考查了数字变化规律，熟练掌握杨辉三角形的变化规律是解本题的关键. 3 ．我国古代许多关于数学的发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角 ”就是一例．如图，这个三角形的构 造法则：两腰上的数都是 1 ，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n 为正整数） 的 展开式（按 a 的次数由大到小的顺序排列） 的系数规律．例如，第四行的四个数 1 ，3 ，3 ，1 恰好对应着 （a+b）3 ＝a3+3a2b+3ab2+b3 展开式中的系数．请你猜想（a+b）5 的展开式中含 a3b2 项的系数是 ( ) A ．10 B ．12 C ．9 D ．8 【分析】 由（a+b）＝a+b ，（a+b）2 ＝a2+2ab+b2 ，（a+b）3 ＝a3+3a2b+3ab2+b3 可得（a+b）n 的各项展开 式的系数除首尾两项都是 1 外，其余各项系数都等于（a+b）n - 1 的相邻两个系数的和， 由此可得（a+b） 4 的各项系数依次为 1 、4 、6 、4 、1 ；因此（a+b）5 的各项系数依次为 1 、5 、10 、10 、5 、1 ，从而可得 答案. 【解答】解：（a+b）5 ＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5， ∴含 a3b2 项的系数是 10， 故选：A . 【点评】 本题考查了完全平方公式，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规 律，是快速解题的关键. 4 ．如图是中国宋代的“贾宪三角 ”又称“杨辉三角 ”， 比欧洲的“ 帕斯卡三角 ”早近 600 年，它揭示了二 项式乘方展开式的系数规律 ．观察下列各式及其展开式，请猜想（a+b） 10 展开式中所有项的系数和是 ( ) A ．128 B ．256 C ．512 D ．1024 【分析】根据“杨辉三角 ”中系数规律确定出所求系数，并求出系数之和即可. 【解答】解：当 n ＝1 、2 、3 、4 、 …时， （a+b）n 展开式的各项系数之和分别为 2 、4 、8 、16 、 …， 由此可知（a+b）n 展开式的各项系数之和为 2n， 所以（a+b）10 展开式中所有项的系数和是 210 ＝1024 . 故选：D . 【点评】 此题考查了整式的运算和规律探索，弄清“杨辉三角 ”中系数规律是解本题的关键. 5 ．如图，在“杨辉三角 ”中，除每行两边的数都是 1 外，其余每个数都是其“肩上 ”的两个数字之和，例 如第 4 行的6 为第 3 行中两个 3 的和．若在“杨辉三角 ”中从第 2 行左边的 1 开始按“锯齿形 ”排列的 箭头所指的数依次构成一个数列：a1 ＝1 ，a2 ＝2 ．a3 ＝3 ，a4 ＝3 ，a5 ＝6 ，a6 ＝4 ，a7 ＝10 ，a8 ＝5… ，则 a99+a100 的值为 ( ) A ．1275 B ．1326 C ．1378 D ．1431 【分析】根据图中的数据，可以发现数字的变化特点，从而可以计算出 a99+a100 的值. 【解答】解： 由图可得， 第偶数项对应的数是一些连续的自然数，从 2 开始， 第奇数项对应的数是一些连续的整数相加，从 1 开始， ∴a99+a100 =（1+2+3+…+50）+ [（100÷2）+1] = +（50+1） = 1275+51 = 1326， 故选：B． 【点评】 本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的 值． 6 ．如表，被称为“杨辉三角 ”或“贾宪三角 ”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“ 1 ”，其余各 数都等于该数“两肩 ”上的数之和．表中两平行线之间的一列数： 1 ，3 ，6 ，10 ，15 ， … , 我们把第一个 数记为 a1 ，第二个数记为 a2 ，第三个数记为 a3 ， … , 第 n 个数记为 an ，则 a6+a199 的值为 ( ) A ．19900 B ．19915 C ．19921 D ．19934 【分析】根据图中的数据，可以写出这列数的前几项，从而可以数字的变化特点，然后即可计算出 a6+a199 的值． 【解答】解： 由图可得， a1 ＝1， a2 ＝3 ＝1+2， a3 ＝6 ＝1+2+3， a4 ＝10 ＝1+2+3+4， a5 ＝15 ＝1+2+3+4+5， ∴a6 ＝1+2+3+4+5+6 ＝21 ，a199 ＝1+2+…+199 ＝ ＝19900， ∴a6+a199 ＝21+19900 ＝19921， 故选：C． 【点评】 本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的 值 7 ．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，下面的图表是他在《详解九章算术》 中记载的“杨辉三角 ”．此 图揭示了（a+b）n（ n 为非负整数） 的展开式的项数及各项系数的有关规律， 由此规律可解决如下问题： 假如今天是星期三，再过 7 天还是星期三，那么再过 821天是 ( ) A ．星期五 B ．星期四 C ．星期三 D ．星期二 【分析】根据 821 ＝（7+1）21 ＝721+21 ×720+…+21×7+1 可知 821 除以 7 的余数为 1 ，从而可得答案． 【解答】解： ∵821 ＝（7+1）21 ＝721+21 ×720+…+21×7+1， ∴821 除以 7 的余数为 1， ∴假如今天是星期三，那么再过 821天是星期四． 故选：B． 【点评】本题考查了完全平方公式，能发现（a+b）n 展开后，各项是按 a 的降幂排列的，系数依次是从 左到右（a+b）n - 1 系数之和．它的两端都是由数字 1 组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和． 二．填空题（共 9 小题） 8 ．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角 ”从图中取一列数： 1 ，3 ，6， 10 ， … , 记 a1 ＝1 ，a2 ＝3 ，a3 ＝6 ，a4 ＝10 ， … , 那么 a4+a11 - 2a10+10 的值是 - 24 ． 【分析】根据 a1 ＝1 ，a2 ＝3 ，a3 ＝6 ，a4 ＝10 ， … , 可以用 n 的代数式表示出 an ，从而可以得到 a4 、a11、 a10 的值，进而可以求得所求式子的值． 【解答】解： ∵a1 ＝1 ，a2 ＝1+2 ＝3 ，a3 ＝1+2+3 ＝6 ，a4 ＝1+2+3+4 ＝10 ， … , ∴an＝1+2+3+…+n = , ∴当 n ＝4 时，a4 ＝ ＝10 ，a11 ＝ ＝66 ，a10 ＝ ＝55， ∴a4+a11 - 2a10+10 = 10+66 - 2×55+10 = 10+66 - 110+10 = - 24， 故答案为： - 24． 【点评】 本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数列中数的变化特点，可以写出 an 的表达式，求出所求式子的值． 9 ．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角 ”，从图中取一列数： 1 ，3 ，6， 10 ， … , 分别记为 a1 ＝1 ，a2 ＝3 ，a3 ＝6 ，a4 ＝10 ， … , 那么 a11 的值是 66 ． 【分析】本题通过对数据的分析可知第 n 项是 ，进而得到答案． 【解答】解：第一个数为： ， 第二个数为：， 第三个数为：， 第四个数为：， … 第 n 个数为：， 所以． 故答案为：66． 【点评】 本题是一道找规律的题目，要求学生有很好的观察，分析，归纳的能力，从数据中找出规律是 解决问题的关键． 10 ．如图， 图 1 是“杨辉三角 ”数阵； 图 2 是（a+b）n 的展开式（按 b 的升幂排列）．若（1+x）45 的展开 式 按 x 的 升 幂 排 列 得 ： （ 1+x ） 45 ＝ a0+a1x+a2x2+ … +a45x45 ， 则 a2 = 990 . 【分析】根据图形中的规律即可求出（1+x）45 的展开式中第三项的系数为前 44 个数的和，计算得到结 论. 【解答】解： 由图 2 知：（a+b） 1 的第三项系数为 0， （a+b）2 的第三项的系数为： 1， （a+b）3 的第三项的系数为：3 ＝1+2， （a+b）4 的第三项的系数为：6 ＝1+2+3， … ∴发现（1+x）3 的第三项系数为：3 ＝1+2； （1+x）4 的第三项系数为 6 ＝1+2+3； （1+x）5 的第三项系数为 10 ＝1+2+3+4； 不难发现（1+x）n 的第三项系数为 1+2+3+…+（n - 2）+（n - 1）， ∴（1+x）45 ＝a0+a1x+a2x2+…+a45x45 ，则 a2 ＝1+2+3+…+44 = =99 0 ； 故答案为：990 . 【点评】 本题考查了完全平方式，也是数字类的规律题，首先根据图形中数字找出对应的规律，再表示 展开式：对应（a+b）n 中，相同字母 a 的指数是从高到低，相同字母b 的指数是从低到高. 11 ．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》 一书中，用下图的三角形解释二项式（a+b）n 的展开式 的各项系数，此三角形称为“杨辉三角 ”. （a+b）0 1 （a+b）1 1 1 （a+b）2 1 2 1 （a+b）3 1 3 3 1 （a+b）4 1 4 6 4 1 （a+b）5 1 5 10 10 5 1 … 根据“杨辉三角 ”，请计算（a+b）8 的展开式中从左起第四项的系数为 56 . 【分析】根据图形中的规律即可求出（a+b）8 的展开式中从左起第四项的系数. 【解答】解：找规律发现（a+b）4 的第四项系数为 4 ＝3+1； （a+b）5 的第四项系数为 10 ＝6+4； （a+b）6 的第四项系数为 20 ＝10+10； （a+b）7 的第四项系数为 35 ＝15+20； ∴（a+b）8 第四项系数为 21+35 ＝56 . 故答案为：56 . 【点评】 此题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问 题的能力. 12 ．如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角 ”，它的发现比西方要早五百年左右， 由此可 见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的!“杨辉三角 ”中有许多规律，如它的每一行的数字正 好对应了（a+b）n（n 为非负整数） 的展开式中 a 按次数从大到小排列的想的系数，例如，（a+b）2 ＝a2+2ab+b2 展开式中的系数 1 、2 、 1 恰好对应图中第三行的数字；再如，（a+b）3 ＝a3+3a2b+3ab2+b3 展开式中的系 数 1 ，3 ，3 ， 1 恰好对应图中第四行的数字 ．请认真观察此图 ，写出（a+b） 4 的展开式 ，（a+b） 4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 ，这是个 四 次 五 项式. 【分析】 由（a+b）＝a+b ，（a+b）2 ＝a2+2ab+b2 ，（a+b）3 ＝a3+3a2b+3ab2+b3 可得（a+b）n 的各项展开 式的系数除首尾两项都是 1 外，其余各项系数都等于（a+b）n - 1 的相邻两个系数的和， 由此可得（a+b） 4 的各项系数依次为 1 、4 、6 、4 、1 . 【解答】解：根据题意得：（a+b）4 ＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 . 这是个四次五项式. 故答案为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 ， 四，五. 【点评】 此题考查了完全平方公式、观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律是解 题的关键. 13 ．如图是南宋数学家杨辉在《详解九章算法》 中出现的三角形状的数阵，又称为“杨辉三角形 ”．该三角 形 中的 数 据 排 列 有 着 一 定 的 规 律 ． 按 此 规 律 排 列 下 去 ， 第 n 行（ n ≥ 3 ） 的 左 边 第 3 个 数 是 【分析】观察数字的变化写出第 3 行开始的每一行的左边第 3 个数，寻找规律即可求出第 n 行的左边第 3 个数． 【解答】解：观察数字的变化发现： 第 3 行的左边第 3 个数是 1 = , 第 4 行的左边第 3 个数是 3 = , 第 5 行的左边第 3 个数是 6 = , 第 6 行的左边第 3 个数是 … 第 n 行（n≥3） 的左边第 3 个数是= . 故答案为： ． 【点评】 本题考查了规律型 - 数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律． 14 ．如表被称为“杨辉三角 ”或“贾宪三角 ”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“ 1 ”，其余各数 都等于该数“两肩 ”上的数之和．表中两平行线之间的一列数： 1 ，3 ，6 ，10 ，15 ， … , 我们把第一个数 记为 a1 ，第二个数记为 a2 ，第三个数记为 a3 ， … , 第 n 个数记为 an ，则 a6 ＝ 21 ，a200 ＝ 20100 ． 【分析】根据题目中的数据，可以写出前几项，从而可以数字的变化特点，然后即可得到 a6和 a200 的值． 【解答】解： 由题意可得， a1 ＝1， a2 ＝1+2 ＝3， a3 ＝1+2+3 ＝6， a4 ＝1+2+3+4 ＝10， a5 ＝1+2+3+4+5 ＝15， ( , )… ∴an＝1+2+3+…+n = , ∴当 n ＝6 时，a6 ＝ ＝21， 当 n ＝200 时，a200 ＝ ＝20100， 故答案为：21 ，20100 . 【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求项的值. 15 ．将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称莱布尼茨三角形，若用有 序实数对（m ，n），表示第 m 行，从左到右第 n 个数，如（4 ，2）表示分数 ，那么（8 ，2）表示的分 数是 . 【分析】 观察图表寻找规律： 是第几行就有几个分数； 每行每个分数的分子都是 1 ；每行第一个分数的 分母为行号，如第 n 行为 ，第二个的分母为；每行首尾对称 ．据此规律解答. 【解答】解：观察图表可知以下规律： ①是第几行就有几个分数； ②每行每个分数的分子都是 1； ③每行第一个分数的分母为行号，如第 n 行为 ，第二个的分母为； ④每行首尾对称. 故（8 ，2）表示第 8 行，从左到右第 2 个数，即 ． 故答案为 ． 【点评】本题属于规律型，考查数字的规律，观察图表寻找规律是解题的关键． 16 ．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角 ”．从图中取一列数： 1 ，3 ，6， 10 ， …… ；记 a1 ＝1 ，a2 ＝3 ，a3 ＝6 ，a4 ＝10 ， …… , 那么 a8+a11 - 2a10+16 的值是 8 ． 【分析】根据数字的规律归纳出 an 的表达式即可． 【解答】解： 由 a1 ＝1 ，a2 ＝3 ，a3 ＝6 ，a4 ＝10 ， …… , 知 an ＝1+2+3+4+5+. ..+n = , ( = 66 ， )∴a8 ＝ ＝36 ，a10 ＝ ＝55 ，a11 = ∴a8+a11 - 2a10+16 ＝8； 故答案为 8． 【点评】本题考查杨辉三角中部分数字的规律，难点在于归纳出 an 的表达式． 三．解答题（共 4 小题） 17 ．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角 ”就是一例．它给出了（a+b）n（ n 为正 整数） 的展开式（按 a 的次数由大到小的顺序排列） 的系数规律．例如（如图），在三角形中第三行的三 个数 1 ，2 ，1 ，恰好对应（a+b）2 ＝a2+2ab+b2 展开式中的系数． （1）根据上面的规律，写出（a+b）4 的展开式； （2）利用上面的规律计算：25 - 5 ×24+10×23 - 10×22+5×2 - 1． 【分析】 （1） 由（a+b）＝a+b ，（a+b）2 ＝a2+2ab+b2 ，（a+b）3 ＝a3+3a2b+3ab2+b3 可得（a+b）n 的各项 展开式的系数除首尾两项都是 1 外，其余各项系数都等于（a+b）n - 1 的相邻两个系数的和， 由此可得（a+b） 4 的各项系数依次为 1 、4 、6 、4 、1； （2）结合（1）即可得（a+b）n 的展开式的项和系数和，将 25 - 5×24+10×23 - 10×22+5×2 - 1 写成“杨 辉三角 ”的展开式形式， 即可得结果. 【解答】解：（1）根据上面的规律可知： （a+b）4 ＝a4+4a3b+6a2b+4ab2+b4； （2）结合（1）可知： （a+b）n 的展开式共有（n+1）项，系数和为 2n . ∵（a+b）5 ＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5， ∴25 - 5×24+10×23 - 10×22+5×2 - 1 ＝（2 - 1）5 ＝15 ＝1 . 【点评】本题考查了完全平方公式，注意：（a+b）2 ＝a2+2ab+b2 ，（a - b）2 ＝a2 - 2ab+b2 . 18 ．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角 ”就是一例 ．如图，这个三角形的构造 法则：两腰上的数都是 1 ，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（ n 为正整数） 的展 开式（按 a 的次数由大到小的顺序排列） 的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数 1 ，2 ，1 ，恰 好对应（a+b）2 ＝a2+2ab+b2 展开式中的系数； 第四行的四个数 1 ，3 ，3 ， 1 ，恰好对应着（a+b） 3 = a3+3a2b+3ab2+b2 展开式中的系数等等. （1）根据上面的规律，则（a+b）5 的展开式＝ a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 . （2）（a+b）n 的展开式共有 （n+1） 项，系数和为 2n . （3）利用上面的规律计算：25 - 5 ×24+10×23 - 10×22+5×2 - 1 . （4）运用：若今天是星期二，经过 8100天后是星期 三 . 【分析】 （1） 由（a+b）＝a+b ，（a+b）2 ＝a2+2ab+b2 ，（a+b）3 ＝a3+3a2b+3ab2+b3 可得（a+b）n 的各项 展开式的系数除首尾两项都是 1 外，其余各项系数都等于（a+b）n - 1 的相邻两个系数的和， 由此可得（a+b） 4 的各项系数依次为 1 、4 、6 、4 、1 ；因此（a+b）5 的各项系数依次为 1 、5 、10 、10 、5 、1； （2）结合（1） 即可得（a+b）n 的展开式的项和系数和； （3）将 25 - 5×24+10×23 - 10×22+5×2 - 1 写成“杨辉三角 ”的展开式形式，即可得结果； （4） 展开 8100后看最后一项即可得结论. 【解答】 解：（1） 根据上面的规律可知： （a+b）5 ＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5； 故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5； （2）结合（1）可知： （a+b）n 的展开式共有（n+1）项，系数和为 2n . 故答案为：（n+1），2n； （3） ∵（a+b）5 ＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5， ∴25 - 5×24+10×23 - 10×22+5×2 - 1 ＝（2 - 1）5 ＝15 ＝1； （4） ∵8100 ＝（7+1）100 的最后一项是 1 ， ∴今天是星期二，经过 8100天后是星期三； 故答案为： 三. 【点评】 本题考查了完全平方公式，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规 律，是快速解题的关键. 19 ．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角 ”就是一例，如图，这个三角形的构造 法则：两腰上的数都是 1 ，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（ n 为正整数） 的展 开式（按 a 的次数由大到小的顺序排列） 的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数 1 ，2 ，1 ，恰 好对应（a+b）2 ＝a2+2ab+b2 展开式中的系数； 第四行的四个数 1 ，3 ，3 ， 1 ，恰好对应着（a+b） 3 = a3+3a2b+3ab2+b3 展开式中的系数. （1）根据上面的规律，写出（a+b）5 的展开式： （a+b）5 ＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 . （2）利用上面的规律计算：35 - 5 ×34+10×33 - 10×32+5×3 - 1 . （3）此外， “杨辉三角 ”还蕴含着很多数字规律，请你找一找，根据规律写出二项式（a+b）n（n＞3） 的展开式中 a2bn - 2 项的系数 . 【分析】 （1）经过观察发现，这些数字组成的三角形是等腰三角形，两腰上的数都是 1 ，从第 3 行开始， 中间的每一个数都等于它肩上两个数字之和，展开式的项数比它的指数多 1 ．根据上面观察的规律很容 易解答问题； （2）逆用（a+b）5 的展开式即可求解； （3）每一行的数字的和分别是： 1 ，2 ，4 ，8 ，16… ；则第 m 行的数字和是 2m - 1 ；a2bn - 2 项的系数是： 1+2+3+…+（n - 1），求解即可. 【解答】解：（1）（a+b）5 的展开式：（a+b）5 ＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 . 故答案为：（a+b）5 ＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5； （2）35 - 5×34+10×33 - 10×32+5 ×3 - 1 ＝（3 - 1）5 ＝25 ＝32； （3）将每一行的数字相加，则得数字串： 1 ，2 ，4 ，8 ，16… ，则第 m 行的数字和是 2m - 1； 学科网（北京）股份有限公司 a2bn - 2 的系数是： 1+2+3+…+（n - 1） ＝ [（n - 1）+1]• 故答案为： n2 - n . = n2 - 学科网（北京）股份有限公司 ∴（a+b）n 的第三项系数为 1+2+3+…+（ n - 2）+（ n - 1）= ; （3） ∵（a+b）1 的展开式的各项系数之和 1+1 ＝2 ＝21， （a+b）2 的展开式的各项系数之和 1+2+1 ＝4 ＝22， （a+b）3 的展开式的各项系数之和 1+3+3+1 ＝8 ＝23， （a+b）4 的展开式的各项系数之和 1+4+6+4+1 ＝16 ＝24， ( , )… ∴（a+b）n（ n 取正整数） 的展开式的各项系数之和是 2n； （4）25 - 5×24+10×23 - 10×22+5×2 - 1 =25+5×24 × ( - 1）+10×23 × ( - 1）2+10×22× ( - 1）3+5×2× ( - 1）4+ ( - 1）5 = [2+ ( - 1）]5 =（2 - 1 ） 5 = 15 = 1 . 【点评】 本题考查数字的变化类、列代数式、多项式，解答本题的关键是明确题意，发现多项式系数的 变化特点，求出所求式子的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$