专题01 三角形中的线段与角的四类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024八年级上册

专题01 三角形中的线段与角的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用三角形的三边关系化简 类型二、与三角形的高线、中线、角平分线有关的计算问题 类型三、三角形折叠中的角度问题 类型四、与三角形的内外角有关的问题 压轴专练 类型一、利用三角形的三边关系化简 定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边. 例1．已知、、是的三边长，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形三边关系，绝对值，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．根据三角形的三边关系判断出，及的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】解：、、是的三边的长， ，，， 原式． 故选：A． 【变式1-1】已知是的三边，则化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，整式化简，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值即可． 【详解】解：是的三边， ， ， 故答案为：． 【变式1-2】已知的三边长分别为1，4，a，化简：． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质．直接利用三角形三边关系进而得出a的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案． 【详解】解：因为的三边长分别为1，4，a． 所以． 解得． ∴，，， ∴ ． 类型二、与三角形的高线、中线、角平分线有关的计算问题 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．线段相等． 2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 例2．如图，已知分别是的高和角平分线，． (1)，求； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的角平分线和高． （1）根据角平分线及高线的定义，求出和的度数，据此可解决问题； （2）利用面积法即可解决问题． 【详解】（1）解：，是的角平分线， ， 是的高， ， ， ； （2）解：， ， 又，且， ， 即， 解得， 的长为． 【变式2-1】如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若，，求的大小． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）利用面积法求解即可． （2）求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵是的中线，， ∴． ∵是的高，的面积为80， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． 在中，，， ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∵是的高，∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形面积，三角形中线、角平分线的概念，熟练掌握基础知识是解答本题的关键． 【变式2-2】[问题提出]某节数学课上，小致遇到这样一个问题：如图①，在中，均为的中线，与相交于点O．求的值．（此处无需求解）    [方法探究] (1)小致发现，过点A作的平行线交的延长线于点F（如图②），可以得到，．则的值为______． [方法应用]参考小致思考问题的方法，解决问题： 如图③，在中，为边上的中线，点D在的延长线上，且． (2)求的值． (3)若的面积为10，则四边形的面积为______． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）易证，则有，再证即可求解； （2）过点作的平行线交的延长线于点，先证易得 ，再证即可求解； （3）由为边上的中线可得，由可得，由可得，由，可得即可求解． 【详解】（1）解：， ， 为边上的中线， ， 为边上的中线， ， 在与中， ， ， ， ， ． （2）解：如图，过点作的平行线交的延长线于点，   ， ， 为边上的中线， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ． （3）解： 为边上的中线， ， ， ， ，即， ，即， ， ，， ， ， ， ，即， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，结合中线、做平行线构造全等三角形是解决本题的关键． 【变式2-3】【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 （1）如图②，是的边上的一点．若，，则______； （2）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则的面积是多少？ （3）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则______． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得； （3）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得． 本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键． 【详解】解：（1）如图，过点A作， 则， ∵， ∴．                （2）∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴．                   （3）∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． 类型三、三角形折叠中的角度问题 1. 性质运用：折叠属于轴对称变换，折叠前后对应边相等、对应角相等，折痕是对称轴且垂直平分对应点连线。可据此推导线段长度与角度关系，如在直角三角形折叠中，利用对应边相等结合勾股定理求边长。 2. 角度计算：通过对应角相等，结合三角形内角和180°、外角性质等知识，推导折叠产生的新角度。如折叠后出现的重叠角、翻折角，需分析其与原三角形内角的数量关系。 3. 辅助线与方程思想：复杂折叠常需作辅助线连接对应点，构造全等三角形或直角三角形。对于求边长、角度等未知量，常设未知数，根据折叠性质和几何定理建立方程求解，将几何问题代数化 。 例3．如图，点E，F分别在边和上，连接，将沿着直线折叠，使得点A与点重合，连接，，平分，平分． (1)若，求的度数： (2)若，，求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质，三角形内角和定理和角平分线定义等知识，熟练掌握疏导他对于空间解答本题的关键． （1）由三角形内角和定理求出，由角平分线定义得，再由三角形内角和定理可求出； （2）设，则，求出根据可得结论． 【详解】（1）解：如图， ，且 又平分，平分， ∴ ∴ ； （2）解：设，则， 由折叠得， ∴ ∴ 而 ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【变式3-1】把三角形纸片沿折叠． (1)如图①，当点A落在四边形内部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． (2)如图②，当点A落在四边形外部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键． （1）根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图， 根据翻折以及平角的意义可得，，， ， ， 整理得，； （2）解：，理由如下： 如图： 根据翻折以及平角的意义可得，，， ， ， 整理得，． 【变式3-2】如图（1）所示， 把沿折叠， (1)当点C落在四边形内部时，与、之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，请你写出规律并证明你的规律． (2)当点A落在四边形上方时，与、之间数量关系是 ． (3)当点A落在四边形下方时，与、之间数量关系是 ． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由折叠的性质可得，，由邻补角的定义可得，，由三角形内角和定理可得，由此计算即可得解； （2）由折叠的性质可得，，从而得出，，由三角形内角和定理可得，由此计算即可得解； （3）由折叠的性质可得，，从而得出，，由三角形内角和定理可得，由此计算即可得解． 【详解】（1）解：，证明如下： 由折叠的性质可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即； （2）解：由折叠的性质可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即 （3）解：由折叠的性质可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即． 【变式3-3】（1）如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为： ； （2）如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，则此时，、之间的数量关系为： ； （3）如图3，将四边形纸片，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，求的度数； （4）在图3中作出、的平分线、，试判断射线、的位置关系，当点在边上向点移动时（不与点重合），、的大小随之改变（其它条件不变），上述，的位置关系改变吗？为什么？ 【答案】（1）；（2）；（3）；（4），的位置关系不变，即． 【分析】（1）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （2）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点，则对折后与重合，由（2）的结论可得：，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案； （4）如图，平分，平分，可得，，由对折可得：，， 由（2）的结论可得：，即，证明，可得． 【详解】解：（1）结论：， 理由：连接， 沿折叠和重合， ， ，， ． （2）， 理由：连接， 沿折叠和重合， ， ，， ； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点， 则对折后与重合， 由（2）的结论可得：，而，， ， ， ， ； （4），理由见解析 如图，平分，平分， ，， 由对折可得：，， 由（2）的结论可得：，即 ， ， ， ， ∴． 【点睛】本题考查三角形综合，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，轴对称的性质，熟记轴对称的性质并进行解题是关键． 类型四、与三角形的内外角有关的问题 1.内角和定理：三角形三个内角的和恒为180°。此定理是基础，可用于已知两角求第三角，或结合方程思想，设未知数求解含参数的三角形角度问题，如等腰三角形中已知顶角与底角关系求各角度数。 2.外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，且大于任意一个与它不相邻的内角。利用该性质可实现角的等量代换和大小比较，常用于几何证明与角度推导，如证明三角形中角的不等关系。 3.内外角关系：三角形的一个内角与相邻外角互补，其度数之和为180°。同时，三角形外角和为360°，无论三角形形状如何，这一规律始终成立，可用于快速检验角度计算结果的正确性或解决多边形外角相关拓展问题。 例4．在中，三个内角的平分线交于点，过点作，交边于点． (1)如图1，①若，则___________； ②若，求的度数； (2)如图2，作外角的平分线交的延长线于点． ①求证：； ②在中，如果有两个角度数的比是，请直接写出的度数． 【答案】(1)①；② (2)①见解析；②或或或． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）①根据三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，则可求出，由垂直的定义得到，则；②由三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，则，，由三角形外角的性质可得； （2）①由角平分线的定义得到，则，由角平分线的定义得到，则，即可证明；②由平行线的性质得到，则，再分当时，当时， 当时， 当时，四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解；∵， ∴， ∵在中，三个内角的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵在中，三个内角的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵在中，三个内角的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴ ∴ 当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或． 【变式4-1】如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______． 【答案】(1)115，25 (2)不会发生变化，理由见解析 (3)或或或 【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （3）设，则，再由不变，即可分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，分别列出关于的等式，解出即可． 【详解】（1）解：，， ． 平分， ． ， ，． 平分， ． ； ， ． 平分，平分， ，． ， ，即， ． 故答案为：115，25； （2）解：不会发生变化，理由如下： ， ． ， ，． 平分，平分， ，． ． ， ， ， ． 当的度数发生变化时，、的度数不发生变化； （3）解：设， ． ， ，， 平分，平分， ，， ． ． 平分，平分， ，， ， ， 中存在一个内角等于另一个内角的三倍， ①当时，， 解得： ②当时，， 解得： ③当时，， 解得： ④当时，， 解得： 综上可知，或或或． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．熟练运用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 【变式4-2】如图，在四边形中，，，延长到点，是的平分线，是的平分线． (1)如图，当时，求证：； (2)如图，当时，直线交直线于点，问 与，之间有何数量关系？写出你的结论并证明； (3)如果将（）中的条件 改为，那么与，之间又有何数量关系？请直接写出结论，不用证明． 【答案】(1)见解析； (2)，证明见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的性质，解决本题的关键是根据三角形内角和定理与三角形外角的性质找到角之间的关系． （1）根据角平分线的定义可知，，根据平行线的性质可知，所以可证，根据同位角相等，两直线平行可证结论成立； （2）根据角平分线的性质可知，根据三角形外角的性质可证，再根据三角形内角和定理可证； （3）根据角平分线的定义可证，根据三角形内角和定理可证． 【详解】（1）证明：是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 证明：如下图所示，延长、相交于点， 是的平分线，是的平分线， ，， ， 在中，， ， ， ， ，， ， ； （3）解：， 证明：如下图所示，延长、交于点， ，， ， ， ， ， ， ． 【变式4-3】如图1，，，的平分线与的平分线交于E点．的平分线与延长线交于F点，且． (1)求证：； (2)求的度数； (3)当，若直线下方存在点G，满足，，则________（用含n的式子直接写出答案）． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理； （1）利用平行线性质得，结合角平分线得到，进而得到， 即可证明结论； （2）过点B、E作AC的平行线、，根据平行线的性质得到，然后根据角平分线得到，，即可求出，然后根据三角形的内角和定理解答即可； （3）根据的位置分成三种情况，根据题目条件， 求出，根据点的位置，分别用含的式子表示∠AGC即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ 又， ∴，， 过点B、E作AC的平行线、， ∴， ∴，， 又， ∴，即， ∵的平分线与的平分线交于E点， ∴，， ∵， ∴，， 又， ∴， ∴； （3）解：①在下方时， 如图， 设， ， ， ， ， 在中， ； ②在上方，如图， ， ∴； ③在下方，如图， ， ∴； 综上所述，的度数为 或或． 一、单选题 1．如图，点是线段延长线上的点，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的性质，利用性质求解即可． 【详解】是的外角 解得： 故选：D． 2．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中线、角平分线和中线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．分别根据三角形的中线意义和性质可判断B和D；根据三角形高的定义，直角三角形两锐角互余判断A；根据三角形角平分线的意义可判断C． 【详解】解：∵是中线， ∴，故D选项不正确，不符合题意； ∴，故B选项正确，符合题意； ∵是高， ∴， ∴，故A选项不正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，故C选项不正确，不符合题意； 故选：B． 3．如图，在直角三角形中，，把三角形沿方向平移得到三角形平分分别交于点、、．则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，三角形的外角的性质，角平分线的定义，根据平移的性质即可判断A，B正确，根据角平分线的定义以及三角形的外角的性质，即可判断C选项，根据D选项以及三角形内角和定理得出，结合题意即可求解． 【详解】解：∵把三角形沿方向平移得到三角形 ∴，，故A、B正确，不符合题意； ∵平分 ∴ ∴，故C正确，不符合题意； 当时，， 则 又∵， ∴ ∴，而不一定成立，故D不一定正确，符合题意； 故选：D． 4．如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：；；；；；，⑦，其中结论错误的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形的中线的性质判断①和④和⑦；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断③，根据题意判断⑤，根据三角形的面积公式判断⑥． 【详解】解：是的中线， ，故④正确，符合题意； 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ，故②正确，符合题意； ，， ，故③正确，符合题意； 由已知条件不能确定， 与的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意； ∵不一定是的中点，无法证明，故①错误，不符合题意； ∴不一定是， ∴不一定等于， ∴不一定等于，即：不一定等于，故⑦错误； ∵，是高， ∴ ∴，故⑥正确 综上，其中结论错误的有3个． 故选：C． 二、填空题 5．如图，在中，是的高线，是的角平分线，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的高线，角平分线以及直角三角形两锐角互余定理的应用，熟练掌握相关定理是解题的关键．先根据是的角平分线，得到，再由是的高线，得到，再由角的和差即可解答． 【详解】解：， ， 是的角平分线， ， 是的高线， ， ， ． 故答案为： 6．已知的三边分别为，化简： 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，整式的加减运算，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 首先根据三角三边的关系化简绝对值，然后再根据同类项的定义和合并同类项的方法进行化简即可． 【详解】解：的三边分别为， ，， ， ， 故答案为：． 7．在中，，E是上的一点，且与相交于点F，．若的面积为1，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形面积计算， 三角形中线的性质，解题关键是同高三角形面积比等于底的比，三角形中线分得的两个三角形面积相等． 根据高相等的三角形，面积比等于底的比得到，再根据三角形中线分得的三角形面积相等得到，，从而得到，两式相减，得到，由，、上的高相等，所以，从而即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，，点E在的延长线上，交于点F，，，点P为线段上一点，点Q为上一点，且． （1） ；（用含x的代数式表示） （2）若平分，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线，平行线的判定和性质的应用，三角形的内角和定理； （1）根据三角形的内角和定理求出，再证出，得到，得到，再计算即可； （2）由角平分线性质得到，再结合计算即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）∵平分，∴， 又∵，∴， 故答案为：． 三、解答题 9．已知：的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若a，b，c满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2)等边三角形 【分析】本题考查的是化简绝对值，整式的加减运算，非负数的性质，三角形三边关系的应用； （1）结合三角形的三边关系化简绝对值，再合并同类项即可； （2）由非负数的性质证明，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵三边长， ∴ ∴ ． ； （2）解：∵且，， ∴且 ∴且，即 ∴等边三角形． 10．如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、高线，解决此类题目最常用的是等底等高的三角形的面积相等，要熟练掌握． （1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，再把用表示，用表示，整理即可得解； （2）根据三角形高线的定义作出即可； （3）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：为的中线， ， ， ， 的周长， ， 的周长； （2）解：如图，即为中边上的高， （3）解：设点到边的距离为 为的中线， 为的中线， ， ， ， ， 点到边的距离为． 11．数学课上，老师给大家展示了三幅图，然后让同学们任选一幅，自给条件，自设问题．有三名同学的作品如下： (1)小香：如图1，已知的高，面积为，求的长度． (2)小涵：如图2，已知D是中点，，，求． (3)小宇：如图3，已知平分，，，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，掌握与三角形“三线”相关的结论是解题关键． （1）根据即可求解； （2）根据、、、即可求解； （3）根据三角形的内角和定理求出即可求解． 【详解】（1）解：∵， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：∵D是中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴． 12．（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）10． 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 13．中，，点D，E分别是边上的点，点P是一动点，令，． 初探： （1）如图1，若点P在线段上，且，则________； （2）如图2，若点P在线段上运动，则之间的关系为__________； （3）如图3，若点P在线段的延长线上运动，则之间的关系为__________． 再探： （4）如图4，若点P运动到的内部，写出此时之间的关系，并说明理由． （5）若点P运动到的外部，请在图5中画出一种情形，写出此时之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）130 （2） （3） （4），理由见解析 （5）或，图见解析，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，对顶角相等等，熟知三角形外角的性质是解题的关键． （1）如图1所示，连接，证明即可得到答案； （2）只需要证明即可得到答案； （3）利用三角形外角的性质求解即可； （4）利用三角形外角的性质求解即可； （5）根据题意画出图形，利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：（1）如图1所示，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴ 故答案为：； （3）解：设与交于F， ∵，， ∴， 故答案为：； （4）解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴； （5）解：如图5-1所示， ∵， ∴ 如图5-2所示， ∵， ∴ 14．我们知道：过三角形的顶点引一条直线，可以将它分割成两个小三角形．如果每个小三角形都有两个相等的内角，则我们称这条直线为原三角形的“美丽线”．如图1，直线为的“美丽线”． （1）如图2，在中，，，请利用直尺和量角器在图2中画出的“美丽线”（标出所得三角形的内角度数，不要求写画法）； （2）在中，，．若存在过点C的“美丽线”，试探究与的关系．下面是对这个问题的部分探究过程： 设为的“美丽线”，点D在边上，则与中各有两个相等的内角． 【探究1】 如图3，当时，因为，所以________，且为锐角，则为钝角，所以在中，．由此可以得到与的关系为________，其中的取值范围为________． 【探究2】 借助图4，请你继续完成本问题的探究，直接写出与的关系． 【答案】（1）见详解 （2）【探究1】，，【探究2】或或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，理解新定义“美丽线”是解题的关键． （1）根据“美丽线”的定义结合三角形内角和定理，即可求解； （2）探究1：根据“美丽线”的定义，结合三角形内角和定理分别求出的度数，再根据平角的定义可得结论，再由，可得的取值范围； 探究2：根据“美丽线”的定义，图形结合（图示见详解），分类讨论，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：（1）如图，直线即为所求； （2）探究一：根据三角形的内角和定理可得， 利用三角形的外角定理可得，即， 整理得， ， ， 故答案为：，，； 探究二： ①如图所示，直线是的“美丽线”， ， ∵， ∴， 整理得； ②如图所示，直线是的“美丽线”， ， 是的外角， ； ③如图所示，直线是的“美丽线”， ， ； 综上，与的关系为或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形中的线段与角的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用三角形的三边关系化简 类型二、与三角形的高线、中线、角平分线有关的计算问题 类型三、三角形折叠中的角度问题 类型四、与三角形的内外角有关的问题 压轴专练 类型一、利用三角形的三边关系化简 定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边. 例1．已知、、是的三边长，则(    ) A． B． C． D． 【变式1-1】已知是的三边，则化简： ． 【变式1-2】已知的三边长分别为1，4，a，化简：． 类型二、与三角形的高线、中线、角平分线有关的计算问题 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．线段相等． 2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 例2．如图，已知分别是的高和角平分线，． (1)，求； (2)若，求的长． 【变式2-1】如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若，，求的大小． 【变式2-2】[问题提出]某节数学课上，小致遇到这样一个问题：如图①，在中，均为的中线，与相交于点O．求的值．（此处无需求解）    [方法探究] (1)小致发现，过点A作的平行线交的延长线于点F（如图②），可以得到，．则的值为______． [方法应用]参考小致思考问题的方法，解决问题： 如图③，在中，为边上的中线，点D在的延长线上，且． (2)求的值． (3)若的面积为10，则四边形的面积为______． 【变式2-3】【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 （1）如图②，是的边上的一点．若，，则______； （2）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则的面积是多少？ （3）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则______． 类型三、三角形折叠中的角度问题 1. 性质运用：折叠属于轴对称变换，折叠前后对应边相等、对应角相等，折痕是对称轴且垂直平分对应点连线。可据此推导线段长度与角度关系，如在直角三角形折叠中，利用对应边相等结合勾股定理求边长。 2. 角度计算：通过对应角相等，结合三角形内角和180°、外角性质等知识，推导折叠产生的新角度。如折叠后出现的重叠角、翻折角，需分析其与原三角形内角的数量关系。 3. 辅助线与方程思想：复杂折叠常需作辅助线连接对应点，构造全等三角形或直角三角形。对于求边长、角度等未知量，常设未知数，根据折叠性质和几何定理建立方程求解，将几何问题代数化 。 例3．如图，点E，F分别在边和上，连接，将沿着直线折叠，使得点A与点重合，连接，，平分，平分． (1)若，求的度数： (2)若，，求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【变式3-1】把三角形纸片沿折叠． (1)如图①，当点A落在四边形内部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． (2)如图②，当点A落在四边形外部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． 【变式3-2】如图（1）所示， 把沿折叠， (1)当点C落在四边形内部时，与、之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，请你写出规律并证明你的规律． (2)当点A落在四边形上方时，与、之间数量关系是 ． (3)当点A落在四边形下方时，与、之间数量关系是 ． 【变式3-3】（1）如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为： ； （2）如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，则此时，、之间的数量关系为： ； （3）如图3，将四边形纸片，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，求的度数； （4）在图3中作出、的平分线、，试判断射线、的位置关系，当点在边上向点移动时（不与点重合），、的大小随之改变（其它条件不变），上述，的位置关系改变吗？为什么？ 类型四、与三角形的内外角有关的问题 1.内角和定理：三角形三个内角的和恒为180°。此定理是基础，可用于已知两角求第三角，或结合方程思想，设未知数求解含参数的三角形角度问题，如等腰三角形中已知顶角与底角关系求各角度数。 2.外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，且大于任意一个与它不相邻的内角。利用该性质可实现角的等量代换和大小比较，常用于几何证明与角度推导，如证明三角形中角的不等关系。 3.内外角关系：三角形的一个内角与相邻外角互补，其度数之和为180°。同时，三角形外角和为360°，无论三角形形状如何，这一规律始终成立，可用于快速检验角度计算结果的正确性或解决多边形外角相关拓展问题。 例4．在中，三个内角的平分线交于点，过点作，交边于点． (1)如图1，①若，则___________； ②若，求的度数； (2)如图2，作外角的平分线交的延长线于点． ①求证：； ②在中，如果有两个角度数的比是，请直接写出的度数． 【变式4-1】如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______． 【变式4-2】如图，在四边形中，，，延长到点，是的平分线，是的平分线． (1)如图，当时，求证：； (2)如图，当时，直线交直线于点，问 与，之间有何数量关系？写出你的结论并证明； (3)如果将（）中的条件 改为，那么与，之间又有何数量关系？请直接写出结论，不用证明． 【变式4-3】如图1，，，的平分线与的平分线交于E点．的平分线与延长线交于F点，且． (1)求证：； (2)求的度数； (3)当，若直线下方存在点G，满足，，则________（用含n的式子直接写出答案）． 一、单选题 1．如图，点是线段延长线上的点，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 2．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在直角三角形中，，把三角形沿方向平移得到三角形平分分别交于点、、．则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：；；；；；，⑦，其中结论错误的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 5．如图，在中，是的高线，是的角平分线，，，则的度数为 ． 6．已知的三边分别为，化简： 7．在中，，E是上的一点，且与相交于点F，．若的面积为1，则的面积为 ． 8．如图，，点E在的延长线上，交于点F，，，点P为线段上一点，点Q为上一点，且． （1） ；（用含x的代数式表示） （2）若平分，则的度数为 ． 三、解答题 9．已知：的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若a，b，c满足，试判断的形状． 10．如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 11．数学课上，老师给大家展示了三幅图，然后让同学们任选一幅，自给条件，自设问题．有三名同学的作品如下： (1)小香：如图1，已知的高，面积为，求的长度． (2)小涵：如图2，已知D是中点，，，求． (3)小宇：如图3，已知平分，，，求． 12．（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 13．中，，点D，E分别是边上的点，点P是一动点，令，． 初探： （1）如图1，若点P在线段上，且，则________； （2）如图2，若点P在线段上运动，则之间的关系为__________； （3）如图3，若点P在线段的延长线上运动，则之间的关系为__________． 再探： （4）如图4，若点P运动到的内部，写出此时之间的关系，并说明理由． （5）若点P运动到的外部，请在图5中画出一种情形，写出此时之间的关系，并说明理由． 14．我们知道：过三角形的顶点引一条直线，可以将它分割成两个小三角形．如果每个小三角形都有两个相等的内角，则我们称这条直线为原三角形的“美丽线”．如图1，直线为的“美丽线”． （1）如图2，在中，，，请利用直尺和量角器在图2中画出的“美丽线”（标出所得三角形的内角度数，不要求写画法）； （2）在中，，．若存在过点C的“美丽线”，试探究与的关系．下面是对这个问题的部分探究过程： 设为的“美丽线”，点D在边上，则与中各有两个相等的内角． 【探究1】 如图3，当时，因为，所以________，且为锐角，则为钝角，所以在中，．由此可以得到与的关系为________，其中的取值范围为________． 【探究2】 借助图4，请你继续完成本问题的探究，直接写出与的关系． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$