【数学帮】几何图形（三视图计算专题）（含答案解析）

三视图计算专题（含答案解析） 一、解答题（共 12 小题） 1 ．一个几何体是由若干个棱长为 1 的小正方体堆积而成的，从不同方向看到的几何体的形状图如下． （1）在从上面看得到的形状图中标出相应位置小正方体的个数； （2）这个几何体的表面积是 ． 2 ．一个几何体是由若干个棱长为 3cm 的小正方体搭成的，从正面、左面、上面看到的几何体的形状图如图 所示： （1）在“从上面看 ”的图中标出各个位置上小正方体的个数； （2）求该几何体的体积． 3 ．如图四个几何体分别是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有 5 个面，9 条棱，6 个顶点，观察 图形，填写下面的空． （1）四棱柱有 个面， 条棱，一 个顶点； （2）六棱柱有 个面， 条棱，一 个顶点； （3） 由此猜想 n 棱柱有 个面， 条棱， 个顶点． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 4 ．某种产品形状是长方体，长为 8cm ，它的展开图如图： （1）求长方体的体积； （2）请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装 10 件这种产品，要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽 可能少（纸箱的表面积尽可能小） 5 ．如图是一个长为 4cm ，宽为 3cm 的长方形纸片，该长方形纸片分别绕长、宽所在直线旋转一周（如图 1、 图 2 ），会得到两个几何体 ，请你通过计算说明哪种方式得到的几何体的体积大（结果保留τ ) 6 ．顾琪在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是她在家用剪刀展 开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和② . 根据你所 学的知识，回答下列问题： 第 2 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 （1）顾琪总共剪开了 条棱． （2）现在顾琪想将剪断的@重新粘贴到①上去，而且经过折叠，仍然可以还原成一个长方体纸盒， 你认为她应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助她在①上补全． （3） 已知顾琪剪下的长方体的长、宽、高分别是 6cm 、6cm 、2cm ，求这个长方体纸盒的体积． 7 ．如图所示是长方体的表面展开图，折叠成一个长方体，那么： （1）与字母 N 重合的点是哪几个？ （2）若 AG ＝CK＝14cm ，FG ＝2cm ，LK＝5cm ，则该长方体的表面积和体积分别是多少？ 8 ．如图，把一边长为 xcm 的正方形纸板的四个角各剪去一个边长为 ycm 的小正方形，然后把它折成一个无 盖纸盒． （1）求该纸盒的体积； （2）求该纸盒的全面积（外表面积）； （3）为了使纸盒底面更加牢固且达到废物利用的目的，现考虑将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面， 要求既不重叠又恰好铺满（不考虑纸板的厚度），求此时 x 与y 之间的倍数关系．（直接写出答案即可） 第 3 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 9 ．在直角三角形，两条直角边分别为 6cm ，8cm ，斜边长为 10cm ，若分别以一边旋转一周 (①结果用π表 示；②你可能用到其中的一个公式，V 圆柱 = πr2h ，V 球体 ＝ ，V 圆锥 ＝h） （1）如果绕着它的斜边所在的直线旋转一周形成的几何体是？ （2）如果绕着它的直角边 6 所在的直线旋转一周形成的几何体的体积是多少？ （3）如果绕着它的斜边 10 所在的直线旋转一周形成的几何体的体积与绕着直角边 8 所在的直线旋转一 周形成的几何体的体积哪个大？ 10 ．如图是某几何体的三视图． （1）说出这个几何体的名称； （2）画出它的表面展开图； （3）若主视图的宽为 4cm ，长为 15cm ，左视图的宽为 3cm ，俯视图中斜边长为 5cm ，求这个几何体中 所有棱长的和为多少？它的表面积为多大？它的体积为多大？ 第 4 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 11 ．扬子江药业集团生产的某种药品的长方体包装盒的侧面展开图如图所示．根据图中数据，如果长方体 盒子的长比宽多 4cm ，求这种药品包装盒的体积． 12 ．我们知道，将一个正方体或长方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形． （1）下列图形中，是正方体的表面展开图的是 （2）如图所示的长方体，长、宽、高分别为 4、3、6，若将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．则 下列图形中，可能是该长方体表面展开图的有 （填序号） （3）下列 A 、B 分别是题（2）中长方体的一种表面展开图，已知求得图 A 的外围周长为 52 ，请你帮助 求出图 B 的外围周长； （4）第（2）题中长方体的表面展开图还有不少，聪明的你能画出一个使外围周长最大的表面展开图吗？ 请画出这个表面展开图，并求出它的外围周长． 第 5 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 答案解析 一、解答题（共 12 小题） 1 ．一个几何体是由若干个棱长为 1 的小正方体堆积而成的，从不同方向看到的几何体的形状图如下． （1）在从上面看得到的形状图中标出相应位置小正方体的个数； （2）这个几何体的表面积是 30 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1） 由俯视图可得该组合几何体最底层的小木块的个数， 由主视图和左视图可得第二层和第三 层小木块的个数，据此解答即可． （2）将几何体的暴露面（包括底面）的面积相加即可得到其表面积． 【解答】解：（1）如图所示： （2）这个几何体的表面积为 2×（6+4+5）＝30， 故答案为：30 【点评】本题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如 果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章 ”就更容易得到答案． 2 ．一个几何体是由若干个棱长为 3cm 的小正方体搭成的，从正面、左面、上面看到的几何体的形状图如图 所示： 第 6 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 （1）在“从上面看 ”的图中标出各个位置上小正方体的个数； （2）求该几何体的体积． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章 ”的原则解答即可得； （2）根据每个正方体的体积乘以正方体的个数即可得． 【解答】解：（1）如图所示： （2）该几何体的体积为 33×（2+3+2+1+1+1） ＝27×10 ＝270（cm3）． 【点评】本题考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考 查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章 ”就更容易得到答案． 3 ．如图四个几何体分别是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有 5 个面，9 条棱，6 个顶点，观察 图形，填写下面的空． （1）四棱柱有 6 个面， 12 条棱， 8 个顶点； （2）六棱柱有 8 个面， 18 条棱， 12 个顶点； （3） 由此猜想 n 棱柱有 （n+2） 个面， 3n 条棱， 2n 个顶点． 【答案】见试题解答内容 【分析】结合已知三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱的特点，可知 n 棱柱一定有（n+2）个面，3n 条棱 第 7 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 和 2n 个顶点． 【解答】解：（1）四棱柱有 6 个面，12 条棱，8 个顶点； （2）六棱柱有 8 个面，18 条棱，12 个顶点； （3） 由此猜想 n 棱柱有（n+2）个面，3n 条棱，2n 个顶点． 故答案为：（1）6 ，12 ，8 ；（2）8 ，18 ，12；（3）（n+2），3n ，2n． 【点评】此题考查了认识立体图形，熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n 棱柱有（n+2）个面， 3n 条棱和 2n 个顶点． 4 ．某种产品形状是长方体，长为 8cm ，它的展开图如图： （1）求长方体的体积； （2）请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装 10 件这种产品，要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽 可能少（纸箱的表面积尽可能小） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据已知图形得出长方体的高进而得出答案； （2）设计的包装纸箱为 15×12×8 规格． 【解答】解：（1）设长方体的高为 xcm ，则长方形的宽为（12 - 2x）cm ，根据题意可得： 12 - 2x+8+x+8 ＝25， 解得：x ＝3， 所以长方体的高为 3cm ，宽为 6cm ，长为 8cm， 长方形的体积为：8×6×3 ＝144（cm3）； （2）因为长方体的高为 3cm ，宽为 6cm ，长为 8cm， 所以装 10 件这种产品，应该尽量使得 6×8 的面重叠在一起，纸箱所用材料就尽可能少， 这样的话，5 件这种产品可以用 15×6×8 的包装纸箱，再考虑 15×8 的面积最大，所以 15×8 的面重叠 在一起，纸箱所用材料就尽可能少， 第 8 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 所以设计的包装纸箱为 15×12×8 规格，该产品的侧面积分别为： 8×12 ＝96（cm2）， 8×15 ＝120（cm2） 12×15 ＝180（cm2） 纸箱的表面积为：（120+96+180） ×2 ＝792（cm2）． 【点评】本题考查几何体的展开图、几何体的表面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知 识解决问题，属于中考常考题型． 5 ．如图是一个长为 4cm ，宽为 3cm 的长方形纸片，该长方形纸片分别绕长、宽所在直线旋转一周（如图 1、 图 2 ），会得到两个几何体 ，请你通过计算说明哪种方式得到的几何体的体积大（结果保留τ ) 【答案】见试题解答内容 【分析】绕长旋转得到的圆柱的底面半径为 3cm ，高为 4cm ，从而计算体积即可；绕宽旋转得到的圆柱 底面半径为 4cm ，高为 3cm ，从而计算体积进行比较即可． 【解答】解：如图 1 ，绕长边旋转得到的圆柱的底面半径为 3cm ，高为 4cm ，体积=τ ×32×4 ＝36τcm3； 如图 2 ，绕短边旋转得到的圆柱底面半径为 4cm ，高为 3cm ，体积=τ ×42×3 ＝48τcm3． 因此绕短边旋转得到的圆柱体积大． 【点评】本题考查了点、线、面、体的知识，熟记常见平面图形旋转可得到什么立体图形是解决本题的 关键，另外要掌握圆柱的体积计算公式． 6 ．顾琪在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是她在家用剪刀展 开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和@ ．根据你所 学的知识，回答下列问题： （1）顾琪总共剪开了 8 条棱． 第 9 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 （2）现在顾琪想将剪断的@重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒， 你认为她应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助她在①上补全． （3） 已知顾琪剪下的长方体的长、宽、高分别是 6cm 、6cm 、2cm ，求这个长方体纸盒的体积． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据平面图形得出剪开棱的条数， （2）根据长方体的展开图的情况可知有两种情况， （3）根据长方体的体积公式，可得答案． 【解答】解（1）小明共剪了 8 条棱， 故答案为：8． （2）如图，四种情况． （3）6×6×2 ＝72cm3， 这个长方体纸盒的体积是 72cm3． 【点评】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平 面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 7 ．如图所示是长方体的表面展开图，折叠成一个长方体，那么： 第 10 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 （1）与字母 N 重合的点是哪几个？ （2）若 AG ＝CK＝14cm ，FG ＝2cm ，LK＝5cm ，则该长方体的表面积和体积分别是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把展开图折叠成一个长方体，找到与 N 重合的点即可； （2） 由 AG ＝CK ＝14cm ，FG ＝2cm ，LK ＝5cm ，可得 CL ＝CK - LK ＝14 - 5 ＝9cm ，再根据长方体的表 面积和体积公式计算即可． 【解答】解：（1）与 N 重合的点有 H，J 两个； （2） 由 AG ＝CK＝14cm ，LK＝5cm ，可得 CL ＝CK - LK＝14 - 5 ＝9cm， 长方体的表面积；2×（9×5+2×5+2×9）＝146cm2； 体积：5×9×2 ＝90cm3． 【点评】此题考查的是由展开图折叠成几何体，要培养学生的空间想象能力． 8 ．如图，把一边长为 xcm 的正方形纸板的四个角各剪去一个边长为 ycm 的小正方形，然后把它折成一个无 盖纸盒． （1）求该纸盒的体积； （2）求该纸盒的全面积（外表面积）； （3）为了使纸盒底面更加牢固且达到废物利用的目的，现考虑将剪下的四个小正方形平铺在盒子的底面， 要求既不重叠又恰好铺满（不考虑纸板的厚度），求此时 x 与y 之间的倍数关系．（直接写出答案即可） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据长方体的公式解答即可； 第 11 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 （2）根据纸盒的全面积＝大正方形面积 - 4 个小正方形面积，计算即可； （3）如图由题意 AD ＝2AE ＝2DF，推出 EF＝2AD ＝4AE ，由此即可解决问题； 【解答】解：（1）y（x - 2y）2 化简后为：x2y - 4xy2+4y3 所以该纸盒的体积为（x2y - 4xy2+4y3）cm3 （2）x2 - 4y2 所以该纸盒的全面积为（x2 - 4y2）cm2 （3）结论：x ＝4y． 理由：如图由题意AD ＝2AE ＝2DF， ∴EF＝2AD ＝4AE， ∵EF＝x ，AE＝y ， ∴x ＝4y． 【点评】此题主要考查了列代数式及求代数式的值、长方体的体积公式、表面积等知识，解题的关键是 正确题意，然后根据题目的数量关系列出代数式解决问题． 9 ．在直角三角形，两条直角边分别为 6cm ，8cm ，斜边长为 10cm ，若分别以一边旋转一周 (①结果用π表 示；②你可能用到其中的一个公式，V 圆柱 = πr2h ，V 球体 ＝ ，V 圆锥 ＝h） （1）如果绕着它的斜边所在的直线旋转一周形成的几何体是？ （2）如果绕着它的直角边 6 所在的直线旋转一周形成的几何体的体积是多少？ （3）如果绕着它的斜边 10 所在的直线旋转一周形成的几何体的体积与绕着直角边 8 所在的直线旋转一 周形成的几何体的体积哪个大？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）作斜边上的高分成两个直角三角形旋转即可； （2）确定圆锥的高与半径即可求出体积； （3）分别求出两种图形的体积，再比较即可． 【解答】解：（1）两个圆锥形成的几何体； （2）V 圆锥 = πr2h = π ×82×6 ＝128π , 第 12 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 （3）①如图 ＝ ，解得 r = , 所以绕着斜边 10 所在的直线旋转一周形成的几何体的体积为 V 圆锥 = πr2h = π × ( ) 2 × 10 ＝76.8π ②绕着直角边 8 所在的直线旋转一周形成的几何体的体积为 V 圆锥 = πr2h = π ×62×8 ＝96π , 故绕着直角边 8 所在的直线旋转一周形成的几何体的体积大． 【点评】本题考查将一个简单图形绕一轴旋转所组成的图形和圆锥体积计算方法，关键要弄清旋转后形 成的圆锥的地面的半径和高，一般底面半径越大体积就越大． 10 ．如图是某几何体的三视图． （1）说出这个几何体的名称； （2）画出它的表面展开图； （3）若主视图的宽为 4cm ，长为 15cm ，左视图的宽为 3cm ，俯视图中斜边长为 5cm ，求这个几何体中 所有棱长的和为多少？它的表面积为多大？它的体积为多大？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）从三视图的主视图看这是一个矩形，而左视图是一个扁平的矩形，俯视图为一个三角形， 故可知道这是一个三棱柱； （2）易得为一个长方形加两个三角形； （3）根据直三棱柱的表面积以及体积公式计算即可． 【解答】解：（1）这个几何体为三棱柱． （2）它的表面展开图如图所示； 第 13 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 （3）这个几何体的所有棱长之和为：（3+4+5） ×2+15×3 ＝69（cm）； 它的表面积为：2××3×4+（3+4+5） × 15 ＝192（cm2）； 它的体积为：×3×4×15 ＝90（cm3）． 【点评】本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的面积，体积等相关知识，考查学生的空间想象 能力． 11 ．扬子江药业集团生产的某种药品的长方体包装盒的侧面展开图如图所示．根据图中数据，如果长方体 盒子的长比宽多 4cm ，求这种药品包装盒的体积． 【答案】见试题解答内容 【分析】 由图可知：设宽为 xcm ，则长为（x+4）cm ，高为（ 18 - x）cm ，根据长、宽、高的和为 37 列出方程，进一步利用长方体的体积计算方法解答即可． 【解答】解：设宽为 xcm ，则长为（x+4）cm ，高为（18 - x）cm， 由题意得 ＝37， 解得：x ＝8， 则 x+4 ＝12， （18 - x）＝5， 8×5× 12 ＝480（cm3）． 答：这种药品包装盒的体积为 480cm3． 第 14 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，长方体的体积计算公式，看清图意，找出长、宽、高之间 的关系是解决问题的关键． 12 ．我们知道，将一个正方体或长方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形． （1）下列图形中，是正方体的表面展开图的是 B （2）如图所示的长方体，长、宽、高分别为 4、3、6，若将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．则 下列图形中，可能是该长方体表面展开图的有 ①②③ （填序号） （3）下列 A 、B 分别是题（2）中长方体的一种表面展开图，已知求得图 A 的外围周长为 52 ，请你帮助 求出图 B 的外围周长； （4）第（2）题中长方体的表面展开图还有不少，聪明的你能画出一个使外围周长最大的表面展开图吗？ 请画出这个表面展开图，并求出它的外围周长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1） 由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题； （2） 由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题； （3）根据外围周长的定义计算即可； （4）画出图像，根据外围组成的定义计算即可； 【解答】解：（1）A 折叠后不可以组成正方体； B 折叠后可以组成正方体； C 都是“2 - 4 ”结构，出现重叠现象，不能折成正方体，即不是正方体的表面展开图，故错误； 第 15 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 D 折叠后不可以组成正方体； 故答案为 B． （2）可能是该长方体表面展开图的有①②③ . 故答案为①②③ . （3）图 B 的外围周长＝3×6+4×4+4×6 ＝58． （4）观察展开图可知，外围周长为 6×8+4×4+3×2 ＝48+16+6 ＝70． 【点评】本题考查几何体的展开图，解题的关键是熟练掌握几何体的展开图的特征，属于中考常考题型． 第 16 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$