【数学帮】截一个几何体（含答案解析）

截一个几何体 一、选择题（共 11 小题） 1 ．已知圆柱的高为 10 ，底面半径为 3 ，用平行于高的平面截圆柱，截面面积最大为 ( ) A ．30 B ．60 C ．80 D ．90 2 ．用一个平面去截一个正方体，截面的形状不可能是 ( ) A ．梯形 B ．五边形 C ．六边形 D ．七边形 3 ．如图，将一块长方体的铁块沿虚线切割，则截面图是 ( ) A ． B． C ． D． 4 ．一个密封的长方体容器内装有部分水，液体部分的截面恰好是一个正方形（如图 1），液面到容器顶端的 距离是 6cm．若把该容器横放（如图2），液面到容器顶端的距离是 4cm，则这个容器的截面面积是( ) A ．112cm2 B ．160cm2 C ．216cm2 D ．280cm2 第 1 页 共 17 页 5 ．如图，用一个平面去截一个正方体，截面相同的是 ( ) A ． ①与② B ． ③与④ C ． ①与③④ D ． ①与② , ③与④ 6 ．用一个平面去截一个几何体，能截出如图所示的四种平面图形，则这个几何体可能是 ( ) A ．圆柱 B ．圆锥 C ．长方体 D ．球 7．一个物体的外形是长方体，其内部构造不详．用 5 个水平的平面横向平均截这个物体时，得到了一组（自 下而上）截面，截面形状如图所示，这个长方体的内部构造可能是 ( ) A ．球体 B ．圆柱 C ．圆锥 D ．球体或圆锥 8 ．用一个平面去截一个正方体，不可能出现哪个截面？ ( ) A ．四边形 B ．五边形 C ．六边形 D ．七边形 第 2 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 9 ．计算机体层成像（CT）技术的工作原理与几何体的切截相似，只不过这里的“截 ”不是真正的截，“几 何体 ”是病人的患病器官，“刀 ”是射线．如图，用一个平面去截一个圆柱，则截得的形状应为 ( ) 第 3 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 A． C． B． D． 10 ．如图所示，正方体被截后所得的几何体的主视图是 ( ) A． B． C． D． 11．如图所示分别为从正面、左面、上面观察一个几何体得到的形状图，则关于这个几何体，下列说法中： ①该几何体是四棱锥； ②该几何体有 5 个面，5 个顶点； ③该几何体的侧面均为三角形； ④用一个平 面去截该几何体，截出来的只可能是四边形．正确的有 ( ) A ． ①②③ B ． ①③④ C ． ①②④ D ． ②③④ 二、填空题（共 5 小题） 12 ．用一个平面去截一个棱柱，截面的边数最多是 8 ，则这个棱柱有 条棱． 13 ．用一个平面去截一个几何体，若截面是长方形，则该几何体可能是 （写三个）． 14 ．截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．如图，该几何体的 截面是 ． 15 ．用平面截几何体可得到平面图形，在下列表示几何体的字母后填上它可以截出的平面图形的号码． 如 A（ 1 ，5 ，6），则： B ( ) ; C ( ); D ( ) . 16 ．如图所示，用一个平面截六棱柱，剩下的几何体（阴影部分）是 ，共有 个面． 第 4 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 三、解答题（共 5 小题） 17 ．小明用一个平面切掉正方体的一个角，如图所示． （1）这些截面的形状都是 ．这些截面面积最小的是 ，面积最大的是 ；（填 序号） （2）每个正方体被切掉一个小角后，观察剩余几何体的顶点数、面数和棱数，它们之间有什么数量关系？ （3）用一个平面去切截正方体．还有四边形（包括长方形、正方形、梯形）、五边形、六边形等几何图 形．请你画出 3 个截面边数不同的图形． 18 ．如图所示的圆柱体，它的底面半径为 2cm ，高为 6cm． （1）想一想：该圆柱体的截面有几种不同形状的平面图形？ （2）议一议：你能截出截面最大的长方形吗？ （3）算一算：截得的长方形面积的最大值为多少？ 19 ．一个用塑料薄膜制作的蔬菜大棚，长 20 米，横截面是一个半径 2 米的半圆． （1）这个大棚的种植面积是多少平方米？ （2）大棚内的空间大约有多大？ 第 5 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 20 ．如图，左面立体图形中四边形 APQC 表示平面截正方体的截面，请在右面展开图中画出四边形 APQC 的四条边． 21 ．某厂家准备生产一种长方体模型，该模型的长、宽、高由塑料棒组成． （1）现在设计人员仅画出如图所示设计图，请你补全长方体模型的直观图．（注：不必写画法） （2）如果这个模型的长是宽的2 倍，高比宽多4 厘米，用 96 厘米长的塑料棒制作这个长方体框架，那 么这个长方体模型的表面积是多少平方厘米？ （3）如果给出一个与（2） 中形状、大小都一样的长方体木块，在这个木块上切下一个棱长是 1 厘米的 正方体，求剩余木块的表面积．（要求：切下的正方体木块中至少有一个面是原来长方体木块表面的一部 分） 第 6 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 截一个几何体 一、选择题（共 11 小题） 1 ．已知圆柱的高为 10 ，底面半径为 3 ，用平行于高的平面截圆柱，截面面积最大为 ( ) A ．30 B ．60 C ．80 D ．90 【分析】根据截面平行于高，可知截面面积最大时，截面经过底面的直径；根据上述分析可知截面的形 状以及截面的长和宽，结合矩形的面积公式即可解答本题． 【解答】解： 由图形信息，可知截面垂直底面，截面为长方形． 故该长方形的一边长等于圆柱的高为 10 ，另一边在底面圆内． ∵直径 3×2 ＝6， ∴面积最大为 10×6 ＝60． 故选：B． 【点评】本题考查截一个几何体，解题的关键是具有一定的空间概念． 2 ．用一个平面去截一个正方体，截面的形状不可能是 ( ) A ．梯形 B ．五边形 C ．六边形 D ．七边形 【分析】正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角 形．因此截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形． 【解答】解：用平面去截正方体，得的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形，不可能为七边形． 故选：D． 【点评】本题考查正方体的截面．正方体的截面的四种情况应熟记． 3 ．如图，将一块长方体的铁块沿虚线切割，则截面图是 ( ) A ． B． C ． D． 【分析】根据截面的形状进行判断即可， 【解答】解：其截面的形状是长方形，即 第 7 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 故选：C． 【点评】本题考查截一个几何体，掌握截面的形状是正确判断的关键． 4 ．一个密封的长方体容器内装有部分水，液体部分的截面恰好是一个正方形（如图 1），液面到容器顶端的 距离是 6cm．若把该容器横放（如图2），液面到容器顶端的距离是 4cm，则这个容器的截面面积是( ) A ．112cm2 B ．160cm2 C ．216cm2 D ．280cm2 【分析】可设长方体容器多余长是 a cm ，宽是b cm ，则高是（b+6）cm ，根据液体的体积相等列出方程 求出b ，再代入b（b+6）即可求出这个容器的截面面积． 【解答】解：设长方体容器多余长是 a cm ，宽是b cm ，则高是（b+6）cm ，依题意有 ab2 ＝a（b+6）（b - 4）， b2 ＝（b+6）（b - 4）， b2 ＝b2+2b - 24， 解得 b ＝12， 故这个容器的截面面积是 b（b+6）＝12×（12+6）＝216． 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，长方体的体积，解题的关键是利用液体的体积相等列出方程． 5 ．如图，用一个平面去截一个正方体，截面相同的是 ( ) A ． ①与② B ． ③与④ C ． ①与③④ D ． ①与② , ③与④ 【分析】根据图形可知①②都是截面与正方体的面平行，而③④的截面都是长为正方体的一个面的对 角线的长，宽为正方体的棱长的长方形． 【解答】解： 由图形可知截面相同的是①与② , ③与④ . 第 8 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 故选：D． 【点评】截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关． 6 ．用一个平面去截一个几何体，能截出如图所示的四种平面图形，则这个几何体可能是 ( ) A ．圆柱 B ．圆锥 C ．长方体 D ．球 【分析】 由题意，结合圆柱的结构特征，即可得出正确的选项． 【解答】解：用一个平面去截一个几何体，能截出如图所示的四种平面图形，则这个几何体可能是圆柱． 故选：A． 【点评】本题考查了截一个几何体，熟练掌握圆柱的结构特征是解题的关键． 7．一个物体的外形是长方体，其内部构造不详．用 5 个水平的平面横向平均截这个物体时，得到了一组（自 下而上）截面，截面形状如图所示，这个长方体的内部构造可能是 ( ) A ．球体 B ．圆柱 C ．圆锥 D ．球体或圆锥 【分析】通过观察可以发现：在正方体内部的圆自下而上由大圆逐渐变成小圆、点． 【解答】解：这个长方体的内部构造为：长方体中间有一圆锥状孔洞， 故选：C． 【点评】本题考查了截一个几何体， 由截面形状去想象几何体与给一个几何体想象它的截面是一个互逆 的思维过程，要根据所给截面形状仔细分析，展开想象． 8 ．用一个平面去截一个正方体，不可能出现哪个截面？ ( ) A ．四边形 B ．五边形 C ．六边形 D ．七边形 【分析】根据正方体截面的形状进行判断即可． 【解答】解：正方体有 6 个面，因此用一个平面去截正方体，最多可以得到六边形的截面，不可能出现 七边形的截面， 故选：D． 第 9 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 【点评】本题考查截一个几何体，掌握正方体的形体特征以及用一个平面截正方体所得截面的形状是正 确判断的关键． 9 ．计算机体层成像（CT）技术的工作原理与几何体的切截相似，只不过这里的“截 ”不是真正的截，“几 何体 ”是病人的患病器官，“刀 ”是射线．如图，用一个平面去截一个圆柱，则截得的形状应为 ( ) A ． B． C ． D． 【分析】截面不平行圆柱底面，根据原立方体与截面的位置关系进行分析即可． 【解答】解：因为所截的平面与圆柱的底面不平行， 所以得到的图形为椭圆． 故选：B． 【点评】本题考查了简单几何体截平面图形，解题的关键是理解截面的意义． 10 ．如图所示，正方体被截后所得的几何体的主视图是 ( ) A ． B ． C ． D． 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示． 【解答】解：从正面看可得主视图 ． 故选：B． 第 10 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 【点评】本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图． 11．如图所示分别为从正面、左面、上面观察一个几何体得到的形状图，则关于这个几何体，下列说法中： ①该几何体是四棱锥； ②该几何体有 5 个面，5 个顶点； ③该几何体的侧面均为三角形； ④用一个平 面去截该几何体，截出来的只可能是四边形．正确的有 ( ) A ． ①②③ B ． ①③④ C ． ①②④ D ． ②③④ 【分析】根据三视图判断出几何体是一个四棱锥，然后得出结论即可． 【解答】解：根据三视图判断出几何体是一个四棱锥， ∴①该几何体是四棱锥，结论正确； ②该几何体有 5 个面，5 个顶点，结论正确； ③该几何体的侧面均为三角形，结论正确； ④用一个平面去截该几何体，截出来的可能是四边形也可能是三角形，故④结论不正确； 故选：A． 【点评】本题主要考查三视图的知识，熟练根据三视图判断出几何体的形状是解题的关键． 二、填空题（共 5 小题） 12 ．用一个平面去截一个棱柱，截面的边数最多是 8 ，则这个棱柱有 18 条棱． 【分析】用平面去截一个棱柱时最多与所有面相交得到截面的边数与棱柱的面数相同，最少与三个面相 交得三角形．因为截面的边数最多是 8 ，所以棱柱有 8 个面，有 18 条棱． 【解答】解： ∵用平面去截一个棱柱时最多与所有面相交得到截面的边数与棱柱的面数相同，截面的边 数最多是 8， ∴棱柱有 8 个面，有 18 条棱． 故答案为：18． 【点评】本题考查了截一个几何体，用到的知识点为：截面经过棱柱的几个面，得到的截面形状就是几 边形． 第 11 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 13 ．用一个平面去截一个几何体，若截面是长方形，则该几何体可能是 长方体、正方体、圆柱 （写三 个）． 【分析】截面的形状是长方形，说明从不同的方向看到的立体图形的形状必有长方形或正方形，由此得 出长方体、正方体、圆柱用一个平面去截一个几何体，可以得到截面的形状是长方形． 【解答】解：用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是长方形，原来的几何体可能是长方体、正 方体、圆柱． 故答案为：长方体、正方体、圆柱（答案不唯一）． 【点评】此题考查用平面截几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关． 14 ．截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．如图，该几何体的 截面是 长方形 ． 【分析】根据四棱柱的形状特点解答即可． 【解答】解：如图，用一个平面去截四棱柱，截面形状是长方形． 故答案为：长方形． 【点评】本题考查截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．熟 练掌握各种几何图形及空间想象是解题的关键． 15 ．用平面截几何体可得到平面图形，在下列表示几何体的字母后填上它可以截出的平面图形的号码． 如 A（ 1 ，5 ，6），则： 第 12 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 B（ 1 、2 、3 、4 ）； C（ 5 ）； D（ 3 、5 、6 ）． 【分析】分别分析其余三种图形的所有的截面情况，再写出答案． 【解答】解：B 长方体，截面有可能是三角形，六边形，长方形，梯形，五边形； C 球体，截面只可能是圆； D 圆柱体，截面有可能是矩形，圆，椭圆； 因此应该写 B（ 1 、2 、3 、4）；C（5）；D（3 、5 、6）． 故答案为：1 、2 、3 、4 ，5 ，3 、5 、6． 【点评】本题考查了截一个几何体和认识立体图形．截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角 度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方 法． 16 ．如图所示，用一个平面截六棱柱，剩下的几何体（阴影部分）是 六棱柱 ，共有 8 个面． 【分析】根据图形即可解答． 【解答】解：如图所示，用一个平面截六棱柱，剩下的几何体（阴影部分）是六棱柱，共有 8 个面， 故答案为：六棱柱；8． 【点评】本题考查了截一个几何体，熟练掌握六棱柱的特征是解题的关键． 三、解答题（共 5 小题） 17 ．小明用一个平面切掉正方体的一个角，如图所示． （1）这些截面的形状都是 三角形 ．这些截面面积最小的是 ① , 面积最大的是 ④ ；（填 序号） （2）每个正方体被切掉一个小角后，观察剩余几何体的顶点数、面数和棱数，它们之间有什么数量关系？ （3）用一个平面去切截正方体．还有四边形（包括长方形、正方形、梯形）、五边形、六边形等几何图 第 13 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 形．请你画出 3 个截面边数不同的图形． 【分析】截面由 3 条线段首尾连接组成．截面有几条边，截面就与几何体的几个面相交．据此解答即可． 【解答】解：（1）这些截面的形状都是三角形，这些截面面积最小的是① , 面积最大的是④; 故答案为：三角形， ① , ④. （2）如表所示． 图 顶点数（V） 棱数（E） 面数（F） ① 10 15 7 ② 9 14 7 ③ 8 13 7 ④ 7 12 7 观察上表，各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数的关系是：顶点数+面数 - 棱数＝2． （3）参考图形如图所示： 【点评】本题主要考查有关截面的问题；解决本题的关键是得到经过正方体的三个面的任意两条线段不 可能垂直． 18 ．如图所示的圆柱体，它的底面半径为 2cm ，高为 6cm． （1）想一想：该圆柱体的截面有几种不同形状的平面图形？ （2）议一议：你能截出截面最大的长方形吗？ （3）算一算：截得的长方形面积的最大值为多少？ 【分析】（1）根据圆柱几何体的形状特点和截面的角度判断即可． 第 14 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 （2）根据题意可得出截面面积最大是长方形，依此即可求解； （3）根据长方形的面积公式即可得出答案． 【解答】解：（1）该圆柱体的截面有三种，平行轴线截切，截面是矩形，垂直轴线截切，截面是圆，倾 斜轴线截切，截面是椭圆，截面可能是梯形，或抛物线． （2）根据题意可得：截面面积最大是长方形，并且长是 6cm ，宽是 4cm， （3）截面面积最大是 6×4 ＝24（cm2）． 故截得的长方形面积的最大值为 24cm2． 【点评】此题考查了截一个几何体，根据截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有 关，得出这个圆柱体的截面面积最大是长方形是本题的关键． 19 ．一个用塑料薄膜制作的蔬菜大棚，长 20 米，横截面是一个半径 2 米的半圆． （1）这个大棚的种植面积是多少平方米？ （2）大棚内的空间大约有多大？ 【分析】（1）用长方形的面积公式求出这个大棚的种植面积； （2）求出半圆的面积乘大棚的长度，就是大棚内的空间是多少立方米． 【解答】解：（1）2×2×20 ＝80（平方米）； 答：这个大棚的种植面积是 80 平方米． （2）3. 14×22÷2×20； =3. 14×4÷2×20， =3. 14×40， = 125.6（立方米）； 答：大棚内的空间大约有 125.6 立方米． 【点评】本题考查认识立体图形，掌握圆柱体表面积、体积的计算方法是解决问题的关键． 20 ．如图，左面立体图形中四边形 APQC 表示平面截正方体的截面，请在右面展开图中画出四边形 APQC 的四条边． 第 15 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 【分析】根据正方体的特征解答即可． 【解答】解：截面的线在展开图中如图的A - C - Q - P - A． 【点评】此题考查正方体的展开图，解决此题的关键是抓住四边形 APQC 四个顶点所在的位置，再进一 步确定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出． 21 ．某厂家准备生产一种长方体模型，该模型的长、宽、高由塑料棒组成． （1）现在设计人员仅画出如图所示设计图，请你补全长方体模型的直观图．（注：不必写画法） （2）如果这个模型的长是宽的2 倍，高比宽多4 厘米，用 96 厘米长的塑料棒制作这个长方体框架，那 么这个长方体模型的表面积是多少平方厘米？ （3）如果给出一个与（2） 中形状、大小都一样的长方体木块，在这个木块上切下一个棱长是 1 厘米的 正方体，求剩余木块的表面积．（要求：切下的正方体木块中至少有一个面是原来长方体木块表面的一部 分） 【分析】（1）利用线段的平移补全长方体模型的直观图，注意线段的虚实； （2）设出宽为 x cm ，用 x 表示长和高，利用96 建立方程，求出 x ，进而求出长和高以及表面积； （3）根据要求，对切下的正方体木块是原来长方体木块表面的面数按 1 、2 、3 分类． 【解答】解：（1）补全长方体模型的直观图如图所示： （2）设这个长方体的模型的宽为 x 厘米，则高为（x+4）厘米，长为 2x 厘米，由题意得， 4x+4（x+4）+8x ＝96， 解得 x ＝5， 即宽为 5 厘米，则高为 9 厘米，长为 10 厘米， 第 16 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 所以表面积为：10×9×2+5×9×2+5× 10×2 ＝370（平方厘米）， 答：其表面积为 370 平方厘米； （3）在长为 10cm ，宽为 5cm ，高为 9cm 的长方体的木块上切下一个棱长是 1 厘米的正方体，共有 3 种 不同的切法，如图 1 、图 2 、图 3 ，剩余部分的表面积依次为 370 平方厘米，372 平方厘米，374 平方厘 米． 【点评】本题考查截一个几何体，几何体的表面积，理解表面积的计算方法是正确解答的前提． 第 17 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $$