【数学帮】圆的周长和面积专题（含答案解析）

圆的周长和面积 类型一：圆、圆环的周长 1 ．一只挂钟的分针长 10cm 。经过 30 分钟后，分针的尖端所走的路程是多少？ 2 ．一个圆形花圃周长是 18.84 米，现在要扩建，将半径增加它的 ，花圃周长增加了多少米？ 3 ．已知一个正方形的周长是 40cm ，在这个正方形中内接一个最大的圆（如图），这个圆的周 长是多少厘米？（最后结果保留一位小数） 4 ．有一个边长为 4 厘米的等边三角形，现将它按如图所示顺时针滚动，请问 B 点从开始到结 束，滚动的轨迹总长度是多少厘米？ 第 1页（共 13页） 类型二：圆、圆环的面积 5 ．一块正方形钢板，边长是 80 厘米，刚好可以从上面裁剪出4 个最大的圆且 4 个圆一样大。 剪掉的边角料的面积是多少平方厘米？ 6 ．为了奖励阿凡提的机智勇敢，国王给阿凡提一根长 314 米的绳子，让他用这根绳子圈一块 圆形土地，圈出的土地奖给他。阿凡提最多能圈一块多少平方米的土地？ 7 ．玉碧是一种中央有穿孔的扁平状圆形玉器，为我国传统的玉礼器之一，也是“六瑞”之一。 有一种形式是光素无纹的素面璧，如图所示的素面璧外圆半径是 8cm ，内圆直径是 6cm， 厚 0.4cm 。这块玉璧正面的面积是多少？（计算时，厚度忽略不计） 8 ．一根绳子长 37.68 分米，正好可以在大树的树干上绕 3 圈，这棵大树树干的横截面面积是 多少？ 9．爷爷用 18.84m 长的篱笆靠墙围了一个半圆形的鸡舍。这个鸡舍的面积是多少平方米？爷爷 觉得鸡舍面积小，又沿着篱笆外围拓宽了 1 米，鸡舍面积扩大了多少平方米？ 第 2页（共 13页） 学科网（北京）股份有限公司 10 ．强强在网上看到这样一件事： 有一天，小明和妈妈去吃披萨，他们准备买一张 12 寸（披萨的直径）的披萨。可 是店里 12 寸的披萨刚刚卖完，服务员说：“可以给您换两张 6 寸的披萨吗？它们 合起来应该和 12 寸的披萨同样大。”（1 寸≈3.3 厘米） 请你运用学过的数学知识判断服务员说得是否合理？请说明理由。 类型三：不规则图形的周长、面积 11 ．为了更好地关爱留守儿童，“红马甲”志愿者组织留守儿童开展了“幸福营养站”“天使助 手”“幸福课堂”“健康义诊”等一系列关爱活动。在幸福课堂上，志愿者和孩子们在下面的活 动场地（如图）开展了一场趣味运动会。 （1）这个活动场地的面积是多少平方米？ （2）小志沿这个活动场地的四周跑了 3 圈。他一共跑了多少 米？ 12 ．求下面阴影部分的面积．（单位：cm） 第 3页（共 13页） 学科网（北京）股份有限公司 13 ．求如图图形的阴影部分的面积和周长． 14 ．计算图中阴影部分的面积。 15 ．已知扇形的周长是 26.84 厘米，O 是扇形的圆心，阴影部分的面积是多少平方厘米？ 16 ．图中阴影部分的面积是 15 平方厘米，求环形的面积。 第 4页（共 13页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案及解析 类型一：圆、圆环的周长 1 ．一只挂钟的分针长 10cm 。经过 30 分钟后，分针的尖端所走的路程是多少？ 【分析】根据生活经验可知，分针 1 小时转一圈，经过 30 分钟，分针转了半圈，根据圆的 周长公式： C＝2πr ，把数据代入公式解答。 【解答】解：2×3. 14×10÷2 =62.8÷2 =31.4（厘米） 答：分针的尖端所走的路程是 31.4 厘米。 【点评】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 2 ．一个圆形花圃周长是 18.84 米，现在要扩建，将半径增加它的 ，花圃周长增加了多少米？ 【分析】根据圆的周长公式：C ＝2πr ，因为圆周率是一定的，所以圆的周长和半径成正比 例，因此可知，扩建后半径增加它的 ，也就是扩建后花圃周长增加 把原来的周长看作单 位“1” ，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法解答。 解 （米） 答：花圃周长增加了 6.28 米。 【点评】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是明确：扩建后半径增加它的 ，也 就是扩建后花圃周长增加 3 ．已知一个正方形的周长是 40cm ，在这个正方形中内接一个最大的圆（如图），这个圆的周 长是多少厘米？（最后结果保留一位小数） 【分析】通过观察图形可知，这个圆的直径等于正方形的边长，根据正方形的周长公式： C＝4a ，那么 a ＝C÷4，据此求出正方形的边长，再根据圆的周长公式：C = πd，把数据代入 公式解答。 第 5页（共 13页） 学科网（北京）股份有限公司 【解答】解：3. 14×（40÷4） =3. 14×10 =31.4（厘米） 答：这个圆的周长是 31.4 厘米。 【点评】此题主要考查正方形的周长公式、圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 4 ．有一个边长为 4 厘米的等边三角形，现将它按如图所示顺时针滚动，请问 B 点从开始到结 束，滚动的轨迹总长度是多少厘米？ 【分析】通过观察图形可知，B 点每滚动一次，B 点运行的轨迹是以旋转点为圆心，以半径 是 4 厘米，圆心角是 120 度的圆弧．图中的 B 点共移动了三次，也就是 B 点从开始到结束， 滚动的轨迹总长度相当于一个半径为 4 厘米的圆的周长，根据圆的周长公式：C ＝2πr ，把 数据代入公式解答。 【解答】解：2×3. 14×4 ＝25.12（厘米） 答：B 点从开始到结束，滚动的轨迹总长度是 25. 12 厘米。 【点评】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 类型二：圆、圆环的面积 5 ．一块正方形钢板，边长是 80 厘米，刚好可以从上面裁剪出4 个最大的圆且 4 个圆一样大。 剪掉的边角料的面积是多少平方厘米？ 【分析】由题意可知，每个圆的直径等于正方形边长的一半，用正方形的面积减去 4 个圆 面积即可。 【解答】解：80÷2 ＝40（厘米） 80×80 -3. 14×（40÷2）2 ×4 =6400 -5024 = 1376（平方厘米） 答：剪掉的边角料的面积是 1376 平方厘米。 【点评】解答本题的关键是分析出圆的直径等于正方形边长的一半，熟练掌握正方形和圆 第 6页（共 13页） 学科网（北京）股份有限公司 面积公式。 6 ．为了奖励阿凡提的机智勇敢，国王给阿凡提一根长 314 米的绳子，让他用这根绳子圈一块 圆形土地，圈出的土地奖给他。阿凡提最多能圈一块多少平方米的土地？ 【分析】根据圆的周长公式：C ＝2πr，那么 r ＝C÷π =2，据此求出半径，再根据圆的面积公 式：S= πr2 ，把数据代入公式解答。 【解答】解：3. 14×（314÷3.14÷2）2 =3. 14×2500 =7850（平方米） 答：阿凡提最多能圈一块 7850 平方米的土地。 【点评】此题主要考查圆的周长公式、面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 7 ．玉碧是一种中央有穿孔的扁平状圆形玉器，为我国传统的玉礼器之一，也是“六瑞”之一。 有一种形式是光素无纹的素面璧，如图所示的素面璧外圆半径是 8cm ，内圆直径是 6cm， 厚 0.4cm 。这块玉璧正面的面积是多少？（计算时，厚度忽略不计） 【分析】根据环形面积公式：S= π（R2 -r2），把数据代入公式解答。 【解答】解：6÷2 ＝3（厘米） 3. 14×（82 -32） =3. 14×（64 -9） =3. 14×55 = 172.7（平方厘米） 答：这块玉璧正面的面积是 172.7 平方厘米。 【点评】此题主要考查环形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 8 ．一根绳子长 37.68 分米，正好可以在大树的树干上绕 3 圈，这棵大树树干的横截面面积是 多少？ 【分析】用绳子的长度除以 3 得绕树干一圈的长度，即树干的横截面的周长，根据 r ＝C÷π÷2 算出横截面的半径，再根据 S= πr2 可算出横截面的面积。 【解答】解：37.68÷3÷3.14÷2 ＝12.56÷3.14÷2 ＝2（分米） 3. 14×22 ＝3. 14×4 ＝12.56（平方分米） 第 7页（共 13页） 学科网（北京）股份有限公司 答：这棵大树的横截面的面积是 12.56 平方分米。 【点评】解答此题的关键是求树干的周长，重点是求树干横截面（圆）的半径。 9．爷爷用 18.84m 长的篱笆靠墙围了一个半圆形的鸡舍。这个鸡舍的面积是多少平方米？爷爷 觉得鸡舍面积小，又沿着篱笆外围拓宽了 1 米，鸡舍面积扩大了多少平方米？ 【分析】通过观察图形可知，一面靠墙，用篱笆围成一个半圆形鸡舍，首先根据圆的周长 公式：C ＝2πr ，求出半圆的半径，再根据圆的面积公式：S= πr2 ，求出这个鸡舍的面积，如 果把沿着篱笆外围拓宽了 1 米，求出现在鸡舍的面积与原来面积的差就是增加的面积。 【解答】解：18.84÷3.14 ＝6（米） 3. 14×62÷2 =3. 14×36÷2 =56.52（平方米） 3. 14×（6+1）2÷2 -56.52 =3. 14×49÷2 -56.52 =76.93 -56.52 =20.41（平方米） 答：这个鸡舍的面积是 56.52 平方米，沿着篱笆外围拓宽了 1 米，鸡舍面积增加了 20.41 平 方米。 【点评】此题主要考查圆的周长公式、圆的面积公式的灵活运用，关键是求出鸡舍的半径。 10 ．强强在网上看到这样一件事： 有一天，小明和妈妈去吃披萨，他们准备买一张 12 寸（披萨的直径）的披萨。可 是店里 12 寸的披萨刚刚卖完，服务员说：“可以给您换两张 6 寸的披萨吗？它们 合起来应该和 12 寸的披萨同样大。”（1 寸≈3.3 厘米） 请你运用学过的数学知识判断服务员说得是否合理？请说明理由。 【分析】根据圆的面积公式：S= πr2，把数据代入公式求出直径 12 寸的披萨的面积与两个 6 寸的披萨的面积和进行比较即可。 第 8页（共 13页） 学科网（北京）股份有限公司 【解答】解：如图： 3. 14×（12÷2）2 =3. 14×36 = 113.04（平方寸） 3. 14×（6÷2）2 ×2 =3. 14×9×2 =28.26×2 =56.52（平方寸） 113.04＞56.52 答：不合理，2 个 6 寸的比一个 12 寸的面积小的多。 【点评】此题主要考查圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 类型三：不规则图形的周长、面积 11 ．为了更好地关爱留守儿童，“红马甲”志愿者组织留守儿童开展了“幸福营养站”“天使助 手”“幸福课堂”“健康义诊”等一系列关爱活动。在幸福课堂上，志愿者和孩子们在下面的活 动场地（如图）开展了一场趣味运动会。 （1）这个活动场地的面积是多少平方米？ （2）小志沿这个活动场地的四周跑了 3 圈。他一共跑了多少 米？ 【分析】（1）通过观察图形可知，这个活动场地的面积等于直径是 6 米的圆的面积加上长 方形的面积，根据圆的面积公式：S = πr2 ，长方形的面积公式：S ＝ab ，把数据代入公式解 答。 （2）这个活动场地的周长等于直径是 6 米的圆的周长加上 2 个 10 米，根据圆的周长公式： C= πd，把数据代入公式求活动场地的周长，然后再乘跑的圈数即可。 【解答】解：（1）3. 14×（6÷2）2+10×6 =3. 14×9+60 =28.26+60 =88.26（平方米） 第 9页（共 13页） 学科网（北京）股份有限公司 答：这个活动场地的面积是 88.26 平方米。 （2）（3. 14×6+10×2）×3 =（18.84+20）×3 =38.84×3 = 116.52（米） 答：他一共跑了 116.52 米。 【点评】此题主要考查圆的面积公式、圆的周长公式、长方形的面积公式的灵活运用，关 键是熟记公式。 12 ．求下面阴影部分的面积．（单位：cm） 【分析】（1）这个组合图形阴影部分为以 8 厘米为直径的半圆面积减掉底 8 厘米、高 8 厘 米的三角形面积，利用圆的面积公式和三角形面积公式，把数代入计算即可． （2）该阴影部分的面积为正方形面积减掉圆环面积．利用三角形面积公式和圆环面积公式， 把数代入计算即可． （3）这个阴影的面积为以 12 厘米为直径的大圆面积减掉两个以 12÷2 ＝6（厘米）为直径的 小圆面积．利用圆的面积公式，把数代入计算即可． 【解答】解：（1）3. 14×（8÷2）2÷2 -（8÷2）×（8÷2）÷2 =3. 14×16÷2 -4×4÷2 =25.12 -8 = 17.12（平方厘米） 答：阴影部分的面积为 17. 12 平方厘米． （2）（5×2）×（5×2） -3. 14×（52 -22） = 100 -65.94 =34.06（平方厘米） 答：阴影面积为 34.06 平方厘米． （3）3. 14×（12÷2）2 -3. 14×（12÷2÷2）2 ×2 = 113.04 -56.52 第 10页（共 13页） 学科网（北京）股份有限公司 =56.52（平方厘米） 答：阴影部分的面积为 56.52 平方厘米． 【点评】本题主要考查组合图形的面积，关键把不规则图形转化为规则图形再计算． 13 ．求如图图形的阴影部分的面积和周长． 【分析】阴影部分的周长等于长方形的2 条长加上 1 条宽再加上圆周长的一半，阴影部分 的面积是长方形的面积减去半圆的面积． 【解答】解：16×24 -3. 14×（16÷2）×（16÷2）÷2 =384 -100.48 =283.52 24×2+16+3. 14×16÷2 =48+16+25.12 =64+25.12 =89.12 答：阴影部分的面积是 283.52 ，周长是 89.12． 【点评】此题主要考查长方形、圆的周长与面积公式的计算应用，关键是明确阴影部分的 周长和面积各包括哪几个部分． 14 ．计算图中阴影部分的面积。 【分析】通过观察图形可知，阴影部分的面积等于正方形的面积减去 4 个扇形（一个圆） 的面积，根据正方形的面积公式：S ＝a2 ，圆的面积公式：S= πr2 ，把数据代入公式求出它 们的面积差即可。 【解答】解：10×10 -3. 14×52 = 100 -3. 14×25 第 11页（共 13页） 学科网（北京）股份有限公司 = 100 -78.5 =21.5（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 21.5 平方厘米。 【点评】此题主要考查正方形的面积公式、圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 15 ．已知扇形的周长是 26.84 厘米，O 是扇形的圆心，阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【分析】通过观察图形可知，扇形的周长等于该圆周长的 加上两条半径的长度，根据圆的 周长公式：C ＝2πr ，据此求出半径，再根据正方形的面积公式：S ＝a2 ，扇形面积公式：S 用正方形面积的 剪减去扇形面积就是阴影部分的面积。 【解答】解：设半径为 r 厘米，则正方形的边长为 2r 厘米， 4.71r+2r ＝26.84 6.71r ＝26.84 r ＝4 =48 -37.68 = 10.32（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 10.32 平方厘米。 【点评】此题主要考查扇形的周长公式、扇形的面积公式、正方形的面积公式的灵活用， 关键是列方程求出扇形的半径。 16 ．图中阴影部分的面积是 15 平方厘米，求环形的面积 第 12页（共 13页） 学科网（北京）股份有限公司 【分析】圆环的面积= π（R2 -r2）；观察图形可知，图中阴影部分的面积是边长为 R 和边长 为 r 的正方形的面积之差，由此可得：R2 -r2 ＝15 平方厘米，由此代入圆环的面积公式中即 可解答． 【解答】解：根据题干分析可得：R2 -r2 ＝15 平方厘米， 所以圆环的面积= π（R2 -r2 ）＝3. 14×15 ＝47.1（平方厘米） 答：圆环的面积是 47.1 平方厘米． 【点评】根据阴影部分的面积得出：R2 -r2 ＝15 平方厘米，是解决此题的关键． 第 13页（共 13页） 学科网（北京）股份有限公司 $$