【数学帮】整式的加减（解析版）

整式的加减 ·模块一 同类项与合并同类项 ·模块二 去括号 ·模块三 整式的加减 ·模块四 课后作业 同类项 （1）概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项（与系数无关，与字母的排列顺序 无关）. （2）合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变. 【考点 1 同类项的定义】 【例 1. 1】下列单项式中，x3y2 的同类项是( ) A ．xy2 B ．一2x3y2 C ．x2y D ．2x2y3 【答案】B 【分析】根据同类项：所含字母相同，相同字母的指数相同进行判断即可． 【详解】解：x3y2 的同类项是一2x3y2， 故选：B． 【点睛】本题考查了同类项的知识，理解同类项的定义是解题关键 【例 1.2】写出一2a2b3 的一个同类项____________（只需写出一个即可）． 【答案】3a2b3（答案不唯一） 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项，即可求解． 【详解】依题意，一2a2b3 的一个同类项可以是 3a2b3， 故答案为：3a2b3（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键． 【例 1.3】若 2021ax+yby与 2022a2b3是同类项，则x 一 y =___________． 第 1页（共 23页） 【答案】 —4 【分析】根据同类项的定义，得到x =— 1，y = 3，再代入求值即可得到答案． 【详解】解：“ 2021ax+yby与 2022a2b3是同类项， : x + y = 2 ，y = 3， : x =— 1， : x — y =— 1 — 3 = — 4， 故答案为： —4． 【点睛】本题考查了同类项，代数式求值，熟练掌握同类项的定义是解题关键． 【变式 1. 1】下列每组中的两个代数式，属于同类项的是 ( ) A ．7a2b和和—2x2y C ．x2yz和x2y D ．3x2和3y2 【答案】B 【分析】根据同类项的定义：几个单项式的字母和字母的指数均相同，进行判断即可． 【详解】解：A 、不是同类项，不符合题意； B 、是同类项，符合题意； C 、不是同类项，不符合题意； D 、不是同类项，不符合题意； 故选 B． 【点睛】本题考查同类项的识别．熟练掌握同类项的定义，是解题的关键． 【变式 1.2】判断下列各组单项式是不是同类项： (1)2 和 b； (2)－2 和 5； (3)—3x2y和 2x2y (4)2a 和 3b 【答案】(1)不是；(2)是；(3)是；(4)不是 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，依次进行判断即可． （1）解：2 和 b 中，一个是数字，一个是字母，故不是同类项； （2）解：-2 和 5 ，都是数字是同类项； （3）解： —3x2y和 2x2y中字母相同，相同字母的指数相同，是同类项； （4）解：2a 与 3b 中所含字母不同，故不是同类项． 【点睛】本题主要考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 【考点 2 合并同类项】 【例 2. 1】下列合并同类项结果正确的是 ( ) A ．2a2 + 3a2 = 6a2 B ．2a2 + 3a2 = 5a2 C ．2xy — xy = l D ．2x3 + 3x3 = 5x6 第 2页（共 23页） 学科网（北京）股份有限公司 【答案】B 【分析】根据合并同类项的计算法则逐一判断即可． 【详解】解：AB ．2a2 + 3a2 = 5a2 ，故 A 错误，B 正确； C ．2xy — xy = xy，故 C 错误； D ．2x3 + 3x3 = 5x3 ，故 D 错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则，准确计算． 【例 2.2】如图，从标有单项式的四张卡片中找出所有能合并的同类项，若它们合并后的结果为a，则代数式 a2 + 2a + 1 的值为 ( ) ( 1 3 2 — x y 4 ) ( 2 3 2 y x 3 ) ( 1 2 3 — x y 6 ) ( 1 2 3 — x y 2 ) A ． —1 B ．0 C ． —2 D ．1 【答案】D 【分析】首先找出能合并的同类项（所含字母相同，相同字母的指数也相同），然后将同类项相加，列出等 式，进而得出a的值，从而求解． 【详解】解：四张卡片中能合并的同类项有： — x2y3 ，y3x2 ， — x2y3， 由题意，可知 : a2 + 2a + 1 = 1， 故选：D． 【点睛】本题考查了同类项、合并同类项及代数式求值，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键． 【例 2.3】当k =_____时，多项式x2 + (3k — 2)xy — 3y2 — 9xy + 1 不含xy项． 【分析】合并多项式中的同类项．由多项式中的 xy 项的系数为“0”时，此多项式不含 xy 项，列方程解出k 的 值． 【详解】原式=x2 + (3k — 2 — 9)xy — 3y2 + 1 =x2 + (3k — 11)xy — 3y2 + 1 化简后多项式中的 xy 项的系数是 3k-11 ，令 3k-11=0 ，所以 故答案为 【点睛】本题考查多项式的定义．多项式中的某一单项式系数是指该单项式中的数字因数．合并同类项也是 解答本题的关键． 【变式 2. 1】下列合并同类项的计算中，错误的个数有 ( ) 第 3页（共 23页） 学科网（北京）股份有限公司 ①3y — 2y = 1；②x2 + x2 = x4 ；③3mn — 3mn = 0；④4ab2 — 5ab2 =— ab2 ；⑤3m2 + 4m3 = 7m6． A ．4 个 B ．3 个 C ．2 个 D ．1 个 【答案】B 【分析】合并同类项，即将同类项中的各单项式的系数相加减，字母和字母的指数不变，据此解题． 【详解】①3y — 2y = y，故①错误； ②x2 + x2 = 2x2 ，故②错误； ③3mn — 3mn = 0，故③正确； ④4ab2 — 5ab2 =— ab2 ，故④正确； ⑤3m2,4m3不是同类项，不能合并，故⑤错误； 错误的有①②⑤ , 共 3 个， 故选：B． 【点睛】本题考查合并同类项，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【变式 2.2】若—2amb2与 5a3bn可以合并成一项，则( — n)m 的值是 ( ) A ． —6 B ． —8 C ．8 D ．6 【答案】B 【分析】根据两个单项式可以合并为一项，可知它们是同类项；根据同类项是字母相同，相同字母的指数也 相同的两个单项式，可以得到m = 3, n = 2,由此便可以解答． 【详解】解：根据题意m = 3, n = 2, 所以( — n)m = ( — 2)3 =— 8． 故选：B． 【点睛】本题主要考查合并同类项，以及同类项的定义，理解题意求解m = 3, n = 2 是解本题的关键． 【变式 2.3】若单项式与a3by—1可合并为 则xy =________． 【答案】9 【分析】根据同类项的定义，得到x = 3、y = 3，代入计算即可得到答案． 【详解】解：“单项式— axb2与a3by—1可合并为 a3b2， : x = 3，y — 1 = 2， : y = 3， : xy = 3 × 3 = 9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了同类项的定义，以及合并同类项，解题关键是掌握定义，正确求出所需字母的值． 【变式 2.4】已知 m，n 为正整数，若a2b + 3a — 4am—1bn合并同类项后只有两项，则m =______，n =______． 【答案】 3 1 【分析】原式先根据同类项的定义判断出同类项，再得出 m ，n 的值即可． 第 4页（共 23页） 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解： ∵a2b + 3a — 4am—1bn合并同类项后只有两项， ∴a2b与—4am—1bn是同类项， ∴m — 1 = 2, n = 1 ∴m = 3, n = 1 故答案为：3 ；1 【点睛】此题主要考查了合并同类项，以及同类项，关键是掌握所含字母相同，并且相同字母的指数也相同 的项是同类项． 【变式 2.5】化简： (1)3x3 — 1 — 3x — 5 + 4x — 2x3 【答案】(1)x3 + x — 6；(2)—4x2y3 + 4x2y2 + xy + 2 【分析】（1）根据合并同类项的法则计算即可； （2）根据合并同类项的法则计算即可． 【详解】（1）3x3 — 1 — 3x — 5 + 4x — 2x3 = (3 — 2)x3 — (1 + 5 — 3 — 4)x = x3 + x — 6； 【点睛】本题主要考查了合并同类项，掌握同类项合并法则是解答本题的关键． 去（添）括号 （1）去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号； （2）若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号. 【考点 1 去括号】 【例 1. 1】1 ．下列式子去括号正确的是 ( ) A ． —(2a — b) = — 2a — b B ．3a + (4a2 + 2) = 3a + 4a2 — 2 C ． —(2a + 3y) = 2a — 3y D ． —2(a — 6) = — 2a + 12 第 5页（共 23页） 学科网（北京）股份有限公司 【答案】D 【分析】括号前是负号，去括号后各项需要改变符号，否则不用改变． 【详解】解：A 、原式=一 2a + b，故错误，不合题意； B 、原式= 3a + 4a2 + 2，故错误，不合题意； C 、原式=一 2a 一 3y，故错误，不合题意； D 、原式=一 2a + 12，故正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查去括号法则，解题的关键是熟练应用去括号法则，本题属于基础题型． 【例 1.2】在a 一 (b + c 一 d) = a 一 b 一 ( )中的括号内应填的代数式为 ( ) . A ．c 一 d B ．c + d C ．一c + d D ．一c 一 d 【答案】A 【分析】根据去括号法则和添括号法则进行解答即可． 【详解】解：a 一 (b + c 一 d) = a 一 b 一 c + d = a 一 b 一 (c 一 d) ，故 A 正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了去括号和添括号，解题的关键是熟练掌握去括号法则和添括号法则． 【例 1.3】（1）多项式 2x2 一 (xy+y 一 1)去掉括号后是_______________. （2）多项式 2x2 一 3(xy+y 一 1)去掉括号后是_______________. 【答案】（1）2x2 一 xy 一 y+1；（2）2x2 一 3xy 一 3y+3 【分析】直接根据去括号法则：括号前面是正号，括号里面不变号；括号里面是负号，括号里面全变号；解 答即可． 【详解】解：（1）2x2 一 (xy+y 一 1) =2x2一xy一y+1； （2）2x2 一 3(xy+y 一 1) =2x2一3xy一3y+3； 故答案为：（1）2x2 一 xy 一 y + 1；（2）2x2 一 3xy 一 3y + 3． 【点睛】本题考查了整式的加减－去括号法则，熟练掌握去括号法则是解本题的关键． 【变式 1. 1】去括号：(y2 一 x2) 一 (x2 一 y2)= ( ) A ．y2 一 x2 一 x2 一 y2 B ．y2 + x2 + x2 一 y2 C ．y2 一 x2 + x2 一 y2 D ．y2 一 x2 一 x2 + y2 【答案】D 【分析】根据去括号法则（括号的前面是负号时，去括号后括号内各项负号改变）解决此题． 【详解】解：(y2 一 x2 一 x2 一 y2) = y2 一 x2 一 x2 + y2 故选：D． 【点睛】本题主要考查去括号法则，熟练掌握去括号法则是解决本题的关键． 第 6页（共 23页） 学科网（北京）股份有限公司 【变式 1.2】不改变式子a — (b — 3c)的值，把其中的括号前的符号变成相反的符号，结果是________． 【答案】a + (—b + 3c) 【分析】把括号前的“ —”变成“+” ，再把括号内的符号变号即可得到答案． 【详解】解：a — (b — 3c) = a + (—b + 3c)， 故答案为：a + (—b + 3c)． 【点睛】本题考查去括号的知识，难度不大，注意在变号时要细心，不要漏项． 【变式 1.3】下列各式变形，正确的个数是 ( ) ①a — (b — c) = a — b + c；②(x2 + y) — 2(x — y2) = x2 + y — 2x + y2； ③—(a + b) — ( — x + y) = — a + b + x — y；④—3(x — y) + (a — b) = — 3x — 3y + a — b， A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】A 【分析】根据添括号以及添括号法则即可判断． 【详解】①a-（b-c）=a-b+c ，正确； ②（x2+y）-2（x-y2 ）=x2+y-2x+2y2 ，故错误； ③-（a+b）-（-x+y）=-a-b+x-y ，故错误； ④-3（x-y）+（a-b）=-3x+3y+a-b ，故错误； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了去括号法则，正确理解去括号法则并注意符号的改变与否是解题的关键． 【考点 2 利用去括号法则简化代数式】 【例 2. 1】化简 2a — b — 2(a + b)的结果为 ( ) A ． —2b B ． —3b C ．b D ．4a + b 【答案】B 【分析】根据去括号，合并同类项计算即可得到答案． 【详解】解：2a — b — 2(a + b) = 2a — b — 2a — 2b =— 3b， 故选：B． 【点睛】本题考查整式运算，涉及去括号、合并同类项等，熟记整式运算法则是解决问题的关键． 【例 2.2】若代数式 -（3x3ym－1）＋3（xny＋1）（x，y≠0 ，1）经过化简后的结果等于 4 ，则 m -n 的值是 . _____ 【答案】 -2 【分析】先去括号、合并同类项，再根据题意可得-3x3ym 和 3xny 是同类项，进而可得答案． 第 7页（共 23页） 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解： -（3x3ym -1）+3（xny+1） = -3x3ym+1+3xny+3， = -3x3ym+3xny+4， ∵经过化简后的结果等于 4 ， ∴ -3x3ym 与 3xny 是同类项， ∴m ＝1 ，n ＝3， 则 m -n ＝1 -3 ＝ -2， 故答案为： -2． 【点睛】本题考查了合并同类项和去括号，同类项的条件有两个：1 、所含的字母相同；2 、相同字母的字数 也分别相同． 【例2.3】小明和小刚在同时计算这样一道求值题：“当a＝－5 时，求整式 5a2 — [3a — (2a — 1) + 2a2 — 2a2 — a + 1)”的值，小明求出正确的结果，而小刚错把a＝－5看成a＝5 ，也求出了正确的结果，请你说明这是为 什么？并求出这个整式的结果. 【答案】理由见解析，23. 【详解】试题分析： 先把所给的整式化简，根据化简后的结果说明理由即可. 试题解析： 原式= 5a2 — 3a + 2a — 1 — 2a2 — 2a2 + a — 1 = 5a2 — 2a2 — 2a2 — 3a + 2a + a — 1 — 1 = a2 — 2． ∵当a =± 5 时，a2 = 25， ∴小刚错把a =— 5 看成了a = 5，也求出了正确的结果． 当a =— 5 时，原式= ( — 5)2 — 2 = 23． 【变式 2. 1】把 4a — (a — 3b)去括号，并合并同类项，正确的结果是________． 【答案】3a + 3b/3b + 3a 【分析】利用去括号法则和合并同类项即可解答． 【详解】解：4a — (a — 3b) = 4a — a + 3b = 3a + 3b． 故答案为：3a + 3b． 【点睛】本题主要考查了去括号和合并同类项，掌握括号前面是负号，去括号后各项均要变号成为解答本题 的关键． 【变式 2.2】化简： (1)(7m2n — 5mn — 4m2n — 5mn) (2)(a + b) — 2(2a — 3b) 【答案】(1)3m2n；(2)—3a + 7b 【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可；（2）先去括号，再合并同类项即可． 第 8页（共 23页） 学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）解：原式= 7m2n — 5mn — 4m2n + 5mn = 7m2n — 4m2n — 5mn + 5mn = 3m2n． （2）解：原式= a + b — 4a + 6b = a — 4a + b + 6b =— 3a + 7b． 【点睛】本题主要考查了整式加减的化简，解题的关键是熟练掌握去括号的法则以合并同类项的法则．注意 括号前为负时，去括号要变号． 【变式 2.3】 以下是小明化简整式 3x — 2(x + y)的解答过程： 解 3x — 2(x + y) = 3x — 2x + y = 1 + y 小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 【答案】见解析 【分析】观察小明的解答过程，发现去括号出现了错误，改正即可得到答案． 【详解】解：小明的解答过程有误， 正确的解答为： 3x — 2(x + y) = 3x — 2x — 2y = x — 2y． 【点睛】本题考查了整式的化简，熟练掌握去括号要注意符号的变化是解题的关键． 整式的加减 几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。 【考点 1 整式的加减】 【例 1. 1】下列各式计算正确的是 ( ) . A ． (2a - ab2 )- (2a + ab2 ) = 0 B ． x - (y -1) = x - y -1 C ． 4m2 n3 - (2m2 n3 -1) = 2m2 n3 +1 D ． -3xy + (3x - 2y) = 3x - xy 第 9页（共 23页） 学科网（北京）股份有限公司 【答案】C 【分析】根据去括号和合并同类项的法则逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A 、 (2a - ab2 ) - (2a + ab2 ) = 2a - ab2 - 2a - ab2 = -2ab2，原计算错误，不符合题意，选项错误； B 、 x - (y -1) = x - y +1 ，原计算错误，不符合题意，选项错误； C 、 4m2 n3 - (2m2 n3 -1) = 4m2 n3 - 2m2 n3 +1 = 2m2 n3 +1 ，原计算正确，符合题意，选项正确； D 、 -3xy +(3x - 2y) = -3xy + 3x - 2y ，原计算错误，不符合题意，选项错误， 故选 C． 【点睛】本题考查整式的加减混合运算，掌握去括号和合并同类项的法则是解题关键． 【例 1.2】 已知一个多项式与3x2 + 9x 的和等于3x2 + 4x -1 ，则这个多项式是 ( ) A ． -5x -1 B ． 5x -1 C ． -13x -1 D ． 13x +1 【答案】A 【分析】根据整式的加减运算互逆的关系即可得． 【详解】解：由题意得：这个多项式是： (3x2 + 4x -1)- (3x2 + 9x ) = 3x2 + 4x -1- 3x2 - 9x = -5x -1， 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键． 【例 1.3】下面是小明计算2(2x2 - 4y3 )- 3(4x2 - y3 ) 的过程，请你认真观察，回答问题． 解：原式= 4x2 - 8y3 - (12x2 - 3y3 ) … …第一步 = 4x2 - 8y3 -12x2 + 3y3 … …第二步 = 4x2 -12x2 - 8y3 + 3y3 … …第三步 = (4 -12)x2 - (8 + 3)y3 … …第四步 = -8x2 -11y3 … …第五步 (1)前三步的依据分别是 ____________ ，____________ ，____________； (2)你认为小明的计算是否正确？如果错误，请指出是哪一步错了，并直接写出正确的结果．如果正确，不 用作任何解释． 【答案】(1)乘法分配律；去括号法则；加法的交换律 (2)不正确，第四步错了， -8x2 - 5y3 【分析】（1）根据前三步的步骤直接可以写出依据； （2）第四步合并同类项错了． 第 10页（共 23页） 学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）解：前三步的依据分别是乘法分配律，去括号法则，加法的交换律； 故答案为：乘法分配律；去括号法则；加法的交换律； （2）小明的计算不正确，第四步错了， 正确答案为： 原式= 4x2 - 8y3 - (12x2 - 3y3 ) = 4x2 - 8y3 -12x2 + 3y3 = 4x2 -12x2 - 8y3 + 3y3 = (4 -12)x2 - (8 - 3)y3 = -8x2 - 5y3 ． 【点睛】本题考查整式的加减．熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式 1. 1】化简： 3(a -b)- (2a + 3b) = ___________． 【答案】 a - 6b / -6b + a 【分析】先去括号，然后合并同类项即可求解． 【详解】解： 3(a -b)- (2a + 3b) = 3a - 3b- 2a - 3b = a - 6b ， 故答案为： a - 6b ． 【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则与合并同类项是解题的关键． 【变式 1.2】计算 (1)(-3m + 2) - 3(m2 - m +1) (2)先化简，再求值-3x2y + 2x2y - (2xy - x2y ) ，其中x = -1, y = -2 ． 【答案】(1) -3m2 -1 ；(2)-2xy ， -4 【分析】（1）根据去括号法则以及合并同类项法则进行计算即可； （2）根据去括号法则以及合并同类项法则将原式化简，然后代入数值求解即可． 【详解】（1）解：原式= -3m + 2 - 3m2 + 3m - 3 = -3m2 -1 ； （2）原式= -3x2y + 2x2y - (2xy - x2y ) 当x = -1, y = -2 时， 原式= -2× (-1)× (-2) = -4 ． 第 11页（共 23页） 学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题考查了整式的加减以及整式的加减－化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解本题的关键． 【变式 1.3】琪琪同学做一道计算题： 已知两个多项式 A 和B ，求 2A - B ，他误将2A - B 看成了2A + B ，求 得结果为3x2 - 2x ，已知 A = x2 + 3x - 2 ． （1）则多项式B = _____________； （2）求 2A - B 的正确结果为______________． 【答案】 x2 - 8x + 4 x2 +14x - 8 【分析】（1）根据题意得出B = 3x2 - 2x - 2A ，代入求解即可； （2）将 A 、B 代入计算即可． 【详解】解：（1） ∵将2A - B 看成了2A + B ，求得结果为3x2 - 2x ， A = x2 + 3x - 2 ． ∴ B = 3x2 - 2x - 2A = 3x2 - 2x - 2(x2 + 3x - 2) = 3x2 - 2x - 2x2 - 6x + 4 = x2 - 8x + 4 ； 故答案为： x2 - 8x + 4 ； （2） 2A - B = 2(x2 + 3x - 2) -(x2 - 8x + 4) = 2x2 + 6x - 4 - x2 + 8x - 4 = x2 +14x - 8 ； 故答案为： x2 +14x - 8 ． 【点睛】题目主要考查整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 【考点 2 整式的加减的应用】 【例 2. 1】如图，用含 m ，n 的代数式表示阴影部分的周长为 ( ) A ．10m +10n B ． 8m +10n C ． 10m + 22n D ． 8m + 22n 【答案】C 【分析】利用周长等于各边之和进行计算，即可得出结果． 【详解】解：阴影部分的周长为： 5m +(2n + 3n)×2 + 5m - 2m + 4× 3n + 2m = 10m + 22n ； 故选 C． 【点睛】本题考查列代数式，正确的识图，是解题的关键． 第 12页（共 23页） 学科网（北京）股份有限公司 【例 2.2】如图是某月的月历，任意用“ H ”型框选中7 个数(如阴影部分所示) ，则这7 个数的和不可能是( ) 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A ．63 B ．70 C ．96 D ．105 【答案】C 【分析】一设中间的数是 x ，其余六个数字分别为x -1, x - 8, x + 6, x +1, x - 6, x + 8 ．则这七个数的和是7x ，因 而这七个数的和一定是7 的倍数． 【详解】解：设中间的数是 x ，其余六个数字分别为x -1, x - 8, x + 6, x +1, x - 6, x + 8 ． 则这七个数的和是(x -1) + ( x - 8) +( x + 6) +( x +1) +( x - 6) +( x + 8) + (x - 7) + x + (x + 7) = 7x ， 因而这七个数的和一定是7 的倍数． 则，这七个数的和不可能是96 ． x - 8 x - 6 x -1 x x +1 x + 6 x + 8 故选：C． 【点睛】此题主要考查了数字的变化规律，解决的关键是观察图形找出数之间的关系，从而找到三个数的和 的特点． 【例 2.3】如图为某三岔路口交通环岛的简化模型．在某高峰时段，单位时间进 出路口A ，B ，C 的机动车辆数如图所示．图中x1, x2, x3 分别表示该时段单位时 间通过路段 AB，BC，CA 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中， 同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则x1, x2, x3 的大小关系（用“ > ”“ < ”或“ = ” 连接）是 ( ) A ． x1 > x2 > x3 B ． x1 > x3 > x2 C ． x3 > x1 > x2 D ． x3 > x2 > x1 【答案】C 【分析】根据题意列出代数式，然后比较大小．x1 = 30 + (x3 - 35) = x3 - 5，x2 = 50 + (x1 - 55) = x1 - 5 ，比较得 第 13页（共 23页） 学科网（北京）股份有限公司 出结果x3 > x1 > x2 ． 【详解】解：x1 = 30 +(x3 - 35) = x3 - 5 ， : x3 > x1 ； :x2 = 50 + (x1 - 55) = x1 - 5 ， :x1 > x2 ； :x3 > x1 > x2． 故选 C． 【点睛】考查了整式的加减，解题的关键是根据题意列出代数式，然后比较大小． 【变式 2. 1】一个两位数，个位上的数字是 a ，十位上的数字是b ，把个位和十位上的数对调得到一个新的两 位数，则新的两位数与原来的两位数的差为______． 【答案】 9a - 9b / -9b + 9a 【分析】十位数字为b ，个位数字为 a ，调换后新的两位数个位 b ，十位为 a ，根据数位知识列出原来的和对 调后的两位数，再根据题意列式计算． 【详解】解：个位上的数字是 a ，十位上的数字是b ，则原来的数表示为： 10b + a ； 调换后新的两位数个位 b ，十位为 a ，则表示为： 10a +b ； 则新数与原数的差为： 10a +b- (10b + a) = 10a +b-10b- a = 9a - 9b ． 故答案为： 9a - 9b ． 【点睛】本题主要考查数位问题，用个位、十位数字表示两位数是解题的关键． 【变式 2.2】某客车上原有(6a - 4b ) 人，中途有一半人下车，又上来若干人，这时车上共有乘客(10a - 6b)人， 则上车乘客是______人． 【答案】 (7a - 4b)/ (-4b + 7a) 【分析】直接根据整式的加减计算法则求出的结果即可得到答案． 解 = 10a - 6b- 3a + 2b = 7a - 4b ， ∴上车乘客是(7a - 4b ) 人， 故答案为： (7a - 4b ) ． 【点睛】本题主要考查了整式加减计算的应用，正确理解题意列出算式是解题的关键． 第 14页（共 23页） 学科网（北京）股份有限公司 【考点 3 求整式的值】 【例 3. 1】若代数式x2 — 3x — 2 = 5，则代数式 2021 + 9x — 3x2值是 ( ) A ．2000 B ．2006 C ．2035 D ．2042 【答案】A 【分析】根据已知式子得到x2 — 3x = 7，代入求值即可； 【详解】 ∵x2 — 3x — 2 = 5， ∴x2 — 3x = 7， ∴原式= 2021 — 3(x2 — 3x) = 2021 — 3 × 7 = 2021 — 21 = 2000． 故选 C． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，准确计算是解题的关键． 【例 3.2】当x = 2 时，代数式px3 + qx + 1 的值为-2019 ，求当x =— 2 时，代数式的px3 + qx + 1 值是( ) A ．2018 B ．2019 C ．2020 D ．2021 【答案】D 【分析】直接把x = 2 代入px3 + qx + 1 中，得到多项式的值，并将这个多项式的值整体代入即可求出答案． 【详解】解：当x = 2 时，px3 + qx + 1 = 8p + 2q + 1 = — 2019 : 8p + 2q =— 2020 当x =— 2 时，px3 + qx + 1 = — 8p — 2q + 1 = — (8p + 2q) + 1 = — (—2020) + 1 = 2021 故选择：D． 【点睛】此题主要考查了整式的加减化简求值，整体代入思想是解题的关键． 【例 3.3】小马虎做一道数学题“两个多项式A, B，已知为B = 2x2 — 3x + 6，试求A — 2B值”．小马虎将A — 2B 看成A + 2B，结果答案（计算正确）为 5x2 — 2x + 9． (1)求多项式A； (2)求出当x =— 1 时，A — B的值． 【答案】(1)x2 + 4x — 3；(2)—17 【分析】（1）根据题意，按照A + 2B的结果为 5x2 — 2x + 9 得到等式A + 2(2x2 — 3x + 6) = 5x2 — 2x + 9， 由整式运算即可得到答案； （2）根据题意，求出A — B =— x2 + 7x — 9，将x =— 1 代入运算后的结果中即可得到答案． 【详解】（1）解：“ B = 2x2 — 3x + 6，A + 2B = 5x2 — 2x + 9， : A = 5x2 — 2x + 9 — 2(2x2 — 3x + 6) = 5x2 — 2x + 9 — 4x2 + 6x — 12 = x2 + 4x — 3； （2）解：“ A = x2 + 4x — 3，B = 2x2 — 3x + 6， A — B = (x2 + 4x — 3 — 2x2 — 3x + 6) 第 15页（共 23页） 学科网（北京）股份有限公司 = x2 + 4x — 3 — 2x2 + 3x — 6 =— x2 + 7x — 9， 当x =— 1 时， 原式=— —12 + 7 × —1 — 9 =— 1 — 7 — 9 =— 17． 【点睛】本题考查整式运算及代数式求值，掌握整式混合运算法则是解决问题的关键． 【变式 3. 1】若a为最大的负整数，b的倒数是-0.5 ，则代数式 2b3 + (3ab2 — a2b) — 2(ab2 + b3)值为 ( ) A ．-6 B ．-2 C ．0 D ．0.5 【答案】B 【分析】先根据题意求出 a=-1,b=-2,然后再化简代入求值即可. 【详解】解:原式=2b3 + 3ab2 — a2b — 2ab2-2b3 =ab2 — a2b ∵a为最大的负整数，b的倒数是-0.5， ∴a=-1, b=-2 当a=- 1, b=-2 时,原式=-1 × （ -2）2 — （ -1）2 × （ -2）=-1 × 4 + 2=-2. 故应选 B. 【点睛】本题考查了整式的化算求值问题,正确进行整式的运算是解题的关键. 【变式 3.2】先化简，再求值 其中 其值为_____． 【答案】 -1． 【分析】先去括号，再合并同类项，最后代入 y即可求解. 原式 = x-2y², 当 x= — ，y时，原式 【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握去括号的法则. 【变式 3.3】一道求值题不小心弄污损了，嘉嘉隐约辨识：化简(m2 + 3m — 4 — 3m + 4m2 — 2)，其中m = — 1．系数“”看不清楚了． (1)如果嘉嘉把“”中的数值看成 2 ，求上述代数式的值； (2)若无论 m 取任意的一个数，这个代数式的值都是—2，请通过计算帮助嘉嘉确定“”中的数值． 【答案】(1)—2m2 — 2， —4；(2)4 【分析】（1）化简式子，再代入数值计算即可； （2）设中的数值为x，则原式= xm2 + 3m — 4 — 3m — 4m2 + 2 = (x — 4)m2 — 2．根据题意可得方程，求 解即可得到答案． 第 16页（共 23页） 学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）原式= 2m2 + 3m — 4 — 3m — 4m2 + 2 = — 2m2 — 2． 当m =— 1 时， 原式=— 2 × ( — 1)2 — 2 = — 2 — 2 = — 4； （2）设中的数值为x，则原式= xm2 + 3m — 4 — 3m — 4m2 + 2 = (x — 4)m2 — 2． “无论m取任意的一个数，这个代数式的值都是—2， : x — 4 = 0． : x = 4． 答：“”中的数是 4． 【点睛】此题考查的是整式的加减，掌握运算法则是解决此题关键． 1 ．下列计算中正确的是 ( ) A ．4a + 5b = 9ab B ．3a2 + 4a2 = 7a4 C ．5xy — 3xy = 2xy D ．8m — 3m = 5 【答案】C 【分析】根据同类项的定义和合并同类项逐项排查即可解答 【详解】解：A ．4a和 5b不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B ．3a2 + 4a2 = 7a2 ，故该选项错误，不符合题意； C ．5xy — 3xy = 2xy，计算正确，符合题意； D ．8m — 3m = 5m，故该选项错误，不符合题意． 故选 C． 【点睛】本题主要考查了同类项的定义、合并同类项等知识点，掌握同类项及合并同类项法则是解答本题的 关键． 2 ．下列各组是同类项的一组是 ( ) A ． B ． —2ab3与 C ．ac与bc D ．πc3x与 9xc3 【答案】D 【分析】根据同类项的定义逐项分析即可，同类项的定义是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项， 叫作同类项． A ．xy与所含字母不同，故不是同类项； B ． —2ab3与ba3相同字母的指数不同，故不是同类项； C ．ac与bc所含字母不同，故不是同类项； D ．πc3x与 9xc3是同类项． 第 17页（共 23页） 学科网（北京）股份有限公司 故选 D． 【点睛】本题考查了同类项的定义及合并同类项，熟练掌握合并同类项的方法是解答本题的关键． 3 ．若a — b = 1, c + d = 2，则(a + d — b — c)的值为 ( ) A ．3 B ．2 C ． 1 D ．0 【答案】A 【分析】根据去括号法则可得所求代数式即为(a — b + c + b) ，据此求解即可． 【详解】解： ∵a — b = 1，c + d = 2， ∴(a + d — b — c) = a + c — b + d = (a — b + c + d) = 1 + 2 = 3． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了去括号法则，代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键． 4 ．下列各式由等号左边变到右边出错的有 ( ) ①a — (b — c) = a — b — c； ②(x2 + y) — 2(x — y2) = x2 + y — 2x + y2 ； ③— (a + b — —x + y) =— a + b + x — y； ④—3(x — y + a — b) =— 3x + 3y + a — b． A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 【答案】C 【分析】根据去括号法则逐一求解判断即可． 【详解】解：①a — (b — c) = a — b + c，计算错误； ②(x2 + y) — 2(x — y2) = x2 + y — 2x + 2y2 ，计算错误； ③— (a + b — —x + y) =— a — b + x — y，计算错误； ④—3(x — y + a — b) =— 3x + 3y + a — b，计算正确； ∴由等号左边变到右边出错的有 3 个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了去括号和添括号计算法则，熟知相关计算法则是解题的关键：去括号法则：如果括 号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号 后原括号内各项的符号与原来的符号相反．添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的 各项都不变号，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号． 5 ．若m — x = 3，n + y = 7，则(m — n — x + y) = ( ) A ． —10 B ． —4 C ．4 D ．10 【答案】B 第 18页（共 23页） 学科网（北京）股份有限公司 【分析】将代数式去括号，进而将已知式子代入即可求解． 【详解】解： ∵m — x = 3，n + y = 7， ∴(m — n — x + y) = m — n — x — y = m — x — (n + y) = 3 — 7 = — 4， 故选：B． 【点睛】本题考查了整式的加减，整体代入是解题的关键． 6 ．若x2 — 2x + 1 = 0，则代数式 2023 + 10x — 5x2 的值为 ( ) A ．2028 B ．2026 C ．2022 D ．2018 【答案】A 【分析】先求出x2 — 2x =— 1，推出 2x — x2 = 1，再将 2023 + 10x — 5x2整理为 2023 + 5(2x — x2)，将 2x — x2 = 1 代入即可求解． 【详解】解： ∵x2 — 2x + 1 = 0， ∴x2 — 2x =— 1， ∴2x — x2 = 1， ∴2023 + 10x — 5x2 = 2023 + 5(2x — x2) = 2023 + 5 × 1 = 2028． 故选：A． 【点睛】本题主要考查整体思想，解题的关键是由x2 — 2x =— 1 推出 2x — x2 = 1 的值． 7 ．多项式—3x2 + 2xy — y2减去 5x2 — xy — 2y2 的差是 ( ) A ．8x2 — 3xy + y2 B ．2x2 + xy + 3y C ． —8x2 + 3xy + y2 D ． —2x2 — xy + y2 【答案】C 【分析】根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：依题意得： —3x2 + 2xy — y2 — (5x2 — xy — 2y2) =— 3x2 + 2xy — y2 — 5x2 + xy + 2y2 =— 8x2 + 3xy + y2， 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8 ．如图 1 ，将一个边长为 m 的正方形纸片剪去两个小长方形，得到一个“S”图案，如图2 所示，再将剪下的 两个小长方形拼成一个新的长方形，如图 3 所示，则新长方形的周长可表示为 ( ) 第 19页（共 23页） 学科网（北京）股份有限公司 A ．4m — 8n B ．3m — 5n C ．2m — 4n D ．4m — 10n 【答案】A 【分析】根据题意找出新长方形的长与宽，进而表示出周长即可． 【详解】解：根据题意得：新长方形的长为m — n，宽为m — 3n， 则新长方形的周长为 2[(m — n + m — 3n)] = 2(2m — 4n) = 4m — 8n． 故选：A． 【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 9 ．当 m=_________时，关于 x 的多项式 8x2 — 3x + 5 与多项式 3x2 + 4mx2 — 5x + 3 的和中不含x2项． 【分析】先将两个多项式求和，根据和中不含x2项, 即x2项的系数为 0 ，据此求解即可． 【详解】解：8x2 — 3x + 5 + (3x2 + 4mx2 — 5x + 3 = 11 + 4m)x2 — 8x + 8， ∵关于 x 的多项式 8x2 — 3x + 5 与多项式 3x2 + 4mx2 — 5x + 3 的和中不含x2项， ∴11 + 4m = 0， 故答案为： 【点睛】本题考查合并同类项，不含某一项，即合并后此项系数为 0． 10 ．已知a — 2b = 4，则 3a + (b — a — 5b + 1) =____________． 【答案】7 【分析】先化简整式，再整体代入求值即可． 【详解】解：3a + (b — a — 5b + 1) = 3a + b — a — 5b — 1 = 2a — 4b — 1， ∵a — 2b = 4， ∴原式= 2(a — 2b) — 1 = 2 × 4 — 1 = 7， 故答案为：7． 【点睛】此题考查了整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则． 11．若 2ab2m+n与am—nb8 的差仍是一个单项式，则mn =______． 【答案】9 第 20页（共 23页） 学科网（北京）股份有限公司 【分析】依题意可得 2ab2m+n与am—nb8是同类项，进而求得m,n的值，即可求解． 【详解】解： ∵2ab2m+n与am—nb8 的差仍是一个单项式， ∴2m + n = 8，m — n = 1， ∴m = 3，n = 2， ∴mn = 9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了合并同类项，根据同类项的定义求出m,n的值是关键． 12 ．把(x + y和 x — y)各看作一个字母因式，合并同类项：3(x + y2 — x — y) + 2(x + y2 + x — y) — 5(x + y)2 =______． 【答案】0 【分析】先根据同类项的概念进行判断是不是同类项，然后根据合并同类项的法则，即系数相加作为系数， 字母及字母的指数不变，进行合并同类项即可． 【详解】原式= (3 + 2 — 5)(x + y2 + —1 + 1)(x — y) = 0， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了同类项的概念和合并同类项的法则，熟练掌握知识点是解题的关键． 13 ．如果单项式 2x3ym与— xn—1y的和是一个单项式，那么mn =_______． 【答案】4 【分析】根据题意可知，2x3ym与— xn—1y是同类项，从而求出 m 、n 的值，然后得到答案． 【详解】解： ∵单项式 2x3ym与— xn—1y的和是一个单项式， ∴2x3ym与— xn—1y是同类项， ∴m = 1，n — 1 = 3， 解得：n = 4， ∴mn = 1 × 4 = 4； 故答案为 4． 【点睛】本题考查合并同类项、同类项的含义，单项式，解答本题的关键是明确题意，求出 m 、n 的值． 14 ．下列各组中的两项是不是同类项？为什么？ (1)7x2y4与 8x4y． (2)5x2y与 6x2yz． (4)—12a2b3与 2b3a2． (5)m3与23． 【答案】(1)是同类项；(2)不是同类项；(3)是同类项；(4)是同类项；(5)不是同类项 【分析】根据同类项的定义逐个判断即可（所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫作同类 第 21页（共 23页） 学科网（北京）股份有限公司 项）． 解：(1)中两项所含相同的字母的指数不同，不是同类项． (2)中两项所含字母不同，不是同类项． (3)中两项符合同类项定义，是同类项． (4)中两项符合同类项定义，是同类项． (5)中两项不含相同字母，不是同类项． 【点睛】本题主要考点了同类项的定义，根据同类项的定义逐个判断即可，熟练掌握同类项的定义：“所含 字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫作同类项”是解题的关键． 15 ．化简： (2)(6m2n — 4m + 2m2n — 4m + 1)． 【答案】(1) a；(2)8m2n — 8m + 1． 【分析】（1）直接合并同类项即可解答； （2）先去括号，然后合并同类项即可． 解 = 4 a2． （2）解：(6m2n — 4m + 2m2n — 4m + 1)， = 6m2n — 4m + 2m2n — 4m + 1， = (6m2n + 2m2n — 4m + 4m) + 1， = 8m2n — 8m + 1． 【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，掌握合并同类项、去括号、添括号是解答本题的关键． 16 ．已知A = 2x2 + xy + 3y，B = x2 — xy． (1)若(x + 2)2 + Iy — 3I = 0，求A — 2B的值． (2)若A — 2B的值与y的值无关，求x的值． 【答案】(1)—9；(2)—1 【分析】（1）根据去括号，合并同类项，化简成最简形式，再根据非负数的和为 0，每一个非负数都是 0， 求出x、y的值，最后可得答案； （2）根据多项式的值与y无关，可得y的系数等于零，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：A — 2B = (2x2 + xy + 3y) — 2(x2 — xy) = 2x2 + xy + 3y — 2x2 + 2xy = 3xy + 3y． 第 22页（共 23页） 学科网（北京）股份有限公司 ∵(x + 2)2 + Iy — 3I = 0， ∴x =— 2，y = 3． ∴A — 2B = 3 × ( — 2) × 3 + 3 × 3 =— 18 + 9 =— 9． （2）解： ∵A — 2B的值与y的值无关，即(3x + 3)y与y的值无关， ∴3x + 3 = 0，解得x =— 1． 【点睛】本题考查了整式的加减、绝对值的非负性、掌握非负数的和为 0，每一个非负数都是 0 是解题关键． 17 ．飞机的无风航速为akm/h，风速为ykm/h．有一架飞机先顺风飞行 4h 后，又逆风飞行 3h． (1)该飞机共飞行了多少千米？ (2)若y = 20，求飞机顺风飞行的航程比逆风飞行的航程多多少千米？ 【答案】(1)(7a + y)km；(2)(a + 140)km 【分析】（1）根据题意列出代数式，然后化简即可； （2）将y = 20 代入，列式求解即可． 【详解】（1）4(a + y) + 3(a — y) = 4a + 4y + 3a — 3y = (7a + y)km 答：共飞行(7a + y)km （2）4(a + 20) — 3(a — 20) = 4a + 80 — 3a + 60 = (a + 140)km 答：顺风飞行的航程比逆风飞行的航程多(a + 140)km． 【点睛】本题主要考查代数式，整式的加减运算，根据题意列出相应的代数式是解题的关键． 第 23页（共 23页） 学科网（北京）股份有限公司 $$