【数学帮】六年级上册：圆与组合图形阴影部分面积和周长（含答案解析）

圆与组合图形阴影部分面积和周长 一、选择题（共 8 小题） 1 ．如图所示，两个边长相等的正方形，比较图中阴影部分的周长 ( ) 甲 乙 A ．甲周长＞乙周长 B ．甲周长＜乙周长 C ．甲周长＝乙周长 D ．无法确定 2 ．如图，两个大圆的面积相等，关于两个图形中阴影部分的说法正确的是 ( ) A ．周长相等，面积也相等 B ．周长不相等，面积相等 C ．周长相等，面积不相等 D ．周长不相等，面积也不相等 3 ．如图，阴影部分的环宽恰好等于小圆的半径，则阴影部分的面积是大圆面积的 ( ) A． B． C． 4 ．如图，阴影部分是一个正方形，正方形的一个顶点与圆心重合，正方形的周长是 12 厘米， 则圆的面积是（ ）平方厘米。 A ．56.52 B ．28.26 C ．37.68 D ．18.84 第 1页（共 17页） 5．如图，大圆的半径是 6cm，小圆的直径是大圆的半径，那么阴影部分的面积是（ ）cm2。 A ．28.26 B ．84.78 C ．78.5. D ．113.04 6 ．如图，长方形的长是 a 厘米，宽是 b 厘米，在长方形中剪掉一个直径为 a 厘米的半圆形， 剩下阴影部分的周长是 ( ) A ．a+2b+πa÷2 B ．（a+b） ×2+πa÷2 C ．a+b+πa÷2 D ． 7 ．如图，两个大圆面积相等，图 1 阴影部分的面积和图 2 阴影部分的面积相比，( ) A ．图 1 阴影面积大 B ．图 2 阴影面积大 C ．一样大 8 ．如图阴影部分的面积是（ ）（单位：cm） A ．9.42cm2 B ．14. 13cm2 C ．18.84cm2 D ．28.26cm2 二、填空题（共 6 小题） 第 2页（共 17页） 学科网（北京）股份有限公司 9 ．如图中阴影部分的周长是 cm ，面积是 cm2。 10．如图：长方形纸片中剪下一个最大的半圆，余下部分（阴影部分）周长是 cm， 面积是 cm²。 11．如图，阴影部分是一个圆形水池，直径是 18 米。在这个水池外围修一条一米宽的小路， 在小路的外围围上一圈篱笆，这条小路的面积是 平方米，篱笆长 米。 12．如图，圆的面积与长方形的面积相等，已知圆的周长是 12.56cm，阴影部分的周长是 cm。 13 ．根据如图填空。 （1）圆的直径是 dm ，长方形的周长是 dm； （2）阴影部分的面积是 dm2。 14 ．如图，长方形里有两个面积相等的圆，阴影部分三角形的面积是 10cm2 。那么，一个圆的 面积是 cm2。 三、计算题（共 2 小题） 第 3页（共 17页） 学科网（北京）股份有限公司 15 ．求出如图中阴影部分的周长。 16 ．求阴影部分周长。（单位：米） 四、解答题（共 5 小题） 17 ．求阴影部分的周长（单位：厘米） 18 ．求阴影部分的周长。 第 4页（共 17页） 学科网（北京）股份有限公司 19 ．儿童公园里有一块圆形草坪（如图），沿着草坪外围铺设了一条 2m 宽的环形小路（阴影 部分）。这条小路的占地面积是多少？ 20 ．计算阴影部分的周长。 21 ．求出图中阴影部分的面积，小圆的直径等于大圆的半径。 第 5页（共 17页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案与试题解析 一、选择题（共 8 小题） 1 ．如图所示，两个边长相等的正方形，比较图中阴影部分的周长 ( ) 甲 乙 A ．甲周长＞乙周长 B ．甲周长＜乙周长 C ．甲周长＝乙周长 D ．无法确定 【分析】甲图中阴影部分的周长等于圆的周长加上 2 条正方形的边长，乙图中阴影部分的 周长等于圆的周长加上 2 个正方形的边长，由此解答本题。 【解答】解：依据题意结合图形可知，甲周长＝乙周长。 故选：C。 【点评】本题考查的是圆的周长公式的应用。 2 ．如图，两个大圆的面积相等，关于两个图形中阴影部分的说法正确的是 ( ) A ．周长相等，面积也相等 B ．周长不相等，面积相等 C ．周长相等，面积不相等 D ．周长不相等，面积也不相等 【分析】从图中可以看出前面图形阴影部分的面积＝大圆面积的一半，周长等于小圆周长 的 2 倍加上大圆周长的一半；后面图形阴影部分的也等于大圆面积的一半，周长等于 2 个 小圆的周长加上大圆周长的一半。所以面积和周长都相等。 【解答】解：前面图形阴影部分的面积＝大圆面积的一半，周长等于小圆周长的2 倍加上 大圆周长的一半； 后面图形阴影部分的也等于大圆面积的一半，周长等于 2 个小圆的周长加上大圆周长的一 半。 所以面积和周长都相等。 故选：A。 【点评】此题考查了面积及等积变换，将阴影面积转化为易求的图形的面积的差或和是解 第 6页（共 17页） 学科网（北京）股份有限公司 题的常用方法。 3 ．如图，阴影部分的环宽恰好等于小圆的半径，则阴影部分的面积是大圆面积的 ( ) A． B． C． 【分析】阴影部分的环宽恰好等于小圆的半径，则大圆的半径＝小圆的半径×2， 根据圆环的面积公式：面积= π ×（大圆半径 2﹣小圆半径 2）； 即圆环面积= π ×（4×小圆半径 2﹣小圆半径 2），圆环面积＝3π×小圆半径 2； 大圆面积= π ×（小圆半径×2）2 ＝4π×小圆半径 2 ；再用圆环面积÷大圆面积，即可解答。 【解答】解：根据分析可知，阴影部分（圆环）面积＝3π×小圆半径 2。 大圆面积＝4π×小圆半径 2 3π×小圆半径 2 ÷4π×小圆半径 2 =3÷4 如图，阴影部分的环宽恰好等于小圆的半径，则阴影部分的面积是大圆面积的 故选：C。 【点评】本题考查圆环的面积公式，圆的面积公式的应用，关键求出大圆半径与小圆半径 之间的关系。 4 ．如图，阴影部分是一个正方形，正方形的一个顶点与圆心重合，正方形的周长是 12 厘米， 则圆的面积是（ ）平方厘米。 第 7页（共 17页） 学科网（北京）股份有限公司 A ．56.52 B ．28.26 C ．37.68 D ．18.84 【分析】通过观察图形可知，正方形的边长等于圆的半径，根据正方形的周边长×4 ，那么 边长＝周长÷4 ，据此求出边长，再根据圆的面积公式：S= πr2 ，把数据代入公式解答。 【解答】解：12÷4 ＝3（厘米） 3. 14×32 =3. 14×9 =28.26（平方厘米） 答：圆的面积是 28.26 平方厘米。 故选：B。 【点评】此题主要考查正方形的长公式、圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 5．如图，大圆的半径是 6cm，小圆的直径是大圆的半径，那么阴影部分的面积是（ ）cm2。 A ．28.26 B ．84.78 C ．78.5. D ．113.04 【分析】阴影部分的面积等于大小圆的面积差，根据圆的面积公式：S= πr2。把数据代入公 式解答。 【解答】解：3. 14×62﹣3. 14×（6÷2）2 =3. 14×36﹣3. 14×9 = 113.04﹣28.26 =84.78（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 84.78 平方厘米。 故选：B。 【点评】此题主要考查圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 第 8页（共 17页） 学科网（北京）股份有限公司 6 ．如图，长方形的长是 a 厘米，宽是 b 厘米，在长方形中剪掉一个直径为 a 厘米的半圆形， 剩下阴影部分的周长是 ( ) A ．a+2b+πa÷2 B ．（a+b） ×2+πa÷2 C ．a+b+πa÷2 D ． 【分析】通过观察图形可知，剩下部分的周长等于直径为 a 厘米的圆周长的一半加上长方 形的一条长两条宽，根据圆的周长公式：C= πd，把数据代入公式解答。 【解答】解：a+2b+πa÷2（厘米） 答：剩下图形的周长是（a+2b+πa÷2）厘米。 故选：A。 【点评】此题主要考查长方形的周长公式、圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 7 ．如图，两个大圆面积相等，图 1 阴影部分的面积和图 2 阴影部分的面积相比，( ) A ．图 1 阴影面积大 B ．图 2 阴影面积大 C ．一样大 【分析】已知两个大圆面积相等，也就是两个大圆的直径相等，设图 1 阴影部分圆的半径 为 3r ，图 2 阴影部分圆的半径为 2r ，根据圆的面积公式：S = πr2 ，把数据代入公式分别求 出两个大圆内阴影部分的面积，然后进行比较。 【解答】解：设图 1 阴影部分圆的半径为 3r，图 2 阴影部分圆的半径为 2r， 图 1 阴影部分的面积：π ×（3r）2 ×2 ＝18πr2 图 2 有一部分的面积：π ×（2r）2 ×3 ＝12πr2 18πr2＞12πr2 答：图 1 阴影部分的面积大。 故选：A。 【点评】此题主要考查圆面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 8 ．如图阴影部分的面积是（ ）（单位：cm） 第 9页（共 17页） 学科网（北京）股份有限公司 A ．9.42cm2 B ．14. 13cm2 C ．18.84cm2 D ．28.26cm2 【分析】三角形的内角和是 180 ° , 3 个扇形的圆心角度数和是 180 ° , 也就是 3 个扇形的 面积等于半径为 3 厘米的圆面积的一半，根据圆的面积公式：S= πr2，把数据代入公式解答。 【解答】解：3. 14×32 ÷2 =3. 14×9÷2 =28.26÷2 = 14.13（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 14.13 平方厘米。 故选：B。 【点评】此题主要考查圆的面积公式的灵活运用，三角形的内角和及应用。 二、填空题（共 6 小题） 9 ．如图中阴影部分的周长是 7.14 cm ，面积是 3.14 cm2。 【分析】阴影部分是四分之一的圆，周长 × 圆的周长+2r ，面积= 圆的面积。 【解答】解： ×3. 14×2×2+2×2 =3. 14+4 =7.14（cm） =3.14（cm2） 答：如图中阴影部分的周长是 7. 14cm ，面积是 3. 14cm2。 第 10页（共 17页） 学科网（北京）股份有限公司 故答案为：7.14 ，3.14。 【点评】此题考查圆的周长与面积公式的灵活应用，关键是结合图形，仔细观察，根据公 式进行计算。 10 ．如图：长方形纸片中剪下一个最大的半圆，余下部分（阴影部分）周长是 21.42 cm， 面积是 3.87 cm²。 【分析】阴影部分的周长等于直径是 6 厘米的圆周长的右边加上长方形的一条长 2 条宽的 长度，阴影部分的面积等于长方形的面积减去半圆的面积，根据圆的周长公式：C ＝2πr ， 圆的面积公式：S= πr2 ，长方形的面积公式：S＝ab ，把数据代入公式解答。 【解答】解：3. 14×6÷2+6×2 = 18.84÷2+12 =9.42+12 =21.42（厘米） 6×（6÷2）﹣3. 14×（6÷2）2 ÷2 =6×3﹣3. 14×9÷2 = 18﹣ 14.13 =3.87（平方厘米） 答：阴影部分的周长是 21.42 厘米，面积是 3.87 平方厘米。 故答案为：21.42 ，3.87。 【点评】此题主要考查圆的周长公式、面积公式、长方形的面积公式的灵活运用，关键是 熟记公式。 11．如图，阴影部分是一个圆形水池，直径是 18 米。在这个水池外围修一条一米宽的小路， 在小路的外围围上一圈篱笆，这条小路的面积是 59.66 平方米，篱笆长 62.8 米。 【分析】根据环形面积公式：S = π（R2﹣r2），圆的周长公式：C = πd ，把数据代入公式解 答。 第 11页（共 17页） 学科网（北京）股份有限公司 【解答】解：18÷2 ＝9（米） 9+1 ＝10（米） 3. 14×（102﹣92） =3. 14×（100﹣81） =3. 14×19 =59.66（平方米） 3. 14×（18+1×2） =3. 14×20 =62.8（米） 答：这条小路的面积是 59.66 平方米，篱笆长 62.8 米。 故答案为：59.66 、62.8。 【点评】此题主要考查环形面积公式、圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 12．如图，圆的面积与长方形的面积相等，已知圆的周长是 12.56cm，阴影部分的周长是 15.7 cm。 【分析】根据圆的周长公式：C＝2πr ，那么 r ＝C÷2π , 圆的面积公式：S = πr2 ，把数据代 入公式求出圆的面积，圆的面积与长方形的面积相等，因此可知，用圆的面积除以半径就 是长方形的长，再根据长方形的周长公式；C ＝（a+b） ×2 求出长方形的周长，长方形的 周长减去两个半径的长再加上圆周长的就是阴影部分的周长，把数据代入公式解答。 【解答】解：12.56÷3. 14÷2 =4÷2 =2（厘米） 3. 14×22 =3. 14×4 = 12.56（平方厘米） 12.56÷2 ＝6.28（厘米） 第 12页（共 17页） 学科网（北京）股份有限公司 （6.28+2） ×2 =8.28×2 = 16.56（厘米） 16.56 - 2×2+12.56× = 16.56 - 4+3.14 = 12.56+3.14 = 15.7（厘米） 答：阴影部分的周长是 15.7 厘米。 故答案为：15.7。 【点评】此题主要考查圆的周长公式、面积、长方形的面积公式、周长公式的灵活运 用，关键是熟记公式。 13 ．根据如图填空。 （1）圆的直径是 6 dm ，长方形的周长是 36 dm； （2）阴影部分的面积是 15.48 dm2。 【分析】（1）根据直径与半径的关系，d ＝2r ，长方形的等于半径的 4 倍，宽等于半径的 2 倍，根据长方形的周长＝（长+宽） ×2 ，把数据代入公式解答。 （2）阴影部分的面积等于长方形的面积减去两个圆的面积。据此解答。 【解答】解：（1）3×2 ＝6（分米） （3×4+3×2） ×2 =（12+6） ×2 = 18×2 =36（分米） 答：圆的直径是 6 分米，长方形的周长是 36 分米。 （2）（3×4） ×（3×2） - 3. 14×32 ×2 = 12×6 - 3. 14×9×2 =72 - 56.52 = 15.48（平方分米） 答：阴影部分的面积是 15.48 平方分米。 故答案为：6 ，36；15.48。 第 13页（共 17页） 学科网（北京）股份有限公司 【点评】此题主要考查长方形的周长公式、面积公式、圆的面积公式的灵活运用，关键是 熟记公式。 14 ．如图，长方形里有两个面积相等的圆，阴影部分三角形的面积是 10cm2 。那么，一个圆的 面积是 31.4 cm2。 【分析】图中直角三角形的两条直角边分别为圆半径和圆半径的2 倍，根据已知的三角形 面积，能求出圆半径的平方是多少，再根据圆面积公式“S= πr2 ”即可求出圆面积。 【解答】解：设圆半径为 r 厘米。 2r×r÷2 ＝10 r2 ＝10 3. 14×10 ＝31.4（平方厘米） 答：一个圆的面积是 31.4 平方厘米。 故答案为：31.4。 【点评】解答此题的关键是看出阴影部分三角形的两条直角边分别为 2r 和 r。 三、计算题（共 2 小题） 15 ．求出如图中阴影部分的周长。 【分析】通过观察图形可知，阴影部分的周长等于梯形的两条腰加上下底，再加上直径是 8 厘米的圆周长的一半。根据圆的周长公式：C= πd，把数据代入公式解答。 【解答】解：5×2+14+3. 14×8÷2 = 10+14+12.56 =36.56（厘米） 答：阴影部分的周长是 36.56 厘米。 【点评】此题考查的目的是理解在等腰梯形的特征及应用，梯形的周长公式、圆的周长公 式及应用。 第 14页（共 17页） 学科网（北京）股份有限公司 16 ．求阴影部分周长。（单位：米） 【分析】观察图形可知，阴影部分的周长由一个半径是 8 米的圆周长的一半和一个直径是 8 厘米的圆周长组成，根据圆的周长公式：C＝2πr 或 C = πd，把数据代入公式解答。 【解答】解：2×3. 14×8÷2+3. 14×8 =25. 12+25.12 =50.24（米） 度：阴影部分的周长是 50.24 米。 【点评】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 四、解答题（共 5 小题） 17 ．求阴影部分的周长（单位：厘米） 【分析】阴影部分的周长＝长方形三条边的长度+ 圆周长的一半，据此解答即可。 【解答】解：6×2+4+3. 14×4÷2 = 12+4+6.28 =22.28（厘米） 答：阴影部分的周长是 22.28 厘米。 【点评】本题属于求组合图形周长的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基 本的图形构成的。 18 ．求阴影部分的周长。 第 15页（共 17页） 学科网（北京）股份有限公司 【分析】阴影部分的周长等于圆的周长加两条 20 厘米的线段。 【解答】解：3. 14×10+20×2 =31.4+40 =71.4（厘米） 答：阴影部分的周长是 71.4 厘米。 【点评】本题主要考查圆的周长公式的应用。 19 ．儿童公园里有一块圆形草坪（如图），沿着草坪外围铺设了一条 2m 宽的环形小路（阴影 部分）。这条小路的占地面积是多少？ 【分析】根据环形面积公式：S= π（R2 - r2），把数据代入公式解答。 【解答】解：6+2 ＝8（米） 3. 14×（82 - 62） =3. 14×（64 - 36） =3. 14×28 =87.92（平方米） 答：这条小路的占地面积是 87.92 平方米。 【点评】此题主要考查环形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 20 ．计算阴影部分的周长。 【分析】通过观察图形可知，阴影部分的周长等于直径是（4+2）厘米的圆周长的一半，加 上直径是 4 厘米的圆周长的一半再加上直径是 2 厘米的圆周长的一半，也就是相当于直径 是（4+2）厘米的圆的周长。根据圆的周长公式：C = πd，把数据代入公式解答。 【解答】解：3. 14×（4+2） =3. 14×6 第 16页（共 17页） 学科网（北京）股份有限公司 = 18.84（厘米） 答：阴影部分的周长是 18.84 厘米。 【点评】此题主要考查圆的周长公式的灵活用，关键是熟记公式，重点是弄清阴影部分周 长是由哪几部分组成的。 21 ．求出图中阴影部分的面积，小圆的直径等于大圆的半径。 【分析】图中阴影部分的面积等于半径为 4 厘米的圆的面积减去半径为（4÷2）厘米的圆 的面积，根据圆面积公式 S= πr2 直接计算即可。 【解答】解：3. 14×42 - 3. 14×（4÷2）2 =3. 14×（16 - 4） =3. 14×12 =37.68（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 37.68 平方厘米。 【点评】解答本题需熟练掌握圆面积公式。 第 17页（共 17页） 学科网（北京）股份有限公司 $$