专题03 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型的四类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024八年级上册

专题03 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 类型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 类型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 类型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 压轴专练 类型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 1）两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 例1．如图，在中，点是内一点，且点到三边的距离相等，若，则 ． 【变式1-1】如图1，在中，是的角平分线； (1)填写下面的表格． 的度数 的度数 (2)试猜想与之间存在一个怎样的数量关系，并证明你的猜想； 的度数 的度数 【变式1-2】模型认识：我们学过三角形的内角和等于，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动． 如图①，在中，、分别是和的角平分线． 解决问题：(1)若，，则______；（直接写出答案） (2)若，求出的度数； 拓展延伸：(3)如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系． 类型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 图1 图2 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 例2．如图，在中，分别是与的角平分线，点D在的延长线上，则 ． 【变式2-1】问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系． (1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ； 如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，与∠A度数的比是   ；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由． 【变式2-2】特例感知 （1）如图1，是的平分线，是外角的角平分线． ①若，则________； ②判断与的数量关系，并说明理由． 类比迁移 （2）如图2，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，，的平分线与的平分线交于点（为正整数）．设，则________． 拓展应用 （3）如图3，在中，是的外角，的三等分线与的三等分线交于点．若，，请直接写出的度数．（用含、的式子表示） 类型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 图1 图2 图3 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 例3．如图，已知的角平分线与的外角平分线交于点D，的外角角平分线与的外角角平分线交于点E，则 ．    【变式3-1】如图，在中，分别是的平分线，分别是的角平分线． (1)若，则________， ________； (2)当变化时，的值是否变化？请说明理由． 【变式3-2】如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)若，则的度数是 ； (2)如图②，作的外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系． (3)如图③，延长线段交于点，试探索，之间的数量关系． 类型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，，，， ，． 例4．在中，，，是的角平分线．    （1）如图1，若是的高，则的度数为 ． （2）如图2，若是的角平分线，G是延长线上一点，过点G作于点H，则的度数为 ． 【变式4-1】在中，是边上的高． (1)如图1，若是边上的中线，，求的长． (2)如图2，若是的角平分线，时，求的度数． 【变式4-2】已知：在中，，平分交于点．    (1)如图①，于点，若，求的度数； (2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数； (4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由． 一、单选题 1．如图，在三角形中，平分平分，其角平分线相交于D，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，的角平分线与交于点，过点作边上的高，交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，点E，F分别在边上，，的角平分线与的角平分线交于点P，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，与的角平分线交于与的角平分线交于点与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（　　）．（用含的式子表示） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，点D为边的延长线上一点，若，，的角平分线与的角平分线交于点M，则 度． 6．如图，是的角平分线，E为边上一点，过点E作交的延长线于点F．若，则的大小为 度． 7．如图，的角平分线交于点，若，则的度数为 ．    8．如图，，分别是的角平分线和高． （1）若，，则的度数为 ． （2）如图，平分，点是延长线上一点，过点作于点，则与，的数量关系是 ． 三、解答题 9．如图、在四边形中、平分，且与四边形的外角的角平分线交于点，若，求的度数． 10．在中， 是的角平分线， (1)如图1， 是边 上的高，直接写出 的度数； (2)如图2， 点E在上， 于 F， 猜想与，的数量关系， 并证明你的结论． 11．如图，在中，，是的角平分线，P为线段上的一个动点，交直线于点E． (1)若，，求的度数； (2)爱动脑的慧慧发现，当P点在线段上运动时，若是锐角，则，请聪明的你说说结论成立的理由． 12．在中，，是的高线，是的角平分线， (1)如图1，若，，则的度数为______； (2)如图2，若点是延长线上一点，于，，，请求出的度数．（用含，的代数式表示） 13．他阅读下面的材料，并解决问题 (1)在中，，图1，是两内角平分线的夹角：图2，是内角和外角角平分线的夹角；图3，是两外角平分线的夹角，请直接写出的度数． 如图1， 如图2， ； 如图3， ；如图4，和的三等分线相交于点，则 ． (2)如图5所示，在中，的三等分线、和的平分线相交于点和点，，度，求的度数． 14．如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图1，若，则 ． (2)如图2，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点．若，求的度数． (3)如图3，中，的角平分线与外角的角平分线交于．若是延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： ①的值为定值； ②的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 类型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 类型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 类型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 压轴专练 类型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 1）两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 例1．如图，在中，点是内一点，且点到三边的距离相等，若，则 ． 【答案】 【分析】由条件可知平分和，利用三角形内角和可求得． 【详解】解：∵点P到三边的距离相等， ∴平分，平分， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质与判定，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键． 【变式1-1】如图1，在中，是的角平分线； (1)填写下面的表格． 的度数 的度数 (2)试猜想与之间存在一个怎样的数量关系，并证明你的猜想； 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形内角和问题： （1）根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，得到，逐一进行计算即可； （2）根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴时，； 时，； 时，； 填表如下： 的度数 的度数 （2），证明如下： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1-2】模型认识：我们学过三角形的内角和等于，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动． 如图①，在中，、分别是和的角平分线． 解决问题：(1)若，，则______；（直接写出答案） (2)若，求出的度数； 拓展延伸：(3)如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数； （2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数； （3）根据角平分线的定义和四边形内角和定理可得∠BPC与∠A+∠D的数量关系． 【详解】（1）解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∠ABC=40°，∠ACB=80°， ∴∠PBC=∠ABC=×40°=20°，∠PCB=∠ACB=×80°=40°． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-20°-40°=120°； 故答案为：120°； （2）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-（180°-∠BAC）=90°+ ∠BAC， ∵∠BAC=100°， ∴∠BPC=90°+∠BAC=90°+×100°=140°； （3）∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCB的角平分线， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠DCB． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°- （360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键． 类型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 图1 图2 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 例2．如图，在中，分别是与的角平分线，点D在的延长线上，则 ． 【答案】/18度 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形外角的性质及角平分线的定义，根据点D在的延长线上，得到，由角平分线的定义可得，根据三角形外角的性质即可求的度数． 【详解】解：点D在的延长线上， 是的一个外角， ， 分别是与的角平分线， ， ， ， 故答案为：． 【变式2-1】问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系． (1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ； 如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，与∠A度数的比是   ；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由． 【答案】(1)30°；50°；1:2(2)成立，见解析 【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用和表示出，再根据角平分线的定义得到，，然后整理即可． （2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用和表示出，再根据角平分线的定义得到，，然后整理即可． 【详解】（1）解：如图2，是等边三角形，，， 平分，平分．，， ，； 如图3，是等腰三角形，，，， 平分，平分．，， ，；故答案为，，； （2）解：成立，如图1，在中，， 在中，，（1） 平分，平分，，， 又，，（2） 由（1）（2），，． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质、利用三角形的外角性质和角平分线的定义解答是关键． 【变式2-2】特例感知 （1）如图1，是的平分线，是外角的角平分线． ①若，则________； ②判断与的数量关系，并说明理由． 类比迁移 （2）如图2，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，，的平分线与的平分线交于点（为正整数）．设，则________． 拓展应用 （3）如图3，在中，是的外角，的三等分线与的三等分线交于点．若，，请直接写出的度数．（用含、的式子表示） 【答案】（1）①；；（2）；（3）或或或 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形外角的性质和三角形内角和定理； （1）根据角平分线的定义得出，，根据三角形的外角的性质可得，，进而得出； （2）根据三角形的外角性质可得，，根据角平分线的定义可得，，整理得到，同理可得，从而判断出后一个角是前一个角的，然后表示出即可得答案． （3）分情况讨论，根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和，列式计算即可； 【详解】解：∵平分， ∴， ∵平分 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ 当时， 故答案为：． ②， 理由如下， ∵平分， ∴， ∵平分 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ （2）是的外角，是的外角， ，， 的平分线与的平分线交于点， ，， ， 同理可得， ， ， 同理：， ． 故答案为： （3）如图所示， ∵， ∴ ∵的三等分线与的三等分线交于点 ∴ ∴； ∵ ∴； ∵ ∴； ∵ ∴； 综上所述，或或或 类型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 图1 图2 图3 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 例3．如图，已知的角平分线与的外角平分线交于点D，的外角角平分线与的外角角平分线交于点E，则 ．    【答案】/90度 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】该题主要考查了角形内角和定理，三角形角平分线以及三角形外角的性质，解题的关键是理解题意． 根据角平分线得出，根据三角形外角的性质即可得，再根据内角和定理得出，即可求解． 【详解】解：∵的角平分线与的外角平分线交于点D，的外角角平分线与的外角角平分线交于点E， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 故答案为：．    【变式3-1】如图，在中，分别是的平分线，分别是的角平分线． (1)若，则________， ________； (2)当变化时，的值是否变化？请说明理由． 【答案】(1)， (2)不变，见解析 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，邻补角等知识．熟练掌握角平分线，三角形内角和定理，邻补角是解题的关键． （1）由题意得，，则，，，，； （2）同理（1），，则，，，则，，由，作答即可． 【详解】（1）解：∵分别是的平分线，分别是的角平分线，∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：当变化时，的值不变，理由如下； 同理（1）， ，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当变化时，的值不变． 【变式3-2】如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)若，则的度数是 ； (2)如图②，作的外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系． (3)如图③，延长线段交于点，试探索，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形的角的计算，三角形的内角和定理，外角定理等知识． （1）先求出，进而求出，即可求出； （2）先求出，进而求出，即可求出； （3）延长至点，利用外角平分线和内角平分线性质即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：，， ， 点是和的角平分线的交点， ，， ， ； （3）解：如图③，延长至点， ，为的外角的角平分线， 是的外角的角平分线， ， 平分， ， ， ， 即， ， 即． 类型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，，，， ，． 例4．在中，，，是的角平分线．    （1）如图1，若是的高，则的度数为 ． （2）如图2，若是的角平分线，G是延长线上一点，过点G作于点H，则的度数为 ． 【答案】 /10度 /30度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理和外角的性质，角平分线的定义，高线的定义，求出是解本题的关键． （1）首先根据三角形内角和定理得到，然后由角平分线概念得到，然后由三角形外角的性质得到，进而求解即可； （2）首先由角平分线的概念得到，然后由三角形外角的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵是的高， ∴ ∴； （2）∵是的角平分线 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：；． 【变式4-1】在中，是边上的高． (1)如图1，若是边上的中线，，求的长． (2)如图2，若是的角平分线，时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查三角形的三线，三角形的面积公式，三角形的内角和定理： （1）三角形的面积求出的长，中线求出的长，线段的和差关系求出的长即可； （2）三角形的内角和定理求出的度数，的度数，角平分线求出的度数，利用角的和差关系即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴． 【变式4-2】已知：在中，，平分交于点．    (1)如图①，于点，若，求的度数； (2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数； (4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由． 【答案】(1)(2)(3)(4)的度数不会发生改变，理由见解析 【分析】（1）首先根据三角形内角和定理可得，再结合角平分线的定义可知，然后由“直角三角形两锐角互余”可得，进而可得，即可获得答案；（2）结合（1）可得结论； （3）结合，易得，再证明，由“两直线平行，同位角相等”可得，即可获得答案； （4）证明，由“两直线平行，内错角相等”可得，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵在中，，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∴， 当时，； （2）由（1）可知，，∴当时，∴； （3）∵，而，∴， ∵，，∴，∴； （4）的度数大小不发生改变．理由如下： ∵，，∴，∴． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余、平行线的性质、角平分线的定义、垂直的定义等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 一、单选题 1．如图，在三角形中，平分平分，其角平分线相交于D，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，理解三角形内角和定理是解题的关键．根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求得． 【详解】解：，，平分，平分， ， ． 故选：C． 2．如图，在中，，的角平分线与交于点，过点作边上的高，交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理及角平分线的定义，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．再由角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理得出，由即可求解． 【详解】解：∵，的角平分线与交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 3．如图，在中，，点E，F分别在边上，，的角平分线与的角平分线交于点P，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 根据题意可知，设，表示出，根据角平分线的定义，可得的度数，根据列方程，即可求出的度数． 【详解】解：∵，平分， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，在中，与的角平分线交于与的角平分线交于点与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（　　）．（用含的式子表示） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理，根据三角形的角平分线的性质求出与的关系，并能找出与的关系规律成为解题的关键． 根据角平分线的性质可得到再根据三角形的内角和定理可得：的度数，再根据与的角平分线交于点，可得，进而求出，，以此类推可得到： ，然后整理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 又∵与的角平分线交于， ∴， ∴， ∴， ∵与的角平分线交于点， ∴ ∴ ∴， 同理：， 依此类推， ． 故选C． 二、填空题 5．如图，点D为边的延长线上一点，若，，的角平分线与的角平分线交于点M，则 度． 【答案】30 【分析】本题考查了三角形的外角定理，与角平分线有关的计算．解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，以及角平分线的定义． 先根据，，求出，进而得出，最后根据三角形的外角定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：30． 6．如图，是的角平分线，E为边上一点，过点E作交的延长线于点F．若，则的大小为 度． 【答案】13 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理及外角的性质，先利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，进而求出，由即可解答． 【详解】解：， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， 故答案为：13． 7．如图，的角平分线交于点，若，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，外角和的性质，角平分线的定义，根据题意，如图所示，延长交于点，设交于点，根据角平分线的定义可得，根据三角形的内角和，外角和的性质可得，，然后①②得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，设交于点，    ∵的角平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴①②得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，，分别是的角平分线和高． （1）若，，则的度数为 ． （2）如图，平分，点是延长线上一点，过点作于点，则与，的数量关系是 ． 【答案】 ； ． 【分析】（）先根据三角形的内角和定理得到的度数，再利用角平分线的定义求出的度数，根据三角形外角的性质求出，再根据直角三角形两锐角互余进行求解即可； （）根据三角形内角和先得到，再根据角平分线的定义得到，再根据内角和定理以及对顶角的性质求出，继而利用直角三角形两锐角互余即可证得结论； 本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义等，准确识图，灵活运用相关知识是解题的关键． 【详解】（）∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 9．如图、在四边形中、平分，且与四边形的外角的角平分线交于点，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的定义和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等，延长交于点，先根据计算出的度数，根据三角形外角的性质可得，根据角平分线的定义可得，进而可得． 【详解】解∶如图，延长交于点． ， ． ． ， 又平分平分， ， ． 10．在中， 是的角平分线， (1)如图1， 是边 上的高，直接写出 的度数； (2)如图2， 点E在上， 于 F， 猜想与，的数量关系， 并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理和直角三角形的性质，解题时注意：三角形内角和是． （1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到，进而得出，由此即可解决问题； （2）过A作于G，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论，即可得到结论． 【详解】（1）解：是的角平分线， ， 是边 上的高， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 过A作于G， ， ， ， 由（1）得， ． 11．如图，在中，，是的角平分线，P为线段上的一个动点，交直线于点E． (1)若，，求的度数； (2)爱动脑的慧慧发现，当P点在线段上运动时，若是锐角，则，请聪明的你说说结论成立的理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理得到，然后根据角平分线的定义得到，可得，然后利用直角三角形的两锐角互余解题； （2）根据角平分线和三角形的内角和得到证明，再证明，然后再利用直角三角形的两锐角互余解题即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，     ∵AD平分， ∴， ∵是△ABD的外角 ∴，     ∵ ∴ ∴； （2）证明：∵AD平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是△ABD的外角， ∴， ，     ∵， ∴， ∴， ， 即． 12．在中，，是的高线，是的角平分线， (1)如图1，若，，则的度数为______； (2)如图2，若点是延长线上一点，于，，，请求出的度数．（用含，的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，余角的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）利用三角形内角和求出，利用角平分线和高线的定义得出和的度数，进而利用角的和差即可求解； （2）根据垂直和高线得出两个直角三角形，利用对顶角相等和余角的性质即可得出，再利用（1）的解题思路即可表示出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ， ∵是的角平分线， ， ∵是的高线， ， ， ， 故答案为：； （2）解：∵是的高线，于， ， 又， ， ∵，， ， ∵是的角平分线， ， ∵是的高线， ， ， ． 13．他阅读下面的材料，并解决问题 (1)在中，，图1，是两内角平分线的夹角：图2，是内角和外角角平分线的夹角；图3，是两外角平分线的夹角，请直接写出的度数． 如图1， 如图2， ； 如图3， ；如图4，和的三等分线相交于点，则 ． (2)如图5所示，在中，的三等分线、和的平分线相交于点和点，，度，求的度数． 【答案】(1)；；；或 (2) 【分析】（1）如图1，由角平分线的定义得出，，再结合三角形的内角和定理得出，计算即可得解；如图2，由角平分线的定义得出，，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得解；如图3，由角平分线的定义得出，，由邻补角结合三角形内角和定理求出，从而得出，再由三角形内角和定理计算即可得解；分两种情况：当，时，当，时，结合三角形内角和定理，分别计算即可得解； （2）由题意得出，，，，由三角形外角的定义及性质得出，从而得出，再由三角形内角和定理得出，即可得出，最后再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】（1）解：如图1： ∵平分，平分， ∴，， ∴ ； 如图2： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴； 如图3， ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵和的三等分线相交于点， ∴当，时， ， ∴； 当，时， ， ∴； 故和的三等分线相交于点，则或； （2）解：∵的三等分线、和的平分线相交于点和点， ∴，，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义、邻补角等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 14．如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图1，若，则 ． (2)如图2，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点．若，求的度数． (3)如图3，中，的角平分线与外角的角平分线交于．若是延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： ①的值为定值； ②的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 【答案】(1) (2) (3)正确的结论是①，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，，由此即可得到结论； （2）根据角平分线的定义，根据三角形外角的性质得到，利用四边形内角和定理得到，则，由此即可求出； （3）同理可得，，利用三角形内角和定理得到，再由三角形外角的性质得到，即可得到，由此即可得到结论． 【详解】（1）解：∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴（四边形内角和可以看做两个三角形内角度数之和）， ∴， ∴， ∴； （3）解：正确的结论是①，理由如下： 同（1）可得， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的值为定值，①正确，其值是180°． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$