【数学帮】有理数的加减（解析版）

03 有理数的加减 ·模块一 有理数的加法 ·模块二 有理数的加法运算律 ·模块三 有理数的减法 ·模块四 有理数的加减混合运算 ·模块五 课后作业 有理数的加法法则 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与 0 相加，仍得这个数. 【考点 1 有理数的加法法则】 【例 1. 1】下列说法中正确的是 ( ) A ．两数相加，其和大于任何一个加数 B ．异号两数相加，其和小于任何一个加数 C ．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零 D ．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号 【答案】C 【分析】根据有理数的加法分别分析各个选项，然后得出结论即可． 【详解】解：A 选项，两数相加，其和大于任何一个加数，说法错误，例如：两个负数相加，故不符合题意； B 选项，异号两数相加，其和小于任何一个加数，说法错误，如果和为正数，就不满足题干要求，故不符 合题意； C 选项，绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零，说法正确，故符合题意； D 选项，两数相加，取绝对值较大一个加数的符号作为结果的符号，原说法错误，故不符合题意； 故选：C． 第 1页（共 24页） 【点睛】本题主要考查有理数加法的知识，熟练掌握有理数加法是解题的关键． 【例 1.2】如果a．b是有理数，则下列各式子成立的是 ( ) A ．如果a<0，b < 0，那么a + b > 0 B ．如果a > 0，b < 0，那么a + b > 0 C ．如果a > 0，b < 0，那么a + b < 0 D ．如果a<0，b < 0，且IaI > IbI，那么a + b < 0 【答案】D 【分析】利用有理数的加法法则判断即可得到结果． 【详解】解：A ．如果a<0，b < 0，两负数相加结果仍为负数，那么a + b<0，选项错误，与题意不符； B ．如果a > 0，b < 0，若 a < b ，那么a + b<0，选项错误，与题意不符； C ．如果a > 0，b < 0，若 a > b ，那么a + b>0，选项错误，与题意不符； D ．如果a<0，b < 0，且IaI > IbI，两负数相加结果仍为负数，那么a + b < 0，选项正确，与题意相符； 故选：D 【点睛】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式 1. 1】若两个有理数的和等于零，则这两个有理数必定 ( ) A ．相等 B ．都是零 C ．互为相反数 D ．有一个数是零 【答案】C 【分析】根据有理数的加法运算法则解答即可． 【详解】解：两个有理数之和等于零，那么这两个有理数一定互为相反数，故 C 正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法，相反数，熟练掌握有理数的加法运算法则是解题的关键． 【变式 1.2】两数相加，其和小于每个加数，那么这两个数一定是 ( ) A ．同号且为正 B ．互为相反数 C ．异号 D ．同号且为负 【答案】D 【分析】通过举例说明每一选项正确或错误． 【详解】解：A 、同号且为正，例如：5 + 3 = 8 > 3，故不符合题意； B 、互为相反数相加得 0 ，故不符合题意； C 、例如：8 + ( 一 2) = 6 < 8，故不符合题意； D 、如：一2 + ( 一 5) =一 7 <一 2，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法、相反数，掌握有理数的加法运算法则，符号的确定是解题关键． 【考点 2 有理数加法法则的应用】 【例 2. 1】计算：一6 + 4 的结果是( ). A ．2 B ．10 C ．一2 D ．一10 第 2页（共 24页） 学科网（北京）股份有限公司 【答案】C 【分析】符号不相同的异号加减，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 【详解】-6+4=-（6-4）=-2． 故选 C． 【点睛】考查了有理数的加法法则，解题关键是符号不相同的异号加减，取绝对值较大的符号，并用较大的 绝对值减去较小的绝对值. 【例 2.2】下列各式计算正确的是 ( ) A ． −3 + −3 = 0 B ．0 + −5 = − 5 C ．(−10 + +7) =+ 17 D ． −3 + −7 = − 4 【答案】B 【分析】按照有理数加法法则进行计算即可． 【详解】解：A ． −3 + −3 = − 6 ，原计算错误，不符合题意； B ． 0 + −5 = − 5 ，原计算正确，符合题意； C ． (−10 + +7) = − 3 ，原计算错误，不符合题意； D ． −3 + −7 = − 10 ，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查有理数加法法则：1 ．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2 ．绝对值不相等 的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个 数相加得0；3 ．一个数同零相加，仍得这个数．掌握理数加法法则是解题的关键． 【例2.3】在中国古代数学名著《九章算术》中记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图 1 表示的是计算( + 3) + ( − 4)的过程，按照这种方法，图 2 表示的过程应是在计算 ( ) A ．( − 3) + ( − 2) B ．( + 3) + ( − 2) C ．( − 3) + ( + 2) D ．( + 3) + ( + 2) 【答案】B 【分析】 由图 1 可以看出白色表示负数，黑色表示正数，观察图2 可列式． 【详解】解：由图 1 知： 白色表示负数，黑色表示正数， ∴图 2 表示的过程是在计算( + 3) + ( − 2)， 故选：B． 【点睛】此题考查了有理数的加法，解题的关键是理解图 1 中表示的计算． 第 3页（共 24页） 学科网（北京）股份有限公司 【变式 2. 1】请写出一个与—5 的和为正数的数，你写的是____________． 【答案】6（答案不唯一） 【分析】根据有理数的加法求解即可． 【详解】解：6 + —5 = 1， 故答案为：6 ．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加， 取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同 0 相加，仍得这个数．掌握有理 数的加法法则是解题的关键． 【变式 2.2】把—3，—2，—1，0，1 这五个数填入下列圆中，使行、列三个数的和相等，其中错误的是 ( ) 第 4页（共 24页） 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数加法运算法则进行计算即可． 【详解】解：A 、 —1 + ( — 3) + 0 = 1 + ( — 3) + ( — 2) = — 4，行、列三个数的和相等，不符合题意； B 、 —3 + 1 + 0 = — 1 + 1 + ( — 2) = — 2，行、列三个数的和相等，不符合题意； C 、 —2 + ( — 1) + 0 = 1 + ( — 1) + ( — 3) = — 3，行、列三个数的和相等，不符合题意； D 、1 + ( — 2) + ( — 3) = — 4)0 + ( — 2) + ( — 1) = — 3，行、列三个数的和不相等，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握有理数加法运算法则是解本题的关键． 【变式 2.3】 a = 5， b = 3，且a < b，则a + b的值为______． 【答案】 —2 或—8/—8 或—2 【分析】根据绝对值的性质，可求出a) b的值，再根据a < b确定a) b的值，由此即可求解． 【详解】解： ∵ a = 5， b = 3， ∴a =± 5，b =± 3， ∵a < b， ∴a =— 5，b =± 3， ∴a + b =— 5 + 3 = — 2 或a + b =— 5 + ( — 3) = — 8， 故答案为： —2 或—8． 【点睛】本题主要考查绝对值的知识，掌握绝对值的性质，有理数的加减法运算法则是解题的关键． 有理数的加法运算律 （1）加法的交换律： a + b = b + a； （2）加法的结合律：(a + b) + c = a + (b + c). 【考点 1 有理数的加法运算律】 这个运算中运用了( ) A ．加法的交换律 B ．加法的结合律 C ．加法的交换律和结合律 D ．以上均不对 【答案】C 【分析】观察算式的变化，进而判断运用了哪些运算定律． 【详解】题干中，− 向前移动了，故运用了加法的交换律；同时，将( − 2.5) + 3.5 用括号括起来，运用了 加法的结合律 故选：C． 【点睛】本题考查加法运算定律的判定，把握住运算定律的特点是解题关键． 【例 1.2】下列变形，运用加法运算律正确的是 ( ) A ．3 + −2 = 2 + 3 B ．4 + −6 + 3 = −6 + 4 + 3 C ．[5 + −2] + 4 = [5 + −4] + 2 D ．16 + −1 + (+56 = 16 + 56 + +1) 【答案】B 【分析】根据有理数加法的交换律与结合律逐项判断即可得． 【详解】解：A ．3 + −2 = −2 + 3 ，则此项错误，不符合题意； B ．4 + −6 + 3 = −6 + 4 + 3 ，则此项正确，符合题意； C ．[5 + −2 + 4 = (5 + 4 + −2) ，则此项错误，不符合题意； D ．16 + −1 + (+56 = 16 + 56 + −1) ，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数加法的运算律，熟练掌握有理数加法的交换律与结合律是解题关键． 【例 1.3】运用加法交换律和结合律计算： （1）3 + ( − 10) + 7 = 3________7_________( − 10) =_________； （2）( − 6) + 12 + ( − 3) + ( − 5) = [( − 6)________( − 3)________( − 5)]_______12 =_______． 第 5页（共 24页） 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 + + 0 + + + -2 【分析】（1）可以先把正数结合在一起，然后再利用有理数的加法法则计算即可解决本题； （2）可以先把负数结合在一起，然后再利用有理数的加法法则计算即可解决本题． 【详解】解：根据加法交换律和结合律 （1）3 + ( − 10) + 7 = 3 + 7 + ( − 10) = 0； （2）( − 6) + 12 + ( − 3) + ( − 5) = [( − 6) + ( − 3) + ( − 5)] + 12 = − 2 故答案为：（1）+ 、+ 、0；（2）+ 、+ 、+ 、-2． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算规律，熟记有理数的加法交换律和结合律是解决本题的关键． 【变式 1. 1】在( )里写出每一步变形过程的依据． (－4)＋(＋18)－(－3)－(＋13)＋(－2) =(－4)＋(＋18)＋(＋3)＋(－13)＋(－2) (_______) = [(－4)＋(－13)＋(－2)]＋[(＋18)＋(＋3)] (________) =(－19)＋(＋21) (________) =2 ． (________) 【答案】将减法统一为加法 加法的交换律、结合律 有理数加法法则 有理数加法法则 【分析】根据题意利用加法的交换律、结合律以及有理数加法法则进行分析即可． 【详解】解：(－4)＋(＋18)－(－3)－(＋13)＋(－2) =(－4)＋(＋18)＋(＋3)＋(－13)＋(－2) ( 将减法统一为加法) = [(－4)＋(－13)＋(－2)]＋[(＋18)＋(＋3)] (加法的交换律、结合律) =(－19)＋(＋21) ( 有理数加法法则) =2 ． (有理数加法法则) 故答案为：将减法统一为加法；加法的交换律、结合律；有理数加法法则；有理数加法法则． 【点睛】本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数加法的交换律、结合律以及有理数加法法则是解题的关键． 【变式 1.2】利用加法的交换律和结合律，将 写成____________________ ，可以使运算简便． 【分析】运用加法交换律和结合律改变运算顺序可以使运算简便. -3－5+15 故答案为 【点睛】本题考查了加法的运算定律，熟练记住加法交换律和结合律可以简便计算. 第 6页（共 24页） 学科网（北京）股份有限公司 【考点 2 运用有理数的加法运算律计算】 【例 2. 1】计算 2016＋(－99)＋(－2016)＋(＋100)的结果是( ) A ．－1 B ．1 C ．－199 D ．199 【答案】B 【详解】分析：把第一个数和第三个数结合, 第二个数和第四个数结合. 详解：2016＋(－99)＋(－2016)＋(＋100) =[2016＋(－2016)] +[(－99)＋(＋100)] =0+1 = 1. 故选 B. 点睛：本题考查了有理数的加法运算，熟记加法法则并熟练运用加法运算律是解答本题的关键. 计算． 【答案】-3.7 【分析】运用有理数加法的运算律进行化简，即可得到答案． 【详解】解：( − 1.75) + 1 + 7.3 + ( − 2.25) + −8 = − 4 + ( − 7) + 7.3 = − 3.7； 故答案为： −3.7． 【点睛】本题考查了有理数加法的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 【例 2.3】计算： (1)−3 + 12 + −17 + +8 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）原式运用加法的交换律和结合律进行计算即可得到答案； （2）原式先将−2.75 化为−2，再运用加法的交换律和结合律进行计算即可得到答案． 【详解】（1） −3 + 12 + (−17 + +8) =(−3 − 17 ++ 12 + 8) = − (3 + 17 ++ 12 + 8) =−20 + 20 =0； ( 4 3 3 )（2）2 3 + 5 2 + −2.75 + −5 1 =2 + 5 + −2 第 7页（共 24页） 学科网（北京）股份有限公司 第 8页（共 24页） 学科网（北京）股份有限公司 = 2 − 2 + 5 − 5 1 3 【点睛】本题主要考查了有理数加法的运算，熟练掌握有理数加法的计算方法是解题的关键． 计算 【答案】1 【详解】试题解析：（+6）+（-18）+（+4）+（-6.8）+18+（-3.2） =[（+6）+（+4）]+[（-18）+18]+[（-3.2）+（-6.8）] = 1. ( 4 4 4 )【变式 2.2】计算 6 3 + −5 1 + −6 3 + ( + 1.2) + ( − 2.75) + 1.8 ，所得的结果是( ) A ．－3 B ．3 C ．－5 D ．5 【答案】C 【分析】利用加法的运算律计算即可． 【详解】原式=6 + −6 + −5 + ( − 2.75) + 1.8 + ( + 1.2) =0 + −8) + 3 = − 5， 故选：C． 【点睛】本题主要考查有理数的加法运算，掌握有理数的加法运算律是解题的关键． 【变式 2.3】如图，小明设计了一个计算程序，并按此程序进行了计算，若开始输入的数为−7 ，则最后输出 的数为______． 【答案】 −18 【分析】根据题意列式计算即可． 【详解】解：依题意，输出结果为： −7+7+−8+2+(−12 = −7+7+ −8+ −12)]+2=−20+2=−18， 故答案为： −18 【点睛】本题考查有理数的加法，掌握有理数的加法法则和加法运算律是解题的关键． 有理数的减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数；即 a − b = a + ( − b). 【考点 1 有理数减法法则】 【例 1. 1】计算( − 3) − ( − 5)的结果是 ( ) A ．− 8 B ． −2 C ．8 D ．2 【答案】D 【分析】直接利用有理数的减法运算法则计算得出答案． 【详解】解：( − 3) − ( − 5) = ( − 3) + ( + 5) = 2， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数的减法，正确掌握有理数减法法则是解题关键． 【例 1.2】下列计算中错误的是 ( ) A ．−2 − −2 = 0 B ．−3 − 4 − 5 = − 12 C ． −7 − −3 = − 10 D ．12 − 15 = − 3 【答案】C 【分析】根据有理数的减法法则计算判断即可． 【详解】解：因为−2 − ( − 2) = − 2 + 2 = 0 ，所以 A 正确，不符合题意； 因为−3 − 4 − 5 = − (3 + 4 + 5) = − 12 ，所以 B 正确，不符合题意； 因为−7 − ( − 3) = − 7 + 3 = − 4 ，所以 C 错误，符合题意； 因为 12 − 15 = − (15 − 12) = − 3 ，所以 D 正确，不符合题意； 故选 C． 【点睛】本题考查了有理数的减法，熟练掌握减法的法则是解题的关键． 【例 1.3】列式计算： （1） −3 减去−5与 2.5 的和所得差是多少？ （2）3 ，−5 ，−6 的和比这三个数和的绝对值大多少？ 【答案】（1）0；（2）-16 【分析】（1）先列出算式，再根据有理数的加法和有理数的减法运算法则进行计算即可得解； （2）先列出算式，再根据有理数的加法和有理数的乘方的定义以及有理数的减法运算法则和绝对值的性质 进行计算即可得解． 第 9页（共 24页） 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：（1）( − 3) − −5 + 2.5 = ( − 3) − ( − 3) = ( − 3) + 3 = 0； （2）[3 + ( − 5) + ( − 6)] − |3 + ( − 5) + ( − 6)| = ( − 8) − 8 = ( − 8) + ( − 8) = − 16． 【点睛】本题考查了有理数的减法，绝对值的性质，有理数的加法，熟记运算法则并准确列出算式是解题的 关键． 【变式 1. 1】计算： (1)−3 − −3 ； (2)6 + −6． 【答案】(1)−6 (2)0 【分析】（1）先化简绝对值，再计算减法，即可求解； （2）直接根据有理数的减法法则计算，即可求解． 【详解】（1）解： −3 − −3 = − 3 − 3 = − 6 （2）解：6 + −6 = 0 【点睛】本题主要考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数加减运算法则是解答此题的关键． 【变式 1.2】给出下列计算：① −3 − −2 = − 1②−4 − −2 = 2③−5 − −3 =− 2④+7 − +2 = 5， 其中正确的个数为 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ．4 【答案】C 【分析】分别求出各个式子的值，然后进行判断即可． 【详解】解：① −3 − −2 = − 3 + 2 = − 1 ，故①正确； ② −4 − −2 = − 4 + 2 = − 2 ，故②错误； ③ −5 − −3 = − 5 + 3 = − 2 ，故③正确； ④ +7 − +2 = 7 − 2 = 5 ，故④正确； 综上分析可知，正确的有 3 个，故 C 正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数减法运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减运算法则，准确计算． 【变式 1.3】计算： (1)−2 − (+10) ； (2)0 − (−3.6)； 第 10页（共 24页） 学科网（北京）股份有限公司 (3)−30 − −6 − +6 − −15 ； 【答案】(1)−12； (2)3.6； (3)−15； 【分析】（1）根据有理数的减法法则计算即可；（2）根据有理数的减法法则计算即可； （3）根据有理数的减法法则计算即可；（4）根据有理数的减法法则计算即可； 【详解】（1） −2 − (+10) = − 2 + (−10) = − (2 + 10) = − 12； （2）0 − (−3.6) = 0 + (+3.6) = 3.6； （3）(−30 − −6 − +6 − −15) = (−30 + +6 + −6 + +15) = − 30 + 6 − 6 + 15 = − 15； 【点睛】本题主要考查了有理数的减法，解决本题的关键是熟练掌握有理数的减法法则：减去一个数，等于 加上这个数的相反数． 【考点 2 有理数减法法则的运用】 【例 2. 1】如图是某市 11 月份连续四天的天气预报信息，其中日温差最大的一天是 ( ) 11 月 11 日 11 月 12 日 11 月 13 日 11 月 14 日 第 11页（共 24页） 学科网（北京）股份有限公司 4～14℃多云 南风< 3 级 0～9℃阵雨 北风< 3 级 —4 ~ 7℃阵雨 北风< 3 级 —6 ~— 3℃晴 西北风< 3 级 A ．11 月 11 日 B ．11 月 12 日 C ．11 月 13 日 D ．11 月 14 日 【答案】C 【分析】分别求出每天的温差，然后进行比较即可． 【详解】解：11 月 11 日温差为 14 — 4 = 10℃ , 11 月 12 日温差为 9 — 0 = 9 ℃ , 11 月 13 日温差为 7 — —4 = 11℃ , 11 月 14 日温差为—3 — —6 = 3 ℃ , ∵11 > 10 > 9 > 3， ∴ 日温差最大的一天是 11 月 13 日，故 C 正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数减法的应用，解题的关键是准确求出四天的温差． 【例 2.2】如图是张大爷家 1 月份至 6 月份的每月用电量的统计图，由图中信息可知张大爷家这 6 个月中每 月用电量最大值与最小值的差是 ( ) A ．250 千瓦时 B ．150 千瓦时 C ．100 千瓦时 D ．200 千瓦时 【答案】B 【分析】根据折线统计图先找出张大爷最多用的电数和最少用的电数，两者相减即可得出答案． 【详解】 由图可知，1～6 月份 6 个月每月用电量分别为 150 千瓦时、250 千瓦时、200 千瓦时、100 千瓦时、 150 千瓦时、100 千瓦时， 张大爷用电量最多的月份是 2 月份，用了250 度，最少的月份是 4 月份和 6 月份，用了 100 度， 故这 6 个月中每月用电量的最大值与最小值的差为 250 — 100 = 150（千瓦时）． 故选 B． 【例 2.3】某矿井下A，B，C三处的海拔分别为—35.6 米， —122.7 米， —67.8 米． (1)求A处比C处高多少米？ (2)求B处比C处高出多少米？ 第 12页（共 24页） 学科网（北京）股份有限公司 【答案】(1)32.2 米 (2)—54.9 米 【分析】(1)根据在同一基准下，计算差值，将所对应的值直接相减即可； (2)根据在同一基准下，计算差值，将所对应的值直接相减即可； 【详解】（1）解： —35.6 — ( — 67.8) = 32.2(米)， 答：A处比C处高 32.2 米； （2） —122.7 — ( — 67.8) =— 54.9(米)， 答：B处比C处高—54.9 米． 【点睛】本题考查了有理数减法的应用，掌握有理数加减法法则是解题的关键． 【变式 2. 1】小林和妈妈去奶奶家，8 时 40 分从家出发，13 时 40 分到达，路上共用了（ ）时． A ． 3 B ．4 C ． 5 D ．6 【答案】C 【分析】利用有理数减法法则计算即可得出答案． 【详解】13 时 40 分— 8 时 40 分= 5 时 故选 C． 【点睛】本题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式 2.2】数 a ，b ，c 在数轴上的位置如下图所示， （1）用“＞”或“＜”填空： a___0 ，b___0 ，c___0 ，a＋c___0 ，b－c___0 ，c－b___0； （2）化简：|a＋c|＋|b－c|－|c－b|． 【答案】（1）＞，＜，＜，＜，＞，＜；（2）-a-c 【分析】（1）根据数轴的特点，右边的数大于左边的数，而且离得越远，数的绝对值越大，可以依次判定 出结果； （2）根据正数的绝对值等于本身，负数的绝对值等于相反数，去绝对值，合并后即可得到结果． 【详解】解：（1）根据数轴的特点，右边的数大于左边的数，而且离的越远，数的绝对值越大； 故 a＞0 ，b＜0 ，c＜0 ，a+c＜0 ，b-c＞0 ，c-b＜0； （2）|a＋c|＋|b－c|－|c－b| =-a-c+b-c+c-b =-a-c． 【点睛】本题主要考查了数轴以及绝对值，熟练数轴的特点以及去绝对值是解决本题的关键． 第 13页（共 24页） 学科网（北京）股份有限公司 【考点 1 有理数加减统一成加法】 【例 1. 1】把( − 2) − ( + 1) + ( + 2) − ( − 3)写成省略加号的和的形式为( ) A ．−2 + 1 + 2 − 3 B ． −2 − 1 + 2 − 3 C ．−2 − 1 + 2 + 3 D ． −2 − 1 − 2 + 3 【答案】C 【分析】根据有理数的加减进行计算即可求解． 【详解】解： −2 − +1 + +2 − −3 = − 2 − 1 + 2 + 3， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的加减运算，掌握有理数的加减运算法则是解题的关键． 【例 1.2】下列运算正确的是 ( ) A ．( − 2) + 3 = − 1 B C ．( − 2) + ( − 2) = 0 D ．−1 − 1 = 0 【答案】B 【分析】根据有理数加法的计算方法逐项进行计算即可． 【详解】解：A ．( − 2) + 3 = 1 ≠ − 1 ，因此本选项不符合题意； B ． 因此本选项符合题意； C ．( − 2) + ( − 2) = − 4 ≠ 0 ，因此本选项不符合题意； D ．−1 − 1 = − 2 ≠ 0 ，因此本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的加减法，掌握有理数加法的计算方法是正确解答的前提． 【变式 1. 1】有理数的加减混合运算可以统一成加法运算，如算式“−20 − −9 + −8 + 10”可以看成 这 4 个数的和． 【答案】 −20 + 9 + −8 + 10 【分析】根据减法运算法则进行解答即可． 【详解】解： −20 − −9 + −8 + 10 = − 20 + 9 + −8 + 10． 故答案为： −20 + 9 + −8 + 10． 【点睛】本题主要考查了有理数减法运算，解题的关键是熟练掌减去一个数等于加上这个数的想法． 【变式 1.2】把( − 4) − ( + 13) + ( − 5) − ( − 9)写成省略加号和括号的形式是____________ ；读作： ____________或____________． 【答案】 −4 − 13 − 5 + 9 -4 -13 -5+9 负 4 减 13 减 5 加 9 负 4 、负 13 、负 5 、9 的和 【分析】首先把减法改为加法，省略括号和前面的加号即可． 【详解】解：( − 4) − ( + 13) + ( − 5) − ( − 9) 第 14页（共 24页） 学科网（北京）股份有限公司 = ( − 4) + ( − 13) + ( − 5) + ( + 9) = − 4 − 13 − 5 + 9； 读作：负 4 减 13 减 5 加 9 或负 4 、负 13 、负 5 、9 的和． 故答案为： −4 − 13 − 5 + 9 -4 -13 -5+9；负 4 减 13 减 5 加 9；负 4 、负 13 、负 5 、9 的和． 【点睛】此题考查有理数的加减混合运算的简写方法，注意简写前后符号的变化，读法按两种意义 去读． 【考点 2 有理数的加减混合运算】 【例 2. 1】计算(−10 − −29+ −19)的结果是______________． 【答案】0 【分析】直接根据有理数加减运算法则计算即可． 【详解】解：(−10 − −29+ −19) = (−10) + 29 − 19 = 0． 故答案为 0． 【点睛】本题主要考查了有理数加减运算法则，掌握减一个数等于加上其相反数是解答本题的关键． 【例 2.2】计算 5 − −7 + −1 的值为_________． 【答案】 −3 【分析】先计算绝对值符号里面的，再去掉绝对值符号，即可求解． 【详解】解：5 − −7 + −1 = 5 − −8 = 5 − 8 = − 3， 故答案为： −3． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减运算以及绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握有理数的加减法则以 及正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0． 【变式 2. 1】计算： (1)5.5 + (−1.5) (2)4 − 10 − 3 + 7 (3)−20 − +25 + −17 【答案】(1)4 (2)−2 (3)−62 (4)3 【详解】（1）解：5.5 + (−1.5) = 4， （2）4 − 10 − 3 + 7 = 11 − 13 = − 2； （3）(−20 − +25 + −17) = − 45 − 17 = − 62， 第 15页（共 24页） 学科网（北京）股份有限公司 = 3． 【点睛】本题考查的是有理数的加减混合运算，掌握“混合运算的运算顺序以及利用加法的运算律进行简便 运算”是解本题的关键． 计算 【答案】6.1 【分析】根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解． 解 = − 0.4 + 6 + 0.5 = 6.1． 【【变式 (点睛)2 (】) . 3 (本)】计算 (题考查)：1 (了)，−掌有2022 (减的)运=算_法则是解题的关键． 【答案】 −1011 ( 【分析】按照数字的顺序，两个分为一组，共 1011 组，计算后进一步合并即可 )【详解】解：1 − +2, + 3 − +4 + 5 − +6 + ⋯ − +2022, ． −−1(1 (2) 1 (+)−−( 4) + 5 − ( + 6) + … + i2021 − ( + 2022)i = − 1011． 故答案为： −1011． 【点睛】此题考查有理数的加减混合运算，掌握运算方法，适当分组是解决问题的关键． 【考点 3 有理数的加减混合运算在生活中的应用】 【例 3. 1】某地一天早晨的气温是−7°C ，中午气温上升了 9°C ，下午又下降了 11°C ，晚上又下降了 3°C ，则 晚上的温度为_________°C． 【答案】 −12 【分析】根据有理数的加减混合运算的运算方法，用某地一天早晨的气温加上中午又上升的温度，再减去下 第 16页（共 24页） 学科网（北京）股份有限公司 午和夜间又下降的温度，求出晚上的温度为多少即可． 【详解】解：−7 + 9 − 11 − 3 = − 12°C． 答：晚上的温度是−12°C． 故答案为： −12． 【点睛】此题主要考查了有理数的加减混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确有理数加减的运算 法则． 【例 3.2】现有 10 包棉签，以每包 100 根为标准，超过的根数记作正数，不足的根数记作负数，每包数据记 录如下：+3 ，−2 ，−1 ，0 ，+6 ， −1 ，+4 ，−2 ， −5 ，+1． 回答下列问题： (1)这 10 包棉签根数最多的有 根，最少的有 根； (2)这 10 包棉签一共有多少根？ 【答案】(1)106；95 (2)这 10 盒棉签一共有 1003 根． 【分析】（1）根据正、负数的意义解答； （2）把所有记录相加，再加上标准根数计算即可得解． 【详解】（1）解：根数最多的是 100 + 6 = 106（根）， 最少的是 100 − 5 = 95（根）； 故答案为：106；95； （2）解：3 − 2 − 1 + 0 + 6 − 1 + 4 − 2 − 5 + 1 = 3（根）， 100 × 10 + 3 = 1003（根）． 答：这 10 盒棉签一共有 1003 根． 【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意 义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【变式 3. 1】手机移动支付给生活带来便捷．右图是张老师 2022 年 12 月 26 日微信账单的收支明细（正数表 示收入，负数表示支出，单位：元），张老师当天微信收支的最终结果是 ( ) A ．收入 19.00 元 B ．支出 10 元 C ．支出 3.00 元 D ．支出 22.00 元 【答案】C 【分析】根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：+19 − 10 − 12 = − 3（元），即表示支出 3 元， 第 17页（共 24页） 学科网（北京）股份有限公司 故选：C． 【点睛】本题考查了正负数的意义，掌握有理数的加减运算是解题的关键． 【变式 3.2】某天一潜水员下海，他从水面潜入水下 18 米，后因海水中的洋流，上升了 8 米，在洋流过去后， 他下潜到预定的水下 35 米的位置，则该潜水员在洋流过程后，下潜了 ( ) A ．9 米 B ．10 米 C ．17 米 D ．25 米 【答案】D 【分析】根据有理数的加减运算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：该潜水员在洋流过程后，下潜了 35 − (18 − 8) = 35 − 10 = 25 米． 故选：D 【点睛】本题主要考查了有理数的加减运算的应用，明确题意，准确列出算式是解题的关键． 第 18页（共 24页） 学科网（北京）股份有限公司 1 ．按照有理数加法法则，计算 15 + (−23)的正确过程是 ( ) A ．+ (23 + 15) B ．+ (23 − 15) C ．− (23 + 15) D ． − (23 − 15) 【答案】D 【分析】根据有理数的加法法则：异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，再用大绝对值减去小绝对值即 可． 【详解】解：15 + (−23) = − (23 − 15)． 故选：D． 【点睛】考查了有理数的加法，关键是熟练掌握异号两数相加的计算法则． 2 ．比−1 大 4 的数是 ( ) A ．−5 B ． −3 C ．3 D ．5 【答案】C 【分析】根据有理数的加法即可求解． 【详解】 由题意，得：−1 + 4 = 3， 故选：C． 【点睛】本题考查有理数的加法，解题的关键是理解题意，掌握有理数加法的运算方法． 3 ．不改变原式的值，把式子(−10 − +4 + −7 − −3)写成省略括号和加号的和的形式是 ( ) A ．−10 − 4 − 7 − 3 B ． −10 − 4 − 7 + 3 C ．10 − 4 − 7 + 3 D ． −10 + 4 − 7 + 3 【答案】B 【分析】根据多重符号的化简方法计算即可． 【详解】解：(−10 − +4 + −7 − −3) = − 10 − 4 − 7 + 3， 故选 B． 【点睛】本题考查化简多重符号，解题的关键是掌握化简方法，即：一个数前面有偶数个负号，结果为正．一 个数前面有奇数个负号，结果为负．0 前面无论有几个负号，结果都为 0． 4 ．若一个数的绝对值等于 2 ，另一个数是−1 的相反数，则这两个数的和是 ( ) A ．3 B ． −1 C ．3 或−1 D ． ±3 或±1 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义，相反数的定义，即可求解． 【详解】解： ∵一个数的绝对值等于 2 ，另一个数是−1 的相反数， ∴这两个数分别为 2 和 1 ，或−2和 1 ∴2 + 1 = 3 ， − 2 + 1 = − 1， ∴则这两个数的和是 3 或−1 故选：C． 第 19页（共 24页） 学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题考查了绝对值的意义，相反数的定义，有理数的加法运算，掌握以上知识是解题的关键． 5 ．在数轴上，一个数对应的点表示—3，该点先向右移动 5 个单位长度，再向左移动 8 个单位长度后，所对 应的点表示的数是 ( ) A ．0 B ．5 C ． —6 D ．10 【答案】C 【分析】先向右移动两个单位长度得出( — 3) + ( + 5)，再向左移动三个单位长度得 出( — 3) + ( + 5) + ( — 8)，求出即可． 【详解】解：根据题意得：( — 3) + ( + 5) + ( — 8) = — 6， 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴的应用，注意：一般向右为正，向左为负，能根据题意列出算式是解此题的关键． 6 ．如图是小明收支明细，则小明当天的收支情况是 ( ) 转账一来自 SNM +48 云视听极光 -30 扫二维码付款 -50 A ．收入 128 元 B ．收入 32 元 C ．支出 128 元 D ．支出 32 元 【答案】D 【分析】把 3 个数相加根据正数和负数的意义可得答案． 【详解】解：+48+（－30）+（－50）=－32 元， 所以小明当天的收支情况是支出 32 元． 故选：D． 【点睛】本题考查了正负数的意义，以及有理数加法的应用，正确列出算式是解题关键． 7 ．如图，数轴上 A 、B 、C 三点所表示的数分别是a、6 、c．已知AB = 8，a + c = 0，则c的值为 ( ) A ． —4 B ．2 C ．4 D ．6 【答案】B 【分析】先根据两点间的距离公式求出 a ，再利用绝对值的意义求出 c． 【详解】解： ∵AB = 8，B 表示的数为 6， ∴a = 6 — 8 = — 2， ∵a + c = 0， ∴c =— a =— ( — 2) = 2． 故选：B． 第 20页（共 24页） 学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题主要考查了数轴和有理数的加法，掌握数轴上两点间距离的算法及绝对值的意义是解决本题的 关键． 8 ．比一 小一 的数的绝对值为( )；128 一( )= 132． 【答案】 一4 【分析】先由有理数减法进行计算，由绝对值的意义进行计算即可； 【详解】解：由题意， ∴的绝对值为 ∵128 一 132 =一 4； ∴填入括号内的数是4； 故答案为： ，一4； 【点睛】本题考查了有理数的加减运算，绝对值的意义，解题的关键是掌握运算法则，正确地进行计算． 9 ．计算：一5 一 一2 + 8 一 一9 =____________． 【答案】一4 【分析】先化简绝对值，再计算加减，即可求解． 【详解】解 ∶ 一5 一 一2 + 8 一 一9 =一 5 + 2 + 8 一 9 =一 4， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减运算，化简绝对值，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键． 10 ．某单位开展了职工健步走活动，职工每天健步走 5000 步即为达标．若小夏走了6200 步，记为+1200 步，小辰走了 4800 步，记为______步． 【答案】一200 【分析】 以 5000 步为达标，多正少负，计算即可． 【详解】解： ∵5000 步达标地，6200 步记为+1200 步， ∴5000 一 4800 = 200（步），低于 5000 步记为负， ∴4800 步记为一200 步， 故答案为：一200． 【点睛】本题考查了正数和负数，解答本题的关键是掌握正负数的定义． 11．规定图形表示运算a 一 b + c，图形表示运算x + z 一 y 一 w，则 第 21页（共 24页） 学科网（北京）股份有限公司 + =__________． 【答案】0 【分析】由题意知：表示运算为 1 − 2 + 3 ，表示运算为 4 + 6 − 7 − 5 ，然后把这两 个代数式相加计算出结果． 【详解】 由题意，得 = 1 − 2 + 3 = 2， = 4 + 6 − 7 − 5 = − 2， ∴+ = 2 + ( − 2) = 0． 故答案为：0． 【点睛】本题是新定义运算，主要考查了有理数的加减运算，解题的关键是弄清基本图像如何转化成常见运 算的形式． 12 ．计算题： (1)( − 18) + 5 (2)( − 5) − ( − 3) (3)−5 + 7 − 2 + 136 − 88 【答案】(1)−13 (2)−2 (3)48 (4)1 【详解】（1）解：( − 18) + 5 = − 13； （2）解：( − 5) − ( − 3) = − 5 + 2 = − 2； （3）解： −5 + 7 − 2 + 136 − 88， =136 − 88， =48； 解 =1． 第 22页（共 24页） 学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题考查了有理数的加减，解题关键是熟练掌握有理数加减运算法则和方法，熟练进行计算． 13 ．计算下列各式： (1)−1.25 + +5.25 (3)0.36 + −7.4 + 0.5 + 0.24 + −0.6 【答案】(1)4 (3)−6.9 (4)5 【分析】（1）根据有理数的加法法则计算，即可解答； （2）根据有理数的加减运算法则计算，即可解答； （3）利用加法的结合律和交换律，即可解答； （4）利用加法的结合律和交换律，即可解答． 【详解】（1）原式= 5.25 − 1.25 = 4； 原式 （3）原式= 0.36 + 0.24 + ( − 0.6) + 0.5 + (−7.4) = 0.5 + (−7.4) = − 6.9； （4）原式= 3.2 + ( − 3.2) + ( − 0.5) + 5.5 = 5． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算法，解决本题的关键是利用加法运算律进行简算． 14 ．市客运管理部门对“十一”国庆假期 7 天客流变化量进行了不完全统计，数据如下(用正数表示客流量比 前一天上升数，用负数表示下降数) 日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 变化/万人 20 3 −10 −3 2 9 3 与 9 月 30 日相比，10 月 7 日的客流量是上升了还是下降了，变化了多少 【答案】与 9 月 30 日相比，10 月 7 日的客流量是上升了．上升了 24 万人 【分析】将表格数据相加即可得出结果． 【详解】解：10 月 7 日的客流量与 9 月 30 日相比：20 + 3 − 10 − 3 + 2 + 9 + 3 =+ 24 万人， 答：与 9 月 30 日相比，10 月 7 日的客流量是上升了．上升了 24 万人． 【点睛】本题考查有理数的混合运算、正数和负数，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式． 15 ．下表是某水库管理人员记录的雨季一周内水位高低的变化情况：（上周末的水位达到警戒水位，用正 数表示水位比前一天上升数，用负数表示水位比前一天下降数，警戒水位为 72.5 米） 日期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化（米） +0.15 +0.62 −0.28 +0.05 +0.28 −0.38 +0.03 (1)本周哪一天的水位最高？哪一天的水位最低？与警戒水位的距离分别是多少？ (2)与上周相比，本周末的水位是上升了还是下降了？为多少米？ 【答案】(1)周五的水位最高，周一的水位最低，与警戒水位的距离分别为 0.82 米、0.15 米 第 23页（共 24页） 学科网（北京）股份有限公司 (2)上升了 0.47 米 【分析】（1）根据水位变化分别计算每天的水位即可得答案； （2）这周末的水位与上周末的水位比较即可． 【详解】（1）解：由题意得，本周的水位分别是： 周一：72.5 + 0.15 = 72.65（米）， 周二：72.65 + 0.62 = 73.27（米）， 周三：73.27 − 0.28 = 72.99（米）， 周四：72.99 + 0.05 = 73.04（米）， 周五：73.04 + 0.28 = 73.32（米）， 周六：73.32 − 0.38 = 72.94（米）， 周日：72.94 + 0.03 = 72.97（米）， 通过比较可知，本周周五的水位最高，与警戒水位的距离为：73.32 − 72.5 = 0.82（米）， 周一的水位最低，与警戒水位的距离为：72.65 − 72.5 = 0.15（米）． 综上可知，本周周五的水位最高，周一的水位最低，与警戒水位的距离分别为 0.82 米、0.15 米． （2）解：由已知条件可得上周末水位为 72.5 米， 由（1）知本周末水位为 72.97 米， 72.97 > 72.5， 72.97 − 72.5 = 0.47（米）， 故与上周相比，本周末的水位上升了 0.47 米． 【点睛】此题主要考查正负数的实际应用和有理数加减运算的实际应用，解题的关键是理解“正”和“负”的相 对性． 第 24页（共 24页） 学科网（北京）股份有限公司 $$