【数学帮】裂项相消与错位相减（含答案解析版）

裂项相消与错位相减 一、解答题（共 9 小题） 1 ．请你观察： , , , … , , 以上方法称为“裂项相消求和法 ”． 请类比完成： （1）猜想并写出： ； （2）规律应用：计算： ； （3）拓展提高：计算： ． 第 1 页 共 18 页 2 ．请用“裂项相消求和法 ”完成： （1） ． （2） ． （3）根据（1），（2）的计算，我们可以猜测下列结论： （其中 n， k 均为正整数），并计算 ． 3 ．初中阶段， 目前我们已经学习了多种计算技巧，例如裂项相消法，错位相减法等等，请计算下列各式： （1） ； （2） ； （3） ． 第 2 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 4．．裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的． （1）规律应用：计算： 的值； （2）拓展提高：若 n 为正整数，证明： ． 5 ．阅读材料： 在计算 时，直接计算很繁琐，我们可以采用“裂项——消项 ”法简化运算． （1 ）+（ ）+ ( . )( ) +（ ）+…+（ ）＝1 方法应用：试用“裂项——消项 ”法解下面各题： （1） ； （2） ． 第 3 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 6 ．阅读下列材料： 材料 1 ：∑是希腊字母中的第十八个字母，英语名称：Sigma ，汉语名称：西格玛．在数学中，我们把∑ 第 4 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 作为求和符号使用．例如 n ＝1+2+3+…+50；又如 （2n - 1）＝1+3+5+…+99； 材料 2 ：裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用．具体方法是将求 和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．分数裂项是裂项法 中的一个重要组成部分．例如： ， , 将以上三个等式两 边相加得： ． 通过对以上材料的阅读，请解答下列问题： （ 1 ） 将 2+4+6+8+10+ … … +100 （ 即 从 2 开始 的 100 以 内 的连续偶数 的和 ） 用求和 符 号 可表示 为 ； （2）求 的值； （3）求 （ - 1）n+1 的值． 7 ．阅读材料，回答问题． 材料一：因为 23 ＝2×2×2 ，22 ＝2×2 ，所以 23×22 ＝（2×2×2） ×（2×2）＝25． 材料二：求 31+32+33+34+35+36 的值． 解：设 S ＝31+32+33+34+35+36① , 则 3S ＝32+33+34+35+36+37② , 用② - ①得 3S - S ＝（32+33+34+35+36+37） - （31+32+33+34+35+36）＝37 - 3， ( . )所以 2S ＝37 - 3 ，即 ，所以 这种方法我们称为“错位相减法 ”． （1）填空：5×58 ＝5 () . （2）“棋盘摆米 ”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖 赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八 粒……按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了． ①国际象棋共有 64 个格子，则在第 64 格中应放 粒米． ②设国王输给阿基米德的总米粒数为 S，求 S． 8 ．阅读材料：求 1+2+22+23+24+…+2100． 首先设 S ＝1+2+22+23+24+…+2100① , 则 2S ＝2+22+23+24+25+…+2101② , ② - ①得 S ＝2101 - 1 ，即 1+2+22+23+24+…+2100 ＝2101 - 1． 以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法 ”． 请你根据上面的材料，解决下列问题： （1）1+2+22+23+24+…+22000． （2）1 （ ）2+（ ）3+（ ）4+…+（ ）2000； （3）求 1+3+32+33+34+…+32022 的值． 第 5 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 9 ．阅读材料：求 5+52+53+54+55+56+57+58 的值． 解：设 S ＝5+52+53+54+55+56+57+58① 则 5S＝52+53+54+55+56+57+58+59② ② - ①得，5S - S ＝（52+53+54+55+56+57+58+59） - （5+52+53+54+55+56+57+58）＝59 - 5 ( . )∴4S ＝59 - 5 ，即 S ∴5+52+53+54+55+56+57+58 以上方法我们称为“错位相减法 ”，请利用上述材料，解决下列问题： （1）计算： （仿照材料写出求解过程）； （2）化简：M＝5+2×52+3×53+4×54+…+8×58． 第 6 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 裂项相消与错位相减 一、解答题（共 9 小题） 1 ．请你观察： , , , … , , 以上方法称为“裂项相消求和法 ”． 请类比完成： （1）猜想并写出： ； （2）规律应用：计算： ； （3）拓展提高：计算： ． 【分析】（1）根据题干中的式子总结规律即可； （2）利用规律裂项后进行简便运算即可； （3）利用规律裂项后进行简便运算即可． 【解答】解：（1）原式 ， 故答案为： ； 第 7 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 （2）原式＝1 = 1 ; （3）原式 ( ) ( ) ( ) . 【点评】本题考查规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键． 2 ．请用“裂项相消求和法 ”完成： （1） ． （2） ． （3）根据（1），（2）的计算，我们可以猜测下列结论： （ ） （其中 n， k 均为正整数），并计算 ． 【分析】（1）根据题干解答过程求解即可； （2）根据题干解答过程求解即可； （3）根据题干解答过程得出规律，再进行求解即可． 第 8 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 【解答】解：（1） = 1 , 故答案为： ； （2） ( +…+x ( ) )( ) ( ) ( ) [（ ）+（ ）+（ ）+…+（ ）] （1 ） , 故答案为： ； （3） ( ) ; 故答案为： ( ) ; 第 9 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 ( ) ( ) ( ) +…+x ( ) [（ ）+（ ）+（ ）+…+（ ）] （1 ） . 【点评】本题考查有理数的混合运算，规律型 - 数字变化类，解题的关键是对裂项相消求和法的理解和 运用． 3 ．初中阶段， 目前我们已经学习了多种计算技巧，例如裂项相消法，错位相减法等等，请计算下列各式： （1） ； （2） ； （3） 1 ． 【分析】（1）裂项后乘以 ，将各项相加，消掉和互为相反数的项； （2）裂项后乘以 ，将各项相加，消掉和互为相反数的项； （3）根据绝对值的性质去掉绝对值，即可消掉． 【解答】解：（1）原式 （1 -计--+••• ） （1 ） . 故答案为： ； （2）原式 （ 1 ••• ） 第 10 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 （1 ） . 故答案为： ； （3）原式 1 ••• 1． 故答案为： 1． 【点评】本题考查的是实数的运算，根据题意找出运算规律是解题的关键． 4 ．裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的． （1）规律应用：计算： 的值； （2）拓展提高：若 n 为正整数，证明： ． 【分析】（1）根据规律解答即可； （2）先根据规律化简，再判断 的取值范围即可． 【解答】解：（1） ; （2） 第 11 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 =1-+--++-) , ∵n 为正整数， ∴ , ∴ , ∴ . 【点评】本题考查的是数字类的规律，解题的关键是要能发现并运用规律． 5 ．阅读材料： 在计算 时，直接计算很繁琐，我们可以采用“裂项——消项 ”法简化运算． （1 ）+（ ）+ ( ) +（ ）+…+（ ）＝1 ． 方法应用：试用“裂项——消项 ”法解下面各题： （1） ； （2） ． 【分析】（1）根据题中的方法，进行“裂项——消项 ”法简化运算； （2）根据题中的方法，进行“裂项——消项 ”法简化运算． 【解答】解：（1）（1） 第 12 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 ( ( ) ) ( ( ) )++x ( ) ( ) ( ) ; （2） ( ) )=-x（1 （1 ） . 【点评】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． 6 ．阅读下列材料： 材料 1 ：∑是希腊字母中的第十八个字母，英语名称：Sigma ，汉语名称：西格玛．在数学中，我们把∑ 第 13 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 作为求和符号使用．例如 n ＝1+2+3+…+50；又如 （2n - 1）＝1+3+5+…+99； 材料 2 ：裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用．具体方法是将求 和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．分数裂项是裂项法 中的一个重要组成部分．例如： ， , 将以上三个等式两 边相加得： ． 通过对以上材料的阅读，请解答下列问题： （ 1 ）将 2+4+6+8+10+ … …+100 （ 即从 2 开始的 100 以内的连续偶数的和） 用求和符号可表示为 2n ； （2）求 的值； （3）求 （ - 1）n+1 的值． 【分析】（1）根据所给的符号定义，直接写出即可； （2）根据所给的阅读材料， （1 ），再运算 即可； （ 3 ） （ - 1 ） n+1 （ 1 ） ( ) , 在运算即可． 第 14 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 【解答】解：（1）2+4+6+8+10+……+100 2n， 故答案为： 2n； （2） ( （ 1 )) ( （ 1 )) ; （3） （ - 1）n+1 = ( ) - ( ) （1 ） ( ) （1 ） ( ) . 【点评】本题考查数字的变化规律，理解题意，利用裂项法求和，并能准确计算是解题的关键． 7 ．阅读材料，回答问题． 材料一：因为 23 ＝2×2×2 ，22 ＝2×2 ，所以 23×22 ＝（2×2×2） ×（2×2）＝25． 材料二：求 31+32+33+34+35+36 的值． 解：设 S ＝31+32+33+34+35+36① , 则 3S＝32+33+34+35+36+37② , 用② - ①得 3S - S ＝（32+33+34+35+36+37） - （31+32+33+34+35+36）＝37 - 3， ( . )所以 2S ＝37 - 3 ，即 ，所以 这种方法我们称为“错位相减法 ”． （1）填空：5×58 ＝5 () . （2）“棋盘摆米 ”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖 赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八 粒……按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了． ①国际象棋共有 64 个格子，则在第 64 格中应放 263 粒米． ②设国王输给阿基米德的总米粒数为 S，求 S． 【分析】（1）根据材料一进行求解； 第 15 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 （2） ①由题意可得，第 n 个格放 2n - 1 粒米进行求解； ②根据材料二中的方法进行求解． 【解答】解：（1） 由题意得，5×58 ＝59， 故答案为：9； （2）（2） ①由题意得，第一格放的米粒数为 1 ＝20；第二格放的米粒数为 2 ＝21； 第三格放的米粒数为 4 ＝22；第四格放的米粒数为 8 ＝23； ( , )…… ∴第 n 格放的米粒数为 2n - 1， ∴在第 64 格中应放 263粒米； 故答案为：263； ②由题意得： S＝1+2+22+23+……+263， 2S ＝2+22+23+……+264 ， ∴2S - S ＝264 - 1， 即 S ＝264 - 1． 【点评】此题主要考查规律性：图形的变化类，有理数的混合运算，数学常识，列代数式，解答本题的 关键是能准确理解并运用定义和同底数幂相乘运算法则进行求解． 8 ．阅读材料：求 1+2+22+23+24+…+2100． 首先设 S ＝1+2+22+23+24+…+2100① , 则 2S ＝2+22+23+24+25+…+2101② , ② - ①得 S ＝2101 - 1 ， 即 1+2+22+23+24+…+2100 ＝2101 - 1． 以上解法，在数列求和中，我们称之为“错位相减法 ”． 请你根据上面的材料，解决下列问题： （1）1+2+22+23+24+…+22000． （2）1 （ ）2+（ ）3+（ ）4+…+（ ）2000； （3）求 1+3+32+33+34+…+32022 的值． 【分析】（1）模仿例题，设原式为 S，再让两边同乘以 2 ，再错位相减求解； （2）模仿例题，设原式为 S，再让两边同乘以 ，再错位相减求解； （3）模仿例题，设原式为 S，再让两边同乘以 3 ，再错位相减求解． 第 16 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 【解答】解：（1）设 S ＝1+2+22+23+24+…+22000① , 则 2S＝2+22+23+24+…+22000+22001② , ② - ①得：S ＝22001 - 1； （2）设 S＝1 （ ）2+（ ）3+（ ）4+…+（ ）2000① , 则 S （ 专）2+（ 专）3+（ 专）4+…+（ ）2001② , ① - ②得： S ＝1 - （ ）2001， 所以 S ＝2 - 2× ( ) 2001 ＝2 - （ ）2000． 即 1 +计（ ）2+（ ）3+（ ）4+…+（ ）2000 ＝2 - （ ）2000； （3）设 S＝1+3+32+33+34+…+32022① , 则 3S＝3+32+33+34+35+…+32023② , ② - ①得：2S ＝32023 - 1， 所以 S ， 即 1+3+32+33+34+…+32022 ． 【点评】本题考查了数字的变化类及有理数的混合运算，找到变化规律是解题的关键． 9 ．阅读材料：求 5+52+53+54+55+56+57+58 的值． 解：设 S ＝5+52+53+54+55+56+57+58① 则 5S＝52+53+54+55+56+57+58+59② ② - ①得，5S - S ＝（52+53+54+55+56+57+58+59） - （5+52+53+54+55+56+57+58）＝59 - 5 ( . )∴4S ＝59 - 5 ，即 S -学∴5+52+53+54+55+56+57+58 以上方法我们称为“错位相减法 ”，请利用上述材料，解决下列问题： （1）计算： （仿照材料写出求解过程）； 第 17 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 （2）化简：M＝5+2×52+3×53+4×54+…+8×58． 【分析】（1）设 S ① , 可得 2S＝1 （ ）2+ ( ) 3+…+（ ）7②则② - ①即可得答案； （2）根据 M＝5+2×52+3×53+4×54+…+8×58① , 可得 5M＝1×52+2×53+3×54+…+8×59② , 由② - ① , 结合阅读材料可得 5+52+53+54+55+56+57+58 ．再将系数化为 1 可得答案． 【解答】解：（1）设 S ① , 则 2S＝1 （ ）2+（ ）3+…+（ ）7② , 则② - ① , 得：2S - S ＝S＝1 - （ ）8； （2） ∵M＝5+2×52+3×53+4×54+…+8×58① , ∴5M＝1×52+2×53+3×54+…+8×59② , ∴② - ① , 得： 5M - M＝（1×52+2×53+3×54+…+8×59） - （5+2×52+3×53+4×54+…+8×58） = 8×59 - （5+52+53+…+58） = 8×59 ， ∴4M＝8×59 ， ∴M . 【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是熟练掌握阅读材料的计算方法． 第 18 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$